Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - VŨ VĂN THƯỞNG SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 133 Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - VŨ VĂN THƯỞNG – C00458 SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa 01 Mục lục 02 Lời cam đoan 04 Tóm tắt luận văn 05 MỞ ĐẦU 06 Chương KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 KHÁI NIỆM TRỘI 08 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 08 1.2 HÀM LỒI SHUR 08 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 08 1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 08 1.2.3 Một số tính chất hàm lồi, hàm lõm 09 1.2.3.1 Tính chất 09 1.2.3.2 Tính chất 09 1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 10 1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) 10 1.2.4.2 Một số hệ bất đẳng thức trội 12 1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 14 Kết luận Chương 24 Chương ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC Footer Page of 133 Header Page of 133 2.1 THÍ DỤ MINH HỌA 25 Nhận xét 2.1.1 26 2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC 26 Nhận xét 2.2.1 26 2.2.1 Hàm sin 28 Nhận xét 2.2.2 28 2.2.2 Hàm cosin 53 Nhận xét 2.2.3 53 2.2.3 Hàm tan 65 Nhận xét 2.2.4 65 2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC 71 Nhận xét 2.3.1 71 2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC 77 Kết luận Chương 86 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận 87 Khuyến nghị 87 TÀI LIỆU TRÍCH DẪN 88 Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan giúp đỡ, hướng dẫn, bảo tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp với đề tài “Sử dụng Bổ đề trội chứng minh bất đẳng thức tam giác” công trình nghiên cứu riêng tơi thời gian học tập nghiên cứu trường Đại học Thăng Long Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa phát huy kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Tác giả Vũ Văn Thưởng Footer Page of 133 Header Page of 133 TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn gồm ba phần: PHẦN Mở đầu PHẦN Nội dung Phần gồm hai chương Chương KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 KHÁI NIỆM TRỘI 1.2 HÀM LỒI SHUR 1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chương ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 2.1 THÍ DỤ MINH HỌA 2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC 2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC 2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC PHẦN Kết luận khuyến nghị Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 MỞ ĐẦU Khái niệm trội đưa nhằm mục đích so sánh hai phần tử (hai vectơ) không gian n Khái niệm sở lý thuyết trội, áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, xem, thí dụ [8] Khái niệm trội áp dụng thành công chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức tam giác, xem, thí dụ, [7], [8] Có thể nói, bất đẳng thức Karamata (xem, thí dụ, [3]) bất đẳng thức trội Khái niệm trội gần với số ý tưởng thứ tự tam giác, xem, thí dụ, [2] Tuy vậy, chưa có sách tiếng Việt luận văn cao học trình bày ứng dụng khái niệm trội, đặc biệt chứng minh bất đẳng thức tam giác Luận văn Sử dụng Bổ đề trội chứng minh bất đẳng thức tam giác có mục đích minh họa khả sử dụng khái niệm trội bất đẳng thức trội (Bổ đề trội) chứng minh, cải tiến làm bất đẳng thức tam giác Đây vấn đề cịn mẻ có ý nghĩa khoa học ứng dụng thực tiễn cao giảng dạy tốn sơ cấp, tơi chọn đề tài làm đề tài luận văn cao học Luận văn gồm Mở đầu, hai Chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm khái niệm trội, hàm lồi Shur, đặc biệt bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) hệ nó, đồng thời trình bày ứng dụng bất đẳng thức trội việc chứng minh số bất đẳng thức Chương 2: Trình bày ứng dụng bổ đề trội hệ việc chứng minh bất đẳng thức tam giác Qua ta thấy mạnh bất đẳng thức trội hệ ứng dụng vào việc chứng minh Footer Page of 133 Header Page of 133 nhiều toán liên quan đến bất đẳng thức tam giác như: Bất đẳng thức liên quan đến góc tam giác, bất đẳng thức liên quan đến cạnh tam giác số hệ thức khác tam giác Ngoài ra, Chương cịn trình bày ứng dụng hiệu bất đẳng thức trội so với số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường khác cho số bất đẳng thức tam giác Luận văn hoàn thành trường Đại học Thăng Long hướng dẫn khoa học bảo tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học Là người học trị tiếp thu nhiều điều bổ ích, q báu từ Thầy, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên kịp thời nghiêm khắc bảo, hướng dẫn Thầy Tôi xin cảm ơn tới thầy cô giáo Trường Đại học Thăng Long, phòng Sau đại học Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc Giang) khóa 2014 – 2016 Trường Đại học Thăng Long động viên giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Tôi xin cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ chun mơn Tốn – tin, đồng nghiệp Trường THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang tạo điều kiện giúp đỡ, góp ý cho tác giả thời gian học tập thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng vấn đề nghiên cứu tương đối phức tạp khó, kinh nghiệm nghiên cứu viết luận văn cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Tác giả Vũ Văn Thưởng Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 Chương KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 KHÁI NIỆM TRỘI 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho a   a1, , an  b   b1, , bn  hai vectơ không gian hữu hạn chiều n Các tọa độ bi , i  1,2, , n thứ tự sau: a1  a2   an , b1  b2   bn Nếu: a1  b1 ; a  a  b  b ;  2  a  a   a  b  b   b ; n 1 n 1  a1  a2   an1  an  b1  b2   bn1  bn ta nói a trội b ( a majorizes b ) viết a b Ta nói b bị trội a ( b majorized by a ) viết b a 1.2 HÀM LỒI SHUR 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Tập X  n gọi tập lồi với   0;1 x1  X , x2  X ta có x   x1  1    x2  X Nghĩa là, tập lồi X chứa đoạn thẳng nối hai điểm 1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 Hàm f : X  n  gọi hàm lồi X tập lồi với   0;1 x1  X , x2  X ta có f  x   f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  (1.2.1) Nếu đẳng thức xảy x1  x2 f gọi lồi chặt X Hàm f gọi hàm lõm - f hàm lồi, hay ta có bất đẳng thức ngược lại Footer Page of 133 Header Page 10 of 133 Nếu đẳng thức xảy x1  x2 hàm f gọi lõm chặt X 1.2.3 Một số tính chất hàm lồi, hàm lõm Tính chất 1.2.3.1 Nếu f :  a; b  a;b  hàm lồi khả vi liên tục x, y Ỵ [a, b] f (y)- f (x)³ (y - x) f ¢(x) Chứng minh Thật vậy, theo tính chất hàm lồi, với α Ỵ [0,1] x, y Î [a, b] ta có f (αy + (1- α)x)£ αf (y)+ (1- α) f (x), hay f (x + α(y - x))- f ( x) £ α ( f (y)- f (x)) Với x, y Ỵ [a, b], x  y α Ỵ (0,1) ta có f (x + α ( y - x))- f (x) α ( y - x) £ f ( y )- f (x ) y- x Cho α ¯ ta f Â(x)= lim đ f (x + ( y - x ))- f (x ) α ( y - x) £ f ( y )- f (x ) y- x hay f (y)- f (x)³ (y - x) f Â(x) Trng hp x, y ẻ [a, b], x  y chứng minh hồn tồn tương tự Tính chất 1.2.3.2 Cho hàm số y  f  x  xác định tập X có đạo hàm cấp hai x Ỵ X Nếu f   x  ³ với x Ỵ X f  x  hàm lồi X Nếu f   x   với x Ỵ X f  x  hàm lõm X Footer Page 10 of 133 Thang Long University Library Header Page 75 of 133 abc abc 3. 2 2     a b c      2 a  b  c a  b  c a  b  c 2 a  b2  c     a  b  c 2 Dấu xảy bất đẳng thức vế trái a  b  c hay tam giác ABC tam giác Dấu xảy bất đẳng thức vế phải a  b  s,c  (vô lý) a  b2  c2  Vậy bất đẳng thức (2.3.1) chứng minh Do   a  b  c 2 b) (Học viện kỹ thuật Quân sự, 1996-1997) s  s  a  s  b  s  c  3s (2.3.2) Xét hàm số y  f  x   s  x  0;s  Ta có: y  x   1  y  x   sx 1  s  x 0 với x   0; s  y  f  x   s  x hàm lõm  0; s  Ta có:  a , a , a   a, b, c   s, s,0 Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   s  x , ta được: f  s   f  s   f  0  f  a   f b   f  c   f  a   f  a   f  a   s  s a  s b  s c 3 s a abc  s  s a  s b  s c 3  s  s a  s b  s c  abc  s  s  a  s  b  s  c  3s 74 Footer Page 75 of 133 nên Header Page 76 of 133 Dấu xảy bất đẳng thức vế phải a  b  c hay tam giác ABC tam giác Dấu xảy bất đẳng thức vế trái a  b  s,c  (vô lý) Do s  s  a  s  b  s  c  3s Vậy bất đẳng thức (2.3.2) chứng minh c) a  s  a   b  s  b   c  s  c   2.s (2.3.3) Xét hàm số y  f  x   x  s  x   0; s  Ta có: y  x   s  2x x s  x s2  y  x     x  s  x   với  x  s nên y  f  x   x  s  x  hàm số lõm  0; s  Ta có:  a , a , a   a, b, c  Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   x  s  x  , ta được: f  a   f b   f  c   f  a   f  a   f  a   a  s  a   b  s  b   c  s  c    a  s  a   a  s  a   b  s  b   c  s  c    abcabc abc    3    a  s  a   b  s  b   c  s  c    abc abc  a  s  a  b s  b  c  s  c  a  b  c 2  abc  2.s Dấu xảy a  b  c  a hay tam giác ABC Vậy bất đẳng thức (2.3.3) chứng minh d) 1    s s a s b s c (2.3.4) 75 Footer Page 76 of 133 Thang Long University Library Header Page 77 of 133 Xét hàm số y  f  x   Ta có: với  x  s sx s  x   y  x      y  x   0 2  s  x  s  x  s  x y  f  x  hàm số lồi  0; s  Ta có:  a , a , a  sx Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y  f  x   với  x  s nên  a, b, c  , ta được: sx f  a   f  a   f  a   f  a   f b   f  c   1    s a s a s b s c   1   s a s b s c abc abc  18 1     a bc s a s b s c 1     s s a s b s c Dấu xảy a  b  c  a hay tam giác ABC Vậy bất đẳng thức (2.3.4) chứng minh 2) a  b2  c £   a  b  c 2 Hàm số y  f  x   Ta có:  a ,a ,a  x2  2s   a,b,c  (2.3.5) hàm số lồi  s s  s, ,   2 Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y  f  x   76 Footer Page 77 of 133 x2  2s  , ta được: Header Page 78 of 133 s f  a   f  a   f  a   f  a   f b   f  c   f  s   f    2 a  a2 b2 c2 s2      2 2 2 s s s s          2s  s f  2 s s     2      2  2s   2s  abc   a2 b2 c2 1         2 2  a  b  c   2s   2s   2s   a2 b2 c2      s 2  s 2  s 2 Dấu xảy bất đẳng thức vế trái a  b  c  a hay tam giác ABC tam giác Dấu xảy bất đẳng thức vế phải  a  s a  b  c  s   b   b  a  c  a  b  c  (vô lý)  c  a  b  s  c  a2 b2 c2    Do  2  2s   2s   2s  Vậy bất đẳng thức (2.3.5) chứng minh 2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC Bài 2.4.1 1) Cho tam giác ABC Gọi 1  BAC ,   ABC ,   BCA ba góc tam giác thỏa mãn π π  α1  α2  α3  Khi 77 Footer Page 78 of 133 Thang Long University Library Header Page 79 of 133 cos α1 + cos α2 + cos α3  (2.4.1.1) é π πù Chứng minh Xét hàm số y = f (x)= - cos x ê- ; ú êë 2 ỳ ỷ ộ ự yÂ(x)= sin x ị yÂÂ(x)= cos x ³ với x Ỵ ê- ; ú nên hàm số êë 2 ú û Ta có é π πù y = f (x)= - cos x hàm lồi ê- ; ú êë 2 ú û Do π π  α1  α2  α3  nên ta có ìï π ïï  α1; ïï ïï π π ïí   π  π  π  α = α + α ; ïï 4 ïï ïï π  π  π  α + α + α ïïỵ 4 ổ Suy ra: ỗỗ , , ữ ữ ữ ỗố 4 ứ (1, , α3 ) Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi y = f (x)= - cos x , ta được:   f  1   f     f     f    2  cos1  cos  cos  cos  cos1  cos  cos  cos     f  4    cos  cos  cos1  cos  cos  78 Footer Page 79 of 133   f   4   cos  Header Page 80 of 133 Dấu xảy bất đẳng thức vế phải α1 = π π , α1 = α2 = hay tam giác ABC tam giác vuông cân Vậy bất đẳng thức (2.4.1.1) chứng minh 2) Cho tam giác ABC, gọi a, b, c ( a  b  c ) ba cạnh tam giác thỏa mãn  a  b  c  1, a + b + c = Khi ấy: + a2 + + b2 + + c2  Chứng minh Xét hàm số y = f (x)= x Ta có: y ¢(x)= 4+ x hàm s y = f (x)= ị y ÂÂ(x )= ( 5+ ) (2.4.1.2) + x [- 2;2] (4 + x ) 4+ x > với x Ỵ [- 2;2] nên + x hàm lồi [- 2;2] Do  a  b  c  1, a + b + c = nên ta có: ìï  a; ïï í +  - c = a + b; ïï ïïỵ + + = a + b + c Suy ra: (2,1,1) (a, b, c) Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi y = f (x)= + x , ta được: f  a   f  b   f  c   f    f 1  f 1   a   b   c   22   12   12   a   b2   c2       2 Dấu xảy bất đẳng thức vế phải a = 2, b = c = Vậy bất đẳng thức (2.4.1.2) chứng minh 79 Footer Page 80 of 133 Thang Long University Library Header Page 81 of 133 Bài tập 2.4.2 Gọi 1  BAC ,   ABC ,   BCA ba góc tam giác ABC Ta có bất đẳng thức sau (được chứng minh nhờ bất đẳng thức Jensen – hệ Bổ đề trội Shur): 1  3 1) sin 1.sin  sin 3 £ sin 2) sin 3) sin 1 1  sin  sin 2 2  sin  sin 3 4) Giả sử  1, 2,3 £ 3 sin   33 sin 3  31 3 ³ ³ 12  tan  1  tan Khi đó: 2  tan 2 3 1   ³ cos1 cos cos3 5) Giả sử  1, 2,3 <  Khi đó:   tan  i i 1 3   tan  i £ cos 2 i 1 Chứng minh 1) sin 1.sin  sin 3 £ sin 1  3 sin   33 sin 3  31 (2.4.2.1) Xét hàm số y  f  x   sin x với x   0;  Ta có: y  x   cos x  y  x    sinx  với x  0;  nên y  f  x   sin x hàm lõm  0;  Theo bất đẳng thức Jensen ta có:    3  f             f 1   f   f  4   80 Footer Page 81 of 133 Header Page 82 of 133  sin 1  3  sin 1  3.sin  (1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: sin 1  3.sin   sin 1  sin   sin   sin    sin 1.sin  (2) Từ (1) (2) ta có sin 1  3  sin 1.sin  (3)  sin  sin 3 (4)  sin  sin 1 (5) Tương tự, sin   33 sin   31 4 Từ (3), (4), (5) suy sin 1.sin  sin 3 £ sin 1  3 sin   33 sin 3  31 Dấu xảy 1     hay tam giác ABC Vậy bất đẳng thức (2.4.2.1) chứng minh 2) sin 1  sin 2  sin Xét hàm số y  f  x   3 ³ 12 (2.4.2.2)    0;  sin x  2 81 Footer Page 82 of 133 Thang Long University Library Header Page 83 of 133 Ta có: y  x    y  f  x  2cos x 2sin x  6cos x     y x   với x   0;  nên   sin x sin x  2 hàm lồi sin x    0;   2 Mặt khác tam giác ABC ta có  1  3 , 2 ,   Theo bất đẳng thức Jensen ta có:  1        1 f     3     f  1 2   f       f      1 1              sin 1 sin  sin  sin    2    sin 1  sin 2  sin 3  sin 2        12 Dấu xảy 1     hay tam giác ABC Vậy bất đẳng thức (2.4.2.2) chứng minh 3) sin 1  sin 2  sin 3  tan 1  tan 2  tan x x Xét hàm số y  f  x   sin  tan  0;  2 sin x x Ta có: y  x   cos  2 2cos3 x 82 Footer Page 83 of 133 3 ³ 3 (2.4.2.3) Header Page 84 of 133 x x sin x    cos3 x   với x  0;  nên  y  x    sin    2cos3 x 4cos3 x  2 2 sin x x y  f  x   sin  tan hàm lồi  0;  2 Theo bất đẳng thức Jensen ta có:      3  f    f 1   f    f 3      sin  sin  1  3tan  sin  2  sin  sin 1 3 2  sin  tan 1  sin  tan 3 2  tan  tan 1 3  tan  2  tan 3  Dấu xảy 1     hay tam giác ABC Vậy bất đẳng thức (2.4.2.3) chứng minh 4) Giả sử  1, 2,3   Khi 1   ³ cos1 cos cos3 Xét hàm số y  f  x   Ta có: y  f  x  y  x   (2.4.2.4)    0;  cos x  2 sinx  sin x   y x  0   cos x cos3 x hàm lồi cos x với   x   0;   2 nên    0;   2 Theo bất đẳng thức Jensen ta có: 83 Footer Page 84 of 133 Thang Long University Library Header Page 85 of 133      3  f    f 1   f    f 3        1 1               cos 1 cos  cos   cos     1 1        cos 1 cos  cos   cos 1 1     cos 1 cos cos Dấu xảy 1     hay tam giác ABC Vậy bất đẳng thức (2.4.2.4) chứng minh Tương tự, ta có bất đẳng thức sau: 4b) Cho tam giác ABC Gọi 1 ,  ,  ba góc tam giác Khi 1   ³ sin 1 sin  sin  5) Giả sử  1, 2,3 <  Khi đó: 3   tan  i i 1 3   tan  i £ cos i 1 Xét hàm số y  f  x   tan x  0;  84 Footer Page 85 of 133 2 (2.4.2.5) Header Page 86 of 133 Ta có: y  x   2  4sin x  t anx  y x   với x  0;  nên   cos x cos x y  f  x   tan x hàm lồi  0;  Theo bất đẳng thức Jensen ta có:      3  f    f 1   f    f 3          3  2  tan     tan 1  tan   tan 3    2     tan 1  tan   tan    tan    3     tan   3  cos2    cos2    3  tan 1  tan   tan  3  tan 1  tan   tan 3  1  tan 1  tan   tan 3 2 2 2   tan 1  tan   tan    cos  3  tan 1  tan   tan  3    tan  i i 1 3   tan  i £ cos 2 i 1 Dấu xảy 1     hay tam giác ABC Vậy bất đẳng thức (2.4.2.5) chứng minh 85 Footer Page 86 of 133 Thang Long University Library Header Page 87 of 133 Kết luận Chương Chương trình bày ứng dụng bất đẳng thức trội (Bổ đề trội Shur, 1923) hệ việc chứng minh bất đẳng thức tam giác, cụ thể bất đẳng thức liên quan đến góc tam giác, số bất đẳng thức liên quan đến cạnh số hệ thức khác tam giác Qua cho thấy mạnh bổ đề trội việc chứng minh bất đẳng thức tam giác phong phú, đa dạng hiệu Chỉ cần sử dụng hợp lý bất đẳng thức trội hệ ta chứng minh nhiều bất đẳng thức liên quan đến tam giác cách đơn giản, hiệu từ cho ta sáng tạo nhiều bất đẳng thức khác liên quan đến tam giác Ngồi ra, Chương trình bày số cách chứng minh khác số bất đẳng thức quen thuộc để qua ta thấy, sử dụng phương pháp biến đổi đại số, lượng giác hóa, hàm số, thường phức tạp cồng kềnh so với áp dụng bổ đề trội cách hợp lý 86 Footer Page 87 of 133 Header Page 88 of 133 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Chỉ cần MỘT bất đẳng thức trội (hay bất đẳng thức Karamata) hệ nó, ta chứng minh RẤT NHIỀU bất đẳng thức tam giác Sử dụng Bổ đề trội cách linh hoạt cho ta kết mà không cần biến đổi cồng kềnh, phức tạp số phương pháp thông thường khác Hy vọng rằng, nhiều bất đẳng thức khác nói chung, tam giác nói riêng, suy từ bất đẳng thức trội mở rộng Khuyến nghị Hy vọng luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên sinh viên toán trường sư phạm, bồi dưỡng học sinh giỏi toán trường trung học phổ thông, rèn luyện đội tuyển thi giỏi cấp tỉnh, quốc gia quốc tế Hy vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu, mở rộng phát triển, ứng dụng rộng rãi nghiên cứu, học tập học sinh trung học phổ thông sinh viên trường Đại học, Học viện Hy vọng việc chứng minh bất đẳng thức tam giác phương pháp sử dụng Bất đẳng thức trội, trở thành phương pháp quen thuộc học sinh, sinh viên chứng minh bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức tam giác nói riêng 87 Footer Page 88 of 133 Thang Long University Library Header Page 89 of 133 TÀI LIỆU TRÍCH DẪN [1] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức [2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) (2004), Một số chuyên đề chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên [3] Trần Phương (2009), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, Nhà xuất Tri thức [4] Tạ Duy Phượng (2004, 2006), Phương trình bậc ba hệ thức tam giác, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Hồ Quý (18, 19/4/2011), Bất đẳng thức Karamata vài ứng dụng, Hội thảo Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT tổ chức Phú Yên [6] Cao Minh Quang, http://sachsangtao.com/bvct/sach-tham-khao/414/bdtkaramata-va-mot-so-ung-dung-cao-minh-quang.html [7] M S Klamkin (2002), On a “Problem of the Month”, Crux, Vol 28, 8690 [8] A W Marshall, L Olkin and B C Arnold (2011 (Second Edition)), Inequalities: Theory of Majorization and Its applications, in Springer Series in Statistics, N Y., 909 pages [9] D.S Mitrinovic, J.E Pecaric, V Volenec (1989): Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers 88 Footer Page 89 of 133 ... niệm trội, đặc biệt chứng minh bất đẳng thức tam giác Luận văn Sử dụng Bổ đề trội chứng minh bất đẳng thức tam giác có mục đích minh họa khả sử dụng khái niệm trội bất đẳng thức trội (Bổ đề trội) ... TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 2.1 THÍ DỤ MINH HỌA 2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC 2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC... phép tạo đẳng thức bất đẳng thức tam giác từ các đẳng thức bất đẳng thức ba số dương 2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC Nhận xét 2.2.1 Cho 1 , , ba góc tam giác 1