T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CM NANG CHO MA THI CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC (LP 11 & ễN THI THPT QUC GIA) NGUYN HU BIN https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com LI GII THIU Cỏc em hc sinh thõn mn, bi gii phng trỡnh lng giỏc l mt nhng ni dung thng xuyờn xut hin thi i hc, kin thc v gii phng trỡnh lng giỏc cỏc em c hc chng trỡnh gii tớch lp 11 kt hp vi cỏc cụng thc v kin thc nn tng ca lp 10 gii phng trỡnh lng giỏc, iu u tiờn cỏc em cn l phi bit cỏch hc thuc cỏc cụng thc bin i lng giỏc c bn, tip theo cỏc em cn hc siờng nng, chuyờn cn ỳc rỳt kinh nghim cho bn thõn, t ú bit phõn chia cỏc dng toỏn v k thut gii tng ng i phú tt vi mi loi bi v gii phng trỡnh lng giỏc thi Cun ti liu CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC c cht lc, ỏnh mỏy cụng phu, trỡnh by p Ni dung rt hu ớch cho hc sinh lp 11, hc sinh ụn thi i hc mụn Toỏn v quý thy cụ giỏo dy Toỏn THPT Ti liu c biờn son t m, phõn chia dng toỏn rừ rng, cụng thc y , mi phn u cú vớ d minh v hng dn Hc sinh b mt gc kin thc v lng giỏc cng cú th hc li t u khụng my khú khn Hy vng rng vi cun ti liu hu ớch ny, cỏc em hc sinh s cú mt cm nang chinh phc phng trỡnh lng giỏc thi c Ti liu rt cú th cũn mt vi khim khuyt, rt mong nhn c ý kin t cỏc em hc sinh v c gi Giỏo viờn: NGUYN HU BIN Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com CC EM Cể TH TèM C THấM CC SCH DO THY BIấN SON V PHT HNH (1) Cỏc chuyờn i s (ễn thi vo lp 10) (2) Tinh hoa hỡnh hc (ễn thi vo lp 10) (3) Luyn mụn toỏn (ễn thi vo lp 10) (4) Tinh hoa hỡnh hc (ễn thi THPT quc gia) (5) Luyn mụn toỏn (ễn thi THPT quc gia) T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Phn 1: HM S LNG GIC I TểM TT L THUYT Hm s y = sinx + TX: D = R (Vỡ ly bt k giỏ tr no ca x, thay vo hm s ta u tớnh c y) + Tp giỏ tr: [ -1 ; ] (Vỡ cỏc giỏ tr tớnh c ca y ch nm on [ -1 ; ], ngha l s inx ) + Hm y = sinx l hm s l (Vỡ x D x D v sin(-x) = - sinx: th i xng qua gc ta O) + Chu k T = (Vỡ sin(x + ) = s inx - C mi bin s cng thờm thỡ giỏ tr hm s tr v nh c - th hm s lp li sau mi chu k - tớnh cht ny giỳp v th c thun tin) + Bng bin thiờn trờn on [0;] (trờn na chu k) x y = sinx 0 + th hm s Hm s y = sinx l hm s l trờn R, tun hon vi chu k Do ú mun kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = sinx trờn R, ch cn kho sỏt v v th hm s trờn on [0;] (na chu k) sau ú ly i xng qua gc ta O ta c th trờn on [ ; ] (1 chu k), cui cựng tnh tin th va thu c sang trỏi, sang phi theo trc honh nhng on cú di 2;4;6; *Nhn xột: Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC + Hm s y = sinx ng bin trờn mi khong + k.2; + k.2 + Hm s y = sinx nghch bin trờn mi khong + k.2; + k.2 , k Z 2 Hm s y = cosx + TX: D = R (Vỡ ly bt k giỏ tr no ca x, thay vo hm s ta u tớnh c y) + Tp giỏ tr: [ -1 ; ] (Vỡ cỏc giỏ tr tớnh c ca y ch nm on [ -1 ; ], ngha l cosx ) + Hm y = cosx l hm s chn (Vỡ x D x D v cos(-x) = cosx: th i xng qua trc tung Oy) + Chu k T = (Vỡ cos(x + ) = cos x - C mi bin s cng thờm thỡ giỏ tr hm s tr v nh c - th hm s lp li sau mi chu k - tớnh cht ny giỳp v th c thun tin: ) + Bng bin thiờn trờn on [0;] (trờn na chu k) x y = cosx -1 + th hm s Hm s y = cosx l hm s chn trờn R, tun hon vi chu k Do ú, mun kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y = cosx trờn R ta ch cn kho sỏt v v th hm s trờn on [0;] (na chu k), sau ú ly i xng th qua trc Oy ta c th trờn on [ ; ] (1 chu k), cui cựng tnh tin th va thu c sang trỏi, sang phi theo trc honh nhng on cú di 2;4;6; Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Hm s y = tanx + TX: D = R \ + k / k Z (Vỡ cos x ) + Tp giỏ tr: R + Hm y = tanx l hm s l (Vỡ x D x D v tan(-x) = - tanx: th i xng qua gc ta O) + Chu k T = (Vỡ tan(x + ) = tan x - C mi bin s cng thờm thỡ giỏ tr hm s tr v nh c - th hm s lp li sau mi chu k ) + Bng bin thiờn trờn on 0; (na chu k) x y = tanx + 10 + th hm s Hm s y = tanx l hm s l trờn R \ + k / k Z , tun hon vi chu k Do ú, mun kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y = tanx trờn R ta ch cn kho sỏt v v th hm s trờn on 0; (na chu k), sau ú ly i xng th qua gc ta O ta c th trờn on ; (1 chu k), cui cựng tnh tin th va thu 2 c sang trỏi, sang phi theo trc honh nhng on cú di ;2;3; y = tanx Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC *Nhn xột: + Hm s y = tanx ng bin trờn mi khong + k.; + k. , k Z + Hm s khụng cú khong nghch bin + Mi ng thng vuụng gúc vi trc honh, i qua im + k.;0 gi l ng tim cn ca th hm s y = tanx ( th hm s nhn mi ng thng x = + k. lm ng tim cn) Hm s y = cotx + TX: D = R \ {k / k Z} (Vỡ sin x ) + Tp giỏ tr: R + Hm y = cotx l hm s l (Vỡ x D x D v cot(-x) = - cotx: th i xng qua gc ta O) + Chu k T = (Vỡ cot(x + ) = cot x - C mi bin s cng thờm thỡ giỏ tr hm s tr v nh c - th hm s lp li sau mi chu k ) + Bng bin thiờn trờn on 0; (na chu k) x y = cotx + + th hm s Hm s y = tanx l hm s l trờn R \ {k / k Z} , tun hon vi chu k Do ú, mun kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y = tanx trờn R ta ch cn kho sỏt v v th hm s trờn on 0; (na chu k), sau ú ly i xng th qua gc ta O ta c th trờn on ; (1 chu k), cui cựng tnh tin th va thu c sang 2 trỏi, sang phi theo trc honh nhng on cú di ;2;3; Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC y = cotx *Nhn xột: + Hm s y = tanx nghch bin trờn mi khong (k.; + k.) k Z + Hm s khụng cú khong ng bin bin + th hm s nhn mi ng thng x = k. lm ng tim cn II BI TP P DNG Dng 1: TèM TP XC NH CA HM S LNG GIC Lý thuyt dng: + Hm s y = sinx cú TX: D = R + Hm s y = cosx cú TX: D = R + Hm s y = tanx cú TX: D = R \ + k / k Z (Vỡ cos x ) + Hm s y = cotx cú TX: D = R \ {k / k Z} (Vỡ sin x ) BI TP: Tỡm xỏc nh ca cỏc hm s sau 1) y= 5cos2 x s inx + s inx 3) y = + s inx cos x 5) y = + sin 3x + 3cos 7) y = t anx + c otx 9) y = 2) y= + cos x x.sin x cos x s inx + cos x 4) y = x+3 x2 cos x cos2 x 6) y = sin 2x 2x 5cos x+3 2x 8) y = tan(2x + ) 10) y = + sin x + cos x Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC 11) y = 12) y = 2tgx + 3cot g x 3 + tgx + sin x HNG DN 1) Hm s y= 5cos2 x s inx + xỏc nh s inx s inx x + k.2 (k Z) s inx Vy TX: D = R \ + k.2, k Z 2) Hm s y= cos x s inx + xỏc nh cos x x + k. (k Z) cos x Vy TX: D = R \ + k., k Z 3) Vỡ + s inx v cos x vi mi x nờn cos x Vy hm s y = + s inx vi mi x tha iu kin cos x + s inx xỏc nh cos x hay cos x x k.2 cos x Vy TX: D = R \ {k.2, k Z} 4) Vỡ cos x v cos2 x vi mi x nờn cos x x cos x vi x tha iu kin cos2 x + k. Vy TX: D = R \ + k., k Z 2 5) Hm s y = + sin 3x + 3cos x+3 xỏc nh x x x2 Vy TX: D = R \ {2} x x + 2x 2x 6) Hm s y = sin 5cos xỏc nh x+3 2x x 2x Vy TX: D = R \ 3; 7) tanx xỏc nh v ch x + k., k Z , cotx xỏc nh v ch x k., k Z Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC k. x + k. Vy y = t anx + c otx xỏc nh v ch (k Z) hay x (k Z) 2 x k. k. , k Z TX: D = R \ k. 8) y = tan 2x + xỏc nh v ch 2x + + k. hay x + (k Z) Vy TX: D = R \ + k. , k Z + cos x cú ngha v ch khi: x.s inx x k x.sin x Vy xỏc nh ca hm s l: D = R \ {k / k Z} 9) Biu thc y = 10) Do + sin x + cos x = (1 + sin x ) + (1 + cos x ) > Do ú hm s y = + sin x + cos x c xỏc nh vi mi x Vy xỏc nh ca hm s l: D = R + tgx cú ngha v ch khi: + sin x x + k x k + x + k sin x x + k Vy xỏc nh ca hm s l: D = R \ + k / k 12) Biu thc y = 2tgx + 3cot g x cú ngha v ch : x + k x + k x k x + k 11) Biu thc y = Vy xỏc nh ca hm s l: D = D \ A B vi A = x / x + k v B = x / x + k Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC BI TP T LUYN + cos x Bi Tỡm xỏc nh ca hm s y = sin x Hng dn: Hm s xỏc nh sin x x k , k Tp xỏc nh l D = \ {k , k } Bi Tỡm xỏc nh ca hm s y = sin x cos ( x ) Hng dn: Hm s xỏc nh + k , k 2 Tp xỏc nh l D = \ + k , k Bi Tỡm xỏc nh ca hm s y = tan x + Hng dn: Hm s xỏc nh cos x + + k x + k , k 5x + 30 cos ( x ) x + k x Tp xỏc nh l D = \ + k , k 30 + cos x Bi Tỡm xỏc nh ca hm s y = sin x Hng dn: Hm s xỏc nh sin x x + k , k Tp xỏc nh l D = \ + k , k + cos x Bi Tỡm xỏc nh ca hm s y = sin x Hng dn: Hm s xỏc nh sin x (luụn tho vi mi x) Tp xỏc nh l D = + sin x cos x + Hng dn: Ta cú sin x v cos x nờn + sin x > v cos x + + sin x ( luoõn thoaỷ ) Hm s xỏc nh cos x + cos x x + k , k cos x + Tp xỏc nh l D = \ { + k , k } Bi Tỡm xỏc nh ca hm s y = Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC DNG 5: PHNG TRèNH LNG GIC KHễNG MU MC (su tm) Mt s bi toỏn v phng trỡnh lng giỏc m cỏch gii tu theo c thự ca phng trỡnh, ch khụng nm phng phỏp ó nờu hu ht cỏc sỏch giỏo khoa Mt s phng trỡnh lng giỏc th hin tớnh khụng mu mc dng ca chỳng, nhng cng cú nhng phng trỡnh ta thy dng rt bỡnh thng nhng cỏch gii li khụng mu mc Sau õy l nhng phng trỡnh lng giỏc cú cỏch gii khụng mu mc thng gp I PHNG PHP TNG BèNH PHNG Phng phỏp ny nhm bin i phng trỡnh lng giỏc v dng mt v l tng bỡnh phng cỏc s hng (hay tng cỏc s hng khụng õm) v v cũn li bng khụng v ỏp dng tớnh cht: A = A2 + B = B = Bi Gii phng trỡnh: tan x + sin x tan x sin x + = Hng dn tan x + sin x tan x 4sin x + = tan x tan x + + sin x 4sin x + = ( tan x 1)2 + (2 sin x 1) = + m ( m, n Z ) + 2n S x = + 2k ( k Z ) x= tan x = tan x = sin x = sin x = x = II PHNG PHP I LP Phng phỏp ny c xõy dng trờn tớnh cht: gii phng trỡnh f ( x ) = g ( x ) , ta cú th ngh n vic chng minh tn ti A R: f ( x ) A, x ( a, b ) v g ( x ) A, x ( a , b ) thỡ ú: f ( x) = A f ( x) = g ( x) g ( x) = A Nu ta ch cú f ( x ) > A v g ( x) < A , x ( a, b) thỡ kt lun phng trỡnh vụ ngim Bi Gii phng trỡnh: cos x + x = Hng dn cos x + x = x = cos x Vỡ cos x nờn x x m [ 1,1] , cos x > 0, x [ 1,1] cos x < 0, x [ 1,1] 2 Do x > v cos x < nờn phng trỡnh vụ nghim Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 60 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Bi Gii phng trỡnh: sin 1996 x + cos1996 x = (1) Hng dn (1) sin 1996 x + cos 1996 x = sin x + cos x sin x(sin 1994 x 1) = cos x(1 cos1994 x) (2) sin x Ta thy 1994 sin x (sin 1994 x 1) 0, x sin x cos x M cos x(1 cos1994 x) 0, x 1994 cos x0 x = m sin x = x = + m = sin x sin x(sin 1994 x 1) = Do ú (2) ( m, n Z ) 1994 cos x(1 cos x) = cos x = x = + n cos x = x = n Vy nghim ca phng trỡnh l: x = k ( k Z ) S x = k ( k Z ) p dng phng phỏp i lp, ta cú th suy cỏch gii nhanh chúng nhng phng trỡnh lng giỏc cỏc dng c bit di õy: sin ax = sin bx = (1) sin ax sin bx = sin ax = sin bx = sin ax = sin bx = (2) sin ax sin bx = sin ax = sin bx = Cỏch gii tng t cho cỏc phng trỡnh thuc dng: cos ax cos bx = cos ax cos bx = sin ax cos bx = sin ax cos bx = III PHNG PHP ON NHN NGHIM V CHNG MINH TNH DUY NHT CA NGHIM Tu theo dng v iu kin ca phng trỡnh, ta tớnh nhm mt nghim ca phng trỡnh, sau ú chng t nghim ny l nht bng mt nhng cỏch thụng sng sau: + Dựng tớnh cht i s + p dng tớnh n iu ca hm s Phng trỡnh f ( x ) = cú nghim x = ( a, b) v hm f n iu ( a, b) thỡ f ( x ) = cú nghim nht l x = Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 61 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Phng trỡnh f ( x ) = g ( x ) cú nghim x = ( a, b) , f (x ) tng (gim) ( a, b) , g (x ) gim (tng) ( a, b) thỡ phng trỡnh f ( x ) = g ( x ) cú nghim x = l nht Bi Gii phng trỡnh: cos x = x2 v i x > Hng dn Ta thy phng trỡnh cú nghim x = t f ( x) = cos x + x2 l biu thc ca hm s cú o hm f ' ( x ) = sin x + x > 0, x > (vỡ x > sin x , x ) Hm f luụn n iu tng (0,+ ) f ( x ) = cú nghim nht (0,+ ) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = CC BI TON VN DNG Bi 1: Gii phng trỡnh: x x cos x sin x + = (1) Hng dn Ta cú (1) x x cos x + cos x + sin x sin x + = (x cos x)2 + (sin x 1) = x cos x = cos x = x sin x = sin x = Phng trỡnh vụ nghim Bi 2: Gii phng trỡnh: sin x + cos 15 x = Hng dn Ta cú: sin x + cos 15 x = sin x + cos 15 x = sin x + cos x sin x (sin x 1) = cos x (1 cos 13 x ) (1) Vỡ sin x(sin x 1) 0, x V cos x(1 cos13 x) 0, x Do ú (1) x = m sin x = x = + m 2 sin x(sin x 1) = sin x = (m, n Z ) cos x(1 cos13 x) = cos x = x = + n cos x = x = 2n S x = Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh: 1) sin x + cos ( x + ) = (1) 4 + k hay x = 2k , ( k Z ) 2) (tan x + cot x) n = cos n x + sin n x(n = 2,3,4, ) Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 62 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Hng dn 1) Ta cú: + cos(2 x + ) (1 cos x) + = 4 (1 cos x) + (1 sin x) = cos x + sin x = (1) cos(2 x )= 2 x = k (k Z ) x = + k 2) Vi iu kin x k ta cú tan x v cot x luụn cựng du nờn: n 1 1 tan x + cot x = tan x + cot x tan x cot x = tan x + cot x 4 4 1 Du "=" xy tan x = cot x tan x = tan x = 4 2 + Vi n = : phng trỡnh tan x + cot x = cú nghim cho bi: 1 tan x = x = arctan + k ( k Z ) 2 + Vi n Z , n > thỡ: cos n x + sin n x cos x + sin x = x = k n = 2m (k , m Z ) Du bng xy x = 2k hay x = + 2k n = 2m + (u khụng tho iu kin x k ca phng trỡnh) Vy vi n > 2, n Z thỡ phng trỡnh vụ nghim S x = arctan + k (k Z ) Bi 4: Gii phng trỡnh: cos x 1 + cos 3x = (1) cos x cos x Hng dn cos x > cos x > iu kin: Khi ú (1) cos x cos x + cos 3x cos 3x = Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 63 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC 1 = (a ) a a 4 1 Do ú cos x cos x v cos x cos x 4 1 cos x cos x v cos x cos x 2 1 cos x = cos x cos x = Du bng xy x cos x = cos x cos x = Vỡ a a + Vy phng trỡnh (1) vụ nghim Bi 5: Gii phng trỡnh: sin x + cos x = sin x Hng dn sin x sin x , x cos x cos x , x sin x + cos x , x sin x , x sin x + cos x = Vy phng trỡnh tng ng: S x = + 2k (k Z ) 2 sin x = Bi 6: Gii phng trỡnh: sin x + tan x x = vi x Hng dn D thy phng trỡnh cú nghim x = t f ( x ) = sin x + tan x x liờn tc trờn 0; (cos x 1)(cos x cos x 1) , x 0; Cú o hm: f ' ( x) = cos x 2 1+ < cos x < cos x cos x < 2 f n iu tng trờn 0; Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 64 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC BI TP T LUYN TNG HP Bi 1: Gii phng trỡnh: sin x cos2 x = 2sin x Bi 2: Gii phng trỡnh: sin x cos x = 3sin x cos x Bi 3: Gii phng trỡnh: cos x + sin x = 17 x Bi 4: Gii phng trỡnh: sin(2x + ) + 16 = 3.sin x cos x + 20 sin ( + ) 2 12 Bi 5: Gii phng trỡnh: 3(2.cos x + cos x 2) + (3 2cos x).sin x =0 2cos x + Bi 6: Gii phng trỡnh: 2(cos x + sin x ) = + sin x (1 + cos x ) Bi 7: Gii phng trỡnh: sin x + = sin x + cos x Bi 8: Gii phng trỡnh: 3sin x cos x + cos x sin x = Bi 9: Gii phng trỡnh : sin 2x ( sin x + cos x 1)( 2sin x cos x 3) = Bi 10: Gii phng trỡnh lng giỏc: cos x + cos x + 3sin x 3sin x = Bi 11: Gii phng trỡnh : ( cos x - sin x ) + cos x ( 2sin x + 1) = Bi 12: Gii phng trỡnh sau: cos x sin x + = 4 Bi 13: Gii phng trỡnh: ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x ) + cos2 x = Bi 14: Gii phng trỡnh: cos x.cos x + sin x = cos x Bi 15: Gii phng trỡnh sin x + = 6sin x + cos x Bi 16: Gii phng trỡnh: cos2x + sin x sin x cos 2x = sin x 2cos2 x Bi 17: Gii phng trỡnh: =0 2cos x Bi 18: Gii phng trỡnh: sin x 2(s inx + cosx) = Bi 19: Gii phng trỡnh cos x + (1 + cos x)(sin x cos x) = Bi 20: Gii phng trỡnh: sin x + sin x = Bi 21: Gii phng trỡnh: sin2x + cosx- sin x -1= Bi 22: Gii phng trỡnh: cos x + (1 + cos