BÀI TOÁN CON BƯỚM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Bài toán bướm định lý hay có nhiều ứng dụng toán học Bài viết nhằm mục đích giới thiệu nội dung, cách chứng minh vài ứng dụng I NỘI DUNG BÀI TOÁN: Cho đường tròn (O) với dây cung AB I trung điểm AB Qua I dựng hai dây cung MN, PQ khác AB cho MP NQ cắt AB E F Chứng minh I trung điểm EF N M P A P I B I E F B A Q O O Q M N Bài toán có nhiều cách chứng minh, cách có hay thú vị riêng Sau ta điểm qua số cách chứng minh sơ cấp Cách N P E A F I B D C O Q M 1 Gọi C, D trung điểm MP, NQ, ta có: OC ⊥ MP, OD ⊥ NQ, OI ⊥ AB nên tứ giác IOCE IODF tứ giác nội tiếp Do vậy: g.IOE = g ICE, gIOF = g.IDF (g: góc) (1) Dễ thấy hai tam giác IMP IQN đồng dạng IC, ID hai trung tuyến tương IC IP PM CP = = = nên ∆ICP : ∆IDN ⇒ g ICE = g IDF ứng nên: ID IN NQ DN (2) Từ (1) (2) ta g.IOE = g.IOF nên tam giác OEF cân O Vì I trung điểm AB (đpcm) Cách 2(của Coxeter Greitzer) N P K B C I A F E H D O M Q Gọi C, D thứ tự hình chiếu vuông góc E IP, IM Gọi K, H thứ tự hình chiếu vuông góc F IM, IQ IE ED IE = (1); ∆IEC : ∆IFH ⇒ = IF FK IF PE EC ∆PEC : ∆NFK ⇒ = (3); ∆MED : ∆QFH ⇒ NF FK ∆IED : ∆IFK ⇒ Ta có: 2 EC (2) FH ME ED = (4) QF FH ( IE ED EC ME PE AE BE ) = = = IF FK FH NF QF AF BF AE BE ( AI − EI )( BI + IE ) AI − EI mà = = AF BF ( AI + IF)( IB − IF) AI − IF2 IE AI − EI AI Vây ( ) = = = ⇒ IE = IF IF AI − IF2 AI Từ (1), (2), (3), (4) ta có: Ta đpcm Cách D N P I A B F E O Q M Trường hợp MP NQ song song trường hợp đơn giản Do ta cần xét MP NQ giao Ta gọi D giao chúng Xét tam giác EFD Theo định lý Menenauyt ta có: IF ME ND IF PE QD IF ME ND PE QD = 1; = ⇒ ( )2 =1 IE MD NF IE PD QF IE MD NF PD QF Vì DN.DQ = DP.DM nên ta có: IF2 ME PE IF2 NF QF = 1; ⇒ = IE NF QF IE ME PE 3 Mặt khác : NF.QF = AF.BF ME.PE = EA.EB nên ta có: IF2 AF BF ( AI + IF) ( AI − IF) AI − IF = = = =1 IE EA EB ( AI − IE) ( AI + IE) AI − IE (đpcm) Cách 4: L N P I A B F E K O Q M Từ F kẻ đường thẳng d song song với MP, cắt MN L cắt PQ K Ta có: g.FLN = g.IME = g.FQK mà LNF QKF hai tam giác đồng dạng nên ta có: LF FQ = Vì vây :LF FK = FN FQ = ( AI + IF)( BI − IF) = AI − IF2 FN FK Tương tự : EP.EM = AI2 – IE2 4 Mặt khác: FK EP = FI EI FL EM FK FL EP.EM ∆IFN : ∆IEM ⇒ = ⇒ = FI EI FI EI mà LF.FK = AI2 − IF2 , EP.EM = AI − IE ∆IEP : ∆IFK ⇒ nên FK FL EP.EM AI2 − IF2 AI2 − IE AI2 AI2 = ⇔ = ⇔ = ⇔ IE = IF FI EI IF2 IE IF2 IE II MỘT VÀI BIẾN TẤU CỦA BÀI TOÁN CON BƯỚM Trước tiên ta thay đổi cách phát biểu toán bướm sau: Bài toán 1: Cho tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I giao hai đường chéo AB CD Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AD, BC theo thứ tự M N Chứng minh I trung điểm MN N/x: Nếu ta đổi vai trò hai đường chéo hai cạnh đối diện cho ta thu toán sau Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I giao hai đường chứa hai cạnh bên AD BC Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AC, BD theo thứ tự M N Chứng minh I trung điểm MN I N d D C B O A 5 N/x: Ở toán ta thay hai đường chéo hai cạnh đối diện lại ta có toán Bài toán : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I giao hai đường AD BC Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AB,C D theo thứ tự M N Chứng minh I trung điểm MN I M N D C B O A Ở toán phép chứng minh lặp lại tương tự cách trình bày bên N/x: Từ ba toán ta tổng quát thành toán sau: Bài toán : Cho tròn (O), d đường thẳng tùy ý không tiếp xúc với (O) Gọi I hình chiếu vuông góc O d Qua I kẻ hai cát tuyến IAD IBC tới (O) Gọi M, N thứ tự giao d với AB CD Gọi E,F thứ tự giao d với AC BD Gọi P, Q giao d với đường tròn (O) (nếu có) Chứng minh ba đoạn MN, EF, PQ có trung điểm Rõ ràng d cắt (O) ta toán 1, d nằm (O) ta toán Đặc biệt ta cho cát tuyến TAD suy biến thành tiếp tuyến A A trùng D, ta toán sau: 6 Bài toán : Cho tròn (O) d đường thẳng nằm (O) Gọi I hình chiếu vuông góc O d Qua I kẻ tiếp tuyến IA cát tuyến IBC tới (O) Gọi M, N thứ tự giao d với AB AC Chứng minh IM = IN III ÁP DỤNG BÀI TOÁN CON BƯỚM VÀO GIẢI TOÁN Khi áp dụng vào tập điều quan trọng ta phải phát xây dựng mô hình định lý bướm VD1: (Mongolian TST 2008) Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi CD đường cao, H trực tâm tam giác ABC Một đường thẳng qua d vuông góc với OD cắt BC E CHứng minh g DHE = g ABC Nhận xét: Coi đường thẳng d đường thẳng DE ta thấy mô hình bướm xuất , cách tự nhiên ta nghĩ đến việc đủ tứ giác nội tiếp ACBF lấy giao d với AF Lời giải Gọi F giao khác C CD với (O) K giao d với AF Theo tính chất quen thuộc trực tâm thi ta có D trung điểm FH Áp dụng toán bướm số ta D trung điểm EK Suy FKHE hình bình hành hay ta có AF EH song song Vậy ta đpcm hai góc góc AFD VD2 : (MOP 1998) Cho hai đường tròn (C) (C’ ) có bán kính cắt hai điểm A, B Gọi O trung điểm AB CD dây cung (C) qua O Gọi P giao điểm đoạn thẳng CD với (C’) EF dây cung (C’) qua O Q giao điểm đoạn EF với (C) Chứng minh AB, CQ, EP đồng quy Nhận xét: với giả thiết O trung điểm AB ta không khó để dựng hình phụ để xuất toán bướm 7 Lời giải K H A M D F I J O Q P B E C Gọi H, K giao điểm thứ hai CD (C’), EF (C) Gọi S, S’ giao CQ, EP với AB M giao KD AB Áp dụng định lý bướm ta có O trung điểm MS Mặt khác hai đường tròn (C ) (C’) cung bán kính nên O trung điểm AB O trung điểm PD, EK Do tứ giác PDEK hình bình hành Suy : ∆KOM = ∆EOS'( g.c.g ) ⇒ OM = OS' hay O trung điểm MS’ Vậy S, S’ trùng Ta đpcm VD3 : (Singapore 2011) Cho tam giác ABC nhọn, không cân với AB > AC O, H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC Gọi D chân đường cao hạ từ A tam giác ABC Lấy Q thuộc cạnh AC, kéo dài HQ cắt BC P cho D trung điểm PB Chứng minh ODQ góc vuông Nhận xét: Để chứng minh QR OD vuông góc ta nghĩ đến việc kéo dài QD để dựng hoàn chỉnh dây cung EF Khi ta cần chứng minh O trung điểm EF Lời giải 8 A E P Q O H C D R G B F Gọi G giao AD với (O), ta có D trung điểm GH Gọi R giao QD BG Theo gt suy D đồng thời trung điểm BP HG nên BGPH hình bình hành Do D trung điểm QR Theo định lý bướm áp dụng với tứ giác nội tiếp ACGB ta D trung điểm EF Vậy OD EF vuông góc hay ta đpcm VD4 : (Moldova TST 2010) Cho tam giác nhọn ABC, H trực tâm M trung điểm BC Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với HM cắt AB, AC P Q Chứng minh MP = MQ Lời giải 9 A D K F Q H E B P M C Coi d đường thẳng PQ Vì d vuông góc với HM nên ta nghĩ đến việc dựng đường tròn tâm M Gọi D,K chân đường cao ứng với hai đỉnh B, C ta có DKHC tứ giác nội tiếp Dung định lý bướm ta có H trung điểm PQ ta ta suy đpcm VD5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I tâm đường tròn nội tiếp Đường thẳng BI, CI cắt đường tròn E F Gọi K, D giao điểm AI với EF BC Biết AB + AC = 2BC Chứng minh I trung điểm KD Lời giải 10 10 A F K E I B D C M Gọi M giao khác A AI (O) Ở xuất toán bướm với tứ giác nội tiếp BCEF Do ta cần chứng minh I trung điểm AM Thật vậy: ∆MAC : ∆BAD( g g ) ⇒ Dễ thấy MC BD ID CD BD + CD BC = = = = = = MA BA IA CA BA + CA BC Cũng dễ dàng chứng minh tam giác MIC cân M nên MC = MI Do IM = IA suy đpcm VD6 : Cho hai tam giác nhọn A1BC A2 BC nội tiếp đường tròn (O) trực tâm H1, H2 Gọi M, N thứ tự giao H1H2 với A2B A2C Biết góc A1H2H1 = 900 Chứng minh A1M = A1N Lời giải 11 11 A2 A1 B' C' N O M B H1 H2 I C Gọi I trung điểm BC Dựng đường cao BB’ CC’ tam giác A2 BC Trước tiên từ gt góc A1H2H1 = 90 chứng minh A1, H2, I thẳng hàng Sau áp dụng định lý bướm đường tròn đường kính BC ta H2M = H2N nên suy đpcm IV MỞ RỘNG BÀI TOÁN CON BƯỚM Dạng mở rộng: Cho đường tròn (O) với dây cung AB I trung điểm AB MN PQ hai dây cung (O) cắt AB thứ tự P S Khi PS EF có trung điểm I Bài toán gọi toán bướm kép Nhưng ta thấy định lý bướm phát biểu không cho đường tròn mà với elip, parabol hypabol gọi chung ba đường conic 12 12 Định lý 1: Cho đường conic (C) với AB dây cung Gọi PQ, MN hai dây cung khác (C) qua trung điểm I AB Giả sử MP, NQ thứ tự cắt AB E F Khi I trung điểm EF Nếu thay đường conic cặp đường thẳng ta toán tương tự , cụ thể Định lý 2: Cho B, C hai điểm tùy ý thứ tự thuộc hai đường thẳng d1, d2 phân biệt Gọi I trung điểm BC Gọi MN, PQ hai đoạn thẳng qua I khác BC, M, Q thuộc d1; N, P thuộc d2 Giả sử E,F thứ tự giao PM ,QN với đường thẳng BC Khi I trung điểm EF Chứng minh: TH1: d1, d2 song song trường hợp tầm thường TH2: d1, d2 cắt A A P M E B I C F N Q Không tính tổng quát ta xét hình vẽ bên Áp dụng định lý Menenauyt cho tam giác ABC với cát tuyến EMP FNQ ta EB PC MA = nên EC PA MB FC QB NA = nên FB QA NC có: 13 EB PA MB = (1) EC PC MA FC QA NC = (2) FB QB NA 13 Áp dụng định lý Menenauyt cho tam giác ABC với cát tuyến MIN QIP ta MB NA IC MB NC = IB = IC nên = (3) MA NC IB MA NA PA IC QB PA QA = nên = (4) PC IB QA PC QB có: EB FC = EC FB Từ (1), (2), (3), (4) suy nên BE = CF hay I trung điểm EF V BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ M trung điểm PQ.Gọi AB, CD hai dây cung (O) qua M Gọi H,K giao điểm PQ HA.HC KB.KD = KM với AC BD Chứng minh: HM Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC với AD đường cao, O, H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với OD cắt AB K Chứng minh g.DHK + g.AHK = 1800 Bài 3: Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) đường tròn ngoại tiếp (O) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC D Hai điểm M, S giao điểm (O) với AI AO Trên đt DM ta lấy điểm X, đt AO lấy điểm Y cho I, X, Y thẳng hàng Chứng minh: IX = IY ⇔ OI ⊥ XY Bài 4: Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Giả sử AM cắt đường tròn nội tiếp(I) tam giác ABC K, L Các đường thẳng song song với BC qua K, L cắt đường tròn (I) X, Y Giả sử AX cắt BC P, AY cắt (ABC) D, DM cắt (ABC) E, AM cắt (ABC) F Chứng minh E,P, F thẳng hàng 14 14 Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đường chéo AC, BD cắt I khác O Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt AB, CD M, N Chứng minh AB = CD BM = CN Bài 6: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Đường thẳng d qua O cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, ABC, OCD, ODA M, N, P, Q khác O Chứng minh O trung điểm đoạn MP trung điểm đoạn NQ Bài 7: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt I đường thẳng d cắt AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Chứng minh I trung điểm đoạn MP trung điểm đoạn NQ Bài 8: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Biết tồn bốn điểm A’, B’, C’, D’ thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho A’B’C’ D’ hình bình hành tâm O Chứng minh ABCD hình bình hành Bài 9: Cho tứ giác ABCD có góc BAD = góc BCD = 900 Gọi E giao hai đường chéo AC BD Chứng minh trung điểm nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE CDE thuộc đường thẳng BD Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) d đường thẳng tùy ý không qua O P hình chiếu O d Đường thẳng d cắt cácđương thẳng chứa cạnh BC, CA, AB X, Y, Z Gọi X’, Y’, Z’ điểm đối xứng X, Y, Z qua P Chứng minh AX’, BY’, CZ’ đồng quy điểm đường tròn (O) VI LỜI KẾT 15 15 Qua việc giới thiệu nội dung biến tấu phong phú mô hình toán bướm, ta thấy vấn đề hay có nhiều ứng rộng đặc sắc hướng phát triển sâu Tuy nhiên trình độ hạn chế nên viết nhằm mục đích tổng hợp phân tích số vấn đề Rất mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý giá đồng nghiệp hướng mở rộng phát triển sâu ứng dụng Xin chân thành cảm ơn VII TƯ LIỆU THAM KHẢO Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Tài liệu Hoàng Minh Quân (mạng Mathscope.com) 4.Các chuyên đề hình học bồi dưỡng HSG trung học sở (Trần Văn Tấn) 16 16 ... IF2 IE II MỘT VÀI BIẾN TẤU CỦA BÀI TOÁN CON BƯỚM Trước tiên ta thay đổi cách phát biểu toán bướm sau: Bài toán 1: Cho tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I giao hai đường chéo AB CD Một đường... N thứ tự giao d với AB AC Chứng minh IM = IN III ÁP DỤNG BÀI TOÁN CON BƯỚM VÀO GIẢI TOÁN Khi áp dụng vào tập điều quan trọng ta phải phát xây dựng mô hình định lý bướm VD1: (Mongolian TST 2008)... tích số vấn đề Rất mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý giá đồng nghiệp hướng mở rộng phát triển sâu ứng dụng Xin chân thành cảm ơn VII TƯ LIỆU THAM KHẢO Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tạp chí Toán