Bài toán thực tế quy về hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn nguyễn bá hoàng

22 152 0
  • Loading ...
1/22 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 03/05/2017, 10:36

MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Bài toán Quy hoạch tuyến tính Thanh Hoá, tháng 02, năm 2017 1|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 2|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 Lời nói đầu Từ thời cổ đại, thực công việc mình, loài người hướng tới cách làm tốt cách làm tức tìm phương án tối ưu phương án Khi khoa học phát triển, người ta mô hình hoá toán học với việc cần làm, nghĩa biểu thị mục tiêu cần đạt được, yêu cầu hay điều kiện thoả mãn ngôn ngữ toán học để tìm lời giải tối ưu cho Từ đó, hình thành nên toán tối ưu Quy hoạch tuyến tính lĩnh vực toán học nghiên cứu toán tối ưu với hữu hạn biến, đó, mục tiêu điều kiện ràng buộc biểu thị hàm số, phương trình hay bất phương trình tuyến tính bậc Quy hoạch tuyến tính là ngành toán học có nhiều ứng dụng đời sống kinh tế, số ngành học kinh tế sư phạm (bậc đại học) có môn học toán Đối với học sinh bậc THPT xét dạng đơn giản toán Quy hoạch tuyến tính trình bày chương trình Đại số lớp 10 Với cách tổ chức thi THPTQG theo hình thức trắc nghiệm theo quan điểm cá nhân Quy hoạch tuyến tính toán quan trọng khả cao xuất đề thi THPTQG dạng toán xuất phát từ nhu cầu thiết yếu sống Bài viết gồm mục:  A Nội dung kiến thức  B Ví dụ minh hoạ  C Bài tập đề nghị  D Hướng dẫn, đáp án Hi vọng viết giúp em học sinh khối 10 ôn tập tốt nội dung kiến thức Mặc dù trình biên soạn tác giả cố gắng để viết hoàn thiện Tuy nhiên chắn có câu, từ làm bạn đọc thấy không hợp lý Tác giả mong nhận góp ý từ phía bạn đọc để viết hoàn thiện Mọi góp ý từ phía bạn đọc xin gửi cho tác giả qua hòm thư điện tử: hoang.hoanglap@gmail.com, mạng xã hội Facebook: www.facebook.com.hoang.gd.7 ĐT: 0936.407.353 Thanh Hoá, ngày 15, tháng 02, năm 2017 Nguyễn Hoàng 3|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 Bài toán Quy hoạch tuyến tính A Nội dung kiến thức Bất phương trình bậc hai ẩn    Bất phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax  by  c (1) , Ngoài dạng bất phương trình (1) có dạng ax  by  c, ax  by  c, ax  by  c Trong a, b, c số thực, a b không đồng thời 0, x y ẩn số Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình (1) gọi miền nghiệm Các bước biểu diễn miền nghiệm bất phương trình ax  by  c (tương tự với bất phương trình ax  by  c)  Bước 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường thẳng d : ax  by  c  Bước 2: Lấy diểm M ( x0 ; y0 ) không thuộc đường thẳng d  Bước 3: Tính ax0  by0 so sánh ax0  by0 với c  Bước 4: Kết luận:  Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ d chứa M miền nghiệm bất phương trình ax  by  c  Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ d không chứa M miền nghiệm bất phương trình ax  by  c Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn x  y  Lời giải Vẽ đường thẳng d : x  y  Lấy điểm M gốc toạ độ O Ta thấy O  d 2.0   nên nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ O miền nghiệm bất phương trình cho (miền không bị tô đậm hình bên kể biên) y O x Hệ bất phương trình bậc hai ẩn   Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Để biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn, ta thực theo bước sau:  Bước 1: Vẽ tất đường thẳng ứng với bất phương trình hệ bất phương trình cho lên hệ trục toạ độ  Bước 2: Xác định miền nghiệm bất phương trình hệ phương trình cho (bằng cách gạch chéo tô đậm phần không nằm miền nghiêm) hệ trục toạ độ 4|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 ban đầu Phần không bị tô đậm gạch chéo miền nghiệm hệ bất phương trình cho 3x  y    Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn 2 x  y   ( I ) 2 x  y    Lời giải y Trước hết ta vẽ ba đường thẳng: (d1 ) : 3x  y   0; (d2 ) : 2 x  y   0; (d3 ) : x  y   Thử trực tiếp thấy (0;0) nghiệm ba bất phương trình hệ bất phương trình cho Điều có nghĩa gốc toạ độ thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình hệ (I) Sau bỏ miền nghiệm không thích hợp, miền không bị tô đậm hình bên (kể biên) miền nghiệm hệ (I) O x (d2) (d1) (d3) Bổ đề Cho biểu thức f ( x, y)  ax  by , (a, b số thực không đồng thời 0), ( x; y) toạ độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 An giá trị lớn (nhỏ nhất) f ( x, y) (xét miền đa giác cho) đạt đỉnh miền đa giác Chứng minh y Tác giả chứng minh trường hợp n  b  (các trường hợp lại xét tương tự) Giả sử M ( x0 ; y0 ) điểm cho thuộc miền đa giác Qua điểm M đỉnh đa giác, kẻ đường thẳng song song với đường thẳng ax  by  Trong đường thẳng song song với đường thẳng ax  by  0, đường thẳng  qua A2 ax + by = A1 A3 O x M M có phương trình a( x  x0 )  b( y  y0 )  N  ax  by  ax0  by0  A5 Đường thẳng  cắt trục tung điểm  ax  by0  N  0;  b   A4 ax0  by0 lớn (nhỏ nhất) b Quan sát hình vẽ bên ta thấy f ( x; y) lớn ( x; y) toạ độ điểm A1 bé Vì b  nên ax0  by0 lớn (nhỏ nhất) ( x; y) toạ độ điểm A4 5|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 Như để tìm giá trị lớn (nhỏ nhât) biểu thức f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình ta làm sau:  Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho  Bước 2: Tính giá trị hàm số f ( x; y) với ( x; y) toạ độ đỉnh miền nghiệm  Bước 3: So sánh giá trị vừa tính với nhau, giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị lớn (nhỏ nhât) f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình cho x  y   Ví dụ Cho hệ bất phương trình  x  y  2 Tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y)  x  y x   miền nghiệm hệ bất phương trình cho Lời giải Chúng ta tìm miền nghiệm hệ bất phương y trình cho phần không tô đậm hình vẽ bên (kể biên) Như miền nghiệm tam giác ABC (kể biên) O x A Toạ độ điểm A nhiệm hệ phương trình: B x  y   2  A  ;     5  x  y  2 Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình:  x  y  2  2   B  0;     x  Ta tính giá trị f ( x; y) với ( x; y) toạ độ đỉnh A, B, O  2  4  2 f   ;              5  5  5 f (0;0)  2.0  3.0  2   2 f  0;    2.0      3   3 2  Suy giá trị lớn f ( x; y) ( x; y)   0;   3  Vậy giá trị lớn hàm số f ( x, y)  x  y miền nghiệm hệ bất phương trình 2  cho ( x; y)   0;   3  Lưy ý: Các kiến thức mà tác giả vừa nêu kiến thức cốt lõi để giải toán Quy hoạch tuyến tính Tuy nhiên toán Quy hoạc tuyến tính lại không cho ta cụ thể hệ bất phương trình hàm số f ( x, y) ví dụ mà phải thiết lập thông qua kiện toán 6|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 B Ví dụ minh hoạ Ví dụ (Đề dự bị kỳ thi THPTQG năm 2015) Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường, lít nước g hương liệu; pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điển thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để số điểm thưởng lớn A lít nước cam B lít nước táo C lít nước cam, lít nước táo D lít nước cam, lít nước táo Ghi chú: Kỳ thi THPTQG năm 2015 Bộ GD&ĐT tổ chức thi theo phương thức thi tự luận, đề tác giả thêm vào bốn phương án A, B, C, D để phù hợp với phương thức thi trắc nghiệm Lời giải Gọi x, y số lít nước cam táo đội pha chế ( x, y  0) Số điểm thưởng đội chơi là: f ( x; y)  60 x  80 y Số gam đường cần dùng là: 30 x  10 y Số lít nước cần dùng là: x  y Số gam hương liệu cần dùng là: x  y Vì thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường 30 x  10 y  210 3 x  y  21 x  y    x  y  nên ta có hệ bất phương trình:   (*) x  y  24 x  y  24    x, y   x, y  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác OABCD (kể biên) Hàm số f ( x; y)  60 x  80 y y D đạt giá trị lớn miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ( x; y) toạ C độ đỉnh O(0;0), A(7;0), B(6;3), C (4;5), D(0;6) B Ta có: f (0;0)  60.0  80.0  0; f (7;0)  60.7  80.0  420; f (6;3)  60.6  80.3  600; f (4;5)  60.4  80.5  640; f (0;6)  60.0  80.6  480 Suy f (4;5) giá trị lớn O A hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ (*) Như để số điểm thưởng lớn cần pha chế lít nước cam lít nước táo Đáp án C 7|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 x Ví dụ Trong thi gói bánh vào dịp năm mới, đội chơi sử dụng tối đa 20 kg gạo nếp, kg thịt ba chỉ, kg đậu xanh để gói bánh chưng bánh ống Để gói bánh chưng cần 0,4 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt 0,1 kg đậu xanh; để gói bánh ống cần 0,6 kg gạo nếp, 0,075 kg thịt 0,15 kg đậu xanh Mỗi bánh chưng nhận điểm thưởng, bánh ống nhận điểm thưởng Hỏi cần phải gói bánh loại để nhiều điểm thưởng A 50 bánh chưng B 40 bánh chưng C 35 bánh chưng bánh ống D 31 bánh chưng 14 bánh ống Lời giải Gọi số bánh chưng gói x, số bánh ống gói y Khi số điểm thưởng là: f ( x; y)  5x  y Số kg gạo nếp cần dùng là: 0, x  0,6 y Số kg thịt ba cần dùng là: 0,05x  0,075 y Số kg đậu xanh cần dùng là: 0,1x  0,15 y Vì thi sử dụng tối đa 20 kg gạo nếp, 2kg thịt ba 5kg đậu xanh nên 0, x  0, y  20 2 x  y  100 0, 05 x  0, 075 y  2 x  y  80 2 x  y  80     (*) ta có hệ bất phương trình:   x, y  0,1x  0,15 y  2 x  y  100  x, y   x, y  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tam giác OAB (kể biên) Hàm số f (x; y)  5x  y đạt giá trị lớn y 80 B miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0),  80  B  0;    A A(40;0), O 40 x  80  560 Mà: f (0;0)  0, f (40;0)  200, f  0;     Suy f ( x, y) lớn ( x; y)  (40;0) Do cần phải gói 40 bánh chưng để nhận số điểm thưởng lớn Đáp án B Ví dụ Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1 , M sản xuất hai loại sản phẩn ký hiệu A B Một sản phẩm loại A lãi triệu đồng, sản phẩm loại B lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại A phải dùng máy M máy M Muốn sản xuất sản phẩm loại B phải dùng máy M máy M Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M làm việc không ngày, máy M làm việc không ngày Hỏi số tiền lãi lớn mà phân xưởng thu ngày A 6,8 triệu đồng B triệu đồng C 6,4 triệu đồng D triệu đồng Lời giải Gọi x, y số sản phẩm loại A, B mà phân xưởng sản xuất ngày ( x, y  0) 8|Page Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 Khi số tiền lãi ngày phân xưởng f ( x; y)  x  1,6 y (triệu đồng); số làm việc ngày máy M 3x  y số làm việc ngày máy M x  y Vì ngày máy M làm việc không máy M làm việc không nên ta có 3x  y   hệ bất phương trình:  x  y  (*)  x, y   Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác OABC (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị lớn miền y C B nghiệm hệ bất phương trình (*) ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0) A( 2; 0), B(1;3), C (0; 4) Mà ta có: f (0;0)  0; f (2;0)  4; f (1;3)  6,8; f (0;4)  6, A O Suy max f ( x; y)  6,8 ( x; y)  (1;3) Đáp án A x Ví dụ Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 140 kg chất A kg chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng, chiết xuất 20 kg chất A 0,6 kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng chiết xuất 10 kg chất A 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu nhất, biết sở cung cấp nguyên liệu cung cấp không 10 nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II A nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II B 10 nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II C 10 nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II D Cả A, B, C sai Lời giải Gọi x y số nguyên liệu loại I loại II (0  x  9,  y  10) Khi số tiền để mua nguyên liệu là: f ( x; y)  x  y Từ x nguyên liệu loại I chiết xuất 20x kg chất A 0,6x kg chất B Từ y nguyên liệu loại II chiết xuất 10x kg chất A 1,5y kg chất B Suy từ x nguyên liệu loại I y nguyên liệu loại II chiết xuất 20 x  10 y kg chất A 0,6 x  1,5 y kg chất B Do phải chiết xuất 140 kg chất A kg chất B nên ta có hệ bất phương trình sau: 20 x  10 y  140 2 x  y  30 0, x  1,5 y  2 x  y  14    (*)    x   x    0  y  10 0  y  10 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác ABCD (kể biên) 9|Page y D C A B O Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 x Hàm số f ( x; y)  x  y đạt giá trị nhỏ miền nghiệm hệ bất phương trình (*) 5  ( x; y) toạ độ đỉnh A(5; 4), B(10; 2), C (10;9), D  ;9  2  5  Ta có: f (5; 4)  32; f (10; 2)  46; f (10;9)  67; f  ;9   37 2  Suy f ( x; y) nhỏ ( x; y)  (5;4) Như để chi phí mua nguyên liệu cần mua nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II Đáp án A Ví dụ Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua tối đa 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn; giá tiền kg thịt bò 45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn 35 nghìn đồng Hỏi gia đình phải mua kg thịt loại để số tiền bỏ A 0,3 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn B 0,6 kg thịt bò 0,7 kg thịt lợn C 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn D 0,6 kg thịt lợn 0,7 kg thịt bò Lời giải Gọi x y số kg thịt bò thịt lợn mà gia đình mua ngày (0  x  1,6;  y  1,1) Khi chi phí để mua số thịt là: f ( x; y)  45x  35 y nghìn đồng Trong x kg thịt bò chứa 800x đơn vị protein 200x đơn vị lipit Trong y kg thịt lợn chứa 600x đơn vị protein 400y đơn vị lipit Suy số đơn vị protein số đơn lipit 800 x  600 y đơn vị 200 x  400 y đơn vị Do gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày nên ta có 800 x  600 y  900 8 x  y  200 x  400 y  400 x  y     (*)  hệ bất phương trình sau: 0  x  1, 0  x  1, 0  y  1,1 0  y  1,1   Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác ABCD (kể biên) Hàm số f ( x; y)  45x  35 y đạt giá trị nhỏ y D C ( x; y) toạ độ đỉnh A(1,6;1,1), B(1,6;0, 2), C(0,6;0,7), D(0,3;1,1) Mà ta có: f (1,6;1,1)  110,5; f (1,6;0, 2)  79; f (0,6;0,7)  51,5; f (0,3;1,1)  52 A B O x Suy f ( x; y) nhỏ ( x; y)  (0,6;0,7) Do gia đình cần phải mua 0,6 kg thịt bò 0,7 kg thịt lợn để số tiền bỏ Đáp án B 10 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 C Bài tập đề nghị Bài Bài Bài Bài Bài Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp vitamin A vitamin B thể người Theo người ngày tiếp nhận không 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị vitamin B; người ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B Do tác động phối hợp hai loại vitamin, ngày, số đơn vị vitamin B không số đơn vị vitamin A không nhiều lần số đơn vị vitamin A Giá đơn vị vitamin A đồng, giá đơn vị vitamin B 7,5 đồng Hỏi cần chi tiền ngày để dùng đủ hai loại vitamin A 3400 đồng B 3150 đồng C 7650 đồng D Cả A, B, C sai Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất hai loại sản phầm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm thuộc loại cho bảng sau: Số máy nhóm để sản xuất Số máy Nhóm đơn vị sản phẩm nhóm Sản phẩm I Sản phẩm II A 10 2 B C 12 Một đơn vị sản phẩm I lãi 30 nghìn đồng, đơn vị sản phẩm II lãi 50 nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm có lãi cao A sản phẩm I B sản phẩm I sản phẩm II C sản phẩm I sản phẩm II D Đáp án khác Một người thợ mộc làm bàn ghế Mỗi bàn bán lãi 150 nghìn đồng, ghế bán lãi 50 nghìn đồng Người thợ mộc làm 40 giờ/tuần tốn để làm bàn, để làm ghế Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế gấp ba lần số bàn Một bàn chiếm chỗ ghế ta có phòng để nhiều bàn/tuần Hỏi người thợ mộc phải sản xuất để số tiền lãi thu lớn A Sản xuất 16 bàn 48 ghế tuần B Sản xuất bàn 32 ghế tuần C Sản xuất bàn 10 ghế tuần D Sản xuất 40 ghế tuần Một công ty cần thuê xe để chở 140 người hàng Nơi thuê xe có hai loại xe A B, loại xe A có 10 loại xe B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu đồng, xe loại B cho thuê với giá triệu Biết xe loại A chở tối đa 20 người 0,6 hàng; xe loại B chở tối đa 10 người 1,5 hàng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí bỏ A xe loại A xe loại B B 10 xe loại A xe loại B D xe loại A xe loại B C 10 xe loại A xe loại B Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua tối đa 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn; giá tiền kg thịt bò 100 nghìn đồng, 1kg thịt lợn 70 nghìn đồng Hỏi gia đình phải mua kg thịt loại để số tiền bỏ A 0,3 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn B 0,6 kg thịt bò 0,7 kg thịt lợn 11 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 Bài Bài Bài C 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn D 0,6 kg thịt lợn 0,7 kg thịt bò Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích Nếu trồng đậu cần 20 công thu 3000000 đồng diện tích ha, trồng cà cần 30 công thu 4000000 đồng diện tích Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền biết tổng số công không 180 A đậu cà B đậu cà C cà đậu D cà Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm Để sản xuất kg sản phẩm loại I cần kg nguyên liệu 30 giờ; để sản cuất kg sản phẩm loại II cần kg nguyên liệu 15 Xưởng sản xuất có 200 kg nguyên liệu hoạt động 50 ngày liên tục Biết kg sản phẩm loại I thu lợi nhuận 40 nghìn đồng, kg sản phẩm loại II thu lợi nhuận 30 nghìn đồng Hỏi nên sản xuất loại sản phẩm để lợi nhuận thu lớn A 20 sản phẩm loại I 40 sản phẩm loại II B 50 sản phẩm lại II C 80 sản phẩm loại II D 40 sản phẩm loại I Một sở sản xuất dự định sản xuất hai loại sản phẩm A B Các sản phẩm chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II III Số lượng đơn vị dự trữ loại nguyên liệu số lượng đơn vị loại nguyên liệu cần để sản xuất đơn vị sản phẩm loại cho tương ứng bảng sau: Số đơn vị cần dùng cho việc sản Nguyên liệu dự Loại nguyên xuất đơn vị sản phẩm liệu trữ tuần Sản phẩm A Sản phẩm B I 18 II 30 III 25 Mỗi đơn vị sản phẩm A lãi 300000 đồng, đơn vị sản phẩm B lãi 200000 đồng Hãy cho biết với kế hoạch sản xuất số tiền lãi thu hàng tuần lớn A Sản xuất 18 sản phầm A 30 sản phẩm B vòng tuần B Sản xuất 80 sản phầm A 95 sản phẩm B vòng 26 tuần C Sản xuất 33 sản phầm A 32 sản phẩm B vòng tuần D Cả A, B, C sai Bài Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio hai dây chuyền độc lập Radio kiểu sản xuất dây chuyền với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày Để sản xuất radio kiểu cần 12 linh kiện, để sản xuất radio kiểu hai cần linh kiện Tiền lãi bán radio kiểu 250000 đồng, tiền lãi bán radio kiểu hai 180000 đồng Hãy lập kế hoạch sản xuất cho tiền lãi thu nhiều nhất, biết số linh kiện sử dụng tối đa ngày 900 A Sản xuất 15 radio kiểu 80 radio kiểu hai B Sản xuất 45 radio kiểu 40 radio kiểu hai C Sản xuất 45 radio kiểu D Sản xuất 80 radio kiểu hai Bài 10 Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1 , M sản xuất hai loại sản phẩn ký hiệu A B Một sản phẩm loại A lãi triệu đồng, sản phẩm loại B lãi triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại A phải dùng máy M máy M Muốn sản xuất sản phẩm loại B phải dùng máy M máy M Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M làm việc không ngày, 12 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 máy M làm việc không ngày Hỏi số tiền lãi lớn mà phân xưởng Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 Bài 16 thu ngày B 12 triệu đồng C triệu đồng D 10 triệu đồng A triệu đồng Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước đường cần 30 g đường lít nước; pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 20 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điển thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để số điểm thưởng lớn A lít nước đường B lít nước táo C lít nước đường, lít nước táo D lít nước đường, lít nước táo Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 100 kg chất A kg chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng, chiết xuất 20 kg chất A Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng chiết xuất 1,5 kg chất B Mỗi kg chất A có giá 0,5 triệu đồng, kg chất B có giá triệu đồng Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để lợi nhận thu lớn nhất, biết sở cung cấp nguyên liệu cung cấp không nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II A nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II B nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II C nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II D nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II Một máy cán thép sản xuất hai sản phẩm thép thép cuộn (máy sản xuất hai loại thép lúc làm việc 40 tuần) Công suất sản xuất thép 250 tấn/giờ, công suất sản xuất thép cuộn 150 tấn/giờ Mỗi thép có giá 25 USD, thép cuộn có giá 30 USD Biết tuần thị trường tiêu thụ tối đa 5000 thép 3500 thép cuộn Hỏi cần sản xuất thép loại tuần để lợi nhuận thu cao A 5000 thép 3000 thép cuộn B 4500 thép 3500 thép cuộn C 3500 thép 2000 thép cuộn D 5000 thép 3500 thép cuộn Một hộ nông dân định trồng cà phê ca cao diện tích 10 Nếu trồng cà phê cần 20 công thu 10000000 đồng diện tích ha, trồng cà cần 30 công thu 12000000 đồng diện tích Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền biết số công trồng cà phê không vượt 100 công số công trồng ca cao không vượt 180 công A 10 cà phê B cà phê ca cao C cà phê ca cao D cà phê ca cao Một gia đình định trồng cà phê ca cao diện tích 10 Nếu trồng cà phê cần 20 công thu 10000000 đồng diện tích ha, trồng cà cần 30 công thu 12000000 đồng diện tích Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền Biết cà phê thành viên gia đình tự chăm sóc số công không vượt 80, ca cao gia đình thuê người làm với giá 100000 đồng cho công A 10 cà phê B cà phê ca cao C cà phê ca cao D 10 ca cao Một công ty, tháng cần sản xuất 12 viên kim cương to viên kim cương nhỏ Từ Cacbon loại (giá 100 triệu đồng) chiết xuất viên kim cương to viên kim cương nhỏ, từ Cacbon loại (giá 40 triệu đồng) chiết xuất viên kim cương to viên kim cương nhỏ Mỗi viên kim cương to có giá 20 triệu đồng, viên 13 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 kim cương nhỏ có giá 10 triệu đồng Hỏi tháng công ty thu nhiều tiền Biết tháng sử dụng tối đa Cacbon loại A 200 triệu B 280 triệu C 150 triệu D 110 triệu Bài 17 Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất hai loại sản phầm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm thuộc loại cho bảng sau: Số máy nhóm để sản xuất Số máy Nhóm đơn vị sản phẩm nhóm Sản phẩm I Sản phẩm II A 10 2 B C 12 Một đơn vị sản phẩm I lãi 30 nghìn đồng, đơn vị sản phẩm II lãi 50 nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm có lãi cao A sản phẩm I B sản phẩm I sản phẩm II D sản phẩm II sản phẩm I C sản phẩm II 14 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 D Hướng dẫn, đáp án Hướng dẫn Bài Gọi x y số đơn vị vitamin A B dùng ngày ( x; y  0) Số tiền cần chi f ( x; y)  x  7,5 y đồng 0  x  600 0  y  500   Ta có hệ bất phương trình: 400  x  y  1000 (*)   x  y  3x  2 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn y hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ E F (*) Miền nghiệm hệ (*) ngũ giác ABCDEF (kể biên) với A(100;300), D A  800 400  B ;  , C (600;300), D(600;400),    500  E (500;500), F  ;500    C B Suy max f ( x; y)  f (100;300)  3150 x O Bài Tức cần chi 3150 đồng hàng ngày để sử dụng vitamin Gọi x y số đơn vị sản phẩm I II ( x, y  0) Số tiền lãi đơn vị f ( x; y)  30 x  50 y (nghìn đồng) 2 x  y  10 x  y  2 y  y     (*) Ta có hệ bất phương trình:  x  y  12 x  y     x, y   x, y  y Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y)  30 x  50 y miền nghiệm hệ (*) Miền nghiệm hệ (*) ngũ giác OABCD (kể biên) Ta có: O(0;0), A(5;0), B(4;1), C(2;2), D(0; 2) Ta có: f (0;0)  0, f (5;0)  150, f (4;1)  190, f (2;2)  160, f (0;2)  100 Bài D C B O A x Dễ thấy f ( x; y) lớn ( x; y)  (4;1) tức cần sản xuất sản phẩm I sản phẩm II để thu lợi nhận cao Gọi x y số bàn số ghế mà người thợ mộc sản xuất tuần ( x, y  0) Khi số tiền mà người thợ mộc thu là: f ( x; y)  150 x  50 y (nghìn đồng) 15 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 6 x  y  40 6 x  y  40  y  3x  y  3x   Ta có hệ bất phương trình sau:   (*)  y   x y 16 x       x, y   x, y  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y)  150 x  50 y miền nghiệm hệ (*) Miền nghiệm hệ (*) tứ giác OABC (kể biên) Ta có toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình:  y  3x  16 48   A ;   7  4 x  y  16 Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 6 x  y  40  32   B  ;   3  4 x  y  16 Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình: x   40   C  0;     6 x  y  40  32  Ta thấy f ( x; y) lớn ( x; y )   ;  3  Như người thợ cần sản xuất bàn 32 ghế vòng tuần để thu số tiên lãi lớn Bài y C B A O x Gọi x y số xe loại A B Khi số tiền cần bỏ để thuê xe f ( x; y)  x  y Ta có x xe loại A chở 20x người 0,6x hàng; y xe loại B chở 10y người 1,5y hàng Suy x xe loại A y xe loại B chở 20 x  10 y người 0,6 x  1,5 y y D C hàng Ta có hệ bất phương trình sau: 20 x  10 y  140 2 x  y  14 0, x  1,5 y  2 x  y  30    (*)  0  x  10 0  x  10 A 0  y  0  y  Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số B f ( x; y) miền nghiệm hệ (*) Miền nghiệm hệ (*) tứ giác ABCD (kể biên) O x Hàm số f ( x; y)  x  y đạt giá trị nhỏ miền nghiệm hệ bất phương trình (*) 5  ( x; y) toạ độ đỉnh A(5; 4), B(10; 2), C (10;9), D  ;9  2  5  Ta có: f (5; 4)  32; f (10; 2)  46; f (10;9)  67; f  ;9   37 2  Suy f ( x; y) nhỏ ( x; y)  (5;4) Như để chi phí vận chuyển thấp cần thuê Bài xe loại A xe loại B Gọi x y số kg thịt bò thịt lợn mà gia đình mua ngày (0  x  1,6;  y  1,1) Khi chi phí để mua số thịt là: f ( x; y)  100 x  70 y nghìn đồng Suy số đơn vị protein số đơn lipit 800 x  600 y đơn vị 200 x  400 y đơn vị 16 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 Do gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày nên ta 800 x  600 y  900 8 x  y  200 x  400 y  400 x  y    có hệ bất phương trình sau:   (*)     x 1, x 1,      y  1,1  0  y  1,1 y Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) D A Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác ABCD (kể biên) C Hàm số f ( x; y)  100 x  70 y đạt giá trị nhỏ ( x; y) toạ độ đỉnh A(1,6;1,1), B(1,6;0, 2), C(0,6;0,7), D(0,3;1,1) Mà ta có: f (1,6;1,1)  237; f (1,6;0, 2)  174; f (0,6;0,7)  109; f (0,3;1,1)  107 Bài B O x Suy f ( x; y) nhỏ ( x; y)  (0,3;1,1) Do gia đình cần phải mua 0,3 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn để số tiền bỏ Gọi số đậu cà mà hộ nông dân trồng x y ( x, y  0) Lợi nhuận thu là: f ( x; y)  3000000 x  4000000 y (đồng) Tổng số công dùng để trồng x đậu y cà là: 20 x  30 y x  y  x  y    Ta có hệ bất phương trình sau: 20 x  30 y  180  2 x  y  18 (*)  x, y   x, y    Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác OABC (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị y C B lớn ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0), A(8;0), B(6; 2), C (0;8) O Ta có: f (0;0)  0, f (8;0)  24000000, f (6;2)  2600000, f (0;6)  24000000 Bài A x Suy f ( x; y) lớn ( x; y)  (6; 2) tức hộ nông dân cần phải trồng đậu cà thu lợi nhuận lớn Gọi x y số sản phẩm loại I loại II mà xưởng sản xuất ( x, y  0) Lợi nhuận thu là: f ( x; y)  40 x  30 y nghìn đồng 2 x  y  200  x  y  100   Ta có hệ bất phương trình: 30 x  15 y  1200  2 x  y  80 (*)  x, y   x, y    17 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 Miền nghiệm hệ (*) tứ giác OABC (kể biên) Ta suy f ( x; y) đạt giá trị lớn miền nghiệm Bài y C hệ (*) ( x; y)  (20;60) Như để thu lợi nhuận lớn xưởng sản xuất phải sản xuất 20 sản phẩm loại I 40 sản phẩm loại II Gọi x y số sản phẩm A B mà đơn vị sản xuất hàng tuần ( x; y  0) Lợi nhuận thu hàng tuần là: f ( x; y)  300000x  200000 y (đồng) 2 x  y  18 5 x  y  30  Ta có hệ bất phương trình sau:  (*)   x y 25   x; y  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương B O A x y C B trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác OABC (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị lớn ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0), A(6;0),  11 32   25  B  ;  , C  0;  3    Bài O A x  11 32  16300000  25  2500000 , f  0;   Ta có: f (0;0)  0, f (6;0)  1800000, f  ;   3     11 32  Suy f ( x; y) lớn ( x; y )   ;  tức xưởng cần sản xuất 33 sản phầm A 3  32 sản phẩm B vòng tuần để thu lợi nhuận cao Gọi x y số radio kiểu số radio kiểu hai mà công ty sản xuất ngày ( x; y  0) y Số tiền lãi mà công ty thu hàng ngày là: C D f ( x; y)  250000x  180000 y (đồng) 12 x  y  900  (*) Ta có hệ bất phương trình sau: 0  x  45 0  y  80  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) B Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác OABCD (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị lớn ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0), A(45;0), B(45; 40), C (15;80), D(0;80) Ta có f ( x; y) lớn ( x; y)  (45;40) tức công ty cần sản xuất 45 radio kiểu 40 radio kiểu hai 18 | P a g e O A Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 x Bài 10 Gọi x, y số sản phẩm loại A, B mà phân xưởng sản xuất ngày ( x, y  0) Khi số tiền lãi ngày phân xưởng f ( x; y)  x  y (triệu đồng); số làm việc ngày máy M 2x  y số làm việc ngày máy M x  y Vì ngày máy M làm việc không máy M làm việc không nên ta có 2 x  y   hệ bất phương trình:  x  y  (*)  x, y   y Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác OABC (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị lớn miền nghiệm hệ C B bất phương trình (*) ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0) A(3;0), B(2; 2), C (0; 4) Mà ta có: f (0;0)  0; f (3;0)  6; f (2;2)  10; f (0;4)  12 O A x Suy max f ( x; y)  12 ( x; y)  (0;4) Bài 11 Gọi x, y số lít nước cam táo đội pha chế ( x, y  0) Số điểm thưởng đội chơi là: f ( x; y)  60 x  80 y Số gam đường cần dùng là: 30 x  10 y Số lít nước cần dùng là: x  y Số gam hương liệu cần dùng là: y Vì thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường 30 x  10 y  210 3x  y  21 x  y    x  y   (*) nên ta có hệ bất phương trình:  4 y  24 y   x, y   x, y  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác OABCD (kể biên) Hàm số f ( x; y)  60 x  80 y đạt giá trị lớn miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ( x; y) toạ độ y D C B đỉnh O(0;0), A(7;0), B(6;3), C (3;6), D(0;6) Suy f (3;6) giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm O A hệ (*) Như để số điểm thưởng lớn cần pha chế lít nước đường lít nước táo Bài 12 Gọi x y số nguyên liệu loại I loại II dùng để chiết xuất ( x; y  0) 19 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 x Số tiền cần dùng để mua nguyên liệu là: f ( x; y)  0,5.20 x  1,5.5x  5x  y  5x  4,5 y (triệu đồng) Ta có hệ bất phương trình sau: y D C 0  x  0  x  0  y  0  y     (*)  20 x  100 x  1,5 y   y  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y)  5x  4.5 y A B miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ (*) hình chữ nhật ABCD (kể biên), A(5;6), B(8;6), C (8;9), D(5;9) Suy f ( x; y) đạt gia trị lớn miền nghiệm hệ (*) ( x; y)  (8;9) Như cần sử dụng nguyên liệu loại I nguyên liệu loại O x II Bài 13 Gọi x y số thép số thép cuộn mà máy cán thép sản xuất tuần ( x; y  0) Số tiền lãi thu là: f ( x; y)  25x  30 y (USD) x (giờ) 250 y Thời gian để sản xuất y thép cuộn là: (giờ) 150 0  x  5000 0  x  5000  x y   Ta có hệ bất phương trình sau:    40  0  y  3500 (*)  250 150 3x  y  30000   0  y  3500 Thời gian để sản xuất x thép là: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ (*) ngũ giác OABCD (kể biên), A(5000;0), B(5000;3000), y D C B  12500  C ;3500  , D(0;3500)   Suy f ( x; y) đạt gia trị lớn miền nghiệm hệ (*) ( x; y)  (5000;3000) Như cần phải sản xuất 5000 thép 3000 O thép cuộn tuần để lợi nhuận thu lớn Bài 14 Gọi x y số cà phê ca cao mà hộ nông dân trồng ( x, y  0) A Lợi nhận thu là: f ( x; y)  10000000 x  12000000 y ( đồng) Vì số công để trồng cà phê không vượt 100 nên 20 x  100  x  20 | P a g e Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 x Vì số công để trồng ca cao không vượt 180 nên 30 y  180  y  y D C  x  y  10  Ta có hệ bất phương trình sau: 0  x  (*) 0  y   Ta cần tìm giá trị lớn f ( x; y) miền B nghiệm hệ (*) Miền nghiệm hệ (*) ngũ giác OABCD (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị lớn ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0), A(5;0), B(5;5), C (4;6), D(0;6) O Suy f ( x; y) lớn ( x; y)  (4;6) Như cần phải trồng cà phê ca cao để thu lợi nhuận lớn y Bài 15 Gọi x y số cà phê ca cao mà hộ nông dân trồng ( x, y  0) C Số tiền cần bỏ để thuê người trồng ca cao là: 30 y.100000  3000000 y (đồng) Lợi nhận thu là: f ( x; y)  10000000x  12000000 y  3000000 y A  f ( x; y)  10000000 x  9000000 y ( đồng) Vì số công để trồng cà phê không vượt 80 nên 20 x  80  x   x  y  10  Ta có hệ bất phương trình sau: 0  x  (*) y   x B Ta cần tìm giá trị lớn f ( x; y) miền nghiệm hệ (*) Miền nghiệm hệ (*) tứ giác OABC (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị lớn ( x; y) toạ độ đỉnh O(0;0), A(4;0), B(4;6), C(0;10) Suy f ( x; y) lớn ( x; y)  (4;6) Như cần phải trồng cà phê ca cao để thu lợi nhuận lớn Bài 16 Gọi x y số Cacbon loại loại mà công ty sử dụng để chiết xuất kim cương ( x; y  0) O D Với nguyên liệu sản xuất x  y viên kim 21 | P a g e x y Số tiền mua nguyên liệu là: 100 x  40 y (triệu đồng) cương to 3x  y viên kim cương nhỏ Số tiền thu từ viên kim cương là: (6 x  y).20  (3x  y).10  150 x  60 y (triệu đồng) Lợi nhuận hàng tháng công ty là: f ( x; y)  50 x  20 y (triệu đồng) A C E O A B Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 x 6 x  y  12  Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình sau: 3x  y  (*)  x; y   Ta cần tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y) miền nghiệm hệ (*) Miền nghiệm hệ (*) ngũ giác ABCDE (kể biên) Hàm số f ( x; y) đạt giá trị lớn ( x; y) toạ độ đỉnh A, B, C, D, E Suy ra: max f ( x; y)  f (4;4)  280 Như tháng công ty thu nhiều 280 triệu tiền lãi Bài 17 Gọi x y số đơn vị sản phẩm I II ( x, y  0) Số tiền lãi đơn vị f ( x; y)  30 x  50 y (nghìn đồng) 2 x  y  10 y   Ta có hệ bất phương trình:  (*) x  y  12   x, y  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y)  30 x  50 y miền nghiệm hệ (*) Miền nghiệm hệ (*) ngũ giác OABCD (kể biên) Ta có: O(0;0), A(5;0), B(3; 2), C (0; 2) Ta có: f (0;0)  0, f (0;2)  100 f (5;0)  150, y C B f (3; 2)  190, O A x Dễ thấy f ( x; y) lớn ( x; y)  (3;2) tức cần sản xuất sản phẩm I sản phẩm II để thu lợi nhận cao Đáp án B 11 C 22 | P a g e B 12 D B 13 A A 14 C A 15 C B 16 B A 17 B C B 10 B Nguyễn Hoàng_ĐT:0936.407.353 ... tháng 02, năm 20 17 Nguyễn Bá Hoàng 3|Page Nguyễn Bá Hoàng_ ĐT:0936.407.353 Bài toán Quy hoạch tuyến tính A Nội dung kiến thức Bất phương trình bậc hai ẩn    Bất phương trình bậc hai ẩn x, y... O miền nghiệm bất phương trình cho (miền không bị tô đậm hình bên kể biên) y O x Hệ bất phương trình bậc hai ẩn   Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta... nghiệm hệ bất phương trình cho Để biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn, ta thực theo bước sau:  Bước 1: Vẽ tất đường thẳng ứng với bất phương trình hệ bất phương trình
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài toán thực tế quy về hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn nguyễn bá hoàng , Bài toán thực tế quy về hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn nguyễn bá hoàng , Bài toán thực tế quy về hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn nguyễn bá hoàng

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay