Header Page of 126 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA LÊ THỊ THUẤN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍNH TOÁN ĐỂ XÁC ĐỊNH MỘT MIỀN CHỨA ĐIỂM CHO TRƢỚC Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Đà Nẵng – Năm 2017 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Võ Trung Hùng Phản biện 1: Đặng Hoài Phương Phản biện 2: Hoàng Quang Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Kỹ thuật họp Đại học Bách Khoa vào ngày 08 tháng 01 năm 2017 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Tin học – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Bách khoa – ĐHĐN Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Bên cạnh ứng dụng thư điện tử, lịch làm việc, ghi chú… ứng dụng đường, xem đồ xem công cụ bắt buộc phải có tảng Vì đồ đóng vai trò quan trọng thực tiễn khoa học Từ đồ cho ta xác định phạm vi quốc gia, châu lục toàn trái đất Bản đồ phát quy luật phân bố không gian đối tượng, tượng mối quan hệ tương quan chúng Bản đồ ứng dụng nhiều thực tiễn sống Với phát triển không ngừng công nghệ thông tin đưa tin học thâm nhập sâu vào nhiều lĩnh vực khoa học đời sống, mở giai đoạn trình phát triển khoa học, có nhiều dịch vụ đồ trực tuyến đời Google Map Google, Bing Map Microsoft Vậy làm để phần mềm đồ xác định khu vực biết vị trí nó, tìm đường hai vị trí biết trước… Đã có nhiều phương pháp xác định khu vực biết vị trí đồ Nhưng phương pháp cho kết nhanh xác nhất? Lúc nảy sinh vấn đề cần có cấu trúc liệu để hỗ trợ việc tìm khu vực đồ biết trước vị tr Đ y toán nhà khoa học c ng nhà ứng dụng quan tâm Trong trình tìm kiếm nghi n cứu giải pháp giải toán xác định miền chứa điểm tương ứng với tọa độ biết, hình học t nh toán phương pháp có nhiều triển vọng mà ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc Footer Page of 126 Header Page of 126 biệt sử dụng phương pháp hình học t nh toán để tìm cấu trúc liệu lưu trữ đồ thị hỗ trợ cho việc xác định khu vực chứa tọa độ biết trước Do định chọn đề tài “Ứ để x định miền chứa điểm rướ ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp cao học Như t n đề tài thể hiện, đề tài nghi n cứu l thuyết kết hợp x y dựng chương trình demo ứng dụng kỹ thuật hình học t nh toán để xác định đa giác chứa điểm biết tr n đồ thị Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu a M c tiêu Mục ti u đề tài nghi n cứu kỹ thuật hình học tính toán để tìm giải pháp ứng dụng vào việc xác định miền chứa vị tr biết tr n đồ thị Chỉ hướng nghi n cứu thực nghiệm kỹ thuật tìm kiếm tr n đồ b Nhiệm v Để đạt mục tiêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu đề xuất giải pháp x y dựng chương trình thực nghiệm minh họa để giải toán hình học với giải thuật hiệu quả, xác hội tụ nhanh: - Nghi n cứu t ng quan hình học t nh toán - Nghi n cứu kỹ thuật hình học t nh toán mà có khả ứng dụng để xác định khu vực đồ - Nghi n cứu giải thuật hình học t nh toán ứng dụng vào tạo đồ hình thang đồ thị Footer Page of 126 Header Page of 126 - Thử nghiệm giải thuật xác định đa giác đồ thị dựa hình học tính toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu a Đối ượng nghiên cứu - Cơ sở l thuyết hình học t nh toán - Các thuật toán xác định đa giác biết tọa độ điểm tr n đồ thị - Các tài liệu li n quan: sách, báo, tạp ch ,… b Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn kh luận văn cao học, giới hạn nghi n cứu kỹ thuật hình học t nh toán để ứng dụng tìm miền chứa điểm cho trước đồ thị Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghi n cứu, sử dụng hai phương pháp nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu thực nghiệm a i ứ thuyết - Các tài liệu sở lý thuyết: hình học tính toán, thuật toán xác định đa giác tr n đồ thị - Các tài liệu mô tả số công cụ lập trình - Các tài liệu li n quan đến số nghiên cứu b i ứ iệm Xây dựng chương trình thực nghiệm tính hiệu giải thuật nghiên cứu Bố cục luận văn Footer Page of 126 Header Page of 126 Báo cáo luận văn phần mở đầu phần kết luận, t chức thành chương ch nh: Chương 1: Giới thiệu t ng quan hình học t nh toán, đưa ví dụ kinh điển hình học tính toán, giới thiệu giai đoạn để phát triển thuật toán hình học tối ưu trình bày miền ứng dụng hình học tính toán Chương 2: Giới thiệu cách tìm đa giác chứa điểm biết trước đồ thị, trình bày số phương pháp ph n hoạch đồ thị chứng minh phương pháp ph n hoạch đồ thị thành đồ hình thang để tìm hình thang chứa điểm cho trước có kết tìm kiếm tương đối tốt Chương 3: Chương thực nghiệm Trong chương thực xây dựng chương trình ứng dụng dựa giải thuật tìm đa giác chứa điểm cho trước đồ thị nghi n cứu chương Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƢƠNG - TỔNG QUAN HÌNH HỌC TÍNH TOÁN 1 GIỚI THIỆU 1.2 BÀI TOÁN TÌM BAO LỒI 1.2.1 Các khái niệm 1.2.1.1 Tập lồi Một tập S mặt phẳng gọi lồi với cặp điểm thuộc đoạn thẳng ̅̅̅ chứa hoàn toàn 1.2.1.2 Bao lồi Bao lồi tập hữu hạn điểm mặt phẳng đa giác lồi mà đỉnh điểm từ chứa tất điểm 1.2.2 Bài toán tìm bao lồi tập điểm hữu hạn mặt phẳng 1.2.2.1 Giới thiệu toán Cho trước tập gồm điểm tìm danh sách chứa điểm đỉnh mặt phẳng, cho điểm liệt kê theo thứ tự chiều thuận kim đồng hồ Ví d : Hình1.8 Ví dụ tìm đa giác lồi Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2.2.2 Giải toán Để tìm bao lồi tập điểm mặt phẳng, áp dụng kỹ thuật thiết kế thuật toán tiêu chuẩn có tên gọi thuật toán gia số viết dạng giả ngữ Thuật toán: Gia_so( ) Đầu vào: Một tập điểm mặt phẳng Đầu ra: Một danh sách chứa đỉnh theo thứ tự chiều kim đồng hồ Các bước thuật toán: Sắp xếp điểm theo tọa độ , kết chuỗi Th m điểm vào danh sách , với xem điểm danh sách FOR TO DO Thêm vào chứa nhiều hai điểm AND ba điểm WHILE cuối không thực rẽ phải DO Xóa điểm ba điểm cuối khỏi Th m điểm vào danh sách , với xem điểm FOR 10 DOWNTO DO Thêm vào chứa nhiều hai điểm AND ba điểm WHILE cuối 11 không thực rẽ phải DO Xóa điểm ba điểm cuối khỏi Footer Page of 126 Header Page of 126 12 Xóa điểm đầu ti n điểm cuối khỏi để tránh việc trùng lặp điểm giao phần bao lồi bao lồi 13 Nối vào gọi danh sách kết 14 RETURN 1.2.2.3 Kết luận Chúng kết luận toán với định l sau đ y: Định lý 1.1 Bao lồi tập n điểm mặt phẳng tính thời gian 1.2.3 Một số ứng dụng toán tìm bao lồi 1.2.3.1 Nhận dạng 1.2.3.2 T m đườ ắn 1.3 PHÁT TRIỂN THUẬT TOÁN HÌNH HỌC 1.3.1 Giai đoạn Đ y giai đoạn phân tích toán thiết kế thuật toán sơ ban đầu Ở giai đoạn này, cố gắng bỏ qua trường hợp suy biến làm rối loạn việc hiểu rõ khái niệm hình học mà làm việc Điều hữu ích cho cố gắng ban đầu để thiết kế hiểu thuật toán 1.3.2 Giai đoạn Giai đoạn phải hiệu chỉnh cho thuật toán đắn xuất trường hợp suy biến 1.3.3 Giai đoạn Đ y giai đoạn thực thi thực tế Một vấn đề khác nảy sinh Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 giai đoạn thực thi giả thiết tính toán xác với số thực bị phá vỡ Các vấn đề tính bền vững thuật toán thường nguyên nhân gây đ vỡ hệ thống thực thi thuật toán hình học việc giải vấn đề toán dễ dàng Giải pháp thứ sử dụng gói số học xác có sẵn (như sử dụng số nguyên, số hữu tỉ, chí số đại số, tùy thuộc vào dạng toán), giải pháp chậm Giải pháp thứ hai điều chỉnh thuật toán để tìm điểm không quán, từ có hành động thích hợp để tránh làm hỏng chương trình Trong trường hợp không bảo đảm thuật toán cho kết ch nh xác, điều quan trọng cho phép thiết lập thuộc t nh ch nh xác mà đầu cần có Việc lựa chọn giải pháp tùy thuộc vào ứng dụng Khi tốc độ vấn đề ưu tiên lựa chọn gói số học xác Trong trường hợp khác, mà tính xác kết quan trọng sử dụng lựa chọn thứ hai 1.4 CÁC ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC TÍNH TOÁN 1.4.1 Khoa học ngƣời máy Lĩnh vực khoa học người máy nghiên cứu việc thiết kế sử dụng người máy Các người máy xem đối tượng hình học hoạt động không gian ba chiều – giới thực – hiển nhiên nảy sinh vấn đề hình học nhiều chỗ Bài toán đặt người máy phải tìm đường môi trường có chướng ngại vật Bài toán bao gồm lập kế hoạch cho chuyển động, lập kế hoạch thứ tự thực nhiệm vụ Footer Page 10 of 126 Header Page 13 of 126 phải sản xuất Gói phần mềm CAM hỗ trợ bước Một định hướng gần đ y thiết kế để lắp ráp Một đáp ứng định hướng cho phép người thiết kế kiểm tra xem thiết kế có khả thi hay không, trả lời câu hỏi “Sản phẩm sản xuất dễ dàng hệ thống sản xuất thông thường hay không?” Các thuật toán hình học trả lời cho câu hỏi dạng 1.4.5 Các lĩnh vực ứng dụng khác Những lĩnh vực ứng dụng hình học t nh toán như: hóa ph n tử, nhận dạng mẫu… 1.5 TỔNG KẾT CHƢƠNG Chương giới thiệu t ng quan đời trình phát triển hình học tính toán, vai trò ứng dụng khoa học thực tiễn; đồng thời thông qua ví dụ bao lồi hình dung trình xây dựng tối ưu thuật toán hình học, rút ba giai đoạn phát triển thuật toán hình học Ở phần cuối chương trình bày số miền ứng dụng hình học tính toán, nêu lên vấn đề hình học đặc trưng miền ứng dụng để đưa nhìn rõ ràng vai trò hình học tính toán lĩnh vực khác khoa học máy tính 11 Footer Page 13 of 126 Header Page 14 of 126 CHƢƠNG - TÌM ĐA GIÁC CHỨA ĐIỂM CHO TRƢỚC TRONG ĐỒ THỊ 2.1 GIỚI THIỆU 2.2 PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH ĐA GIÁC TRONG ĐỒ THỊ 2.2.1 Phân hoạch đồ thị thành hình thang Cho tập gồm cạnh không giao nằm khung giới hạn với giả định hai điểm thuộc cạnh có hoành độ Chúng gọi cạnh thỏa mãn điều kiện tập hợp cạnh nằm vị trí chung Để tạo đồ hình thang cách điểm đầu cuối cạnh vẽ hai đường thẳng đứng mở rộng, đường l n đường xuống Đường thẳng mở rộng dừng lại gặp cạnh khác gặp cạnh Hình 2.5 Bản đồ hình thang Mỗi hình thang có lề dọc hai lề ngang Gọi lề ngang lề ngang trái lề dọc phải 12 Footer Page 14 of 126 , lề dọc Header Page 15 of 126 Hình 2.6 Hình thang Δ Có năm trường hợp xác định lề trái hình thang Δ , bốn trường hợp minh họa hình 2.6 trường hợp thứ năm lề trái hình thang lề dọc R Lề dọc phải c ng xác định tương tự lề dọc trái (a)Lề trái hình thang điểm hai cạnh cắt (b)Lề trái hình thang vẽ sau: từ điểm bắt đầu bên vẽ đường thẳng đứng xuống cắt cạnh trái cạnh (c)Lề trái hình thang vẽ sau: từ điểm bắt đầu bên vẽ đường thẳng đứng l n cắt cạnh trái cạnh (d)Lề trái hình thang vẽ sau: từ điểm bên phải cạnh thứ ba thuộc cắt hai cạnh vẽ đường thẳng đứng theo hướng lên xuống 13 Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 Hình 2.7 Bốn trường hợp xác định lề trái hình thang Hai hình thang dọc Hình thang gọi liền kề chúng có lề láng giềng kề ngược lại , láng giềng kề dưới, minh họa hình 2.7 Nếu cạnh tập nằm vị trí chung có nhiều hình thang liền kề với hình thang , minh họa hình 2.7(a) Ngược lại số hình thang kề với hình thang (a) vô số, minh họa hình 2.7(b) (b) Hình 2.8 Mảnh thang liền kề 2.2.2 Tìm hình thang chứa điểm cho trƣớc Trong phần trình bày thuật toán xây dựng đồ hình thang tập gồm n cạnh nằm vị trí chung, thuật toán có tên gọi Xac_dinh_vi_tri_diem Khi xây dựng đồ hình 14 Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 thang, thuật toán xây dựng cấu trúc liệu thang chứa điểm cho trước Hình 2.9 Phân dạng thang Cấu trúc liệu mà tìm hình cấu trúc tìm kiếm đồ thị có hướng không chứa chu trình với nốt gốc nốt tương ứng với hình thang đồ hình thang Các nốt bên không thuộc nốt nốt gốc có : gán nhãn cho hai điểm đầu hai bậc có hai loại nốt, cuối cạnh, : gán nhãn cạnh Thuật toán trình bày dạng giả ngữ sau: Thuật toán: Xac_dinh_vi_tri_diem( ) Đầu vào: Tập đoạn thẳng không giao điểm Đầu ra: Vị trí Các bước thuật toán: Xác định hình chữ nhật giới hạn , khởi tạo , Xác định hoán vị Tìm Xóa mảnh thang khỏi giao với thay mảnh thang xuất Xóa nốt ứng với 15 Footer Page 17 of 126 tạo nốt ứng Header Page 18 of 126 với mảnh thang Nếu Tìm vị trí Quay lại B4 thông qua Để cập nhật lại thêm cạnh để xây dựng đồ hình thang, dùng thuật toán Hieu_chinh_T_D Cho , ban đầu ban đầu có nút Hình 2.10 Xác định điểm cấu trúc liệu xậy dựng từ Xác định có xem Nếu điểm mút trái thuộc chứa , ngược lại nằm tr n đường thẳng dọc qua nằm bên phải Thuật toán: Hieu_chinh_T_D( Đầu vào: Một đồ hình thang của đoạn thẳng , cấu trúc tìm kiếm Đầu ra: Thứ tự hình thang Các bước thực thuật toán: 16 Footer Page 18 of 126 ) giao với Header Page 19 of 126 Đặt Tìm Nếu điểm mút trái phải chứa bên phải rightp( - Nếu rightp( )ở phía lân cận phải Ngược lại ∆j+1 l n cận phải ∆j - Ngược lại,chuyển sang B6 Quay lại B8 Trả Hình 2.11 Hiệu chỉnh 17 Footer Page 19 of 126 chứa Header Page 20 of 126 Hình 2.12 Hiệu chỉnh giao với bốn hình thang Quy tắc hiểu chỉnh : chứa điểm mút trái -Nếu ứng với điểm mút trái ứng với chứa điểm mút phải -Nếu ứng với điểm mút phải -Gắn thay ứng với thay - thay ứng với với nốt tương ứng Thuật toán xác định vị tr điểm phương pháp ph n hoạch đồ thị thành đồ hình thang cạnh không chéo có độ phức tạp: - thực thi để xây dựng không gian lưu trữ 18 Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 - thực thi xác định điểm 2.3 GIẢI PHÁP CHO TRƢỜNG HỢP SUY BIẾN 2.3.1 Giải pháp cho trƣờng hợp suy biến Trường hợp suy biến thứ hai điểm đầu mút cạnh thuộc có tọa độ , trường hợp suy biến thứ hai thuật toán Hieu_chinh_T_D điểm truy vấn đường thẳng đứng không nằm c ng không nằm tr n đoạn thẳng Trong phần giải hai trường hợp suy biến Chúng sử dụng phép tịnh tiến theo trục ( ) ( với giá trị ) Hình 2.13 Phép tịnh tiến theo trục x Đối với trường hợp suy biến thứ nhất, điểm đầu mút cạnh có tọa độ thực phép biến đ i tịnh tiến hình 2.12 tất điểm khác tọa độ Đối với trường hợp suy biến thứ hai sử dụng thêm phương pháp thứ tự từ điển Tức phải xếp theo tọa độ 19 Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 điểm có tọa độ xếp chúng theo tọa độ Trong thuật toán Hieu_chinh_T_D hai bước bị thay đ i giá trị là: (e) Kiểm tra nằm bên trái bên phải đường thẳng dọc qua (f) Kiểm tra nằm tr n, cạnh Đối với trường hợp (a), tọa độ , trước ti n so sánh Vì so sánh và Nếu Đối trường hợp (b), cạnh Để kiểm tra hai điểm có tọa độ điểm đầu mút ( nằm tr n, cạnh , thực sau: Vì nên Từ thấy đoạn thẳng Ngược lại, điểm nằm , phép biến đ i tính kiểm tra nằm cạnh 2.3.2 Đánh giá thuật toán Cho tập n cạnh không chéo nhau, tham số với điểm cần tìm Xác suất để tìm đường cho điểm cấu trúc tìm kiếm tính thuật toán Xac_dinh_vi_tri_diem có nhiều nốt tối đa Cho tập cạnh không chéo nốt tham số với Xác suất mà độ dài tối đa đường để tìm kiếm cấu trúc tính thuật toán Xac_dinh_vi_tri_diem vượt tối đa 2.4 TỔNG KẾT CHƢƠNG 20 Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 Chương trình bày việc xác định đa giác đồ thị phương pháp ph n hoạch đồ thị thành đồ hình thang, dạng cấu trúc liệu thuật toán tạo đồ hình thang hỗ trợ cho việc xác định hình thang biết trước tọa độ điểm đồ hình thang Trọng tâm chương chủ yếu tập trung vào xây dựng thuật toán tạo đồ cấu trúc để lưu trữ Ngoài chương trình bày th m trường hợp suy biến phân hoạch đồ thị thành đồ hình thang CHƢƠNG - THỰC NGHIỆM 3.1 LỰA CHỌN CÔNG CỤ PHÁT TRIỂN 3.2 XÂY DỰNG ỨNG DỤNG Ở chương (Tìm đa giác chứa điểm cho trước đồ thị) nghi n cứu đưa thuật toán phân hoạch đồ thị thành đồ hình thang để tìm kiếm hình thang chứa điểm cho trước đồ hình thang Trong phần đưa toán thực nghiệm tính hiệu thuật toán Giao diện chương trình hoàn thiện minh họa hình 3.2 Trong khung màu đỏ để vẽ đoạn thẳng cách chọn hai điểm tạo đoạn thẳng Sau nhấn nút Tạo Hình thang, để phân hoạch đồ thị thành đồ hình thang Trên giao diện có Checkbox, mặc định hai Checkbox Chèn ngẫu nhiên Nhanh chọn Nếu ta chọn Checkbox Chèn ngẫu nhi n, đoạn thẳng chèn vào cách ngẫu nhiên theo thuật toán để tạo đồ hình thang Ngược lại, ta chọn Checkbox chèn đoạn thẳng đoạn thẳng chèn theo thứ tự nhập vào, lúc ta 21 Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 nhấn vào nút Tạo HT bước, nhấn chọn nút chèn hết đoạn thẳng đầu vào Nếu không chọn Checkbox Nhanh chèn đoạn thẳng vào hình thang cập nhật tô màu cho vùng hình thang đó, ngược lại tự động cập nhật mà không thấy Tiếp theo để xác định hình thang chứa điểm biết trước, chọn nút Truy vấn, lúc ta chọn điểm đồ hình thang, điểm có màu xanh, ta nhấn vào nút Tìm thực tìm hình thang chứa điểm đó, kết trả hiển thị TextArea tên hình thang chứa điểm t n hình thang liền kề với Khi thực truy vấn ta chọn vào Checkbox Đường đường cấu trúc tìm kiếm để xác định hình thang chứa điểm biết trước hiển thị TextArea 22 Footer Page 24 of 126 Header Page 25 of 126 Hình 3.2 Giao diện chương trình 3.3 THỬ NGHIỆM 3.3.1 Thử nghiệm 3.3.2 Thử nghiệm 3.4 TỔNG KẾT CHƢƠNG Chương trình bày công cụ lựa chọn để phát triển ứng dụng, xây dựng chương trình ph n hoạch đồ thị thành đồ hình thang để tìm hình thang chứa điểm cho trước đồ hình thang dựa vào phương pháp nghi n cứu chương Ngoài t nh đắn giải thuật đưa chương chứng minh trực quan thực nghiệm 23 Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN Trong trình thực đề tài, tiếp nhận kiến thức hình học t nh toán, phương pháp ph n hoạch đồ thị thành đồ hình thang cấu trúc liệu để lưu trữ đồ hình thang phục vụ cho toán đặt Chúng thực nghi n cứu t ng quan hình học t nh toán; nghi n cứu kỹ thuật hình học t nh toán mà có khả ứng dụng vào xác định khu vực biết trước điểm đồ thị; nghi n cứu giải thuật hình học t nh toán ứng dụng vào xác định hình thang chứa điểm biết trước; thử nghiệm giải thuật chương trình thực nghiệm từ x y dựng mã nguồn chương trình tìm kiếm dựa tr n giải thuật hình học t nh toán Mặc dù có nhiều cố gắng, thời lượng thực luận văn không dài kinh nghiệm nghiên cứu chưa nhiều nên luận chưa mở rộng để ứng dụng toán vào đồ thực tế Những hạn chế tiếp tục giải hoàn thiện trình nghiên cứu Qua trình thực nghiên cứu, xin đưa hướng phát triển sau: ứng dụng phương pháp tìm đa giác chứa điểm biết trước đồ thị cách phân hoặch đồ thị thành đồ hình thang tìm hình thang chứa điểm biết trước nghiên cứu luận văn để ứng dụng phần mềm đồ mà đáp ứng nhu cầu ngày cao tốc độ truy vấn đồ Bên cạnh phương pháp ứng dụng nhiều lĩnh vực đồ họa máy tính khoa học người máy 24 Footer Page 26 of 126 Header Page 27 of 126 25 Footer Page 27 of 126 ... giá thuật toán Cho tập n cạnh không chéo nhau, tham số với điểm cần tìm Xác suất để tìm đường cho điểm cấu trúc tìm kiếm tính thuật toán Xac_dinh_vi_tri_diem có nhiều nốt tối đa Cho tập cạnh không... toán tìm bao lồi tập điểm hữu hạn mặt phẳng 1.2.2.1 Giới thiệu toán Cho trước tập gồm điểm tìm danh sách chứa điểm đỉnh mặt phẳng, cho điểm liệt kê theo thứ tự chiều thuận kim đồng hồ Ví d : Hình1.8... hiểu rõ khái niệm hình học mà làm việc Điều hữu ích cho cố gắng ban đầu để thiết kế hiểu thuật toán 1.3.2 Giai đoạn Giai đoạn phải hiệu chỉnh cho thuật toán đắn xuất trường hợp suy biến 1.3.3 Giai