CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ GIÁO TRONG BAN GIÁM KHẢO ĐẾN DỰ GIỜ 1. Vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn C(O; R) BÀI CŨ Hệ thức giữa d = d(O; ∆) và R ∆ ∩ (C) Vị trí tương đối của A và (S) d > R d = R d < R Ø {A} {A, B} Không cắt nhau Cắt nhau Tiếp xúc 2. Vị trí tương đối của điểm A và mặt cầu S(O; R): Hệ thức giữa d = OA và R d > R d = R d < R A ở trong (S) A Є (S) A ở ngoài (S) Vị trí tương đối của ∆ và (C ) Tiết 45 §2. Cho mặt cầu S(O; R) và mp(P), gọi H là hình chiếu của O lên mp(P), d = OH. I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng Hệ thức giữa d và R (S) ∩ (P) d > R d = R d < R Ø {H} Không cắt nhau Cắt nhau Tiếp xúc (H : tiếp điểm của (S) và (P), mp(P) : tiếp diện của (S) tại H) Vị trí tương đối của mc và mp  d = 0 giao tuyến là đường tròn C(O; R): Đường tròn lớn Ví dụ: Xác định thiết diện tạo bởi mp (α) với mặt cầu S(O; 5), biết khoảng cách từ O đến mp(α) bằng 3. Do d = 3 < R = 5 nên mp (α) cắt mc(S), giao tuyến là đường tròn C(H; 4) ( với H là hình chiếu của O lên (α)) 2 d 2 Rr −= c (H; r ) Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆ II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng  O Є ∆ ⇒ ∆ ∩ (S) = {A, B}, AB là đường kính của (S)  O ∉ ∆ thì mp(O; ∆) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn C(O; R). Khi đó giao của ∆ và (S) chính là giao của ∆ và (C) Vị trí tương đối của đường tròn lớn C(O; R) và đường thẳng ∆ cũng chính là vị trí tương đối của mặt cầu (S) và ∆. Hệ thức giữa OH=d=d(O; ∆) & R ∆ ∩ (S) d > R d = R d < R Ø {H} {A, B} Không cắt nhau Cắt nhau tại 2 điểm Tiếp xúc (H: tiếp điểm của ∆ và (S), ∆: tiếp tuyến của (S)) Vị trí tương đối của (S) và ∆ III. Các tính chất của tiếp tuyến. 1. Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A. Chứng minh. Mọi đường thẳng a đi qua A và vuông góc với OA đều là tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại A nên có vô số tiếp tuyến của (S) tại A. Tất cả các tiếp tuyến này phải nằm trong mp(P) đi qua A và vuông góc với OA. (P) là tiếp diện của (S) tại A. P R a' a O A III. Các tính chất của tiếp tuyến. 2. Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. Chứng minh: Gọi (P) là mặt phẳng qua AO, mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn lớn C(O; R). A nằm ngoài (S) nên A nằm ngoài (C), do đó ta có hai tiếp tuyến AM và AM’ tới đường tròn (C), đó cũng là hai tiếp tuyến tới mc(S) Đặt OA = d, theo giả thiết d > R Cho mp(P) thay đổi nhưng vẫn đi qua AO ta có vô số tiếp tuyến của mặt cầu. ∆AOM vuông ở M nên AM 2 = AO 2 – OM 2 = d 2 – R 2 . Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. M' P A O M (C) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Qua điểm A trên mặt cầu S(O; R) có bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số D. Vô số Câu 2. Qua điểm A trên mặt cầu S(O; R) có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số B. 1 Câu 3. Cho mặt cầu S(O; R), mặt phẳng ( α) cách tâm O một khoảng bằng R/2. Tính bán kính của thiết diện tạo bởi (α) và mặt cầu S(O; R)? A. B. C. D. 4 2 R 2 R 2 2 R 2 3R 2 3R C. 1. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng: S(O; R), mp(P), d = OH 2. Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng: S(O; R), đt∆, d = OH 3. Các tính chất của tiếp tuyến A ở trong mc(S): không có tiếp tuyến A ở trên mc(S): có vô số tiếp tuyến. Tất cả các tiếp tuyến với (S) qua A đều nằm trên tiếp diện của (S) tại A. c (H; r )( H: hc của O lên (P), 2 d 2 Rr −= Hệ thức (P) ∩ (S) d > R d = R d < R Ø Không cắt nhau Cắt nhau Tiếp xúc( (P) là tiếp diện) Vị trí tương đối {H} {A, B} d < R Cắt nhau Hệ thức ∆ ∩ (S) d > R d = R Ø Không cắt nhau Tiếp xúc( ∆ là tiếp tuyến) Vị trí tương đối {H} A ở ngoài mc(S): có vô số tiếp tuyến. Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. Các tính chất của tiếp tuyến với đường tròn BÀI CŨ Tính chất 1. Từ một điểm A ∈ (O) có một và chỉ một tiếp tuyến với (O). Đó là đường thẳng vuông góc với OA tại A. a O A . dụ: Xác định thiết diện tạo bởi mp (α) với mặt cầu S(O; 5), biết khoảng cách từ O đến mp( α) bằng 3. Do d = 3 < R = 5 nên mp (α) cắt mc(S), giao tuyến là. nhau Tiếp xúc (H : tiếp điểm của (S) và (P), mp( P) : tiếp diện của (S) tại H) Vị trí tương đối của mc và mp  d = 0 giao tuyến là đường tròn C(O; R):