Chuyên đề sử dụng đại lượng bất biến đơn biến giải toán tổ hợp A MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Bài toán tổ hợp toán nằm cấu trúc bắt buộc đề thi học sinh giỏi Các vấn đề liên quan đến lí thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn lí thú Toán học nói chung toán rời rạc nói riêng, có nội dung phong phú ứng dụng nhiều thực tiễn đời sống Trong chuyên đề này, tập trung khai khác sử dụng đại lượng bất biến đại lượng đơn biến để giải toán tổ hợp nhằm giúp học sinh có thêm công cụ đứng trước toán tổ hợp Mục đích nghiên cứu: Chuyên đề nhằm hệ thống kiến thức đại lượng bất biến toán tổ hợp, trình bày kết qua trình nghiên cứu đại lượng bất biến Giúp học sinh có kiến thức tảng có thêm định hướng cho dạng toán tổ hợp B NỘI DUNG 1.KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong loạt toán ta thường gặp tình sau : Một hệ thống thay đổi liên tục trạng thái cần phải điều trạng thái cuối Khảo sát cục sau tất lần thay đổi việc làm phức tạp khó khăn Nhưng ta lại trả lời câu hỏi mà toán yêu cầu nhờ tính đại lượng đặc biệt đặc trưng cho tất trạng thái hệ thống Hai đại lượng thường sử dụng bất biến đơn biến Bất biến đại lượng (hay tính chất) không thay đổi trình thực phép biến đổi Đơn biến đại lượng (hay tính chất) thay đổi, theo chiều (tức tăng lên giảm xuống) Dựa vào đại lượng bất biến đơn biến, ta số tính chất trạng thái cuối cùng, từ giải toán Trên thực tế phương pháp sử dụng đại lượng đơn biến bất biến tiến hành sau : Tính đại lượng cách: tính trạng thái ban đầu trạng thái cuối cùng, sau khảo sát thay đổi qua số lần thay đổi nhỏ liên tiếp Để thiết lập bất biến đơn biến người ta sử dụng tô màu, tức chia đối tượng xét làm nhóm (mỗi nhóm gồm đối tượng đánh dấu màu) SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP 2.1 Bất biến liên quan đến tính chia hết (hoặc số dư phép chia) a) Bất biến tính chẵn, lẻ Ví dụ 1.1 Cho bàn cờ kích thích x 8, tô đen ô Mỗi bước cho phép đổi màu tất ô hàng cột ( ô đen thay ô trắng ngược lại) Hỏi có tất ô bàn cờ màu không? Nhận xét: + Việc khảo sát tất phương án đổi màu toán không thực được, ta thử xem có quy luật chi phối tất phương án không? Ta xem xét thay đổi số lượng ô đen ô trắng : Ban đầu, có ô đen, 63 ô trắng Kết thúc có 64 ô đen, ô trắng (hoặc 64 ô trắng, ô đen) Mỗi bước thực hiện: đổi màu ô (1 hàng cột), giả sử trước bước đổi màu thứ k, có x k ô đen, 64 – xk ô trắng Bước đổi màu k biến a ô đen thành a ô trắng, – a ô trắng thành – a ô đen Như vậy, sau bước đổi màu thứ k, số ô đen x k – a + – a = x k + (8 – 2a), số ô trắng 64 – xk + (2a - 8) Từ đó, ta có nhận xét thay đổi số lượng ô trắng, đen sau phép đổi màu Lời giải: Mỗi bước thực hiện: đổi màu ô (1 hàng cột), giả sử trước bước đổi màu thứ k, có x k ô đen, 64 – xk ô trắng Bước đổi màu k biến a ô đen thành a ô trắng, – a ô trắng thành – a ô đen Như vậy, sau bước đổi màu thứ k, số ô đen x k – a + – a = x k + (8 – 2a), số ô trắng 64 – xk + (2a - 8) Như vậy, sau lần thực hiện, số ô đen tăng giảm số chẵn Ban đầu có ô đen, vậy, sau bước đổi màu, số lượng ô đen số lẻ Như vậy, đạt trạng thái có 64 ô đen, ô trắng ô đen, 64 ô trắng Ví dụ 2.1: Cho bàn cờ kích thước x 9, gồm ô đen 80 ô trắng Thực thuật toán : lần thay đổi màu tất ô hàng cột (ô đen thay ô trắng ngược lại) Hỏi có tất ô bàn cờ màu đen không? Nhận xét: Thuật toán tương tự trước, nhiên, lần thực thuật toán đổi màu ô , tính chẵn lẻ số lượng ô đen không bất biến Tuy nhiên, để ý kĩ chút, ta hoàn toàn đưa toán toán 1: Xét hình vuông x góc mà chứa ô đen Khi đó, việc thực thuật toán đề : không thay đổi hình vuông 8x này, thay màu tất ô hàng cột Lời giải: Giả sử ô màu đen nằm phần hình vuông x tô đậm hình vẽ Khi đó, lần thực thuật toán không làm thay đổi hình vuông x8 này, đổi màu hàng cột hình vuông x Như vậy, theo toán số ô đen hình vuông x số lẻ Tức không xảy trường hợp 64 ô màu đen Vậy không xảy trường hợp bàn cờ màu đen Ví dụ 3.1 Hai người chơi cờ Sau ván người thắng điểm, người thua điểm, hòa người điểm Hỏi sau số ván liệu xảy trường hợp người điểm người 10 điểm không? Lời giải: Gọi S(n) tổng số điểm hai người sau ván thứ n Ta có S(n + 1) = S(n) + 2, ∀n ≥ Do đó, S(n) bất biến theo modun Suy S(n) ≡ S(0) ≡ 0(mod 2), ∀n ≥ Vậy xảy trường hợp người điểm, người 10 điểm Nhận xét: Tính bất biến tính chẵn lẻ tổng số điểm hai chơi Ví dụ 4.1 Viết số 1, 2, 3, …, 2014 lên bảng Thực thuật toán: Mỗi lần xóa hai số a, b viết thêm số c = |a - b| Chứng minh số lại cuối bảng số lẻ Lời giải: Vì a + b + (a - b) = 2a nên a + b a – b tính chẵn, lẻ Gọi S(n) tổng số bảng sau bước thứ n Vì sau bước, tổng a + b thay c = |a - b| nên S(n) giữ nguyên tính chẵn, lẻ, hay bất biến theo modun Mặt khác S(0) = + + … + 2014 = 1007 2015 số lẻ Nên S(n) lẻ với n Vậy số cuối lại bảng số lẻ Nhận xét: Tính bất biến tính chẵn lẻ tổng số bảng Bài tập tương tự : Bài 1.1: Trên bảng, người ta viết 2013 số 2013 số Thực thuật toán: Mỗi lần số số bất kì: hai số giống viết thêm số 0, số khác viết thêm số Hỏi số cuối lại bảng số nào? Bài 2.1: Trên bảng ta viết số chữ số 0, số chữ số số chữ số Sau ta xóa cặp hai chữ số khác thay vào chữ số khác với hai chữ số xóa Chứng minh : Nếu kết cuối bảng chữ số kết không phụ thuộc vào thứ tự cặp chữ số xóa (Trích đề thi Vô địch Liên Xô - 1975) Bài 3.1: Cho dãy số 1, 2, 3, 4, …, 2013 Mỗi lần thay hai số a , b số a – b Hỏi có thu toàn số hay không? Thay 2013 số tự nhiên N, tìm điều kiện N để kết cuối thu toàn số 0? Bài 4.1: Cho bàn cờ x 7, tô đen ô góc Thực thuật toán: lần thay đổi màu hàng cột (ô đen thay ô trắng ngược lại) Hỏi có tất ô bàn cờ màu không? b) Bất biến liên quan đến tính chia hết cho số lớn số dư phép chia cho số lớn Ví dụ 5.1 Cho 1000 số từ đến 1000 bảng, lần thay vài số tổng chữ số Hỏi cuối có nhiều số hay nhiều số hơn? Lời giải: Một số chia cho dư k tổng chữ số chia dư k Các số chia dư dãy từ đến 1000 : 1; 10; 19; 28; ….; 1000, có 1000 − + = 112 số Các số chia dư dãy từ đến 1000 : 2; 11; 20; 29; ….; 992, có 992 − + = 111 số Vậy, cuối có nhiều số số Nhận xét: lời giải ta sử dụng tính chất số chia cho dư k tổng chữ số chia dư k Đây đại lượng bất biến toán Ví dụ 6.1 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG tỉnh Bắc Ninh , năm 2007) Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi đỏ, 671 bi vàng Thực thuật toán sau : Mỗi lần lấy viên bi khác màu đặt thêm viên bi có màu lại Hỏi nhận trạng thái mà bàn lại viên bi màu không? Lời giải: Gọi X(n), D(n) V(n) tương ứng số bi màu xanh, số bi màu đỏ số bi màu vàng sau bước thứ n Xét đại lượng X(n) – D(n), D(n) – V(n) , V(n) – X(n) Vì lần lấy viên bi khác màu đặt thêm viên bi có màu lại nên đại lượng X(n) – D(n), D(n) – V(n) , V(n) – X(n) bất biến theo mođun Ta có X(0) – D(0) = - , D(0) – V(0) = 2; V(0) – X(0)= Nên số dư đại lượng chia cho sau lần thực thuật toán 1; 2; Ta lại thấy, số bi bàn không thay đổi (mỗi lần thực hiện, lấy viên đặt thêm viên khác), bàn viên bi màu tức số viên bi đỏ, xanh, vàng lại hoán vị tập {2007, 0, 0}, đại lượng X(n) – D(n), D(n) – V(n) , V(n) – X(n) chia hết cho (mâu thuẫn) Từ đó, suy nhận trạng thái mà bàn lại viên bi màu Nhận xét: Việc lấy thêm viên bi khác đặt thêm viên bi có màu lại tạo bất biến hiệu số viên bi chia cho toán Ví dụ 7.1 Mỗi bước cho phép chọn số a, phân tích a thành tích hai số m, n viết lên bảng m ± 2, n ± tùy ý (ví dụ a = 99 = 9.11, – = 7, 11 + = 13, viết lên bảng số số 13 thay cho số 99) Hỏi sau số bước vậy,từ số 99… 99 (2012 chữ số 9) có thu bảng dãy gồm toàn số không? Lời giải: Nếu a số chia cho dư số m, n có số chia dư 1, số chia dư Một số chia dư cộng hay trừ chia dư Vậy, sau thực phép thay đổi từ số chia dư tồn số chia dư lại Số 99… 99 (2012 chữ số 9) chia dư 3, vậy, sau số bước biến đổi đề cuối cùng, tồn số chia dư Một dãy gồm toàn số 9, tức dãy gồm toàn số chia dư Vậy thu dãy số Nhận xét: Bất biến toán tồn số chia dư dãy Ví dụ 8.1 Trên bảng có hai số Thực việc ghi số theo quy tắc sau: bảng có hai số a, b phép ghi thêm số c = a + b + ab Hỏi cách đó, ghi số 2010 11111 hay không? Lời giải: Dãy số viết 1, 2, 5, 11, 17,… Dễ dàng chứng minh số viết thêm bảng chia cho dư Bất biến cho phép ta loại trừ số 2010 dãy số viết bảng Tuy nhiên, bất biến không cho phép ta loại trừ số 11111 Ta tìm bất biến khác Quan sát số viết quy tắc viết thêm số, ta có c = a + b + ab ⇒ c + = (a + 1)(b + 1) Và cộng thêm vào số thuộc dãy trên, ta có dãy 2, 3, 6, 12, 18, … Như vậy, cộng thêm vào số viết thêm số có dạng 2n.3m với n, m ∈ Ν Do 11111 + = 11112 = 463 nên không thuộc dãy số viết Do viết số 2010 11111 Nhận xét: Bài toán sử dụng bất biến Bài tập tương tự Bài 5.1: Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, … viết ô bảng ô vuông kích thước 2003 x 2003 theo vòng xoáy trôn ốc (xoáy ngược chiều kim đồng hồ) cho số nằm ô trung tâm (tâm bảng) Các dòng cột bảng đánh số tăng dần từ lên từ trái sang phải (bắt đầu từ số 1) a) Số 2004 nằm dòng nào, cột nào? Tại sao? b) Thực thuật toán sau : lần đầu tiên, thay số ô trung tâm 1998; lần tiếp theo, cho phép lấy 12 số 12 ô liên tiếp hàng cột hình chữ nhật x tăng số lên đơn vị Hỏi sau số lần ta làm cho tất số bảng bội 2004 hay không? Tại sao? 20 21 22 23 24 19 18 10 17 11 16 15 14 13 12 Bài 6.1 : Ở xứ sở nọ, nàng công chúa bị rồng hãn 100 đầu bắt Chàng hoàng tử lên đường cứu công chúa, chàng có kiếm, chặt 21 đầu rồng, : chặt đầu rồng rồng lại mọc thêm 2012 đầu Nếu hoàng tử chặt hết đầu rồng cứu công chúa Hỏi hoàng tử có cứu công chúa không? Nếu số lượng đầu rồng ban đầu N, N thỏa mãn điều kiện hoàng tử cứu công chúa? 2 Bất biến công thức đại số Ví dụ 1.2 Trên bảng người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 2013 sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tổng hai số xóa Việc làm thực liên tục số bảng Hỏi số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Lời giải: Vì lần thực trò chơi thay hai số tổng chúng nên số lượng số bảng giảm tổng số bảng không thay đổi thời điểm Như vậy, sau 2012 lần thực bảng số Tổng số lúc đầu là: + + + L + 2012 + 2013 = 2013.(2013 + 1) = 2027091 Vậy số cuối lại bảng 2027091 Nhận xét: Bất biến toán tổng số bảng không thay đổi sau thuật toán Ví dụ 2.2 Một dãy gồm có 19 phòng Ban đầu phòng có người Sau đó, ngày có hai người chuyển sang hai phòng bên cạnh theo hai chiều ngược nhau, Hỏi sau số ngày, có hay không trường hợp mà: (a) Không có phòng có thứ tự chẵn (b) Có 10 người phòng cuối Lời giải: Đánh số phòng theo thứ tự từ đến 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Ta cho vị khách thẻ ghi số phòng Gọi S(n) tổng số ghi thẻ tất vị khách ngày thứ n Vì ngày có hai người chuyển sang hai phòng bên cạnh theo hai chiều ngược nên S(n) không thay đổi Vậy S(n) = S(1) = + + + …+ 19 = 190, ∀n ≥ a) Vì có lẻ người nên không phòng có thứ tự chẵn S(n) tổng 19 số lẻ, tức S(n) số lẻ , mâu thuẫn Vậy trường hợp không xảy b) Nếu có 10 người phòng cuối (phòng 19) S(n) > 19 10 = 190, mâu thuẫn.Vậy trường hợp không xảy Nhận xét: Bất biến toán tổng số ghi thẻ tất vị khách Ví dụ 3.2 Xét bảng vuông x ô Tại ô bảng vuông có chứa dấu “+” dấu “ - ” Mỗi lần thực hiện, cho phép đổi dấu tất ô hàng cột Giả sử bảng hình vuông ban đầu có dấu “+” 15 dấu “-” Hỏi đưa bảng ban đầu bảng có toàn dấu “+” không? Lời giải: Thay tất dấu “+” dấu “ - ” – Mỗi lần thực đổi dấu tất ô hàng cột, tức đổi dấu số nên tích 16 số bảng không thay đổi Tích 16 số ban đầu – 1, sau lần biến đổi -1 Nếu bảng toàn dấu “+” tức tích 16 số bảng Như vậy, dù có dù có thực lần từ bảng vuông ban đầu đưa bảng vuông toàn dấu “+” Nhận xét: Bất biến toán tích tất số ô bảng Ví dụ 4.2 Trên bảng có số 80 ; ; ;L ; Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa hai số a, b 80 80 80 80 thay a + b – 2ab Hỏi sau 1987 lần thực phép xóa, số lại bảng số nào? Lời giải Giả sử số a1; a2; a3; …; ak Xét tích P = (2a1 - 1)(2a2 - 1)…(2ak - 1) Khi đó, sau lần biến đổi, tích bị hai thừa số (2a - 1)(2b - 1) thêm vào thừa số 2(a + b – 2ab) – = - (2a - 1)(2b – 1) Tức sau lần biến đổi giá trị tuyệt đối tích P không thay đổi Vì tích ban đầu (do bảng ban đầu có chứa số 40 = ) nên sau lần biến đổi tích 80 Vậy số lại cuối bảng s thỏa mãn 2s – = 0, hay s = Nhận xét: Bất biến toán tích tất giá trị hàm số y = 2x – số bảng Ví dụ 5.2 Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c, thực hai phép biến đổi: a) Đổi chỗ a c b) Đổi biến x x + t với t ∈ R Hỏi từ x – 31x - thu x2 – 20x – 12 không? Tìm mối liên hệ hai đa thức P(x) Q(x) cho từ đa thức thu đa thức hai phép biến đổi nói Lời giải Xét biểu thức P(x+t) = a(x + t)2 + b(x + t) + c = ax2 + (2at + b) x + at2 + c có ∆ = (2at + b)2 – 4a(at2 + c) = 4a2t2 + 4abt + b2 – 4a2t2 – 4ac = b2 – 4ac Xét biểu thức P1(x) = cx2 + bx + a có ∆ = b2 – 4ac Như vậy, phép biến đổi không làm thay đổi đại lượng ∆ ( ∆ bất biến với hai phép biến đổi) Xét P(x) = x – 31x – có ∆ = 312 + = 973 Q(x) = x2 – 20x – 12 có ∆ = 202 + 12 = 448 Vậy từ P(x) ta thu Q(x) thông qua hai phép biến đổi Hai đa thức P(x) Q(x) mà từ đa thức thu đa thức hai phép biến đổi nói chúng có giá trị biệt thức ∆ Nhận xét: đại lượng bất biến biệt thức ∆ Bài tập tương tự: Bài 1.2: Tại đỉnh đa giác lồi A 1A2…A1993 ta ghi dấu “+” dấu “-”sao cho 1993 dấu có dấu “+” dấu “-” Thực việc thay dấu sau: lần, thay dấu đồng thời tất đỉnh đa giác theo quy tắc: - Nếu dấu Ai Ai+1 dấu Ai thay dấu “+” - Nếu dấu Ai Ai+1 khác dấu Ai thay dấu “+” (Quy ước A1994 A1) Chứng minh rằng, tồn số nguyên k ≥ cho thực liên tiếp k lần phép thay dấu nói trên, ta đa giác A1A2…A1993 mà dấu đỉnh Ai ( i = 1,1993 ) trùng với dấu đỉnh sau lần thay dấu thứ Bài 2.2: Trên bảng cho đa thức f (x) = x + 4x + Thực trò chơi sau, bảng có đa thức P(x) phép viết thêm lên bảng hai đa thức sau 1    Q(x) = x f  + 1÷,R(x) = (x − 1) f  ÷ x   x −1 Hỏi sau số bước ta viết đa thức g(x) = x + 10x + Bài 3.2: Cho n cây, có chim đậu Thực thuật toán: Mỗi lần, bay theo chiều xuôi qua a có bay theo chiều ngược qua a Hỏi có n chim đậu không? Bài 4.2: Cho dãy số : 1, 2, 3, …, 2013 Mỗi bước thay hai số a, b a.b + a + b Hỏi sau 2012 bước, số lại số nào? Bài toán tô màu Ví dụ 1.3 Bàn cờ vua x bị hai ô hai góc đối diện Hỏi lát phần lại bàn cờ quân Domino x không? Lời giải: Mỗi quân Domino lát vào bàn cờ chiếm ô trắng ô đen Do đó, lát phần lại bàn cờ số ô trắng số ô đen Nhưng hai ô đối diện bàn cờ hai ô màu nên số ô màu trắng số ô màu đen phần lại bàn cờ không Vậy không lát phần lại bàn cờ quân Domino Nhận xét: Tô ô bàn cờ đan xen màu, xét số lượng ô màu Ví dụ 2.3 : Cho bàn cờ 10 x 10 Có thể sử dụng quân x để lát kín bàn cờ không? Lời giải: Ghi số bàn cờ sau : 4 2 4 3 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4 4 1 4 2 4 Ta tô bàn cờ màu, ô ghi số tô màu đỏ, ô ghi số tô màu xanh, ô ghi số tô màu vàng, ô ghi số tô màu đen Như có 25 ô đỏ, 26 ô xanh, 25 ô vàng, 24 ô đen Khi lát quân x lên bàn cờ quân chiếm ô đỏ, ô xanh, ô vàng ô đen Như số lượng ô đỏ, xanh, vàng, đen sau phủ quân x lên bàn cờ Do đó, phủ kín bàn cờ Nhận xét: Tô ô màu khác nhận xét số lượng ô màu Ví dụ 3.3 Cho bảng ô vuông kích thước kích thước x điền số sau: 2013 10 17 25 33 41 49 57 10 18 26 34 42 50 58 11 19 27 35 43 51 59 12 20 28 36 44 52 60 13 21 29 37 45 53 61 14 22 30 38 46 54 62 15 23 31 39 47 55 63 16 24 32 40 48 56 64 Cho phép thực việc thay đổi số bảng theo quy tắc: Mỗi lần lấy tất số nằm hình vuông kích thước x x tăng số lên đơn vị Hỏi khẳng định sau hay sai ? Với cách điền số ban đầu, nhờ việc thực liên tiếp phép thay số nói bảng số ban đầu ta nhận bảng x mà ô vuông bảng số chia hết cho Lời giải: Tô màu bảng hình vẽ Nhận xét: Bất kể hình vuông x chứa ô vuông đen ô vuông đen Bất kể hình vuông x chứa 12 ô đen Do đó, sau lần thay số, ta không làm thay đổi số dư phép chia cho tổng số ô phần gạch chéo Tổng số ô phần bôi đen chia dư 2, nên tổng số sau bước biến đổi chia dư 2, tức đạt trạng thái mà số ô vuông chia hết cho Ví dụ 4.3 Một hình tròn chia thành 2010 hình quạt Trong hình quạt có viên bi Thực trò chơi sau: lần cho phép lấy hai viên bi hai hình quạt chuyển chúng sang ô bên cạnh theo hai chiều ngược Hỏi sau số lần chuyển hết viên bi vào hình quạt không? 11 Lời giải: Tô màu hình quạt hai màu đen, trắng hình vẽ cho hình quạt kề khác màu Gọi S(n) T(n) tương ứng số viên bi hình quạt màu đen số viên bi hình quạt màu trắng sau bước chuyển bi thứ n Ta có S(n) T(n) bất biến theo modun Do S(0) = T(0) = 1005 nên S(n) T(n) lẻ với n Do có trạng thái mà tất viên bi hình quạt Ví dụ 5.3 Hình tròn chia thành 2011 hình dẻ quạt Xếp 2012 viên kẹo vào phần dẻ quạt Mỗi bước, cho phép chuyển hai viên phần sang hai phần kề khác hướng Chứng minh đến lúc có 1006 phần có chứa kẹo Lời giải: Nhận xét 1: Quá trình không dừng lại, việc thực bước không làm thay đổi số viên kẹo ban đầu Có 2011 hình dẻ quạt, 2012 viên kẹo, nên sau bước tồn hình dẻ quạt có lớn viên kẹo (nguyên lí đirichle), nói cách khác, sau bước thực bước Nhận xét 2: đến lúc đó, phần cạnh có kẹo (ít ô có kẹo) Giả sử điều không đúng, tức tồn hai hình dẻ quạt kề kẹo Bỏ hình dẻ quạt đi, coi 2009 hình dẻ quạt lại chuỗi 2009 ô hình chữ nhật thẳng hàng Như trình dừng lại Vậy điều giả sử sai Tức đến lúc phần cạnh có kẹo Lúc này, chia 2011 ô thành 1006 phần sau: ô có kẹo, 1005 cặp ô kề Khi đó, cặp ô có ô có kẹo, có 1006 ô có kẹo Nhận xét 3: ô kề có kẹo sau bước nhảy có kẹo Xét ô kề có kẹo, lấy kẹo từ 2009 ô lại để thực phép nhảy ô có kẹo, lấy kẹo từ ô để thực phép nhảy, lấy viên kẹo chuyển sang phần bên nó, nên chắn chuyển kẹo vào ô lại Vậy tình huống, ô có kẹo Ví dụ 6.3 Điền 29 số nguyên dương vào ô vuông bảng x sau (bảng ): 12 11 15 20 25 12 16 21 26 17 22 27 13 18 23 28 10 14 19 24 29 Cho phép đổi vị trí số bảng theo quy tắc : Mỗi lần, lấy số nằm ô kề với ô trống chuyển số sang ô trống Hỏi nhờ việc thực liên tiếp số hữu hạn lần phép chuyển số nói bảng ban đầu, ta nhận bảng số sau (bảng 2) không? 29 11 15 20 25 12 16 21 26 17 22 27 13 18 23 28 10 14 19 24 29 Lời giải: Giả sử nhờ phép chuyển số theo quy tắc đề bài, từ bảng ta nhận bảng (*) Ta coi ô trống bảng ô điền số Với bảng số nhận trình chuyển số, ta liệt kê tất số bảng theo thứ tự từ trái qua phải, từ xuống Khi đó, ứng với bảng số ta có hoán vị 30 số tự nhiên Và đó, từ giả thiết (*) cho thấy, từ hoán vị (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 ) (gọi hoán vị I) ta nhận hoán vị (29, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, ) (gọi hoán vị 2) nhờ việc thực liên tiếp số hữu hạn lần phép đổi chỗ số hạng hoán vị theo quy tắc : Mỗi lần, lấy số khác hoán vị đổi vị trí số hạng cho (1) Giả sử (a1, a2, …, a30) hoán vị 30 số tự nhiên Ta gọi cặp số (a i, aj) cặp số ngược hoán vị vừa nêu a i > aj i < j Dễ thấy, sau lần thực phép đổi chỗ số hạng theo quy tắc (1) hoán vị (a 1, a2, …, a30) số cặp số ngược hoán vị tăng giảm số lẻ đơn vị.(2) Ta có số cặp số ngược hoán vị I 12, số cặp số ngược hoán vị II 67 Từ kết hợp với (2) suy từ hoán vị I ta nhận hoán vị II sau số lẻ lần thực phép đổi chỗ số hạng Điều cho thấy, từ bảng ta nhận bảng số lần chuyển số phải số lẻ (3) 13 Tô màu tất ô vuông bảng x màu xanh, đỏ cho ô kề có màu khác Thế thì, sau lần chuyển số, số chuyển từ ô có màu sang ô có màu Và thế, số bảng số bảng nằm hai ô có màu giống nên từ bảng nhận bảng sau số chẵn lần chuyển số Điều mâu thuẫn với (3) Vậy từ bảng (1) ta nhận bảng nhờ phép chuyển số theo quy tắc đề Nhận xét: Nhờ việc tô màu ô vuông bảng, ta tìm số lần chuyển số số chẵn Từ suy luận cặp số ngược, ta tìm số lần chuyển số số lẻ Từ có kết toán Trong toán này, phát sử dụng cặp số ngược có vai trò quan trọng Cặp số ngược sử dụng toán sau: Ví dụ 7.3 Ở vị trí khác đường đua ô tô vòng tròn thời gian có 25 ô tô xuất phát theo hướng Theo thể lệ đua, ô tô vượt lẫn nhau, cấm không vượt đồng thời hai xe lúc Các ô tô đến đích điểm mà chúng xuất phát ban đầu lúc Chứng minh suốt đua có số chẵn lần vượt ô tô Lời giải: Ta sơn số 25 ô tô thành màu vàng, ô tô khác đánh số thứ tự 1, 2, 3, …, 24 theo thứ tự mà chúng thời điểm ban đầu sau ô tô màu vàng (theo chiều chuyển động ô tô) Ở tâm đường đua ta đặt bảng để ghi số thứ tự ô tô xếp sau ô tô vàng sau lần ô tô vượt nhau, tức ta hoán vị {1, 2, …, 24} Trường hợp 1: Mỗi lần ô tô ô tô từ đến 24 vượt bảng có số liền đổi chỗ cho Trường hợp 2: Nếu trước có lần vượt ô tô với ô tô vàng , số bảng lập thành hoán vị a1, a2, …, a24 sau lần vượt có hoán vị a 2, a3, …, a24, a1 Từ hoán vị chuyển xuống hoán vị 23 phép chuyển vị , tức phép đổi chỗ số đứng liền Trường hợp 3: Nếu ô tô vàng vượt ô tô từ hoán vị a 1, a2, …, a24 ta có hoán vị a24, a1, a2, …, a23 Lần di chuyển thay 23 phép chuyển vị trường hợp Như vậy, lần ô tô vượt nhau, dẫn đến việc thực số lẻ lần phép chuyển vị Ta chứng tỏ số lần vượt số lẻ đích ô tô không xếp cũ Thật vậy, giả sử a1, a2, …, a24 cách xếp tùy ý số 1, 2, …, 24 Ta nói số ai, aj lập thành nghịch i < j a i > aj Khi đổi vị trí số đứng liền nhau, tức thực phép chuyển vị tăng hay giảm số nghịch Do ô tô vượt số lẻ lần từ cách xếp thứ tự ô tô ban đầu, đến cuối ta thực số lẻ phép chuyển vị, tức số nghịch lần xếp cuối lẻ, nghĩa ô tô xếp cũ Mâu thuẫn 14 Vậy ô tô vượt số chẵn lần Bài tập tương tự: Bài 1.3 : Xét bàn cờ vua x Chứng minh xuất phát từ ô góc, mã qua tất ô bàn cờ, ô lần kết thúc ô góc đối diện với ô góc xuất phát Bài 2.3 : Xác định số nguyên dương m, n cho bảng m x n lát quân hình chữ L Bài 3.3 (IMO - 2004).Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu hình gồm ô vuông đơn vị hình vẽ đây, hình nhận lật hình (sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới) hình nhận xoay hình góc Hãy xác định tất hình chữ nhật m x n, m, n số nguyên dương cho lát hình chữ nhật viên gạch hình móc câu Bài 4.3(VMO - 1991).Cho bảng 1991 x 1992 Kí hiệu (m, n) ô vuông nằm giao hàng thứ m cột thứ n Tô màu ô vuông bảng theo quy tắc sau: lần thứ tô ô (r, s), (r + 1, s + 1), (r + 2, s + 2); ≤ r ≤ 1989, ≤ s ≤ 1990 , từ lần thứ hai, lần tô ba ô chưa có màu nằm cạnh hàng cột Hỏi cách tô màu tất ô bảng không? Bài 5.3 (VMO - 2006).Xét bảng ô vuông m x n (m, n số nguyên dương lớn 3) Thực trò chơi sau : lần đặt viên bi vào ô bảng (mỗi ô viên bi) mà ô tạo thành hình Hỏi sau số lần ta nhận bảng mà số bi ô không a) m = 2004 n = 2006 ? b) m = 2005 n = 2006 ? 15 Bài 6.3: Cho n ( n ≥ 2) học sinh đứng thành hàng dọc Sau lần cô giáo thổi còi, có em đổi chỗ cho Hỏi sau số lẻ lần thổi còi, ta thấy tất em học sinh đứng vị trí ban đầu hay không? SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG ĐƠN BIẾN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP Ví dụ 1.4 Xét bảng ô vuông m x n (m, n ≥ ) Trong ô bảng ta điền số thực Thực thuật toán sau: lần lấy hàng cột có tổng số nhỏ đổi dấu tất số hàng (hoặc cột) Chứng minh sau hữu hạn bước ta nhận bảng mà tổng số hàng tổng số cột số không âm Lời giải: Gọi S(n) tổng tất số bảng sau bước thứ n Ta có, S(n+1)> S(n), ∀n > Do đó, S(n) hàm đơn biến Mặt khác, số trạng thái nhận hữu hạn nên thực thuật toán hữu hạn lần ta nhận bảng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 2.4 Cho dãy phòng dài vô hạn, đánh số 1, 2, 3, … Có số hữu hạn người sống dãy phòng Mỗi ngày có hai người sống hai phòng cạnh chuyển sang hai phòng khác theo hai hướng ngược không tráo đổi vị trí cho Chứng minh việc chuyển phòng dừng lại sau hữu hạn ngày Lời giải: Ta đưa cho người chìa khóa, có ghi số phòng Gọi S(n) tích số viết chìa khóa ngày thứ n Ta có: S(n + 1) k(k + 1) = < 1, ∀n ≥ S(n) (k − 1)(k + 2) Trong k k + phòng có người chuyển Do đó, S(n) đơn biến Do S(n) giảm S(n) ∈ N * nên việc chuyển phòng phải dừng lại sau hữu hạn ngày Ví dụ 3.4 Tô đen 09 ô bàn cờ 10 x 10 Mỗi lần tô màu đen ô chưa tô kề với hai ô đen (kề hiểu chung cạnh) Có thể tô màu hết bàn cờ hay không? Nếu 10 ô sao? Nếu hình vuông n x n lúc đầu cần tô đen ô để tô đen bàn cờ Lời giải: Chu vi hình đen không giảm , giảm 2, giảm Tổng chu vi hình đen ban đầu nhỏ 36 Chu vi bàn cờ 10x10 40 Như vậy, tô đen bàn cờ Ví dụ 4.4 (VMO 2012) 16 Cho số nguyên dương n Có n học sinh nam n học sinh nữ xếp thành hàng ngang, theo thứ tự tùy ý Mỗi học sinh (trong số 2n học sinh vừa nêu) cho số kẹo số cách chọn hai học sinh khác giới với X đứng hai phía X Chứng minh tổng số kẹo mà tất 2n học sinh nhận không vượt n(n − 1) Lời giải: Gọi bạn nam x 1, x2, …, xn bạn nữ y 1, y2, …, yn Bằng tính toán trực tiếp ta thấy bạn nam nữ xếp xen kẽ x 1, y1, x2, y2, …, xn, yn tổng số kẹo cua 2n bạn n(n − 1) Để chứng minh kết luận toán ta chứng tỏ cách xếp hàng chuyển dần cách xếp xen kẽ mà trình chuyển tổng số kẹo mà bạn nhận không giảm Giả sử cách xếp hàng có r bạn nam r bạn nữ cuối xếp xen kẽ ( ≤ r < n ) Không tổng quát, ta giả sử hàng có hai dạng sau: i) , y r +1 , x r + k , , x r +1 , x r , y r , x r −1 , y r −1 , , x1 , y1 43 4 44 4 43 k ban nam lien tiep r cap nam, nu xem ke ii) , x r +1 , y r + k , , y r +1 , x r , y r , x r −1 , y r −1 , , x1 , y1 ,khi k > 1 43 4 44 4 43 k ban nu lien tiep r cap nam, nu xem ke Trong trường hợp i, ta chuyển bạn yr+1 đến vị trí trước bạn xr Khi có số kẹo bạn yr+1, xr+k, …., xr+1 thay đổi Bằng tính toán trực tiếp ta thấy tổng số kẹo tăng lượng (k - k) Trong trường hợp ii), ta chuyển bạn x r+1 đến vị trí trước bạn y r+1 Khi có số kẹo bạn xr+1, yr+k, …, yr+2 thay đổi Ta tính tổng số kẹo tăng lượng (k - k) Như vậy, sau không n lần chuyển hàng xếp xen kẽ nam, nữ Do tổng số kẹo cách xếp nhỏ n(n − 1) C KẾT LUẬN Trên đây, trình bày bốn ứng dụng thường dùng đại lượng bất biến đơn biến việc giải toán tổ hợp, toán chọn đa dạng phong phú Qua giúp học sinh tiếp cận hình thành phương pháp giải lớp toán loại , đặc biệt giúp em nhìn nhận tìm đại lượng bất biến đơn biến ẩn toán tổ hợp, từ có cách giải toán phù hợp, tăng thêm tính say mê tích cực tìm tòi, sáng tạo em Tôi viết chuyên đề nhằm mục đích trao đổi với Quý Thầy Cô dạy môn toán việc “hệ thống” kiến thức, vài kỹ đại lượng bất biến đại lượng đơn biến Vì 17 kiến thức thời gian nhiều hạn chế nên chuyên đề có thiếu sót, chân thành mong muốn đón nhận trao đổi, góp ý Quý Thầy Cô để chuyên đề ngày hoàn thiện sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn! 18 ... bất biến đơn biến việc giải toán tổ hợp, toán chọn đa dạng phong phú Qua giúp học sinh tiếp cận hình thành phương pháp giải lớp toán loại , đặc biệt giúp em nhìn nhận tìm đại lượng bất biến đơn. ..2 SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP 2.1 Bất biến liên quan đến tính chia hết (hoặc số dư phép chia) a) Bất biến tính chẵn, lẻ Ví dụ 1.1 Cho bàn... thức, vài kỹ đại lượng bất biến đại lượng đơn biến Vì 17 kiến thức thời gian nhiều hạn chế nên chuyên đề có thiếu sót, chân thành mong muốn đón nhận trao đổi, góp ý Quý Thầy Cô để chuyên đề ngày