THPT PHẠM THÀNH TRUN G, Giáo viên: HUỲNH ANH DŨNG THPT PHẠM THÀNH TR UNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. ĐỊNH NGHIÃ: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 thuộc D sao cho f(x 0 ) = M. Ký hiệu: b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 thuộc D sao cho f(x 0 ) = m. Ký hiệu: max ( ) D M f x= min ( ) D m f x= Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 1 5 , (0; )y x x x = − + ∈ +∞ Giải : Trên khoảng (0;+ ∞), ta có Cho y / = 0  x 2 - 1 = 0 x=1=>y= -3 2 / 2 2 1 1 1 x y x x − = − = THPT PHẠM THÀNH TR UNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ −∞ x y / y +∞ 1 +∞ +∞ -3 - 0 + Dựa vào bảng biến thiêng ta có: (0; ) min ( ) 3f x +∞ = − (tại x = -1) II. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN: Xét tính đồng biến, nghịch biến vá tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : a) y = x 2 trên đoạn [-3;0] b) H 1 1 , [3;5] 1 x y x x + = ∈ − Giải : a) Trên đoạn [-3;0], ta có Cho y / = 0  2x = 0 x = 0 =>y = 0 / 2y x= THPT PHẠM THÀNH TR UNG 3− x y / y 0 9 0 - Dựa vào bảng biến thiêng ta có: [ 3;0] [ 3;0] min ( ) 0 max ( ) 9 f x f x − − = = GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Giải : b) Trên đoạn [3;5], ta có / 2 2 0, 1 ( 1) y x x − = < ∀ ≠ − x y / y 3 - 5 2 3/2 Dựa vào bảng biến thiêng ta có: [3;5] [3;5] min ( ) 3 max ( ) 5 f x f x = = THPT PHẠM THÀNH TR UNG 1. Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Giải : Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sinx a) Trên đoạn b) Trên đoạn 7 [ ; ] 6 6 π π [ ; 2 ] 6 π π Y 1 1/2 O л 6 л 7л 6 л 2 3л 2 2л X Từ đồ thị hàm số y = sinx ta thấy ngay: THPT PHẠM THÀNH TR UNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1 3 ( ) ; ( ) 1; ( ) 1; (2 ) 0 6 2 2 2 y y y y π π π π = = = − = a) Trên đoạn ta có: 7 [ ; ] 6 6 D π π = 1 7 1 ( ) ; ( ) 1; ( ) 6 2 2 6 2 y y y π π π = = = − Vậy: 1 max 1; min 2 D D y = = − b) Trên đoạn ta có: [ ;2 ] 6 D π π = Vậy: max 1; min 1 D D y = = − Y 1 1/2 O л 6 л 7л 6 л 2 3л 2 2л X -1 2 -1 THPT PHẠM THÀNH TR UNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn: có đồ thị như hình vẽ. Hãy chỉ ra GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-2;3] và nêu cách tìm. H 2 2 2, 2 1 : , 1 3 x khi x Chohs y x khi x  − + − ≤ ≤ =  < ≤  -2 0 1 3 x y 3 2 1 -2 1. Tìm các điểm x 1 , x 2 , …, x n trên khoảng (a;b), tại đó f / (x) = 0 hoặc f / (x) không xác định. 2. Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ),…, f(x n ), f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên [ ; ] [ ; ] max ( ), min ( ) a b a b M f x m f x= = Quy tắc: THPT PHẠM THÀNH TR UNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ : Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại nưu hình vẽ để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất. a Giải : Gọi x là độ dài cạnh hình vuông bị cắt. Điều kiện: 0 < x < a/2 Thể tích khối hộp là: V(x) = x(a – 2x) 2 Ta có V / (x) = (a – 2x) 2 + x.2(a – 2x)(-2) = (a – 2x).(a – 6x) THPT PHẠM THÀNH TR UNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Trên khoảng (0;a/2), ta có V / (x) = 0  x = a/6 X 0 a 6 a 2 V / V + 0 - 0 2a 3 27 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có V(x) có GTLN là: 3 (0; ) 2 2 ( ) 27 a a MaxV x = tại 6 a x = Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ đó suy ra GTNN của hàm số trên tập xác định H 3 2 1 1 y x = − +