x)(sin x cos x) = Bi 24: Gii phng trỡnh: sin x + cos x 2sin x = 2 Bi 23: Gii phng trỡnh cos x + cos3x = + sin 2x + Bi 25: Gii phng trỡnh : sin x = 2sin x tan x Bi 26: Gii phng trỡnh: sin x + sin x = Bi 27: Gii phng trỡnh cosx + sinx (1 cosx ) = + sinx Bi 28: Gii phng trỡnh lng giỏc sau: cos x + cos x = cos x Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 65 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC HNG DN BI TP T LUYN TNG HP Bi 1: Gii phng trỡnh: sin x cos2 x = 2sin x Hng dn Biến đổi phơng trình dạng : 2s inx(cos x 1) + 2sin x = s inx = s inx(sin x + cos x 1) = sin x + cos x = + Vi sinx = x = k x = k + Vi sin x + cos x = sin( x + ) = , k Z x = + k 2 Vy phng trỡnh cú h nghim x = k , x = + k 2 Bi 2: Gii phng trỡnh: sin x cos x = 3sin x cos x Hng dn Phng trỡnh ó cho tng ng sin x 3sin x + 2sin x cos x + cos x = ( 2sin x + 1)( sin x + cos x ) = + sin x + cos x = : Phng trỡnh vụ nghim x = + k + sin x + = (k ) x = + k Vy phng trỡnh ó cho cú nghim: x = + k , x = + k ( k ) Bi 3: Gii phng trỡnh: cos x + sin x = Hng dn cos x + sin x = 2(1 sin x ) + sin x = sin x sin x + = x = + k sin x = ( loại) (k Z) x = + k sin x = 17 x Bi 4: Gii phng trỡnh: sin(2x + ) + 16 = 3.sin x cos x + 20 sin ( + ) 2 12 Hng dn Bin i phng trỡnh ó cho tng ng vi cos2x sin 2x + 10cos(x + ) + = Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 66 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC c os(2x + ) + 5c os(x + ) + = 2cos (x + ) + 5c os(x + ) + = 6 Gii c cos(x + ) = v cos(x + ) = (loi) 6 + Gii cos(x + ) = c nghim x = + k v x = + k 2 Bi 5: Gii phng trỡnh: 3(2.cos x + cos x 2) + (3 2cos x).sin x =0 2cos x + Hng dn K: Pt ó cho tng ng vi pt: Vy pt cú h nghim hoc Bi 6: Gii phng trỡnh: 2(cos x + sin x) = + 4sin x(1 + cos x) Hng dn Phng trỡnh ó cho tng ng vi: cos x + 2sin x = + 4sin x.cos x (1 2cos x)(2sin x 1) = cos x = sin x = x = + k (k Z ) x = + k 12 x = + k 12 Vy pt cú nghim l: x = + k ; x = 12 + k ; x = + k 12 (k Z ) Bi 7: Gii phng trỡnh: sin x + = sin x + cos x Hng dn (sin x 6sin x) + (1 cos x) = sin x ( cos x 3) + sin x = 2sin x ( cos x + sin x ) = Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 67 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC sin x = x = k Vy nghim ca PT l x = k , k Z sin x + cos x = 3(Vn) Bi 8: Gii phng trỡnh: 3sin x cos x + cos x sin x = Hng dn sin x cos x + + 2sin x + 2sin x 2sin x cos x = (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = = + k x s inx cos x = sin(x ) = x = + k s inx = x = + k s inx = x = k Bi 9: Gii phng trỡnh : sin 2x ( sin x + cos x 1)( 2sin x cos x 3) = Hng dn PT ( sin x + cos x ) = ( sin x + cosx 1)( sin x cos x 3) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) + = ( sin x + cosx 1)( sin x cos x 3) x = k2 sin x + cos x = x = + k2 = sin x cos x 4(VN) Bi 10: Gii phng trỡnh lng giỏc: cos2 x + cos x + 3sin x 3sin x = Hng dn cos x + cos x + 3sin x 3sin x = cos x + sin x = cos x + cos x + 3 = sin x sin x + cos x = 2 3 sin x cos x = = + sin x 2 (1) tan x = x = + k (1) (2) x = + k2 (2) sin x = sin x = + k2 Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 68 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Vy phng trỡnh cú hai h nghim l x = + k hay x = + k2 ( cos x - sin x ) + cos x ( 2sin x + 1) = Bi 11: Gii phng trỡnh : Hng dn sin x + cos x = sin x cos x 3 sin x + cos x = sin x cos x 2 2 sin x cos + cos x sin = sin x cos cos x sin x + = x + k x = + k (k ) (k ) sin(2 x + ) = sin( x ) x + = ( x ) + k x = + k 18 3 x sin x + = 4 Bi 12: Gii phng trỡnh sau: cos Hng dn Pt ó cho cos x sin x + = 4 cos x sin x + = cos x + sin x sin x cos2 x = sin x(1 cos x) + cos x(1 cos x) = (sin x + cos x)(1 cos x) = cos x + sin x = cos x = tan x = x = + k ( k ) cos x = x = + k + k , x = + k , ( k ) Bi 13: Gii phng trỡnh: ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x ) + cos2 x = Vy phng trỡnh ó cho cú h nghim: x = Hng dn ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x ) + cos2 x = ( 2sin x + 1)( 3cos x + 2sin x ) + 4sin x ( 2sin x + 1)( 3cos x 3) = x= + k hay x = k vi k Z Bi 14: Gii phng trỡnh: cos x.cos x + sin x = cos x + k hay x = Hng dn Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 69 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x 1- 2sin2x + sinx = sinx = hoc sin x = x = + k ; x = + k ; x = + k , ( k Z ) 2 6 Bi 15: Gii phng trỡnh sin x + = 6sin x + cos x Hng dn sin x + = 6sin x + cos x (sin x 6sin x) + (1 cos x) = sin x ( cos x 3) + sin x = 2sin x ( cos x + sin x ) = sin x = x = k Vy nghim ca PT l x = k , k Z sin x + cos x = 3(Vn) Bi 16: Gii phng trỡnh: cos2x + sin x sin x cos 2x = Hng dn + PT cos2 x (1 2sin x ) (1 2sin x ) = ( cos2 x 1)(1 2sin x ) = + Khi cos2x = x = k , k Z + Khi s inx = x = + k hoc x = + k , k Z 6 Bi 17: Gii phng trỡnh: sin x 2cos2 x =0 2cos x Hng dn dk : cosx pt sin x cos x = sin(2x- ) =1 x = i chiu k , pt cú nghim : x = 3 sin x c os2x=2 + k + m.2 ( m Z ) Bi 18: Gii phng trỡnh: sin x 2(s inx + cosx) = Hng dn t sinx + cosx = t ( t ) sin2x = t - t 2t = t = (t/m) + Gii c phng trỡnh sinx + cosx = cos( x ) = + Ly nghim Kt lun : x = + k ( k Z ) Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 70 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Bi 19: Gii phng trỡnh cos x + (1 + cos x)(sin x cos x) = Hng dn cos x + (1 + cos x)(sin x cos x) = (sin x cos x )(cos x sin x + 1) = sin x cos x = cos x sin x + = x = + k sin x = x = + k , x = + k sin x = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim: x = + k , x = + k , x = + k ( k Z ) Bi 20: Gii phng trỡnh: sin x + sin x = Hng dn sin x + sin x = sin x cos x = x = + k sin x = sin 6 x = + k 1 sin x cos x = 2 (k ) Bi 21: Gii phng trỡnh: sin2x + cosx- sin x -1= Hng dn PT ó cho tng ng: sin 2x + cos x (sin x cos x) = 2cos x(sin x +1) sin x = ( sin x + 1)( cos x 1) = sin x = hoc cos x = + sin x = x = + cosx = 2 + k x = + 2k + k ; x = + k ( k Z ) Bi 22: Gii phng trỡnh: cos x + (1 + cos x)(sin x cos x) = Vy, nghim ca phng trỡnh ó cho l: x = Hng dn PT cos x + (1 + cos x)(sin x cos x) = (sin x cos x )(cos x sin x + 1) = sin x = x = + k sin x cos x = cos x sin x + = x = + k , x = + k sin x = Vậy phơng trình cho có nghiệm: x = + k , x = + k , x = + k ( k Z ) Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 71 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC Bi 23: Gii phng trỡnh cos x + cos3x = + sin 2x + Hng dn cos x + cos3x = + sin 2x + 2cos x cos 2x = + sin 2x + cos2x 2cos x + 2sin x cos x 2cos x cos 2x = cos x ( cos x + s inx )(1 + s inx cosx ) = x = + k cos x = x = + k cos x + sinx = (k ) x = k2 + s inx cosx = + k2 x = x = + k Vy, phng trỡnh cú nghim: x = + k ( k ) x = k2 Bi 24: Gii phng trỡnh: sin x + cos 3x 2sin x = Hng dn sin x + 3cos3x 2sin x = sin x + cos3x = sin x sin 3x + = sin x 2 Suy phng trỡnh cú cỏc nghim: x = + k ; x = Bi 25: Gii phng trỡnh : sin x Hng dn /K cos x x +k (vi k ) = 2sin x tan x + l ( l Z ) (*) Phng trỡnh cos x 2 = 2sin x tan x sin x = 2sin x tan x cosx + sinx 2sin x.cosx + sin x tan x = 2sin x ( cosx + sinx ) =0 cos x cos x + sin x = tan x = ( cos x + sin x )( sin x 1) = sin x = sin x = Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 72 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC K THUT PH BIN NHT GII PHNG TRèNH LNG GIC x = + k x = + k , k Z ( Tho iu kin (*) ) x = + k Bi 26: Gii phng trỡnh: sin x + sin x = Hng dn sin x + sin x = sin x cos x = x = + k sin x = sin 6 x = + k 1 sin x cos x = 2 (k ) Bi 27: Gii phng trỡnh cosx + sinx (1 cosx ) = + sinx Hng dn PT cosx + sinx (1 + cos x 2cosx ) sinx = (cosx 2)(1 + sin x) = (*) Do cosx nờn (*) + sin2 x = sin2 x = x = + k x + cos x = cos x Bi 28: Gii phng trỡnh lng giỏc sau: cos Hng dn Phng trỡnh ban u tng ng: + cos x + cos x = cos x sin x + cos x = cos x sin x + cos x = cos x 2 cos x = cos x x = 12 + k x = + k 36 NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Giỏo viờn: NGUYN HU BIN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 73 T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CC SCH PHT HNH (1) Cỏc chuyờn i s (ễn thi vo lp 10) (2) Tinh hoa hỡnh hc (ễn thi vo lp 10) (3) Luyn mụn toỏn (ễn thi vo lp 10) (4) Tinh hoa hỡnh hc (ễn thi THPT quc gia) (5) Luyn mụn toỏn (ễn thi THPT quc gia) T MUA SCH, CC EM LIấN H VI THY Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Gmail: ng.huubien@gmail.com in thoi: 01234.170.323 ... tớch thnh tng: Suy t cụng thc tng thnh tớch cos cos na cos-cng, cng cos-tr sin sin na cos-tr, tr cos-cng sin cos na sin-cng, cng sin-tr cos (a + b) + cos (a b) (2) sin a sin b = cos (a +... (a, b, c R a + b ) + Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là: a + b c2 + Cách giải trờng hợp tổng quát: - Chia vế phơng trình (*) cho a2 + b2 - Bin i ỏp dng cụng thc cng cos (a b) = cos... + th hm s - - O x -1 * í 2: Suy th hm s y = sin 2x + Vỡ y = sin 2x nờn th hm s y = sin 2x c suy t th hm s y = sin 2x bng cỏch: - Gi nguyờn phn th hm s y = sin 2x vi y - Lõy i xng