KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI A ĐẶT VẤN ĐỀ Nguyên hàm tích phân nội dung bản, đưa vào giảng dạy chương trình toán phổ thông Và nguyên hàm tích phân lại thường xuyên có mặt đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học Trong trình giảng dạy phần nguyên hàm tích phân, giáo viên thường lấy toán có sẵn mà tự tạo toán Do tập đưa không phong phú thể loại Đặc biệt việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh giáo viên dựa vào toán có sẵn việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh thiếu tính khách quan xác Ngoài nhận thấy sách giáo khoa nói vấn đề ít, nhiều hạn chế Chưa thực giúp cho giáo viên học sinh định hướng vấn đề trình dạy học Chính lí mà viết đề tài với mục đích giúp học sinh lớp 12 học sinh luyện thi cao đẳng, đại học có nhiều tập tham khảo dạng toán để ôn luyện tốt Qua học sinh có định hướng tốt trình làm toán dạng Đồng thời giúp giáo viên tự tạo đề toán phục vụ cho việc dạy học, kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh Trong trình viết đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! B NỘI DUNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa nguyên hàm Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định K Ta nói: Hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) K F / ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ K 1.2 Định lí Hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C, hàm số G(x)= F(x) +C nguyên hàm hàm số f ( x ) K Hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm hàm số f ( x ) K có dạng F(x) +C , với C số Hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) K F(x) +C ,C ∈ ¡ họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) K Kí hiệu: ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C 1.3 Tính chất nguyên hàm f +∫ + / ( x )dx = f ( x ) + C ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k ≠ 0) + ∫ ( f ( x ) ± g( x) ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx + ∫ f ( x)dx = F( x ) + C ⇒ ∫ f (u)du = F(u) + C (u=u(x)) 1.4 Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số y = f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K 1.5 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp ∫ dx = x + C α ∫ x dx = xα +1 + C (α ≠ −1) α +1   dx = − +C  ÷ ∫  x2  x ∫ dx =2 x +C x ∫ cos xdx = s inx + C ∫ s inxdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C Nguyên hàm hàm số hợp (dưới u=u(x)=ax+b) ∫ kdx = kx + C (k ≠ 0) α ∫ (ax + b) dx =  ∫  (ax + b) ∫ dx ax + b = (ax + b)α +1 +C a α +1  −1 ÷dx = a (ax + b) + C  ax + b + C a ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin(ax + b)dx = dx −1 cos( ax + b) + C a ∫ cos (ax + b) = a tan(ax + b) + C ∫ sin2 x dx = − cot x + C dx ∫ sin (ax + b) = ∫ e dx = e x x −1 cot(ax + b) + C a (ax + b ) ( ax + b ) e dx = e +C ∫ a +C ax ∫ a dx = ln a + C(0 < a ≠ 1) x ∫a dx ∫ x = ln x + C(x ≠ 0) ( bx + c ) a ( bx + c ) dx = +C b ln a dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C 1.6 Phương pháp đổi biến số Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C u = u( x ) hàm số có đạo hàm liên tục f (u( x ))u ( x )dx = F (u( x )) + C K ∫ / Từ ta có hệ ∫ f ( ax + b)dx = F (ax + b) + C a 1.7 Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u = u( x ) v = v ( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục K ∫ u( x)v ( x )dx = u( x )v( x ) − ∫ v( x )u ( x )dx / / II KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI 2.1 Cách giải vấn đề a Cách - Bước 1: Thiết lập hai toán nguyên hàm theo hai phương pháp đổi biến phần - Bước 2: Cộng trừ hai nguyên hàm biến đổi(nếu có thể) để có toán nguyên hàm Ở bước ta hai phép toán nhân chia nguyên hàm hai tính chất hai phép toán nhân chia b Cách - Bước 1: Thiết lập toán nguyên hàm theo phương pháp phần - Bước 2: Thay biến x toán bước biến f(x) (là hàm / số thích hợp) Đồng thời nhân với f ( x ) vào toán bước ta có toán nguyên hàm c Cách / - Bước 1: Thiết lập hai lượng u = u( x ) dv = v ( x )dx cho thỏa mãn hai ý: + Hàm số v = v ( x ) tìm phương pháp đổi biến v ( x )u ( x )dx + Nguyên hàm ∫ / tìm - Bước 2: Với hai lượng thiết lập ta lập toán nguyên hàm Nhận xét: Ba cách tạo toán nguyên hàm đưa với mức độ thực từ dễ đến khó Nên toán tạo với mức độ từ dễ đến khó Sau ta tạo toán nguyên hàm ba cách 2.2 Các ví dụ a Cách *Ví dụ - Bước 1: Ta có hai toán nguyên hàm sau: x Bài toán ∫ Bài toán x + 1dx theo phương pháp đổi biến (Đặt t = x + ) ∫ x s inxdx theo phương pháp phần - Bước 2: Cộng hai toán nguyên hàm đặt x làm thừa số chung ta có toán sau: x ( s inx + x Bài toán 1: Tìm nguyên hàm ∫ ) x + dx *Ví dụ - Bước 1: Ta có hai toán nguyên hàm sau: ∫ Bài toán Bài toán 3ln x dx x theo phương pháp đổi biến (Đặt t = ln x ) ∫ x ln xdx theo phương pháp phần - Bước 2: Trừ hai nguyên hàm đặt lnx làm thừa số chung ta có toán sau: 3  x −  ∫  x ÷ ln xdx Bài toán 2: ĐH khối B – 2010 Tìm nguyên hàm *Ví dụ - Bước 1: Ta có hai toán nguyên hàm sau: ex dx x x ∫ e + Bài toán theo phương pháp đổi biến (Đặt t = e + ) xe dx Bài toán ∫ theo phương pháp phần x - Bước 2: Trừ hai nguyên hàm quy đồng ta có toán sau: xe2 x + ( x − 1)e x ∫ e x + dx Bài toán 3: Tìm nguyên hàm b Cách *Ví dụ x dx ∫ - Bước 1: Ta có toán cos x theo phương pháp phần - Bước 2: Thay biến x toán bước biến f ( x ) = x Đồng thời nhân với f / ( x) = x vào toán bước ta có toán sau: Bài toán 4: Tìm nguyên hàm ∫ 2cos x dx Hướng giải Ta dùng phương pháp đổi biến cách đặt t = x ⇒ t = x ⇒ 2tdt = dx Khi ∫ 2cos x dx = ∫ t dt cos2 t u = t du = dt  ⇒  dv = cos2 t dt v = tan t Ta dùng phương pháp phần cách đặt Suy ∫ 2cos x dx = ∫ t dt = t tan t − ∫ tan tdt = t tan t − ln cost + C cos2 t = x tan x − ln cos x + C *Ví dụ xe dx - Bước 1: Ta có toán ∫ theo phương pháp phần x - Bước 2: Thay biến x toán bước biến f ( x ) = s inx / Đồng thời nhân với f ( x ) = cosx vào toán bước ta có toán nguyên hàm sau: s in2xe Bài toán 5: Tìm nguyên hàm ∫ sinx dx Hướng giải Ta dùng phương pháp đổi biến cách đặt t = s inx ⇒ dt = cos xdx s in2xe Khi ∫ sinx dx = ∫ 2tet dt  u = 2t  du = 2dt ⇒   t t dv = e dt  v = e Ta dùng phương pháp phần cách đặt s in2xe Suy ∫ sinx dx = ∫ 2tet dt = 2tet − 2e t + C = 2esinx (s inx − 1) + C *Ví dụ + ln x - Bước 1: Từ đề ĐH khối B – 2009 ta có toán ∫ ( x + 1) dx theo phương pháp phần - Bước 2: Thay biến x toán bước biến f ( x ) = x Đồng f / ( x) =x thời nhân với vào toán bước ta có toán sau: x (3 + ln x ) ∫ ( x + 1)2 dx Bài toán 6: Tìm nguyên hàm Hướng giải Ta dùng phương pháp đổi biến cách đặt t = x ⇒ dt = xdx x (3 + ln x ) (3 + ln t ) ∫ ( x + 1)2 dx = ∫ (t + 1)2 dt Khi Ta dùng phương pháp phần cách đặt  u = + ln t du = dt   t ⇒  dv = dt  v = − (t + 1)   t +1 x (3 + ln x ) (3 + ln t ) (3 + ln t ) 1 dx = dt = − + ∫ ( x + 1)2 ∫ (t + 1)2 ∫ t (t + 1) dt 2 ( t + 1) Suy =− (3 + ln t ) t (3 + ln x ) x2 + ln +C =− + ln +C (t + 1) t +1 ( x + 1) x2 + c Cách *Ví dụ - Bước 1: Chọn u = x − dv = v / ( x )dx = phương pháp đổi biến sau: v=∫ s inx dx cos2 x Khi ta tìm v s inx dx cos2 x Đặt t = cosx ⇒ −dt = sin xdx Suy v=∫ sinx dt 1 dx = − ∫ = = cos x t t cosx 10 - Bước 2: Với hai lượng chọn ta lập toán sau: ∫ Bài toán 7: Tìm nguyên hàm ( x − 1)s inx dx cos2 x Hướng giải u = x − du = dx   ⇒ sinx  s inx v=∫ dx dv = cos2 x dx v = cosx cos x Đặt (với tìm trên) ∫ Khi ( x − 1)sinx x −1 dx = −∫ dx cos x cosx cosx cosx ∫ dx = ∫ − s in x dx cách đặt t = s inx ⇒ dt = cosxdx Ta tìm cosx ⇒∫ dt 1+ t 1 + s inx dx = ∫ = ln + C = ln +C cosx (1 − t )(1 + t ) − t − s inx ( x − 1)s inx x − 1 + s inx dx = − ln +C ∫ cos x cos x − s in x Vậy Nhận xét: Qua lời giải toán ta thấy toán dành cho học sinh giỏi phù hợp với ôn thi Nếu ta biến đổi cos2 x = + cos2x ta toán khó sau 11 ∫ Bài toán 7’: Tìm nguyên hàm ( x − 1)s inx dx + cos2 x *Ví dụ - Bước 1: Chọn u = x dv = v / ( x )dx = phương pháp đổi biến sau: Đặt t = cotx ⇒ −dt = v=∫ − cotx dx s in x Khi ta tìm v − cotx dx s in x dx sin x Suy − cotx t2 cot x v=∫ dx = − ∫ (1 − t )dt = − t = − cotx s in x 2 - Bước 2: Với hai lượng chọn ta lập toán sau: x (1 − cotx ) dx ∫ s in x Bài toán 8: Tìm nguyên hàm Hướng giải du = 2dx u = x   (1 − cotx ) ⇒   cot x − cotx dv = dx v= − cotx v=∫ dx   s in x  s in x Đặt (với tìm trên) 12 ∫ Khi x (1 − cotx ) dx = xcot x − xcotx − ∫ (cot x − 2cotx )dx s in x = x (cotx − 1) + cotx + ln sinx + C Nhận xét: Nếu ta biến đổi s in x = − cos2x ta toán khó sau: x (1 − cotx ) dx ∫ − cos2 x Bài toán 8’: Tìm nguyên hàm *Ví dụ - Bước 1: Chọn u = ln x dv = v / ( x )dx = phương pháp đổi biến sau: Đặt t = x2 + ⇒ v=∫ v=∫ x dx ( x + 1) Khi ta tìm v x dx ( x + 1) 2 dt = xdx Suy x dt 1 1 dx = = − = − ( x + 1) 2 ∫ t2 t x2 + - Bước 2: Với hai lượng chọn ta lập toán sau: 13 Bài toán 9: Tìm nguyên hàm x ln x dx + 1) ∫ (x Hướng giải  u = ln x du = dx   x ⇒ x  x dv = dx 2  v = − v = dx ( x + 1) 2 ∫   ( x + 1)  x + Đặt (với tìm trên) x ln x 1 1 dx = − ln x + ∫ ( x + 1)2 ∫ x( x + 1)dx x + Khi = −1 2 2x  −1 1 ln x + ∫  − ln x + ln x − ln( x + 1) + C ÷dx = 2 2( x + 1)  x x +1 2( x + 1) *Ví dụ 10 e x+1 dv = v ( x )dx = dx x + u = x + x - Bước 1: Chọn Khi ta tìm v / phương pháp đổi biến sau: Đặt t = x + ⇒ 2dt = v=∫ v=∫ e x +1 dx x +1 dx x + Suy e x +1 dx = ∫ e t dt = 2e t = 2e x +1 x +1 14 - Bước 2: Với hai lượng chọn ta lập toán sau: ( x + x )e ∫ x +1 Bài toán 10: Tìm nguyên hàm x +1 dx Hướng giải u = x + x  du = 2( x + 1)dx x +1 ⇒   e e x +1 x +1 v = e dx  v=∫ dx dv = x +  x + Đặt (với tìm trên) ( x + x )e ∫ x +1 Khi ( x + 1)e Ta tìm ∫ ⇒ ∫ ( x + 1)e x +1 x +1 x +1 dx dx = 2( x + x )e x +1 − ∫ ( x + 1)e x +1 dx cách đặt t = x + ⇒ 2tdt = dx dx = ∫ 2t 3et dt Đến ta tiếp tục dùng phương pháp phần ba lần liên tiếp ta tìm nguyên hàm *Ví dụ 11 / - Bước 1: Chọn u = ln(cosx ) dv = v ( x )dx = tanxdx Khi ta tìm v phương pháp đổi biến sau: v = ∫ tanxdx Đặt t = cosx ⇒ −dt = s inxdx Suy v = ∫− dt = − ln t = − ln(cosx ) t - Bước 2: Với hai lượng chọn ta lập toán sau: 15 Bài toán 11: Tìm nguyên hàm ∫ tan x ln(cosx)dx Hướng giải u = ln(cosx ) du = − tanxdx ⇒  dv = tan xdx v = − ln(cosx ) (với v = ∫ tanxdx tìm trên) Đặt  tan x ln(cosx )dx = − ln (cosx ) − ∫ tan x ln(cosx ) dx Khi ∫ ⇒ ∫ tan x ln(cosx )dx = − ln (cosx ) + C III CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bằng cách thêm cận thích hợp vào toán nguyên hàm tạo ta toán tích phân Sau số tập tạo nên từ hướng nêu trên: π *Bài 1: Tốt nghiệp 2004 – 2005 Tính tích phân ∫ ( x + s in x )cosxdx x + e x + x 2e x ∫0 + 2e x dx *Bài 2: ĐH Khối A – 2010 Tính tích phân ln x dx x *Bài 3: Tính tích phân ∫ π + x s inx dx cos x *Bài 4: ĐH Khối B – 2011 Tính tích phân ∫ 16 π xcosx ∫ s in x dx *Bài 5: Tính tích phân π  − x2  ∫0 x ln  + x ÷ dx *Bài 6: Tính tích phân  − cos2 x  K = ∫ s in2x (1 + cos2 x ) ln  ÷dx + cos2 x   MR π *Bài 7: Tính tích phân x (1 − cotx ) ∫π − cos2x dx π ∫ cotx ln(s inx)dx *Bài 8: Tính tích phân K = ∫ x s in π x x cos dx = ∫ x s in xdx 2 C KẾT LUẬN Như với cách giải nêu trên, tạo nhiều toán tìm nguyên hàm tích phân Bằng cách làm tương tự 17 giáo viên tạo nhiều toán nguyên hàm tích phân để cung cấp tập cho học sinh luyện tập Đồng thời dùng vào việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh Trong trình dạy học, đưa tập tạo vào dạy Chương III giải tích 12 định hướng cho em làm tập Đồng thời kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh lớp 12 Chương III giải tích 12, dùng tập tự tạo Tôi nhận thấy việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh khách quan xác Còn với em học sinh nắm vững kiến thức biết cách vận dụng kiến thức học để giải tập dạng Qua em ôn luyện phần kiến thức cho hai kì thi tốt nghiệp cao đẳng, đại học Tôi mong nhận ý kiến đóng góp từ quý thầy, cô bạn đọc để đề tài hoàn thiện nhằm mục đích phục vụ tốt cho việc dạy học Tôi xin chân thành cảm ơn! Chư Sê, ngày 20 tháng 02 năm 2013 Người viết: Võ Ngọc Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 1) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Liên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008 2) Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Liên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm Thu, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Bài tập giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008 3) Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 4) Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đoàn Quỳnh, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đặng Hùng Thắng, Bài tập giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 5) ThS Lê Hồng Đức (Chủ biên), NGƯT Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân ứng dụng, NXB Đại học sư phạm, 2006 6) Đề thi tuyển sinh Đại học từ năm 2002 đến năm 2012 Bộ giáo dục đào tạo MỤC LỤC 19 A ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………………………………… B NỘI DUNG .2 I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ………………………………………………2 1.1 Định nghĩa nguyên hàm … …………………………………… 1.2 Định lí ………………………………………………………… 1.3 Tính chất nguyên hàm ……………………… …………….2 1.4 Sự tồn nguyên hàm …………………………… ………… 1.5 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp.…………… 1.6 Phương pháp đổi biến số.…………………………… ……… 1.7 Phương pháp tính nguyên hàm phần………… …… … II KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI…………………………… ………….4 2.1 Cách giải vấn đề…………………………… ……………… a Cách 1…………………………… ……………… .4 b Cách 2…………………………… ……………… .4 c Cách 3…………………………… ……………… .4 2.2 Các ví dụ…………………….…………………… ……………… a Cách 1…………………………… ……………… .5 b Cách 2…………………………… ……………… .6 c Cách 3…………………………… ……………… .8 III CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ…………………………………………12 C KẾT LUẬN……………………………………………………………13 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 14 20 ... thường gặp.…………… 1.6 Phương pháp đổi biến số.…………………………… ……… 1.7 Phương pháp tính nguyên hàm phần………… …… … II KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI…………………………… ………….4... xdx Bài toán 2: ĐH khối B – 2010 Tìm nguyên hàm *Ví dụ - Bước 1: Ta có hai toán nguyên hàm sau: ex dx x x ∫ e + Bài toán theo phương pháp đổi biến (Đặt t = e + ) xe dx Bài toán ∫ theo phương pháp. .. TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI 2.1 Cách giải vấn đề a Cách - Bước 1: Thiết lập hai toán nguyên hàm theo hai phương pháp đổi biến phần - Bước 2: Cộng trừ hai nguyên hàm biến đổi(nếu có thể) để