Về những bài toán tổ hợp và xác suất

88 285 0
Về những bài toán tổ hợp và xác suất

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN LU N VĂN TH C SĨ "V NH NG BÀI TOÁN T XÁC SU T" H C VIÊN: NGUY N THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60460113 CÁN B HƯ NG D N: PGS TS NGUY N MINH TU N HÀ N I - 2015 HP L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o hư ng d n c a PGS TS Nguy n Minh Tu n Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n văn T t n đáy lòng em xin bày t s bi t ơn sâu s c đ n th y M c dù r t nghiêm túc trình tìm tòi, nghiên c u ch c ch n n i dung đư c trình bày lu n văn không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đư c s đóng góp c a quý th y cô b n đ lu n văn c a em đư c hoàn thi n Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi Nguy n Thanh Tân M cl c M đu Chương 1: Nh ng toán đ m 1.1 Cơ s lý thuy t t h p 1.1.1 Quy t c c ng quy t c nhân 41.1.2 Giai th a hoán v 51.1.3 Ch nh h p 51.1.4 T hp 61.1.5 Ch nh h p có l p, hoán v có l p t h p có l p 1.2 Các d ng toán đ m 1.2.1 Các phương pháp đ m 71.2.2 Các toán đ m Chương 2: Nh ng toán v xác su t 2.1 2.2 23 Cơ s lý thuy t xác su t 23 2.1.1 M t s đ nh nghĩa b n c a xác su t 23 2.1.2 Quan h gi a bi n c 2.1.3 Các công th c tính xác su t 28 26 M t s toán xác su t 31 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 Tính xác su công th c c ng nhân xác su t 37 Tính xác su t b ng công t b ng đ nh th c xác su t có u ki n 44 Tính xác su t b ng công th c nghĩa c n xác su t đ y đ Bayes 48 Tính xác su t b ng công th c Becnoulli 57 Tính xác su t b ng đ nh nghĩa hình 31 Tính xác h c 62 Các toán v bi n ng u nhiên r i r c su t b ng 67 K t lu n 72 Tài li u tham kh o 73 M đu T h p xác su t m t nh ng lĩnh v c toán h c đư c nghiên c u t s m, đư c khai thác ng d ng r t nhi u vào đ i s ng s n xu t Hi n giáo d c ph thông, t h p xác su t m t nh ng n i dung quan tr ng, thư ng xuyên xu t hi n đ thi đ i h c, cao đ ng, th m chí kỳ thi h c sinh gi i qu c gia qu c t M c dù n i dung không khó h c sinh thư ng xuyên g p khó khăn gi i quy t toán này, nh t toán liên quan đ n xác su t Lu n văn ch y u t p trung vào d ng toán xác su t, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n xác su t Lu n văn đư c chia thành hai chương Chương Nh ng toán v t h p Chương Nh ng toán v xác su t T t c toán t h p chương n n móng đ xây d ng gi i quy t m t s toán xác su t chương Hy v ng s m t tài li u h u ích gi ng d y h c t p c a th y, cô em h c sinh Chương Nh ng toán đ m Chương ta s nh c l i m t s lý thuy t v t p h p lý thuy t b n c a t h p hoán v , ch nh h p, t h p, m t s nguyên lý đ m t p có liên quan chương trình ph thông 1.1 1.1.1 Cơ s lý thuy t t h p Quy t c c ng quy t c nhân Quy t c c ng Gi s m t công vi c có th th c hi n theo phương án A ho c phương án B, có n cách th c hi n phương án A, m cách th c hi n phương án B Khi công vi c có th đư c th c hi n b i n + m cách T ng quát, gi s môt công vi c có th th c hi n theo m t k phương án A1, A2, , Ak, có n1 cách th c hi n phương án A1, n2 cách th c hi n phương án A2, , nk cách th c hi n phương án Ak Khi công vi c có th đư c th c hi n b i n1 + n2 + • • • + nk cách Bi u di n dư i d ng t p h p S ph n t c a t p h u h n A đư c kí hi u |A| N u A1, A2, , An n t p h u h n, t ng đôi m t không giao |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = |A1| + |A2| + • • • + |An| hay n n |Ak| Ak = k=1 k=1 Quy t c nhân Gi s công vi c bao g m hai công đo n A B, công đo n A có th làm theo n cách, công đo n B có th làm theo m cách Khi công vi c có th th c hi n theo nm cách T ng quát, gi s m t công vi c bao g m k công đo n A1, A2, , Ak, ông đo n A1 có th th c hi n theo n1 cách, công đo n A2 có th th c hi n theo n2 cách, công đo n A3 có th th c hi n theo n3 cách, , công đo n Ak có th th c hi n theo nk cách Khi công vi c có th th c hi n theo n1n2 nk cách Bi u di n dư i d ng t p h p N u A1, A2, , An n t p h u h n v i |Ak| = mk (k = 1, 2, , n) Khi n |A1 ⋅ A2 ⋅ • • • ⋅ An| = m1 ⋅ m2 ⋅ • • • ⋅ mn = mk k=1 1.1.2 Giai th a hoán v Giai th a Đ nh nghĩa n giai th a, kí hi u n! tích c a n s t nhiên liên ti p t đ n n n! = • • • • • (n − 1) • (n), n ∈ N∗ Quy c 0! = 1, 1! = Hoán v Đ nh nghĩa Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 1) M t cách s p th t n ph n t c a t p h p A đư c g i m t hoán v c a n ph n t Kí hi u Pn s hoán v c a n ph n t Pn = n! = • • • • (n − 1)n 1.1.3 Ch nh h p Đ nh nghĩa Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 1) K t qu c a vi c l y k ph n t khác t n ph n t c a t p h p A s p x p chúng theo m t th t đư c g i m t ch nh h p ch p k c a n ph n t cho Công th c Ak = (n n!k)! = n(n − 1)(n − k + 1) (v i ≤ k ≤ n) n − Chú ý M t ch nh h p ch p n c a n ph n t m t hoán v c a n ph n t A n = Pn = n! n 1.1 T hp Đ nh nghĩa Gi s t p A g m n ph n t n ≥ M i t p g m k ph n t c a A đư c g i m t t h p ch p k c a n ph n t cho (1 ≤ k ≤ n) Kí hi u Ck (1 ≤ k ≤ n) s t h p ch p k c a n ph n t n C ôn g th c Ck = k! (nn− k)! ! n Chú ý C0 =1n Ck = Cn−k (0 ≤ k ≤ n) n n Ck + Ck+1 = Ck+1 (1 ≤ k ≤ n) n n n+ 1.1.5 Ch nh h p có l p, hoán v có l p t hp có l p m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t Chú ý S ch nh h p l p ch p k c a n ph n t nk Hoán vlp Đ nh nghĩa Hoán v m i ph n t xu t hi n nh t m t l n đư c g i hoán v l p Chú ý S hoán v l p c a n ph n t th c k lo i, mà ph n t t lo i i (1 ≤ i ≤ k) xu t hi n n l n đư c kí hi u P (n1, n2, , nk) đư c tính b ng C h c n h n h th ô g c p P (n1, n2, , nk) = n ! c ó n n.! n ! 2! l p Đ nh nghĩa Gi s tpAgmn ph n t (n ≥ 1) M i dãy có đ dài k ph n t c a A, mà m i ph n t có th l p l i nhi u l n đư c s p x p theo m t th t nh t đ nh đư c g i k N u np + p − ∈ N, m0 = np + p − N u np + p − ∈ N, / m0 = [np + p − 1] + V y toán s có kh nh t m0 = [100.0, + 0, − 1] + = 10 P100(10; 0, 6) = C10 0, 1100, 990 100 Nh n xét Dãy phép th Becnoulli k t h p v i toán liên quan đ n h bi n c đ y đ đ t o m t toán hay ph c t p Bài t p t gi i Bài t p 2.46 (xem [7]) Gieo m t xúc x c liên ti p l n Tính xác su t đ nh t có m t l n "l c" Bài t p 2.47 Hai đ u th A B thi đ u c Xác su t th ng c a A m t ván 0,6 (không có ván hòa) Tr n đ u bao g m ván, ngư i th ng m t s ván l n ngư i th ng cu c Tính xác su t đ B th ng cu c Bài t p 2.48 T l ngư i b lao vùng n 0,001 Tìm xác su t đ khám cho 10 ngư i a) Có ngư i b lao b) Có nh t ngư i b lao c) S ngư i không b lao có kh nh t Bài t p 2.49 (xem [7]) M t bác sĩ ch a b nh Xác su t ch a kh i b nh 0,8 Có ngư i nói r ng c 10 ngư i đ n ch a ch c ch n có ngư i kh i b nh Đi u kh ng đ nh hay sai? Vì sao? Bài t p 2.50 Hai đ u th c ngang tài ngang s c thi đ u v i H i kh th ng ván ván có cao kh th ng ván ván hay không? 61 2.2.6 Tính xác su t b ng đ nh nghĩa hình h c Đây ph n xác su t nâng cao nh m b i dư ng h c sinh gi i, giúp em có tư sâu s c v xác su t Các toán xác su t hình h c s đơn gi n r t nhi u n u ti p xúc, làm quen nhìn nh n t ng v n đ n ch a Bài t p 2.51 Hai ngư i b n h n g p t i m t đ a m đ nh trư c kho ng th i gian t 19h đ n 20h Hai ngư i đ n ch h n đ c l p v i quy c r ng ngư i đ n trư c s ch đ i ngư i đ n sau 10 phút, n u không g p s Tính xác su t đ hai ngư i có th g p L i gi i Đây toán quen thu c m đ u cho ph n tính xác su t theo đ nh nghĩa hình h c G i A = {hai ngư i g p nhau}, ta c n tính P (A) G i x s phút t i th i m ngư i th nh t đ n m h n, ≤ x ≤ 60 y s phút t i th i m ngư i th hai đ n m h n, ≤ y ≤ 60 N u ta bi u di n s phút x theo tr c hoành s phút y theo tr c tung s phút lúc đ u c a c hai ngư i đư c bi u di n b ng m t m có t a đ (x, y) n m hình vuông c nh 60 (ta l y phút làm đơn v ) Đó mi n Ω Ω = {(x, y) : ≤ x ≤ 60, ≤ y ≤ 60} Đ hai ngư i g p s phút lúc đ n x, y c a m i ngư i ph i th a mãn |x − y| ≤ 10 ⇔ x − 10 ≤ y ≤ x + 10 Ta có hình bi u di n 62 V y m (x, y) thích h p cho vi c g p n m ph n g ch chéo gi a hai đư ng th ng y = x − 10 y = x + 10 Theo công th c xác su t hình h c ta có P (A) = di n tích mi n A = 602 − 502 = 11 = 0, 3056 di n tích mi n Ω 602 36 Bài t p 2.52 Xét hình vuông (H) gi i h n b i ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ hai đư ng cong y = x2 y = √x L y ng u nhiên m t m M thu c hình vuông (H) Tìm xác su t đ M thu c hình gi i h n b i đư ng cong L i gi i Ta có di n tích hình vuông (H) b ng S = Hai đư ng cong y = x2, y = √ x c t t i O(0, 0) A(1, 1) hai đ nh c a hình vuông (H) D √ ( x − x2)dx = x32 − x3 3 = V y xác su t c n tìm P = S = ≈ 0, 33 S Bài t p 2.53 M t đo n th ng có đ dài l B gãy ng u nhiên thành đo n Tìm xác su t đ đo n t o thành m t tam giác 63 L i gi i Đ t m chia OM = x, ON = y, < x < y < l Ta có đo n x, y − x, l − y Xét M(x, y) m t ph ng t a đ Vì < x < y < l nên không gian m u tam giác OAB có di n tích S = 1l2 Đi u ki n đ đo n t o thành tam giác x + y − x > l − y  x  y+ (lx−+ )(l> yy−> x y (−) −) x y > l ⇔    y 1) c) Tính kỳ v ng, phương sai đ l ch chu n c a X 67 L i gi i Gieo môt đ ng tiên ba l n không gian m u có 23 = ph n t a) T p giá tr c a X {0, 1, 2, 3} Ta có P (X = 0) = 1, P (X = 1) = , P (X = 2) = 3, P (X = 3) = 8 8 B ng ph n b xác su t c a X X P 8 b) P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = + = 88 8 c) Kỳ v ng E(X) = + 1.3 + 2.3 + = 1, 8 8 Phương sai V (X) = 02.1 + 12.3 + 22.3 + 32.1 − (1, 5)2 = 0, 75 8 8 Đ l ch chu n σ (X ) = V (X) = 0, 866 Bài t p 2.63 Gieo m t xúc s c cân đ i ba l n G i X s l n xúc s c xu t hi n m t sáu ch m a) L p b ng phân b x c su t c a X b) Tính E(X) V (X) L i gi i a) G i Ai bi n c "l n gieo th i cho ta m t ch m" (i = 1, 2, 3), H bi n c "có m t l n giéo xúc s c xu t hi n m t ch m" Ta có H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 P (X = 1) = P (H) = P (A1A2A3) + P (A1A2A3) + P (A1A2A3) 25 25 25 75 = 216 + 216 + 216 = 216 68 X P 125 216 75 216 15 216 216 T n g t P (X = 2) = 216 + P (X = 3) = 216 V y b n g p h â n p h i x c u s P 125 + nh u 2.216 iê + 0, 5n r t P c V a X c 0,3 có 0,2 0,05 i th ph ân b c nh K ỳ v n g E ( X ) = Bà it p 64 S ca c p c u m tb nh vi n ot i th m t bi n ng suât đ x y nh t 12 ng 75 75 su t 216 ) t i th b) Tính xác m t ca c p c u vào t 5) xá b thêm bác sĩ tr c vào 0,1 32 0,2 ph i tăng cư ng 02 b 22 l 0,15 ir a) Tính xác su t đ sa u Bi tr ng n u có hơ n ca c p c u L i gi i a) Vì n u có hai ca c p c u ph i tăng cư ng thêm bác sĩ tr c nên xác su t đ ph i t h ì tăng cư ng thêm bác p h i t ă n g c n g t h ê m b c s ĩ t r X c sĩ tr c vào t i th b y P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0, + 0, + 0, 05 = 0, 35 b) Xác su t đ x y nh t m t ca c p c u vào t i th b y P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) 0, + 0, + 0, + 0, + 0, 05 = 0, 85 = 69 Bài t p 2.65 Anh A hàng ngày t nhà đ n quan ph i qua b n ngã tư có c t đèn tín hi u giao thông, xác su t g p đ n đ m i ngã tư 0,4 th i gian ch đèn đ trung bình m i l n ba phút a) L p b ng phân b xác xu t theo s l n anh A g p đèn đ b) H i trung bình m i l n t nhà t i quan anh A ph i ch đèn đ m t phút L i gi i a) G i X bi n ng u nhiên ch s ngã tư anh A g p đèn đ m i l n t nhà đ n quan, X nh n giá tr {0, 1, 2, 3, 4} Ta có P (X = k) = Ck0, 4k0, 64−k, k = 0, 1, 2, 3, 4 Vy P (X = 0) = C00, 400, 64 = 0, 1296, P (X = 1) = C10, 410, 63 = 0, 3456, P (X = 2) = C20, 420, 62 = 0, 3456, P (X = 3) = C30, 430, 61 = 0, 1536, P (X = 4) = C40, 440, 60 = 0, 0256 B ng phân b xác su t c a X X P 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 b) Kỳ v ng E ( X ) = x0 p + x1 p + x2 p + x3 p + x4 p = 0.0, 1296 + 1.0, 3456 + 2.0, 3456 + 3.0, 1536 + 4.0, 0256 = 1, V y th i gian trung bình m i l n t nhà đ n quan anh A ph i ch đèn đ 1, 6.3 = 48 70 Bài t p 2.66 (xem [2]) Hai x th đ c l p v i b n vào m t t m bia M i ngư i b n m t viên Xác su t b n trúng c a x th th nh t 0,7, c a x th th hai 0,8 G i X s viên đ n trúng bia Tính kỳ v ng c a X Bài t p 2.67 (xem [6]) Xác su t b n trúng vòng 10 c a An 0,4; An b n l n G i X s l n trúng vòng 10 a) L p b ng phân b xác su t c a X b) Tính E(X) V (X) Bài t p 2.68 Ch n ng u nhiên ba đ a tr sáu trai b n gái G i X s bé gái s ba đ a tr đư c ch n L p b ng phân b c a X, tính E(X), V (X) Bài t p 2.69 Có hai túi, túi th nh t ch a ba t m th đánh s 1, 2, túi th hai ch b t m th đánh s 4, 5, 6, Rút ng u nhiên t m i túi m t t m th r i c ng hai s ghi hai t m th v i G i X s thu đư c a) L p b ng phân b xác su t c a X b) Tính E(X), V (X), σ(X) Bài t p 2.70 M t tr c nghi m có b n câu M i câu có năm phương án tr l i ch có m t phương án N u tr l i đư c năm m, tr l i sai không đư c m An làm thi b ng cách ch n ng u nhiên m t phương án tr l i G i X t ng s m An nh n đư c a) L p b ng phân b xác su t c a X b) Tính E(X), V (X), σ(X) 71 K t lu n Lu n văn trình bày m t cách h th ng chi ti t v lý thuy t t h p xác su t Các t p ví d đư c tác gi ch n l c t m phong phú nh m làm n i b t ph n lý thuy t trình bày C th chương m t, tác gi phân tích m t s d ng toán t h p hay g p chương trình ph thông, đ ng th i k t h p v i m t s t p nâng cao nh m phát tri n tư cho h c sinh chương hai, tác gi sâu vào m t s d ng toán v xác su t, t đơn gi n đ n ph c t p, phù h p v i m i đ i tư ng h c sinh Đ c bi t ph n xác su t nâng cao, tác gi ch nhi u cách giái cho m t toán xác su t, t giúp ngư i đ c có nh n th c sâu s c v xác su t, m t m ng ki n th c mà h c sinh trung h c ph thông r t mơ h M c dù nghiêm túc, c g ng h t s c trình làm lu n văn th i gian l c c a b n thân nhi u h n ch nên lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót Tôi kính mong nh n đư c nh ng góp ý, b sung c a th y, cô b n đ c đ lu n văn đư c hoàn thi n 72 Tài li u tham kh o [1] Các chuyên đ t h p xác su t m ng internet [2] Nguy n Huy Đoàn, Nguy n Xuân Liêm, Nguy n Kh c Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đ ng Hùng Th ng, Lưu Xuân Tình, "Bài t p đ i s gi i tích 11 nâng cao", NXB Giáo d c, 2007 [3] Đào H u H ,"Hư ng d n gi i toán xác su t ng d ng", NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 1996 [4] Đào H u H , "Xác su t th ng kê", NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 1996 [5] Hoàng H u Như, Nguy n Văn H u, "Bài t p xác su t th ng kê toán h c", NXB Đ i h c Trung h c chuyên nghi p Hà N i, 1976 [6] Lê Hoành Phò, "Phân lo i phương pháp gi i toán t h p xác su t", NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2008 [7] Đ ng Hùng Th ng, "M đ u v lý thuy t xác su t ng d ng", NXB Giáo d c Vi t Nam, 2012 73 ... khó khăn gi i quy t toán này, nh t toán liên quan đ n xác su t Lu n văn ch y u t p trung vào d ng toán xác su t, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n xác su t Lu n văn... 2.2.7 Tính xác su công th c c ng nhân xác su t 37 Tính xác su t b ng công t b ng đ nh th c xác su t có u ki n 44 Tính xác su t b ng công th c nghĩa c n xác su t đ y đ Bayes 48 Tính xác su... văn đư c chia thành hai chương Chương Nh ng toán v t h p Chương Nh ng toán v xác su t T t c toán t h p chương n n móng đ xây d ng gi i quy t m t s toán xác su t chương Hy v ng s m t tài li u h u

Ngày đăng: 02/05/2017, 12:21

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan