SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH VỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM I HƯỚNG DẪN CHUNG - Mọi cách giải khác đáp án, mà đủ bước cho điểm tương ứng; - Ban Giám khảo thống phân chia ý điểm đến 0,25; - Điểm toàn không quy tròn II ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài (6.0 điểm) a Tìm chữ số thập phân thứ 2014 2015 sau dấu phẩy phép chia 2017 2016 b Viết số 2016 thành tổng số nguyên dương liên tiếp Câu 1a Sơ lược cách giải 2017 = 1, 00049(603174) , chu kỳ tuần hoàn Số thập phân thứ 20142015 sau dấu phẩy 2016 tương ứng với số thập phân thứ 20142015 – số tuần hoàn Ta có 2014 ≡ −2(mod 6) ⇒ 20145 ≡ −32 ≡ −2(mod 6) ( 20142015 = (20145 ) 403 ≡ ( −2)5 1b Điểm ) 80 ( ( −2)3 ≡ ( −2) ) 16 ( ) 3 ( −2)3 ≡ ( −2)5 ( −2) ≡ ( −8)(4) ≡ 4(mod 6) suy 20142015 – chia dư Do số cần tìm ( n + 1) + (n + 2) + ( n + k ) = 2016 ⇔ (2n + k + 1) k = 4032 = 6.33.7 Ta thấy 2n + k + > k ; 2n + k + − k = 2n + số lẻ nên có trường hợp sau k = 3; 2n + k + = 1344 ⇒ n = 670 k = 7; 2n + k + = 576 ⇒ n = 284 k = 9; 2n + k + = 448 ⇒ n = 219 k = 21; 2n + k + = 192 ⇒ n = 85 k = 63; 2n + k + = 64 ⇒ n = Do ta có: 2016 = 671+672+673 = 285+ +291= =1+2+3+ +63 Bài (4.0 điểm) Theo kết điều tra dân số dân số trung bình Việt Nam qua số năm sau (đơn vị tính 1000 người) Năm 1976 1980 1990 2000 2010 2015 Số dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 91944 a Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình năm qua giai đoạn 1976-1980; 1980-1990; 1990-2000; 2000-2010; 2010-2015, giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình năm không đổi giai đoạn (Kết tính xác đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) b Nếu trì tỉ lệ % tăng dân số hàng năm giai đoạn 2010 – 2015 đến năm 2020 dân số Việt Nam bao nhiêu? c Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề phương án: Kể từ năm 2015, năm phấn đấu giảm bớt x% (x không đổi) so với tỉ lệ tăng dân số năm trước (nghĩa năm tỉ lệ tăng dân số a% năm sau tỉ lệ (a-x)%) Tìm x để đến năm 2020 dân số Việt Nam 94784 ngàn người Nêu quy trình bấm phím để tìm x (Kết x lấy đến chữ số thập phân sau dấu phẩy tỉ lệ tăng dân số năm 2015 lấy kết câu a) Câu 2a 2b 2c Sơ lược cách giải Gọi x tỉ lệ % tăng dân số trung bình năm giai đoạn 1976-1980 Ta có dân số năm 1980 49160(1+x)4 = 53722 suy x = 2,24% Tương tự tỉ lệ giai đoạn 1980-1990 2,08%; giai đoạn 1990-2000 1,63%; Giai đoạn 2000-2010 1,31%; giai đoạn 2010-2015 0,78% Nếu mức tăng dân số hàng năm 096% đến năm 2020 dân số Việt Nam 91944(1+0,0078)5 = 95586,19 ngàn người Năm 2015 dân số 91944 ngàn, tỉ lệ tăng năm 2015 0,78% Năm 2016 tỉ lệ tăng dân số 0,78-x, dân số năm 2016 91944(1,78-x) Năm 2017 tỉ lệ tăng dân số 0,78-2x, dân số năm 2017 91944(1,78-x)(1,78-2x) Năm 2020 tỉ lệ tăng dân số 0,78-5x, dân số năm 2017 91944(1,78-x)(1,78-2x)(1,78-3x)(1,78-4x)(1,78-5x) = 94784 Dùng lệnh shift solve ta có x = 0,24% Điểm 1 u1 = 2016  un Bài (6.0 điểm) Cho dãy số  un +1 = 2u + , n ∈ ¥ , n ≥ n  a Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un tính u2 , u3 , u10 (nói rõ máy tính lại nào)? Kết lấy chữ số thập phân sau dấu phẩy b Lập công thức tính un theo n c Tìm n biết [ un ] =1, ký hiệu [ un ] phần nguyên un Câu 2a Sơ lược cách giải Điểm Quy trình bấm phím CASIO fx – 570VN PLUS 2016 → A; ( A /(2 A + 1) ) → A ; nhấn phím lần để tính u2 ; lần để tính u3 ……; n – lần để tính un u2 = 0, 49988; u3 = 0, 24997; u = 0,16665; u5 = 0,12499; u6 = 0,10000; 2b 2c u7 = 0, 08333; u8 = 0, 07143; u9 = 0, 06250; u10 = 0, 05555; Từ công thức xác định dãy ta có: 1 1 1 = +2; = + ; … = + ; un +1 un un un −1 u2 u1 1 4032n + 2016 2016 = + 2n = ⇒ un = = suy un +1 u1 2016 4032(n − 1) + 4032n − 4031 2016 1≤ < ⇔ 5039 < 4032n ≤ 6047 , suy không tồn n 4032n − 4031 2 Bài (8.0 điểm) a Tìm số tự nhiên n biết: n + S (n) = 2016, S(n) tổng chữ số n b Cho số nguyên dương n Biết n ! có 2014 chữ số vị trí cuối Tìm giá trị lớn nhỏ n ( n ! = 1.2 n ) c Cho số thực x, y thỏa mãn 2( x + − x)( y + − y ) = Tìm giá trị nhỏ F = x+ y Câu 4a 4b 4c Sơ lược cách giải Nếu n số tự nhiên có chữ số Khi đó: n + S ( n) ≤ 999 + 9.3 = 1026 < 2016 (vô lý) Lại có n + S ( n) ≥ n suy n có chữ số Vậy n số tự nhiên có chữ số Ta có: 1≤ S (n) ≤ 36 Do đó: n + S (n) = 2016 ⇔ 1980 ≤ n ≤ 2015 Suy n =19ab n = 20ab a = Với n =19ab , n + S (n) = 1910 + 11a + 2b ⇔ 2016 =1910 + 11a + 2b ⇔ 11a + 2b = 106 ⇔  b = a = Với n = 20ab , n + S (n ) = 2002 + 11a + b ⇔ 2016 = 2002 + 11a + 2b ⇔ 11a + 2b = 14 ⇔  b = KL: n = 1989; n = 2007 Ta có n ! = 52014.22014.m; với m không chia hết cho 10 Số mũ lớn số mũ nên số mũ cao nhât 10 số mũ cao n! Số mũ cao phân tích thừa số n! n  n  n S n =   +   + +  k  với 5k ≤ n < 5k +1 Bằng cách thứ ta có 8070 ≤ n ≤ 8074   5  5  1 − a2 − b2 , y= x + − x = a ; y + − y = b ; Ta có a, b > 0; ab = ; x = 2a 2b 11  x + y =  + − a − b ÷ = ( a + b ) ≥ ab = ; 2 a b  có “=” a = b = Điểm 2 Vậy giá trị nhỏ 2 Bài (6.0 điểm) (lấy chữ số sau dấu phẩy) · a Cho hình vuông ABCD có tâm O Biết góc MON = 900 S MONC = 10cm Tìm chu vi hình vuông b Cho tam giác ABC có AB = 4,1cm; BC = 5,2 cm; CA = 6,3cm Đường phân giác góc A, đường phân giác góc B, đường phân giác góc C cắt cạnh BC, CA, AB M, N, S ∆MNP P Tính tỉ số S ∆ABC Câu 4a Sơ lược cách giải Sử dụng phép đối xứng tâm ta có S ABCD = 4.S MONC = 40 suy cạnh hình vuông 10 suy chu vi hình vuông 10 = 25, 2982cm 4b Chứng minh công thức S MNP S ∆MNP 2abc = = 0, 2415 ta có S ABC (a + b)(b + c )(c + a ) S ∆ABC HẾT Điểm 3 ... tăng dân số trung bình năm giai đoạn 197 6- 198 0 Ta có dân số năm 198 0 491 60(1+x)4 = 53722 suy x = 2,24% Tương tự tỉ lệ giai đoạn 198 0- 199 0 2,08%; giai đoạn 199 0-2000 1,63%; Giai đoạn 2000-2010 1,31%;... hàng năm 096 % đến năm 2020 dân số Việt Nam 91 944(1+0,0078)5 = 95 586, 19 ngàn người Năm 2015 dân số 91 944 ngàn, tỉ lệ tăng năm 2015 0,78% Năm 2016 tỉ lệ tăng dân số 0,78-x, dân số năm 2016 91 944(1,78-x)... bấm phím CASIO fx – 570VN PLUS 2016 → A; ( A /(2 A + 1) ) → A ; nhấn phím lần để tính u2 ; lần để tính u3 ……; n – lần để tính un u2 = 0, 499 88; u3 = 0, 2 499 7; u = 0,16665; u5 = 0,12 499 ; u6 =