Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị (hay gọi Lý thuyết Nevanlinna) hình thành phát triển suốt gần kỷ qua Có thể coi năm 1925 cột mốc đánh dấu đời Lý thuyết R Nevanlinna công bố báo phân bố giá trị hàm phân hình mặt phẳng phức Cột mốc quan trọng Lý thuyết Nevanlinna năm 1933 mà H Cartan tổng quát kết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình không gian xạ ảnh phức có ảnh giao với họ siêu phẳng vị trí tổng quát Trong gần kỷ qua, Lý thuyết Nevanlinna liên tục thu hút quan tâm đông đảo nhà toán học hai khía cạnh: phát triển lý thuyết nội tìm kiếm mối liên hệ với lĩnh vực khác Toán học Nội dung cốt lõi Lý thuyết Nevanlinna tập trung hai định lý chính, gọi Định lý thứ Định lý thứ hai Định lý thứ suy từ công thức Jensen nói chúng hiểu biết tương đối rõ Tuy nhiên, Định lý thứ hai không Việc thiết lập Định lý thứ hai khó thiết lập số trường hợp Có thể nói lịch sử phát triển suốt gần kỷ qua Lý thuyết Nevanlinna gắn bó mật thiết với việc thiết lập dạng Định Footer Page of 126 Header Page of 126 lý thứ hai với kết tiêu biểu H Cartan cho đường cong chỉnh hình không gian xạ ảnh phức với mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát, E Nochka cho đường cong chỉnh hình không gian xạ ảnh phức với mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát, W Stoll H Fujimoto cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát, W Stoll-M Ru M Ru cho đường cong chỉnh hình không gian xạ ảnh phức với mục tiêu siêu phẳng di động Gần đây, nhờ việc kết hợp tiến Lý thuyết xấp xỉ Diophantine công trình Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii, với kỹ thuật Hình học đại số Đại số giao hoán, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-TanThai thiết lập dạng định lý thứ hai cho trường hợp siêu mặt Các kết tác giả nguồn cảm hứng định hướng cách tiếp cận cho nhiều tác giả sau việc nghiên cứu Định lý thứ hai Lý thuyết Nevanlinna định lý không gian Schmidt Lý thuyết xấp xỉ Diophantine Trong bối cảnh chọn hướng nghiên cứu thứ đề tài luận án nghiên cứu Định lý thứ hai cho trường hợp siêu mặt Song song với việc phát triển nội Lý thuyết Nevanlinna, việc tìm kiếm mối liên hệ với lĩnh vực khác toán học nhiều nhà toán học quan tâm Năm 1926, R Nevanlinna thiết lập ứng dụng Lý thuyết phân bố giá trị toán xác định hàm phân hình mặt phẳng phức điều kiện ảnh ngược giá trị phân biệt Cụ thể ông chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân hình khác mặt phẳng phức có ảnh ngược (không tính bội) giá trị phân biệt chúng trùng Năm 1975, H Fujimoto sau vào năm 1983, L Smiley mở rộng kết Nevanlinna theo hướng khác sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức có ảnh ngược (với bội tính tới mức đó) siêu phẳng vị trí tổng quát Vấn đề H Fujimoto, S Ji, W Footer Page of 126 Header Page of 126 Stoll tiếp tục quan tâm nhiều công trình sau Gần đây, việc cải tiến đáng kể phương pháp tác giả trước với kỹ thuật tinh xảo, tác giả Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, G Dethloff, Z Chen Q Yan thu nhiều kết sâu sắc chủ đề này, theo hướng tinh giảm đáng kể điều kiện đưa ra, đặc biệt số siêu phẳng cần thiết Tiếp nối nghiên cứu này, chọn hướng nghiên cứu thứ hai đề tài luận án thiết lập định lý suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n điều kiện có ảnh ngược số siêu phẳng Mục đích nghiên cứu Năm 1997, P Vojta M Ru thiết lập định lý thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên không suy biến tuyến tính không gian xạ ảnh với mục tiêu siêu phẳng tùy ý (thay vị trí tổng quát) Mục đích thứ mở rộng kết sang trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến đại số đa tạp xạ ảnh phức với mục tiêu siêu mặt Năm 1985, H Fujimoto nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát Mục đích thứ hai luận án mở rộng kết sang trường hợp ánh xạ vào đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát Mục đích thứ ba luận án thiết lập định lý tính suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh có ảnh ngược số siêu phẳng vị trí tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu Định lý thứ hai Lý thuyết Nevanlinna ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna vào việc nghiên cứu toán xác định ánh xạ phân hình Footer Page of 126 Header Page of 126 4 Phương pháp nghiên cứu Chúng dùng kỹ thuật Giải tích phức, Hình học đại số, Xấp xỉ Diophantine Các kết đạt ý nghĩa đề tài - Thiết lập dạng mở rộng Định lý thứ hai tới trường hợp siêu mặt tùy ý Kết mở rộng kết Vojta, Ru từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt - Thiết lập định lý quan hệ số khuyết, phản ánh phân bố giá trị ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát Nó mở rộng kết Fujimoto từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt - Thiết lập định lý tính suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào CP n có ảnh ngược số siêu phẳng vị trí tổng quát Kết tổng quát kết Ji tới trường hợp có siêu phẳng Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, tổng quan, kết luận kiến nghị, luận án bao gồm chương: - Chương 1: Định lý thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu siêu mặt tùy ý - Chương 2: Sự phân bố giá trị ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ ahler đầy vào đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu siêu mặt - Chương 3: Tính suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n Footer Page of 126 Header Page of 126 TỔNG QUAN Trước hết điểm lại kiện tiêu biểu Lý thuyết Nevanlinna việc thiết lập định lý thứ hai cho trường hợp đường cong không gian xạ ảnh giao siêu phẳng: - Năm 1925, Nevanlinna thiết lập định lý thứ hai cho hàm phân hình khác mặt phẳng phức, với mục tiêu điểm không điểm ngắt bội (nói cách khác không tính bội) - Năm 1986, Steinmetz mở rộng kết Nevanlinna sang trường hợp mục tiêu hàm phân hình "nhỏ" (so với hàm cần xem xét phân bố giá trị) Tuy vậy, định lý thứ hai Steinmetz, bội giao không ngắt (nói cách khác, hàm đếm, ta tính bội không điểm tương ứng) Năm 2006, Yamanoi đạt định lý thứ hai cho trường hợp mục tiêu hàm phân hình "nhỏ" bội ngắt kết Nevanlinna - Năm 1933, Cartan mở rộng kết của Nevanlinna sang trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính không gian xạ ảnh phức mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát Kết Cartan không đánh dấu mở đầu cho việc nghiên cứu Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp chiều cao mà phương pháp Cartan (có khởi nguồn từ Nevanlinna) có ảnh hưởng trực tiếp tới cách tiếp cận vấn đề nhiều tác giả sau Chúng mô tả rõ kết quan trọng Cartan phía sau - Năm 1953, Stoll thiết lập định lý thứ hai cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ Cm (nhiều biến) vào không gian xạ ảnh phức mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát Footer Page of 126 Header Page of 126 - Năm 1983, Nochka thiết lập định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình khác không gian xạ ảnh với mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát (nói cách khác đường cong chỉnh hình không gian xạ ảnh không suy biến tuyến tính mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát) Kết Nochka giải trọn vẹn giả thuyết năm 1933 Cartan - Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức mục tiêu siêu phẳng di động vị trí tổng quát tổng quát - Năm 1991, Ru-Stoll thiết lập định lý thứ hai cho trường hợp mục tiêu siêu phẳng di động nhỏ - Năm 1997, Vojta, Ru thiết lập dạng mở rộng định lý thứ hai cho trường hợp họ siêu phẳng tùy ý - Năm 2004, Ru thiết lập định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số không gian xạ ảnh phức mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát - Năm 2009, Ru thiết lập định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số đa tạp đại số xạ ảnh phức mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát - Năm 2010, Dethloff-Tan thiết lập định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình không suy biến đại số không gian xạ ảnh phức mục tiêu siêu mặt di động - Năm 2011, Dethloff-Tan-Thai thiết lập định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số đa tạp đại số xạ ảnh phức mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát Bây phân tích rõ khó khăn gặp phải nghiên cứu định lý thứ hai cho trường hợp siêu mặt Ta bắt đầu với kết cách tiếp cận Cartan Footer Page of 126 Header Page of 126 Định lý 0.0.1 (Định lý thứ hai Cartan) Cho f ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP n (có nghĩa ảnh f không nằm siêu phẳng nào) Giả sử Hj (1 ≤ j ≤ q) siêu phẳng CP n vị trí tổng quát Khi đó, q [n] (q − n − 1)Tf (r) ≤ NHj (f ) (r) + o(Tf (r)) j=1 [n] Tf (r), N(f,Hj ) (r) hàm đặc trưng, hàm đếm f, khái niệm định nghĩa chương sau Các bổ đề sau đóng vai trò quan trọng phép chứng minh định lý Bổ đề 0.0.2 (Công thức Jensen) Đối với hàm phân hình ϕ khác đồng không, ta có Nϕ (r) = 2π log |ϕ|dθ + O(1), với r > 0, |z|=r Nϕ (r) hàm đếm không điểm ϕ Bổ đề 0.0.3 (Bổ đề đạo hàm Logarit) Cho f ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào CP n với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ), cho H1 , , Hq siêu phẳng CP n vị trí tổng quát Khi toán tử dk fi ≡ Wronskian W (f ) := W (f0 , , fn ) = det dz k 0≤k,i≤n log+ |z|=r |W (f )| dθ = o(Tf (r)), |Hj0 (f ) · · · Hjn (f )| với ≤ j0 < · · · < jn ≤ q Bổ đề sau cho phép ta ngắt bội giao điểm đường cong với siêu phẳng tương ứng Footer Page of 126 Header Page of 126 Bổ đề 0.0.4 Cho f ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào CP n H1 , , Hq siêu phẳng CP n vị trí tổng quát Khi q ν H1 (f )···Hq (f ) ≤ W (f ) min{νHj (f ) , n}, j=1 νφ (z) bội không điểm z φ Thật không may, bổ đề 0.0.3 0.0.4 không mở rộng sang trường hợp mà siêu phẳng Hj thay siêu phẳng di động hay siêu mặt Gần đây, Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii đạt kết thú vị nghiên cứu xấp xỉ Diophantine, đồng thời thúc đẩy việc nghiên cứu định lý thứ hai cho trường hợp siêu mặt Hướng nghiên cứu thứ luận án nằm chủ đề Một ứng dụng đẹp đẽ Lý thuyết Nevanlinna cho ta tiêu chuẩn xác định ánh xạ chỉnh hình (hay phân hình) từ Cm vào CP n Năm 1926, Nevanlinna chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân hình khác mặt phẳng phức có ảnh ngược (không tính bội) giá trị phân biệt chúng Năm 1975, Fujimoto mở rộng kết Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ phân hình, cụ thể ông chứng minh rằng, hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào CP n có ảnh ngược (tính bội) 3n + siêu phẳng vị trí tổng quát hai ánh xạ trùng Năm 1983, Smiley mở rộng kết Cartan sau: Định lý 0.0.5 Cho f, g hai ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP n Cho {Hj }qj=1 (q ≥ 3n + 2) siêu phẳng CP n vị trí tổng quát Giả sử a) f −1 (Hj ) = g −1 (Hj ) , b) f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) = ∅ với ≤ i < j ≤ q, c) f = g Khi f ≡ g Footer Page of 126 với ≤ j ≤ q, (như tập hợp) q −1 j=1 f (Hj ) Header Page of 126 Với cách tiếp cận khác nhau, năm 1989 Stoll năm 1998 Fujimoto tiếp tục nhận kết Gần đây, khởi đầu từ tác giả Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, Gerd Dethloff, Đỗ Đức Thái tiếp nối số tác giả khác đạt nhiều dạng định lý xác định trường hợp có siêu phẳng; kết mở rộng mạnh mẽ hầu hết định lý trước xác định ánh xạ phân hình Chẳng hạn, định lý nêu Smiley cho trường hợp có 2n + siêu phẳng Hướng nghiên cứu thứ hai luận án thiết lập định lý xác định ánh xạ phân hình cho trường hợp có siêu phẳng Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Chương Định lý thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu siêu mặt tùy ý Năm 1997, Vojta mở rộng Định lý thứ hai Cartan sang trường hợp mà đường cong nguyên không gian xạ ảnh giao siêu phẳng tùy ý (thay giả thiết vị trí tổng quát kết Cartan) Ngay sau đó, Ru cải tiến kết Vojta cách đưa ước lượng rõ ràng đại lượng vô bé đưa ngắt bội vào hàm đếm giao điểm Gần đây, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan-Thai số tác giả khác đạt kết thú vị Định lý thứ hai cho trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát Mục đích chương thiết lập Định lý thứ hai cho trường hợp siêu mặt tùy ý, nói cách khác mở rộng kết Vojta Ru sang trường hợp siêu mặt Chương gồm hai mục: Mục thứ dành để trình bày số khái niệm kết bổ trợ; mục thứ hai dành để trình bày cho việc phát biểu chứng minh định lý Chương viết dựa báo [3] (trong mục công trình công bố liên quan đến luận án) 10 Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 11 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong mục này, nhắc lại khái niệm: Hàm đếm divisor, hàm đặc trưng ánh xạ chỉnh hình, Hàm Hilbert HX đa tạp xạ ảnh X ⊂ CP N , trọng Hilbert thứ m X Từ trình bày bổ đề cho ta đánh giá cho trọng Hilbert cho phép ta ngắt bội giao điểm hàm đếm Bổ đề 1.1.1 Cho X ⊂ CP N đa tạp đại số có chiều n bậc +1 Cho m > số nguyên c = (c0 , , cN ) ∈ RN ≥0 Giả sử {i0 , , in } tập {0, , N } cho {x = (x0 : · · · : xN ) ∈ CP N : xi0 = · · · = xin = 0} ∩ X = ∅ Khi mHX (m) SX (m, c) ≥ (2n + 1) (ci0 + · · · + cin ) − (n + 1) m · max ci 0≤i≤N Bổ đề 1.1.2 Cho Y đa tạp xạ ảnh CP N điểm chung với P Khi π|Y : Y → CP cấu xạ hữu hạn Hệ 1.1.3 Ánh xạ Φ : X → CP q−1 , cho Φ(x) = (Q1 (x) : · · · : Qq (x)) cấu xạ hữu hạn Bổ đề 1.1.4 Cho f ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP N với biểu diễn thu gọn f = (f0 : · · · : fN ) Đặt W (f ) = W (f0 , , fN ) Wronskian f Khi N ν f0 ···fN ≤ W (f ) 1.2 min{νfi , N } i=0 Định lý thứ hai cho họ siêu mặt tùy ý Năm 1933, Cartan thiết lập định lý thứ hai cho ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n giao với siêu phẳng vị trí tổng quát Năm 1997, Vojta đưa dạng mở rộng sau Định lý thứ hai Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 12 Định lý 1.2.1 Cho f ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào CP n cho {Hj }qj=1 siêu phẳng CP n Khi với > 0, ta có: 2π λHj (f (reiθ )) max K∈K j∈K dθ ≤ (n + + )Tf (r), 2π K tập tất tập K ⊂ {1, , q} cho siêu phẳng Hj với j ∈ K vị trí tổng quát Cũng năm 1997, Ru tổng quát hóa kết Vojta việc đưa ngắt bội vào hàm đếm ước lượng rõ ràng phần vô bé Định lý 1.2.2 Cho f ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào CP n cho {Hj }qj=1 siêu phẳng tùy ý CP n Cho ψ φ hàm tăng R+ với ∞ e dr < ∞ rψ(r) ∞ e dr = ∞ φ(r) Khi đó: 2π λHj (f (reiθ )) max K∈K j∈K dθ + NW (f ) (r) 2π ≤ (n + 1)Tf (r) + n(n + 1) Tf (r)ψ(Tf (r)) log + O(1), φ(r) K tập tất tập K ⊂ {1, , q} cho siêu phẳng {Hj , j ∈ K} vị trí tổng quát W (f ) Wronskian f Chúng muốn nhấn mạnh kết Vojta Ru, siêu phẳng H1 , , Hq tùy ý Gần đây, định lý thứ hai thiết lập cho trường hợp siêu mặt Ru, Dethloff -Tan, Dethloff -Tan-Thai, An-Phuong Năm 2009, Ru chứng minh Định lý 1.2.3 Cho V ⊂ CP N đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều n ≥ Cho f ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào V Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 13 Cho D1 , , Dq siêu mặt CP N có bậc dj vị trí tổng quát V Khi với > q (q − n − − )Tf (r) ≤ j=1 N (r, Dj ) dj Vấn đề đặt cách tự nhiên mở rộng Định lý 1.2.1, 1.2.2 cho trường hợp siêu mặt Nói cách khác tổng quát hóa Định lý 1.2.3 tới trường hợp siêu mặt tùy ý Theo hướng đó, thiết lập định lý sau: Định lý 1.2.4 Cho V ⊂ CP N đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều n ≥ Cho f ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào V Cho D1 , , Dq (V ⊂ Dj ) siêu mặt tùy ý CP n có bậc dj Khi với > 0, tồn số nguyên dương M phụ thuộc vào , dj , q, n, deg V cho 2π r dθ λDj (f (reiθ )) + max K∈K d 2π j∈K j dt max t K∈K j∈K,|z| 0, tồn số nguyên dương M phụ thuộc vào , d, q, n, deg V, cho 2π dθ max λDj (f (reiθ )) + R∈R d 2π j∈R r dt max t R∈R j∈R,|z| ta có: q [ ] δf (Dj ) ≤ 2n1 − n + + q + ρT j=1 với , T nguyên dương thỏa mãn ≤ N + md md N + md md T ≤ d(m − (n + 1)(2n + 1)dn deg V ) (2n1 − n + 1) Chúng muốn lưu ý rằng, cách độc lập, Ru-Sogome đạt kết tương tự cho ánh xạ vào CP n (thay vào V trên) siêu mặt vị trí tổng quát Sau kết công bố, Yan đạt kết khác tương tự kết chúng tôi, Yan bỏ điều kiện (ii) định nghĩa siêu mặt vị trí tổng quát đánh giá số khuyết kết Yan yếu đánh giá định lý Chúng cho phương pháp không áp dụng vào tình Yan (tức điều kiện ii)) phương pháp Yan không cho phép tới quan hệ số khuyết tốt Định lý 2.2.5 Để đạt quan hệ số khuyết với chặn nhỏ tình điều kiện ii) rõ ràng cần bước đột phá cách tiếp cận Theo chúng tôi, câu hỏi khó thú vị Lý thuyết Nevanlinna Từ định lý chính, suy hai hệ sau: Hệ 2.2.6 Tập D ∈ Dk với δf (D) > đếm Hệ 2.2.7 Cho g : M −→ Cκ đa tạp quy đầy, có phủ phổ dụng đẳng cấu chỉnh hình tới B(R0 ) (0 < R0 ≤ ∞) Cho G : M −→ CP N ánh xạ Gauss g Cho V ⊂ CP N đa tạp xạ ảnh phức nhẵn có số chiều n cho ImG ⊂ V G : M −→ V không suy biến đại số Khi q [ ] δG (Dj ) ≤ 2n1 − n + + q + T j=1 với số nguyên dương , T thỏa mãn ≤ Footer Page 18 of 126 N + md md N + md md T ≤ d(m − (n + 1)(2n + 1)dn deg V ) (2n1 − n + 1) Header Page 19 of 126 Chương Tính suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n Mục đích chương thiết lập định lý tính suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n điều kiện ảnh ngược (với bội ngắt) siêu phẳng vị trí tổng quát Chương gồm ba mục: Mục thứ dành để trình bày số khái niệm kết bổ trợ; mục thứ hai, trình bày kết hàm phụ trợ Cartan bổ đề trực tiếp cho phần sau; mục thứ ba nhằm trình bày kết Chương viết dựa báo [1] (trong mục công trình công bố liên quan đến luận án) 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Bên cạnh khái niệm kết Lý thuyết Nevanlinna trình bày chương trước, phần tiếp tục trình bày kết có liên quan tới phần phát biểu chứng minh kết chương như: Công thức Jensen; Hàm xấp xỉ; Hàm đếm; Định lý thứ nhất; Định lý thứ hai Bổ đề đạo hàm logarit 19 Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 20 3.2 Hàm phụ trợ Cartan Hàm phụ trợ giúp việc tính toán đánh giá bội giao siêu phẳng với ảnh ánh xạ Nó thiết lập Cartan cho trường hợp hàm mở rộng sang trường hợp ánh xạ Fujimoto Cho F, G, H hàm phân hình khác không Cm Với s, ≤ s ≤ m, ta định nghĩa hàm phụ trợ Cartan F, G, H s Φ (F, G, H) := F · G · H · ∂ ∂zs 1 1 F G H F ∂ ∂zs G ∂ ∂zs H Bổ đề 3.2.1 Cho F, G, H hàm phân hình khác đồng không Cm Giả sử Φs (F, G, H) ≡ với s ∈ {1, , m} Khi tồn số α, β ∈ C cho 1 1 − − +β ≡ α G F H F Cùng với định lý bản, hàm phụ trợ Cartan đóng vai trò quan trọng toán nhất, chúng sử dụng để đánh giá hàm đếm Trong bổ đề sau đây, đạt đánh giá hàm đếm nhờ hàm phụ trợ Cartan Bổ đề 3.2.2 Giả sử tồn i0 , j0 ∈ {1, , q}, s ∈ {1, , m} tập giải tích đóng A tập giải tích có chiều túy (m − 1) Cm cho: 1) Φsi0 j0 := Φs γ1i0 j0 , γ2i0 j0 , γ3i0 j0 ≡ 0, 2) ν(f1 ,Hk ) , + = ν(f2 ,Hk ) , + = v(f3 ,Hk ) , + Cm \ A với k ∈ {i0 , j0 }, số nguyên không âm Khi q [1] [ +1] [ ] [1] N(fi ,Hj ) (r) + 2N(fi ,Hj ) (r) + N(fi ,Hi ) (r) − N(fi ,Hj ) (r) 0 j=1,j=i0 ,j0 ≤ T (r) + N [1] (r, A) + o(T (r)) với i ∈ {1, 2, 3} Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 21 3.3 Định lý suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình Cho f ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào CP n với biểu diễn thu gọn (f0 : · · · : fn ) (có nghĩa hàm fi chỉnh hình f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) z tập có đối chiều không bé hai, I(f ) := ∩ni=0 {fi = 0} Cho q siêu phẳng H1 , , Hq CP n vị trí tổng quát ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f từ Cm vào CP n cho dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) ≤ m − 2, với ≤ i < j ≤ q Với số nguyên dương p, ta ký hiệu F({Hj }qj=1 , f, p) họ ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm −→ CP n thỏa mãn điều kiện: (a) ν(g,Hj ) , p = ν(f,Hj ) , p với j ∈ {1, , q}, (thay cho điều kiện (a), nói bội giao ngắt p) q (b) g = f f −1 (Hj ) j=1 Bài toán xác định ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n hiểu cần đưa điều kiện với q (là số siêu phẳng) p (là giá trị mà bội ngắt bởi) cho tập F {Hj }qj=1 , f, p) chứa ánh xạ (định lý nhất) theo nghĩa rộng hơn, nghiên cứu lực lượng tập hợp F {Hj }qj=1 , f, p) tìm mối quan hệ ánh xạ tập hợp Năm 1988, S Ji Định lý 3.3.1 Giả sử q = 3n + p = Khi với ba ánh xạ g1 , g2 , g3 ∈ F({Hj }qj=1 , f, p), ánh xạ g1 ×g ×g : Cm −→ CP n × CP n × CP n suy biến đại số, nghĩa {(g1 (z), g2 (z), g3 (z)) , z ∈ Cm } chứa đa tạp thực CP n × CP n × CP n Vào năm 2006, G Dethloff T V Tan kết S Ji với q ≥ 5(n+1) Trước đó, năm 1998, H Fujimoto chứng minh định lý sau Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 22 Định lý 3.3.2 Giả sử q ≥ 2n + 2, p = n(n+1) + n f1 , , fn+2 q n + ánh xạ tùy ý F({Hj }j=1 , f, p) Khi tồn n + siêu phẳng Hj0 , , Hjn số siêu phẳng Hj cho với cặp (i, k) với ≤ i < k ≤ n, ta có hàm (fn+2 , Hji ) (f1 , Hji ) (f2 , Hji ) (f1 , Hji ) (f3 , Hji ) (f1 , Hji ) − , − , , − (f2 , Hjk ) (f1 , Hjk ) (f3 , Hjk ) (f1 , Hjk ) (fn+2 , Hjk ) (f1 , Hjk ) phụ thuộc tuyến tính Trong chủ đề này, đạt kết sau theo hướng làm giảm số siêu phẳng Định lý 3.3.3 Cho ba ánh xạ f1 , f2 , f3 F({Hj }qj=1 , f, p) Giả sử điều kiện √ sau thỏa mãn n + + 7n2 + 2n + i) p = n q > , ii) ≤ p < n tồn số nguyên dương t {p, , n − 1} cho 18t 3qn (q − n − 1)(2q + 3t − 3) 3q + −q+n+1 < n − t 2q + 3p − n Khi tồn số α, β ∈ C cặp số (i0 , j0 ) với ≤ i0 = (f ,H ) (f ,H ) (f ,H ) (f ,H ) j0 ≤ q, cho α (f22 ,Hji0 ) − (f11 ,Hji0 ) + β (f33 ,Hji0 ) − (f11 ,Hji0 ) ≡ 0 0 Từ định lý đạt hệ trực tiếp sau: Hệ 3.3.4 Với giả thiết định lý 3.3.3 ánh xạ f1 × f2 ×f3 phụ thuộc tuyến tính (với cấu trúc đại số CP n × CP n × CP n cho phép nhúng Segre vào CP (n+1) −1 ) Chúng muốn lưu ý năm 2014, Quang-Quynh chứng minh hai ánh xạ không suy biến tuyến tính f, g từ Cm vào CP n có ảnh ngược (2n + 2) siêu phẳng vị trí tổng quát (trong bội giao ngắt 2n + siêu phẳng ngắt n + siêu phẳng lại) điều kiện i), iii) tương ứng thỏa mãn, f × g suy biến Như vậy, kết Quang-Quynh cần nhiều siêu phẳng trường hợp p = n nói chúng tôi, bội ngắt mức nói chung thấp Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án tập trung nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ chỉnh hình phân hình vào không gian xạ ảnh phức ứng dụng Lý thuyết phân bố giá trị việc nghiên cứu toán xác định ánh xạ phân hình Cụ thể, đạt nhóm kết sau: - Thiết lập Định lý thứ hai cho trường hợp đường cong chỉnh hình đa tạp đại số xạ ảnh, hàm đếm tính dựa giao điểm đường cong với siêu mặt tùy ý Các kết xem mở rộng công trình Vojta Ru từ trường hợp siêu phẳng lên siêu mặt - Thiết lập Định lý quan hệ số khuyết ứng với siêu mặt vị trí tổng quát ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh Kết mở rộng kết Fujimoto từ trường hợp siêu phẳng không gian xạ ảnh sang trường hợp siêu mặt đa tạp đại số xạ ảnh - Thiết lập tiêu chuẩn tính suy biến tuyến tính tích ánh xạ phân hình từ không gian affine phức vào không gian xạ ảnh phức có ảnh ngược (với bội tính tới mức cụ thể) số siêu phẳng vị trí tổng quát Kết tiếp nối kết tác giả trước, theo hướng làm giảm số siêu phẳng cần thiết Các kết luận án đăng tạp chí toán học có uy tín (2 đăng tạp chí thuộc danh mục SCI; đăng tạp chí thuộc danh mục SCI-E) Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 24 Kiến nghị nghiên cứu Liên quan tới chủ đề luận án, vấn đề sau mở theo đáng quan tâm: - Thiết lập Định lý thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên không suy biến đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu siêu mặt di động - Thiết lập Định lý thứ hai cho trường hợp họ siêu mặt vị trí N − tổng quát (theo nghĩa N + siêu mặt họ có giao khác rỗng, với số nguyên dương N đó) cho cho phép chặn không lớn tổng số khuyết tương ứng - Thiết lập định lý cho trường hợp có siêu mặt, chẳng hạn số siêu mặt hàm bậc chiều không gian xạ ảnh Footer Page 24 of 126  ... mặt Các kết tác giả nguồn cảm hứng định hướng cách tiếp cận cho nhiều tác giả sau việc nghiên cứu Định lý thứ hai Lý thuyết Nevanlinna định lý không gian Schmidt Lý thuyết xấp xỉ Diophantine Trong... cứu định lý thứ hai cho trường hợp siêu mặt Hướng nghiên cứu thứ luận án nằm chủ đề Một ứng dụng đẹp đẽ Lý thuyết Nevanlinna cho ta tiêu chuẩn xác định ánh xạ chỉnh hình (hay phân hình) từ Cm vào... lập định lý thứ hai cho trường hợp mục tiêu siêu phẳng di động nhỏ - Năm 1997, Vojta, Ru thiết lập dạng mở rộng định lý thứ hai cho trường hợp họ siêu phẳng tùy ý - Năm 2004, Ru thiết lập định lý