MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LƯỚI VÀ BẢNG Mở đầu Trong những năm gần đây, ở các kì thi Olympic Toán quốc gia và quốc tế thường có các bài toán tổ hợp và rời rạc Trong các bài toán tổ hợp và rời rạc này, có các bài toán liên quan đến đến lưới và bảng Lớp bài toán này khá phong phú về nội dung và đa dạng về hình thức thể hiện Trong bài viết này xin giới thiệu một số bài toán liên quan đến vấn đề này Các ví dụ này đã được trình bày cho học sinh các đợt bồi dưỡng của các năm qua Một số bài toán Bài toán Cho bảng vuông kích thước (n + n + 1) × (n + n + 1) Mỗi ô vuông của bảng được ghi số hoặc số 1, cho không có bốn ô có ghi số nào là đỉnh của một hình chữ nhật Chứng minh số số không vượt quá (n + 1) × (n + n + 1) Giải Gọi xi là số số ở hàng thứ i ( i = 1, 2, K , n + n + ) Ta cần chứng minh S= n + n +1 ∑ i =1 xi ≤ (n + 1)(n + n + 1) Xét tập M mà mỗi phần tử là một cặp (k , l ) với ≤ k < l ≤ n + n + Ta có M = Cn22 + n +1 Với mỗi i = 1, 2, K , n + n + , xét tập M i mà mỗi phần tử là một cặp (k , l ) với ≤ k < l ≤ n + n + và hai cột k và l đều có số ở hàng i Ta có M i ⊂ M và M i = Cx2i = xi ( xi − 1) (chú ý rằng nếu xi < thì C xi = ) Do không có bốn số nào là đỉnh của một hình chữ nhật nên M i ∩ M j = ∅ nếu i ≠ j Suy n + n +1 ∑ i =1 Mi ≤ M tức là n + n +1 ∑ i =1 2 n + n +1 n + n +1 xi ( xi − 1) (n + n)(n + n + 1) ≤ ⇔ ∑ xi2 − ∑ xi ≤ (n + n)(n + n + 1) 2 i =1 i =1 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2 n + n +1 n + n +1  n + n +1   n + n +1  2 x ≤ ( n + n + 1) x ⇒ x ≥  ∑ i÷  ∑ xi ÷ ∑ ∑ i i n + n + i = i = i =    i =1  2 2 Suy  n + n+1  n + n+1 2  ∑ xi ÷ − ∑ xi ≤ (n + n)(n + n + 1) n + n +  i =1  i =1 2 Hay S − (n + n + 1) S − (n + n)(n + n + 1) ≤ Từ đó S ≤ (n + 1)(n + n + 1)  Bài toán Mỗi ô của bảng vuông kích thước n × n được ghi hoặc số 1, cho với mỗi ô ghi số thì có ít nhất n ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó được ghi số Chứng  n2  minh rằng có ít nhất   số được ghi 2 Giải Với n = ta có một cách ghi sau, với số số được ghi là : Trong trường hợp tổng quát, xây dượng đồ thị hai phía gồm 2n đỉnh, mà n đỉnh bên trái là n hàng và n đỉnh bên phải là n cột của bảng Đỉnh H i được nối với đỉnh C j nếu ô (i, j ) được ghi số Theo giả thiết nếu đỉnh H i không nối với đỉnh C j thì d ( H i ) + d (C j ) ≥ n đó d ( H i ) là số số ở hàng i , d (Ci ) là số số ở hàng j Ta chứng minh số cạnh của đồ thị là e ≥ n2 Thật vậy, ta có S= ∑ (i , j )=0  d ( H i ) + d (C j )  ≥ (n − e)n Trong tổng với mỗi i , số hạng d ( H i ) xuất hiện n − d ( H i ) lần; với mỗi j , số hạng d (Ci ) xuất hiện n − d (C j ) lần Mà n n i =1 j =1 ∑ d ( H i ) = ∑ d (C j ) = e Suy n n n n i =1 j =1 i =1 j =1 S = ∑ d ( H i ) [ n − d ( H i ) ] + ∑ d (C j )  n − d (C j )  = 2ne − ∑ d ( H i ) − ∑ d (C j ) Theo bất đẳng thức Schwarz 1 n e2  d ( H ) ≥ d ( H ) = ∑ ∑ i  n , i n  i =1 i =1 n e2 d (C j ) ≥ ∑ n j =1 n Suy (n − e)n ≤ 2ne − e2 n2 ⇔ 2e − 3n 2e + n ≤ ⇔ ≤ e ≤ n (đpcm) n  Bài toán Cho bảng vuông kích thước 2012 × 2012 Người ta ghi vào mỗi ô (i, j ) ( i, j = 1, 2, K , 2012 ) một số tự nhiên aij thỏa các điều kiện : (1) ai1 + + L + 2012 = 2011 , với i = 1, 2, K , 2012 ; (2) nếu aij akl > thì (k − i )(l − j ) ≥ Hỏi có cách ghi vậy ? Giải Theo giả thiết (1), mỗi ô được ghi số nguyên dương và tổng các số mỗi hàng bằng 2011 Theo giả thiết (2), nếu aij > và akl > thì k ≥ i và l ≥ j ; nghĩa là từ một ô có ghi số dương chỉ có thể đến một ô có ghi số dương ở hàng lớn hoặc cột lớn Từ đó có thể xây dựng bảng sau: • Xuất phát từ ô (1,1) để đến ô (2012, 2012) bằng cách sang phải hoặc xuống dưới • Tại mỗi ô có thể đặt một viên sỏi hoặc không • Nếu đã đặt đủ 2011 viên sỏi một hàng thì xuống dưới, nếu chưa thì có thể đặt một viên sỏi hoặc sang phải Sau hoàn tất, số sỏi mỗi ô là số cần ghi vào ô đó Ô không có sỏi ghi số Như vậy có 2011 thao tác “đặt viên sỏi” mỗi hàng Do có 2012 hàng nên số thao tác “đặt viên sỏi” là 2011 × 2012 = 046 132 Ngoài có 2011 thao tác “sang phải” Vì vậy tổng cộng có 046 132 + 2011 = 048 143 Chú ý rằng thao tác “xuống dưới” không được tính được tính theo thao tác “đặt viên sỏi” Suy số cách thành lập bảng là số cách bố trí 2011 thao tác “sang phải” dãy 2011 048143 thao tác nói Vậy số cách thành lập bảng là C4048143  Bài toán Tìm số đường dọc theo cạnh lưới ô vuông từ đỉnh (0, 0) đến đỉnh ( n, n) , cho không vượt qua đường chéo y = x bước sang phải lên Giải Ta gọi đường từ đỉnh (0, 0) đến đỉnh (n, n) theo hướng sang phải lên đường tiến Mỗi đường tiến gồm 2n bước, với n bước sang phải n bước lên Như đường tiến cách chọn n bước sang phải số 2n bước Do số đường tiến C2nn Ta lại gọi đường tiến không vượt qua đường chéo đường tốt, ngược lại đường không tốt Ta tìm số đường không tốt Cho P đường không tốt Khi P gặp đường thẳng y = x + lần điểm A Lấy đối xứng đoạn đường P từ điểm O đến điểm A qua đường thẳng y = x + ta đoạn đường từ điểm (−1, 1) đến điểm A Đoạn đường đường tiến Kết hợp đoạn đường với phần lại P từ điểm A đến điểm ( n, n) ta đường tiến từ điểm (−1, 1) đến điểm ( n, n) Ngược lại, cho Q đường tiến từ điểm (−1, 1) đến điểm ( n, n) Khi Q gặp đường thẳng y = x + lần điểm A Lấy đối xứng đoạn đường Q từ điểm (−1, 1) đến điểm A qua đường thẳng y = x + ta đoạn đường từ điểm O đến điểm A Đoạn đường đường tiến Kết hợp đoạn đường với phần lại Q từ điểm A đến điểm (n, n) ta đường tiến từ điểm O đến điểm ( n, n) Đường đường không tốt Như số đường không tốt từ điểm O đến điểm ( n, n) số đường tiến từ điểm (−1, 1) đến điểm ( n, n) Số đường C2nn−1 Suy số đường tốt từ điểm O đến điểm ( n, n) C2nn − C2nn−1 = C2nn n +1  Bài toán Một xe đặt bàn cờ kích thước × n , với n ∈ ¥ * Con xe từ vị trí (1, 1) đến vị trí (3, 1) đường không tự cắt Hỏi có đường bàn cờ ? Giải Gọi số đường là rn Có cách các hình vẽ sau : 1) Đường qua các ô (1,1), (2,1), (3,1) Có đường loại này 2) Đường không qua ô (2,1) Mỗi đường loại này bắt đầu là (1,1) → (1, 2) và kết thúc là (3, 2) → (3,1) Có rn−1 đường loại này 3) Đường bắt đầu là (1,1) → (2,1) → (2, 2) và không trở lại hàng Mỗi đường vậy đến hàng từ ô (2, k ) , với ≤ k ≤ n và di dọc theo hàng đến ô (3,1) Có n − đường loại này 4) Đường bắt đầu là (1,1) → (2,1) → L → (2, k ) → (1, k ) → (1, k + 1) , kết thúc là (3, k + 1) → (3, k ) → L → (3,1) , với ≤ k ≤ n − Có rn− + rn −3 + L + r1 đường loại này 5) Đường bắt đầu là (1,1) → (1, 2) và kết thúc là (2,1) → (3,1) Có n − đường loại này 6) Đường là (1,1) → (1, 2) → L → (1, k ) → (1, k + 1) → (2, k + 1) → (3, k + 1) → (3, k ) → (2, k ) → L → (2,1) → (3,1) Có rn−3 + rn −2 + L + r1 đường loại này Vậy rn = + rn−1 + 2(n − 1) + 2(rn− + rn −3 + L + r1 ) = 2n − + rn −1 + 2(rn − + rn −3 + L + r1 ) Suy rn+1 = 2n + + rn + 2(rn −1 + rn − + L + r1 ) Do đó rn+1 − rn = + rn + rn −1 ⇒ rn+1 = + 2rn + rn −1 ⇒ rn+1 + = 2(rn + 1) + rn−1 + Dễ thấy r1 = , r2 = Sử dụng phương trình đặc trưng tìm được rn = (  1+ 2  ) n +1 ( − 1− ) n +1  −1   Bài toán Cho bàn cờ kích thước 2011× 2012 Bỏ bớt hai ô khác màu tùy ý Hãy xếp đầy bàn cờ còn lại bằng các đôminô kích thước 1× , cho các đôminô đó không chờm lên (có thể xoay các đôminô) Giải Ta giải bài toán trường hợp tổng quát, bàn cờ có kích thước m × n với m lẻ, n chẵn Xây dựng một chu trình Hamilton qua tất cả các ô, mỗi ô một lần Do tổng số ô là chẵn nên điều này tìm được Một chu trình Hamilton được chỉ hình vẽ Có hai trường hợp • Nếu hai ô bỏ là kề chu trình Hamilton thì xếp các đôminô liên tiếp phần còn lại • Nếu hai ô bỏ không kề thì các ô này chia chu trình Hamilton thành hai phần, mỗi phần có một số chẵn ô Ta xếp các đôminô liên tiếp mỗi phần đó Vậy xếp đầy bàn cờ còn lại bằng các đôminô  Bài toán Cho các quân triminô hình chữ L gồm hình vuông đơn vị hình vẽ sau Phủ hình vuông kích thước × bằng các quân triminô hình chữ L này, cho chúng không chờm lên nhau, thì còn thừa một ô vuông đơn vị không được phủ (có thể xoay các triminô) Hỏi ô không được phủ có thể nằm ở vị trí nào hình vuông đã cho ? Giải Tô màu các ô hình vẽ Nếu ô có màu trắng không được phủ thì cả ô đen đều được phủ Mà mỗi triminô chỉ phủ đúng một ô đen Suy có ít nhất triminô được dùng Khi đó số ô ít nhất được phủ là × = 27 > 25 Vô lí Vậy không được phủ phải là ô đen Do tính đối xứng nên chỉ xét ba trường hợp: ô đen không được phủ là ô trung tâm, ô cạnh, ô góc Ba trường hợp này có cách phủ sau :  Bài toán Mỗi ô vuông đơn vị của bảng vuông kích thước n × n được tô bởi màu đen hoặc màu trắng Giả sử tất cả các cách tô màu của hình vuông kích thước × đều có mặt bảng a) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của n b) Với n tìm được hãy tìm một cách tô mà số ô đen là ít nhất Giải a) Mỗi ô vuông đơn vị của bảng có hai cách tô màu Suy mỗi hình vuông kích thước × có 24 = 16 cách tô màu Mặt khác với hình vuông kích thước n × n có thể chọn (n − 1)2 hình vuông kích thước × khác Do đó (n − 1)2 ≥ 16 ⇔ n ≥ Với n = ta có một cách tô màu sau thỏa điều kiện bài toán : Vậy giá trị nhỏ nhất là n = b) Hình vuông kích thước × có hình vuông đơn vị ở góc, 12 hình vuông đơn vị ở cạnh và hình vuông đơn vị ở Mỗi hình vuông đơn vị ở góc chỉ thuộc đúng hình vuông kích thước × , mỗi hình vuông đơn vị ở cạnh thuộc hình vuông kích thước × , mỗi hình vuông đơn vị ở thuộc hình vuông kích thước × Chú ý rằng 16 hình vuông kích thước × có được từ hình vuông kích thước × gồm tổng cộng 64 hình vuông đơn vị, đó có 32 ô đen Gọi k là số ô trắng hình vuông kích thước × , đó có a ô góc, b ô cạnh và c ô Ta chứng minh k = 10 Giả sử k < 10 Ta có a+b+c = k (1) a + 2b + 4c = 32 (2) Từ (2) ta có 4c ≤ 32 ⇔ c ≤ + Nếu c = thì a = b = Khi đó có một các hình vẽ sau (các hình đối xứng) (a) • (b) (c) Trong hình (a) thiếu một các hình vuông kích thước × gồm ô trắng và ô đen • Trong hình (a) và (b) thiếu hình vuông kích thước × gồm ô trắng Vậy trường hợp này không thể xảy + Nếu c = thì a = 0, b = Trường hợp này có ít nhất hai cạnh của hình vuông kích thước × không có ô trắng Có thể xem một hai cạnh này là cạnh của hình vuông đó Chú ý rằng mỗi cách tô màu hình vuông kích thước × chỉ xuất hiện đúng một lần hình vuông kích thước × Trong 16 cách tô màu hình vuông kích thước × chỉ có cách mà ô ở hàng có màu trắng Suy hình vuông kích thước × tương ứng phải nằm ở hai hàng đầu của hình vuông kích thước × Trong số này có hình vuông kích thước × gồm ô trắng Lý luận tương tự với cạnh còn lại gồm ô trắng Suy hình vuông kích thước × gồm ô trắng phải ở một góc của hình vuông kích thước × Giả sử đó là góc trái Khi đó ô bên cạnh hình vuông này là hai ô đen Như vậy có hình vuông có dạng giống (gồm ô trắng và ô đen ở góc phải dưới) Vậy trường hợp này không thể xảy + Nếu c ≤ thì ta có k = a + b + c ≥ 10 Chẳng hạn với c = thì a + 2b = Có ba khả • a = 0, b = ⇒ a + b + c = 10 • a = 2, b = ⇒ a + b + c = 11 • a = 4, b = ⇒ a + b + c = 12 Như vậy trường hợp này cũng không thể xảy Vậy giá trị nhỏ nhất của số ô đen là k = 10 Một cách tô màu được cho hình vẽ đầu tiên  Bài toán Một tốt được đặt một ô của bảng vuông kích thước n × n , với n ≥ Con tốt đó có thể từ một ô sang ô xung quanh, cho hai bước liên tiếp phải khác kiểu (chéo, ngang hoặc dọc) Xác định các giá trị của n cho có thể chọn một ô xuất phát và một dãy các bước để tốt có thể khắp bảng, mỗi ô qua đúng một lần Giải Xét hai trường hợp n = 2k : Chia bàn cờ thành các hình vuông kích thước × Ban đầu đặt tốt ở vị (1, trí 1) của bàn cờ Di chuyển hình vẽ thì tốt sẽ khắp bàn cờ, mỗi ô qua đúng một lần và hai bước liên tiếp là khác kiểu • • n = 2k + : Tổng số bước là n − Tô màu đen các hàng chẵn Sô ô đen là n2 − n Khi đó mỗi bước theo kiểu chéo thì tốt phải qua hai ô khác màu Do tốt không qua ô nào quá một lần và không có hai bước liên tiếp theo kiểu chéo, nên mỗi bước theo kiểu chéo chỉ qua đúng một ô đen Suy số bước theo n2 − n kiểu chéo nhiều nhất là và số bước theo kiểu ngang hoặc dọc nhiếu nhất là n2 − n + Suy tổng số bước nhiều nhất là n − n + Với n lẻ và n ≥ thì 2 n − n + < n − Do đó tốt tốt không thể khắp bàn cờ trương hợp này Vậy n = 2k , với k ∈ ¥ *  Bài toán 10 Một hình chữ nhật kích thước 2013 × 2012 tô toàn bốn màu xanh, trắng, vàng, đỏ theo quy tắc (i) Mỗi ô tô màu (ii) Các màu xanh, trắng, đỏ, vàng tô cho mảng có dạng (1) xanh (2) trắng (3) đỏ (4) vàng Sau tô xong người đếm 2.013.021 ô xanh, 1.113.006 ô trắng tiếp tục đếm ô màu lại Hỏi kết đếm hay sai ? Giải Đánh số ô theo quy tắc: ô (i, j ) đánh số (i + j ) mod 10 2 1 2 2 2 1 2 2 Khi + Hình (1) chiếm ô mà tổng số ô chia dư + Hình (2) chiếm ô mà tổng số ô chia dư + Hình (3) chiếm ô mà tổng số ô chia dư + Hình (4) chiếm ô mà tổng số ô chia dư Giả sử sau tô xong, có N1 mảng hình (1), N mảng hình (2), N mảng hình (3), N mảng hình (4) Tổng số ghi hình chữ nhật 3k + N1 + N Do tổng số hình chữ nhật chia hết 2N1 + N chia hết cho Theo giả thiết N1 = 2.013.021 , N = 1.113.006 Suy N1 = 671.007 , N = 371.002 Do N1 + N = 1.713.016 Số không chia hết cho Vậy kết đếm sai  Bài toán 10 Cho tam giác đều cạnh n được chia thành các tam giác đều cạnh a) Hỏi có hình hình bình hành được tạo thành ? b) Người ta phủ kín tam giác đều đã cho bằng các hình được ghép bởi tam giác đều cạnh có dạng sau cho các hình này không chờm lên (có thể xoay hoặc lật các hình này) Hãy xác định các giá trị của n để có thể thực hiện được điều đó Giải a) Gọi tam giác đã cho là ABC Chia tập các hình bình hành tạo thành thành ba tập 11 TBC là tập các hình bình hành có hai cạnh song song (hoặc ở trên) hai cạnh AB và AC • TCA là tập các hình bình hành có hai cạnh song song (hoặc ở trên) hai cạnh BC và BA • TAB là tập các hình bình hành có hai cạnh song song (hoặc ở trên) hai cạnh CA và CB • Do tính đối xứng của tam giác đều nên TBC = TCA = TAB Suy số hình bình hành tạo thành là S = TBC Kéo dài AB, AC thêm các đoạn BM = CN = Cho ( H ) là một hình bình hành tập TBC Kéo dài cạnh của ( H ) cắt đoạn thẳng MN tại điểm phân biệt Ngược lại với điểm phân biệt có tọa độ nguyên đoạn thẳng MN ta xây dựng được nhất một hình bình hành thuộc tập TBC Như vậy số hình bình hành thuộc TBC là số cách chọn điểm có tọa độ nguyên đoạn thẳng MN Mà đoạn thẳng MN có n + điểm vậy nên TBC = Cn+1 Vậy S = 3Cn+1 b) Tam giác đều cạnh n được chia thành n tam giác đều cạnh Mỗi hình đã cho phủ được tam giác đều cạnh Suy n chia hết cho 6, đó n cũng chia hết cho Xét hai trường hợp n = 12k : Chia tam giác đều cạnh n thành k tam giác đều cạnh 12 Mỗi tam đều cạnh 12 được phủ bởi các hình đã cho theo cách hình vẽ sau • 12 n = 12k + : Tô màu tam giác đều cạnh n theo kiểu bàn cờ, cho các tam giác đều cạnh ở biên đều được tô màu đen • n(n + 1) = (6k + 3)(12k + 7) , là một số lẻ Mỗi hình đã cho phủ được hoặc tam giác đen, nên số tam giác đen được phủ là một số chẵn Điều này chứng tỏ trường hợp này không thể phủ được tam giác đều cạnh n bằng các hình đã cho Tổng số tam giác đen bằng + + L + n = Vậy để phủ tam giác đều cạnh n bằng các hình đã cho thì n = 12k , với k ∈ ¥ *  13 Các bài toán tương tự Tìm số đường từ điểm (0, 0) đến điểm (m, n) mặt phẳng tọa độ, dọc theo lưới ô vuông theo hướng lên hoặc sang phải Tìm số đường từ điểm (0, 0) đến điểm (2n, 0) mặt phẳng tọa độ theo các véc r r tơ a = (1, 1) , b = (1, − 1) và không vượt qua trục hoành Ta nói một hình chữ nhật kích thước nguyên là tách được nếu nó có thể chia thành hai hay nhiều các hình vuông có cạnh song song hoặc nằm cạnh hình chữa nhật đã cho, với độ dài nguyên và có nhất một hình vuông có cạnh nhỏ nhất Tìm kích thước của hình chữ nhật để nó có thể tách được Cho H là triminô hình chữ L Chứng minh rằng với mọi n ∈ ¥ * đều có thể phủ được hình T đồng dạng với hình H theo hệ số n , cho các hình H không chờm lên (có thể xoay hoặc lật các hình H ) Cho bảng chữ nhật kích thước 10 × 11 Ta gọi một minô hình chữ thập là hình H gồm hình vuông đơn vị hình vẽ sau a) Hãy chỉ một cách xếp 15 hình H vào bảng, cho các hình này không chờm lên b) Chứng minh rằng không thể xếp được 16 hình H vào bàn cờ, cho các hình này không chờm lên Ta gọi n − boomerang là hình hợp bởi 2n − hình vuông đơn vị có dạng chữ L Tìm tất cả các số nguyên n ≥ cho tồn tại một hình chữ nhật có kích thước nguyên có thể phủ kín bằng các n − boomerang mà các n − boomerang này không thể chờm lên (có thể xoay các n − boomerang ) Cho bảng hình chữ nhật n × 2007 , gồm n hàng 2007 cột Tìm n nhỏ cho với cách viết vào tất ô bảng ô số thực, mà hàng có ô viết số hữu tỷ, tìm dãy ô số hữu tỷ a1 , a2 , K , a2 m ( m ≥ ) thỏa mãn a1 , a2 hàng a2 , a3 cột, …, a2 m−1 , a2 m hàng a2 m , a1 cột 14 Tài liệu tham khảo [1] Đề thi Olympic Toán Việt Nam, nước và quốc tế [2] Các trang web : Diendantoanhoc.net, Mathscope.org, Mathlinks.ro.uk, Artofproblemsolving, Kalva, Animath [3] Các tạp chí : Toán học Tuổi trẻ, Mathematical Excalibur, Mathematical Reflections, Krux Math, Sigma, Kvant, Komal [4] A path to combinatorics for undergraduates Counting Strategies – Titu Andreescu & Zuming Feng (Birkhauser Boston, 2004) [5] Principles and Techniques in Combinatorics – Chen Chuan-Chong & Koh KheeMeng (World Scientific, 1999) 15 ... ghi số nguyên dương và tổng các số mỗi hàng bằng 2011 Theo giả thiết (2), nếu aij > và akl > thì k ≥ i và l ≥ j ; nghĩa là từ một ô có ghi số dương chỉ có thể đến một. .. của số ô đen là k = 10 Một cách tô màu được cho hình vẽ đầu tiên  Bài toán Một tốt được đặt một ô của bảng vuông kích thước n × n , với n ≥ Con tốt đó có thể từ một. .. viên sỏi” Suy số cách thành lập bảng là số cách bố trí 2011 thao tác “sang phải” dãy 2011 048143 thao tác nói Vậy số cách thành lập bảng là C4048143  Bài toán Tìm số