Bài Toán Dirichlet Đối Với Phương Trình Monge - Ampere Phức Và Tính Chính Qui Của Hàm Green Đa Phức

47 334 0
Bài Toán Dirichlet Đối Với Phương Trình Monge - Ampere Phức Và Tính Chính Qui Của Hàm Green Đa Phức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Header Page of 126 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TH HO BI TON DIRICHLET I VI PHNG TRèNH MONGE-AMPERE PHC V TNH CHNH QUI CA HM GREEN A PHC Chuyờn ngnh: GII TCH Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHM HIN BNG THI NGUYấN - 2013 S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 i LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu tham kho lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2013 Tỏc gi Nguyn Th Hũa S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 ii LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n Thy v s hng dn tn tỡnh, hiu qu vi nhng kinh nghim quỏ trỡnh nghiờn cu hon thnh lun Xin cm n Ban ch nhim Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, S Giỏo dc v o to Tuyờn Quang, Trng PTDT Ni trỳ - THPT tnh, Trng THPT Chuyờn Tuyờn Quang cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2013 Tỏc gi Nguyn Th Hũa S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 iii MC LC M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc ca lun Chng 1: CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di cc i 1.2 Toỏn t Monge-Ampốre phc 1.3 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampere 1.4 Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im 20 Chng 2: BI TON DIRICHLET I VI PHNG TRèNH MONGE-AMPẩRE PHC V TNH CHNH QUY CA HM GREEN A PHC 24 2.1 Cỏc c lng biờn i vi cỏc o hm cp hai 25 2.2 Cỏc c lng ni ti i vi cỏc o hm cp hai 32 2.3 Tớnh chớnh quy ca hm Green a phc 36 KT LUN 41 TI LIU THAM KHO 42 S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 M U Lý chn ti Cho W l mt b chn Ê n vi biờn ả W lp Ê Ơ Xột bi toỏn Dirichlet i vi cỏc phng trỡnh Monge-Ampốre phc ớù det (u ) = y (z , u, ẹ u ) W z j zk ùù ỡ ùù u = j tr ờn ả W ùợ (*) Khi W l mt gi li mnh, bi toỏn ny ó c nghiờn cu rng rói Nm 1976, E Bedford v B A Taylor ó chng minh s tn ti, tớnh nht v tớnh chớnh qui Lipschitz u ton cc ca cỏc nghim a iu hũa di tng quỏt Nm 1980, Cheng v Yau, cụng trỡnh nghiờn cu v cỏc mờtric & & Kahler-Einstein y trờn cỏc a phc khụng Compact, ó gii bi toỏn (*) vi y = e u v j = + Ơ , thu c nghim thuc lp C Ơ (W) Nm 1985, L Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg v J Spruck ó chng minh s tn ti ca cỏc nghim a iu hũa di c in ca (*) cho trng hp , khụng suy bin cỏc iu kin thớch hp Trng hp suy bin cng ó thu hỳt nhiu s chỳ ý, v cỏc phn vớ d c tỡm thy ó ch rng nghim ú khụng nht thit phi l nghim thuc lp C2 (xem Bedford v Fornaess, 1979; Gamelin v Sibony nm 1980) õy chỳng ta xem xột bi toỏn Dirichlet (*) i vi cỏc tng quỏt m khụng cn n tớnh gi li Theo hng dn nghiờn cu trờn, chỳng tụi chn ti: "Bi toỏn Dirichlet i vi phng trỡnh Monge-Ampere phc v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc" Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca lun l trỡnh by mt s kt qu vic nghiờn cu tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 - Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere, Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im - Trỡnh by mt s kt qu ca Bo Guan v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca lý thuyt th v phc trỡnh by cỏc kt qu ca Bo Guan B cc ca lun Ni dung lun gm 43 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t MongeAmpốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere, Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di cc i 1.1.1 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u(a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Trong trng hp ny, ta vit u ẻ P SH (W) ( õy P SH (W) l lp cỏc hm a iu ho di W) 1.1.2 nh ngha Hm giỏ tr thc u ẻ C (W) , Wé Ê n , gi l a iu hũa { } l xỏc nh dng W Ký hiu {u } l ma trn nghch o ca {u } nú l kh nghch di cht nu ma trn Hessian phc uz z j k jk z j zk 1.1.3 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ Ă l hm a iu ho di Ta núi rng u l cc i nu vi mi m compact tng i G ca W, v vi mi hm na liờn tc trờn v trờn G cho v ẻ P SH (G ) v v Ê u trờn ả G , u cú v Ê u G Sau õy ta s xem xột mt s tớnh cht tng ng ca tớnh cc i 1.1.4 Mnh Cho Wé Ê n l m v u : Wđ Ă l hm a iu ho di Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: (i ) Vi mi m compact tng i G ca W v mi v ẻ P SH (W) , nu lim sup(u (z ) - v(z )) , vi mi x ẻ ả G , thỡ u v G ; zđ x (ii ) Nu v ẻ P SH (W) v vi mi e > tn ti mt compact K é W cho u - v - e W\ K , thỡ u v W; S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 (iii ) Nu v ẻ P SH (W) , G l mt m compact tng i ca W, v u v trờn ả G thỡ u v G; (iv ) Nu v ẻ P SH (W) , G l mt m compact tng i ca W, v lim inf(u (z ) - v(z )) 0, vi mi x ẻ ả G , thỡ u v G; zđ x (v ) u l hm cc i Chng minh (i ) ị (ii ) : Cho v l mt hm a iu ho di cú tớnh cht: vi mi e > tn ti mt compact K é W cho u - v - e W\ K Gi s rng u(a ) - v(a ) = h < ti mt im a ẻ W Bao úng ca hp { E = z ẻ W: u (z ) < v(z ) + h } l compact ca W Bi vy cú th tỡm c m G cha E v h compact tng i G Theo (i ) ta cú u v + G , iu ú mõu thun vi a ẻ E Phn cũn li c suy t khng nh: hm ớù max {u (z ), v(z )} (z ẻ G ) ù w(z ) = ỡ ùù u (z ) (z ẻ W\ G ) ùợ l a iu ho di W theo cỏc gi thit (iii ) , (iv ) , (v ) v (i ) 1.2 Toỏn t Monge-Ampốre phc Cho u l a iu ho di trờn Wé Ê n Nu u ẻ C 2(W) thỡ toỏn t: c n (dd u ) ộ ảu ự ỳ := (dd u ) (dd u ) = n !det ờờ dV , ỳ 1444444442 444444443 ả z ả z ỳ j k n ỷ1Ê j ,k Ê n c c n vi dV l yu cú th tớch C n gi l toỏn t Monge-Ampốre Toỏn t ny cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian cỏc hm liờn tc vi giỏ compact C 0(W) trờn W C (W) ' j a c n ũ j (dd u ) W S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Bedford v Taylor ó chng minh rng nu u l a iu ho di b chn a phng trờn W thỡ tn ti dóy {u n } n> ớù v ỡ dd cu n ùợù ( é P SH h (W) ầ C Ơ cho un ] u nỹ ù ) ùýùỵù hi t yu ti o Radon trờn W tc l: lim ũ j (dd cun ) = n n W ũ j d m, " j ẻ C (W) W Hn na khụng ph thuc vo vic chn dóy un nh trờn, ta ký hiu: (dd c u )n = m v gi l toỏn t Monge-Ampốre ca u Sau õy chỳng ta s xem xột mt vi tớnh cht c bn ca toỏn t MongeAmpốre c trỡnh by [1] { } l dóy cỏc o Radon trờn m Wé 1.2.1 Mnh Gi s mj Ă n hi t yu ti o Radon m Khi ú a) Nu G é W l m thỡ m(G ) Ê lim inf mj (G ) jđ Ơ b) Nu K é W l compact thỡ m(K ) lim sup mj (K ) jđ Ơ c) Nu E compact tng i W cho m(ả E ) = thỡ m(E ) = lim mj (E ) jđ Ơ Chng minh a) Ta cú m(G ) = sup {m(K ) : K é G } Gi s K é G l compact Ly j ẻ C (G ) , Ê j Ê v j = trờn K Khi ú m(K ) Ê m(j ) = lim mj (j ) Ê lim inf mj (G ) jđ Ơ T ú m(G ) Ê lim inf mj (G ) jđ Ơ S húa bi trung tõm hc liu Footer Page of 126 jđ Ơ http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 10 of 126 { } b) Ta cú m(K ) = inf m(V ) : V ẫ K ,V é W ,V= V Gi s V l mt lõn cn m ca K v j ẻ C (V ) , Ê j Ê v j = trờn K Khi ú m(V ) m(j ) = lim mj (j ) lim sup mj (K ) jđ Ơ T ú jđ Ơ m(K ) lim sup mj (K ) jđ Ơ c) Vit E = IntE ẩ ả E Khi ú m(E ) = m(int E ) Ê lim inf mj (int E ) Ê lim inf mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ Mt khỏc m(E ) lim sup mj (E ) lim sup mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ T ú m(E ) lim sup mj (E ) Vy m(E ) = lim mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ 1.2.2 nh lý Gi s Wé Ê n l b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) cho lim inf(u(z ) - v(z )) Khi ú zđ ảW ũ ( dd cv )n Ê ũ ( dd cu )n {u < v } {u < v } (1.1) 1.2.3 H qu Gi s Wé Ê n l b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) cho u Ê v v lim u (z ) = lim v(z ) = Khi ú zđ ảW zđ ảW ũ ( dd v ) c ( W) n Ê ũ ( dd cu )n ( W) 1.2.4 H qu (Nguyờn lý so sỏnh) Gi s Wé Ê n l b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) cho lim inf(u(z ) - v(z )) zđ ảW Gi (dd cu )n Ê (dd cv )n trờn W Khi ú v Ê u trờn W S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 10 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ s Header Page 33 of 126 29 ( A v + B z - u y - uy n n ) T (u - u ) Wầ B s (0) T ú suy ut a xn (0) Ê A vx (0) + ut n (0) Ê C , a < 2n (0) Ê C , a , b < 2n a xn (2.5) Vic cũn li l i thit lp c lng ux n xn (0) Ê C Vỡ ta ó xõy dng c ut t (0) , ut a b a xn Nờn iu ú l suy unn (0) Ê C Gii phng trỡnh (2.1) vi u nn (0) ta thy rng u x ut t (0) , ut a b l uz a ,b < n a zb a xn n xn (0) Ê C suy t (0) Ê C , a , b < 2n (0)xa xb c0 > , vi vộc t n v x = (x1, , xn - 1) ẻ Ê n - 2.1.2 nh lý Cho j , y l cỏc hm s trn giỏ tr thc, y > Gi s tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C (W) ca (2.1), tc l, det (u z j zk ) y (z , u, ẹ u ) W, u = j trờn ả W (2.6) Khi ú tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C Ơ (W) ca (2.1) vi u u 2.1.3 Mnh Tn ti c0 = c0( y 0, j , u, ả W) cho a ,b < n uz a zb (0)xa xb c0 > S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 33 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 34 of 126 30 Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt, ta ch cn ch bt ng thc sau l u11 (0) c0 > (2.7) Ta cng cú th gi s u (0) = ut (0) = 0, j Ê 2n - Tng t (2.4) ta cú: j (u - u )z a zb (0) = - (u - u )x (0)r z n a zb (0), a ,b < n c bit, u11 (0) = u11 (0) - (u - u )x (0)r 11 (0) n u (0) (trong ú K nh (2.2), vỡ vy 4K 11 T ú suy nu r 11 (0) Ê Ê (u - u )x (0) Ê 2K ), thỡ u11 (0) n r 11 (0) u (0) > Do ú ta cú th gi s 11 u (0) > 4K 11 Hm u%= u - l x n , ú l = ux (0) + u11 (0) / r 11 (0) , tha n det (u%ik ) = det (uik ) y 0, (2.8) v ổả ả2 ữ ỗỗ ữu%(t Â, r (t Â)) = ti ỗỗ + ữ ữ ỗả ả t2 ữ ố t1 ứ (2.9) Trờn ả W, u% c khai trin thnh chui Taylor u%ả W = ú q(t Â) l ổ 4ử g a b t a t b + q(t Â) + O ỗỗ t  ữ ữ ữ, ố ứ a , b < 2n mt a thc bc ba Ta cú th gi s g11 = g12 = g22 = Da vo (2.9), ta cú g11 + g22 = , v ú (2.8), (2.9) xy nu ta thay u%bi u%- ( g11x 12 + 2g12x 1y1 + g22y12 ) S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 34 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 35 of 126 31 Ta s chng t rng, sau tr i phn thc ca mt a thc chnh hỡnh (iu ny khụng nh hng n (2.8) v (2.9)), cú th gi s u%ả W Ê Re 1< j Ê n a j z 1z j + C 1< j Ê n zj , (2.10) vi a j ẻ Ê thớch hp thy iu ny trc tiờn chỳng ta nhn xột rng 2n - ồ n- g a b t a t b = Re z 1(a1 j z j + a1 j z j ) + Re(cz 1y n ) a=1 b= j= Vỡ vy n- 1 ga b t a t b = Re z 1(a1j z j + a1j z j ) + Re(cz 1y n ) + O(t 32 + + t 22n - 1) a , b < 2n j= Tip theo, q(t Â), a thc bc ba theo (t1, t ) cú mt khai trin nht Re(az 13 + bz z ), cỏc s hng l bc hai theo (t 1, t ) cú th c vit di dng n- n- j= j= 2 Re z 12(a1Âj z j + a1Âj z j ) + Re c j z j z , v tt c cỏc s hng khỏc u b chn bi C 3Ê b < 2n t b2 Cui cựng, nh (2.3) ta cú th thay th z bi ( r 11 (0))- x n theo mụ un ca mt a thc chnh hỡnh v mt sai s c iu chnh bi C z b , nu ta 3Ê b < 2n bin i cỏc h s a1j v c mt cỏch hp lý Do ú ta th li c (2.10) Bõy gi ta gi s (2.8), (2.9), (2.10) ng thi xy v xột hm cn h = - ex n + d z + S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 35 of 126 2B 1< j Ê n a j z + Bz j http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 36 of 126 32 Wầ B s (0) vi d > nh Giỏ tr riờng nh nht ca {h }l 2d v jk giỏ tr riờng ln nht b chn trờn bi CB vi C l mt hng s c iu chnh, khụng ph thuc vo d Ta s chn < e < d cho d z - ex n > trờn ả (Wầ B s (0)) v B ln (khụng ph thuc vo ) cho h u% trờn ả (Wầ B s (0)) Nh vy bng vic c nh B , chỳng ta cú th chn nh cho det (h jk ) Ê y trờn Wầ B s (0) Nhng s la chn ny bõy gi xỏc nh e Nh vy h l mt hm cn trờn ca u% Tc l, theo nguyờn lý cc i, u%Ê h Wầ B s (0) T ú, vỡ u%(0) = h(0) , nờn u%x (0) Ê hx (0) = - e n n Theo (2.8), ta cú u%11 (0) = - u%x (0)r (0) e n Nh vy (2.7) xy vi c0 = 11 u11 (0) 2K ũ u (0) > 2K 11 W Ta ó thit lp c (2.1) Nh vy chng minh ca nh lý 2.1.2 l y 2.2 Cỏc c lng ni ti i vi cỏc o hm cp hai 2.2.1 nh lý Cho u ẻ C (W) ầ C 1(W) l mt nghim a iu hũa di cht ca (2.1) Gi s rng tn ti mt hm a iu hũa di cht v ẻ C (W) vớ v = j trờn ả W Khi ú uz j zk (z ) Ê C (dist (z , ả W))N , vi z ẻ W ú C v N l cỏc hng s ph thuc vo n , W, u n C 1( W) (2.11) , v C ( W) , y cho cỏc o hm cp ca nú, v cn di y > ca y (x , u, ẹ u ) , ln lt ph thuc vo u C ( W) S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 36 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 37 of 126 33 õy cú th c xem nh mt s tng t cỏc C - c lng ni ti ca Pogorelov i vi cỏc phng trỡnh Monge-Ampốre thc (xem[12]) Vi y = y (z, u ) v j = (trong trng hp ny, W phi l gi li mnh, v cú th ly v , mc dự nú khụng phi l a iu hũa di cht), kt qu ny ó c chng minh bi F Schulz [13], chng minh ca ụng s dng cỏch tip cn phng phỏp tớch phõn ca N M Ivochkina [9] cho cỏc phng trỡnh Monge-Ampere thc S.-Y Cheng v S.-T Yau [6] cng t c cỏc c lng tng t vi iu kin ph thuc vo sup W u jk u z u z Chng minh j k nh lý c trỡnh by phn ny l mt m rng chng minh u tiờn ca Pogorelov cho trng hp phc Chỳng ta bt u vi b sau, s cn n phn 2.3 2.2.2 B Cho u l mt nghim a iu hũa di ca (2.1) v L = u jk ả j ả k l toỏn t tuyn tớnh Cho h l mt hm dng W v 2ỹ W = max max hN u jk (z )xj xk exp ùỡ P ẹ u (z ) ùý z ẻ W x = 1, x ẻ Ê n ùợù ùỵ ù j ,k (2.12) ú P v N l hng s gi s W t c ti mt im ( ) z ẻ W vi x = (1, 0, , 0) v u jk z = vi j k Khi ú, ti z , ta cú: ổ ỗ h Pu 11 11 ỗ ỗỗồ u + L (h) - N + m h ỗỗ j jj ỗố Nu j ,k 2ử u jk ữ ữ ữ ữ ữ u jj ữ ữ ữ ứ n + (f ) + 2Pu11 Re u k L (u k ) Ê , 11 (2.13) k N 8P max ẹ u (z ) zẻ W S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 37 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 38 of 126 34 Chng minh Vỡ hm N log h + log u11 + P ẹ u t c giỏ tr cc i ti z , nờn ti im ú ta cú N hj + h u11 j + Pồ u11 (u u k kj ) + u k u kj = (2.14) k v N h jj - N h ổ2 + P ỗỗỗu jj + ỗố hj u11 jj + h u11 - u11 j u11 + 2ử ữ u kj ữ + Re u k ukjj Ê ữ ữ ứ k k (2.15) T (2.14) vi j , ta cú N hj h u11 j Ê N u11 2 4P ẹ u ổ ỗỗu + + ỗố jj N k 2ử u kj ữ ữ ữ ữ ứ (2.16) Ly vi phõn phng trỡnh (2.1), ta c: u jk u jkl = (f ) , l j ,k u jk u jk 11 - j ,k u jm u lk u jk 1ulm = (f ) , 11 j ,k ,l ,m ú f = log y Vi N , ta cú j ,k 2 u11 j ổ u 2ử ữ - 111 - ỗỗ1 + ữ ữ ỗố ữồ u kk u jj u11 Nứ j > u 11u j j u1kj Ti z ta cú L = (2.17) u -jj 1ả j ả j ; nhõn (2.15) vi u11u -jj v ly tng theo j ng thi s dng (2.16) v (2.17), ta thu c (2.13) W Chng minh nh lý 2.2.1 Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s ( ) det vij Ê y0 W, ú: y y (x , u (x ), ẹ u (x )) > xẻ W S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 38 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 39 of 126 35 ph thuc vo u C (W) (Nu iu ny khụng tha thỡ ỏp dng nh lý 2.1.2 ta cú th s dng v , l mt hm a iu hũa di cht nh mt nghim y0 ( ) nhn c mt hm a iu hũa di cht v% tha det vij Ê W, v v%= j trờn ả W Khi ú ta cú th thay th v bi v%) Theo lp lun ro cn tiờu chun ta thy rng (u - v )(z ) e0dist (z , ả W) vi x ẻ W (2.18) vi hng s e0 > no ú Hn na, vỡ v l a iu hũa di, nờn ta cú L (h ) = L (v ) - L (u ) - L (u ) = - n (2.19) nhn c (2.11) ta ly h v - u (2.12); iu ú suy cn i vi W Vỡ h = trờn ả W, nờn W t c ti im z ẻ W v vi x ẻ Ê n no ú Sau bin i chnh hỡnh cỏc ta ta cú th gi s x = (1, 0, , 0) v u j k (z ) = vi j k Do ú ta cú th ỏp dng B 2.2.2 Bng tớnh toỏn n gin, ta c (xem [5]) (f )11 ổ 2 Re f p u j 11 - C ỗỗỗ1 + u11 + j ỗố j j 2ử ữ u1 j ữ ữ ữ ứ T (2.14) ta cú: ổ Re f p uj 11 = - 2Ku11 Re f p ỗỗỗu j u j j + j j ỗ ố j j k 2Nu 11 ữ u k u kj ữ Re f p h ữ j j ữ h ứ j ổ Nử ữ - 2Ku11 Re uk L (u k ) - Cu11 ỗỗK + ữ ữ ỗ ữ h ố ứ j Bõy gi, nhõn (2.13) vi h , kt hp vi (2.19) v hai bt ng thc trờn, ta c S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 39 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 40 of 126 36 ổ 2ỗ P C h ( ) ỗỗỗu11 + ố j 2ử ữ u1j ữ - C (P + N )hu 11 - C N Ê ữ ữ ứ Chn N > P > , ú nhn c cn i vi hu11 v ú nhn c cn i vi W Cui cựng, vi z ẻ W tựy ý, ta cú max x = 1, x ẻ Ê n j ,k u jk (z )xj xk Ê 2ỹ ớù ù exp P ẹ u z ỡ ( ) ý ùợù ùỵ hN ù W Theo (2.18), iu ú ó hon thnh chng minh nh lý 2.2.1 W 2.3 Tớnh chớnh quy ca hm Green a phc Mt tớnh cht c bn ca hm Green a phc ú l nú l mt nghim yu ca bi toỏn sau: ớù u ẻ P SH (W- {a }) ùù ùù det(u ) = W- a {} z j zk ù ỡ ùù u = tren ảW ùù ùù u(z) = log z - a + O (1) z đ a ợ (2.20) Trong phn ny chỳng ta chng minh tớnh gii c ca bi toỏn (2.20) C 1,a (W- {a }) Trong trng hp W l trn, b chn v li cht, Lempert [11] ó chng minh rng gW(z , a ) ẻ C Ơ (W- {a }) Tuy nhiờn, trng hp gi li mnh, E Bedford v J.-P Demailly [2] ó tỡm c cỏc phn vớ d ch rng gW(z , a ) núi chung khụng thuc C 2(W- {a }) Sau õy chỳng ta s ỏp dng nh lý 2.1.2 chng minh tớnh C 1,a - chớnh quy ca hm Green a phc i vi mt gi li mnh 2.3.1 nh lý Cho W l mt gi li mnh, trn b chn v a ẻ W Khi ú gW(z , a ) ẻ C 1,a (W- {a }) vi < a < bt k Lu ý rng nh lý 2.2.1 khụng th s dng trc tip chng minh ca nh lý 2.3.1 bi toỏn (2.20) ca chỳng ta l suy bin S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 40 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 41 of 126 37 Chỳng ta s chng minh nh lý 2.3.1 bng vic chng minh rng bi toỏn trờn cú nghim nht C 1,a (W- {a }) nu W l mt gi li mnh, trn v b chn Ta chng minh nh lý sau õy, t ú suy nh lý 2.3.1 2.3.2 nh lý Cho W l mt gi li mnh, trn b chn, v a ẻ W Khi ( ) ú tn ti mt nghim yu nht ca (2.20) trongC 1,a W- {a } Chng minh Tớnh nht l h qu ca nguyờn lý cc tiu ca BedfordTaylor [4] Tip theo ta s chng minh s tn ti Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s rng B (a ) é W Theo [5], tn ti mt nghim a iu hũa di cht nht v ẻ C Ơ (W) i vi bi toỏn Dirichlet ( ) det v j k = W, v = - log z - a trờn ả W t u v + log z - a ẻ C Ơ W- {a } Ta thy rng u l a iu ho di ( cht W- ) {a } v tha ớù det(u ) e W- {a }, < e < ùù jk 0 ù u Ê 0, u = ỡ ảW ùù ùù u (z) = log z - a + O(1) z đ a ợ Vi mi < e Ê e0 , t We = W- B e (a ) v xột bi toỏn Dirichlet det (u j k ) = e We , u = u trờn ả We Chỳ ý rng, vỡ u l mt nghim, nờn theo nh lý 2.1.2 tn ti mt nghim a iu hũa di cht nht u e ẻ C Ơ (We )ca bi toỏn Dirichlet det (u j k ) = e We , u = u trờn ả We Theo nguyờn lý cc i ta thy rng  u Ê u e Ê u e Ê log z - a We nu e ÂÊ e (2.21) Nh vy gii hn S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 41 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 42 of 126 38 u (z ) lim u e (z ) eđ ( ) tn ti vi mi z ẻ W- {a } Ta mun chng minh rng u ẻ C 1,a W- {a } vi bt k < a < iu ú thit lp mt c lng sau õy: vi bt k compact K é W- {a }, v vi nh cho K é We , ta cú ue C 1,a (K ) Ê C = C (K ) khụng ph thuc vo e (2.22) Trc ht, t (2.21) ta cú, max u e Ê C khụng ph thuc vo e K Bõy gi ta c lng cỏc o hm trờn ả W Gi s h l mt hm iu hũa We vi giỏ tr biờn h ảW = v h = log e0 Khi ú, vi e < e0 ả B e (z ) u Ê u e Ê h We T ú suy < c1 Ê ẹ u e = u ne Ê C trờn ả W, khụng ph thuc vo e (2.23) ú o hm ly theo n theo hng chun tc i vi vộc t n v hng phớa ngoi i vi ả W i vi cỏc o hm bc ti mt im trờn ả W, ta nhn xột rng chng minh ca cỏc c lng (2.5) i vi cỏc o hm cp hai hn hp phn 2.1 cú hiu lc, cp c lng o hm phỏp tuyn suy t (s dng ký hiu phn 2.1) uz a zb = - u x (0)r z n a zb cựng vi (2.23) v tớnh gi li mnh ca W Vỡ vy, ta cú ẹ 2u e Ê C trờn ả W, khụng ph thuc vo e (2.24) Tip theo ta nhn c S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 42 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 43 of 126 39 Du e n j=1 (u ) + uye y Ê C K c lp vi e e x jx j j j (2.25) Chn e1 > nh K é W- B e (z ) Vi e < e1 , t M e = max max h2 u jek (z )xj xk , z ẻ We x = 1, x ẻ Ê n j ,k ú h = z - a - e12 Ta mun c lng M e , nú suy mt cn u i vi u jk trờn K nh chng minh nh lý 2.2.1 Nu M e t c trờn ả W, thỡ mt cn i vi M e suy t (2.24) Gi s M e t c ti mt im no ú W- B e (a ) Theo B 2.2.2 (trong bt ng thc (2.13), ly N = 2, P = v f log e ) ta nhn c Meồ j u je j Ê C Theo bt ng thc giỏ tr trung bỡnh s-hỡnh hc ta cú j T ú suy M e Ê n Ce u jje n det - 1/ n ( ) u jek = n e- 1/ n Do ú ta thu c mt cn i vi M e v vỡ th nhn c (2.25) D u = 4ồ u jj Cui cựng, (2.22) suy t (2.25) iu ( ) ny chng t rng u ẻ C 1,a W- {a } v vỡ th gii c bi toỏn (2.20), iu ú ó hon thin chng minh nh lý 2.3.2 Trong [14], S Semmes ó phỏt trin mt nh lý v cỏc ỏnh x Riemann suy rng cú liờn quan cht ch vi cỏc hm Green a phc (nh lý 2.2 [14]) S dng cụng trỡnh ca Lempert [11], ụng ó chng minh s tn ti ca cỏc ỏnh S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 43 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 44 of 126 40 x Riemman trn vi cỏc nh trn v li cht ó cho Ê n Ta cú h qu sau õy ca nh lý 2.3.1 2.3.3 H qu Nu : B n đ Ê n l mt ỏnh x Riemann m nh ca nú l mt gi li mnh v trn Ê n , ú B n ký hiu l hỡnh cu n v Ê n , thỡ r l C 1, a B n - S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 44 of 126 {0} vi < a < tu ý http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 45 of 126 41 KT LUN Lun ó trỡnh by: - Tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere, hm Green a phc vi cc logarit ti mt im - Mt s kt qu ca Bo Guan v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc C th l ó trỡnh by chng minh chi tit cỏc kt qu sau: + Gi s j , y l cỏc hm s trn giỏ tr thc, y > Gi s tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C (W) ca bi toỏn Dirichlet i vi phng trỡnh Monge-Ampốre phc ớù det (u ) = y (z , u, ẹ u ) W z j zk ùù ỡ ùù u = j trờn ả W, ùợ (2.1) ú W b chn Ê n vi Ê Ơ - biờn ả W, tc l, det (u z j zk ) y (z , u, ẹ u ) W, u = j trờn ả W Khi ú tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C Ơ (W) ca bi toỏn (2.1) vi u u + Gi s W l mt gi li mnh, trn b chn v a ẻ W Khi ú gW(z , a ) ẻ C 1,a (W- {a }) vi < a < bt k + Cho W l mt gi li mnh, trn b chn, v a ẻ W Khi ú tn ( ) ti mt nghim yu nht trongC 1,a W- {a } ca bi toỏn ớù u ẻ P SH (W- {a }) ùù ùù det(u ) = W- a {} z j zk ù ỡ ùù u = tren ảW ùù ùù u(z) = log z - a + O (1) z đ a ợ S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 45 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 46 of 126 42 TI LIU THAM KHO Ting Vit: [1] Nguyn Quang Diu v Lờ Mu Hi, C s lớ thuyt a th v, NXB i hc s phm H Ni, 2009 Ting Anh: [2] E Bedford and J.-P Demailly, Two counterexamples concerning the pluricomplex Green function in Ê n , Indiana Univ Math J., 37 (1988), 865-867 [3] E Bedford and J E Fornaess, Counterexamples to regularity for the complex Monge-Ampere equation, Invent Math., 50 (1979), 129-134 [4] E Bedford and B A Taylor, The Dirichlet problem for a complex MongeAmpere equation, Invent Math., 37 (1976) 1-44 [5] L A Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg and J Spruck, The Dirichlet problem for nonlinear secondorder elliptic equations II Complex MongeAmpere and uniformly elliptic equations, Comm Pure Applied Math., 38 (1985), 209-252 [6] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complete Kahler metric on non-compact complex manifolds and the regularity of Feffermans equation, Comm Pure Applied Math., 33 (1980), 507-544 [7] B Guan, The Dirichlet problem for complex Monge-Ampere equations and regularity of the pruli-complex Green function, Comm Anal Geom (1998), 687-703 [8] B Guan and J Spruck, Boundary value problem on S n for surfaces of constant Gauss curvature, Annals of Math., 138 (1993), 601-624 [9] N M Ivochkina, Construction of a priori bounds for convex solutions of the Monge-Ampere equa tions by integral methods, Ukrain Math J., 30 (1978), 32-38 [10] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, New York 1991 S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 46 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 47 of 126 43 [11] L Lempert, La metrique de Kobayashi et la representation des domains sur la boule, Bull Sci Mat France 109 (1981), 427-474 [12] A V Pogorelov, The Minkowski Multidimensional Problem, Wiston, Washington D.C, 1978 [13] F Schulz, A C - estimate for solutions of complex Monge-Amp`ere equations, J Reine Angew Math, 348 (1984), 88-93 [14] S Semmes, A Generalization of Riemann Mappings and Geometric Structures on a Space of Domains in Cn, Memoirs Amer Math Soc., no 472, 1992 S húa bi trung tõm hc liu Footer Page 47 of 126 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... 1.2 Toỏn t Monge- Ampốre phc 1.3 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge- Ampere 1.4 Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im 20 Chng 2: BI TON DIRICHLET I VI PHNG TRèNH MONGE- AMPẩRE PHC... Monge- Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge- Ampere, Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im - Trỡnh by mt s kt qu ca Bo Guan v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge- Ampốre... = 2(2n + 2)(u j - u )e-j nờn nh ngha ca v j kộo theo ng thc sau: j v j ( w) - u ( w) = ộT u ( w) - D u (z )ựe ỳ j ỷ 2(2n + 2) ej + (a - 2n h)ej2 - (a - n h)ej2 - (a - n h) w - z (1.12) T ú, nu

Ngày đăng: 14/05/2017, 14:48

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan