Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

108 101 0
  • Loading ...
1/108 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/05/2017, 11:49

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN NGUY N TH DI P PHƯƠNG PHÁP Đ O HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN V GIÁ TR L N NH T VÀ NH NH T Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ c p Mã s : 60 46 01 13 LU N VĂN TH C S KHOA H C Ngư i hư ng d n khoa h c : PGS.TS NGUY N MINH TU N Hà N i- 2015 TÌM L i cám ơn Trư c trình bày n i dung c a lu n văn, xin bày t lòng c m ơn chân thành t i PGS.TS Nguy n Minh Tu n, ngư i th y tr c ti p hư ng d n, ch b o t n tình giúp đ su t trình hoàn thành lu n văn Tôi xin chân thành c m ơn s giúp đ c a th y giáo, cô giáo khoa Toán Cơ Tin h c, Trương Đ i h c Khoa h c T Nhiên-Đ i h c Qu c gia Hà N i Khoa sau đ i h c, nhi t tình giúp đ hoàn thành khóa Cao h c Tôi xin bày t lòng bi t ơn đ n gia đình, b n bè đ ng viên khuy n khích r t nhi u th i gian nghiên c u h c t p Do m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c nên lu n văn nhi u thi u sót Tác gi kính mong nh n đư c ý ki n đóng góp c a th y cô b n đ lu n văn hoàn thi n Hà N i, năm 2015 Nguy n Th Di p M cl c L im đ u M t s ki n th c chu n b 1.1 Đ nh nghĩa đ o hàm t i m t m 1.2 C c tr c a hàm s 1.3 Các đ nh lí b n v hàm kh vi 1.4 Hàm l i hàm lõm ng d ng đ o hàm gi i toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s 11 2.1 Kh o sát tr c ti p hàm s mi n xác đ nh 11 2.2 Kh o sát hàm s theo t ng bi n 17 2.3 Đ t bi n ph chuy n v đánh giá hàm s m t bi n 30 2.4 Đánh giá gián ti p thông qua bi u th c b c nh t 44 2.5 Phương pháp s d ng tính ch t c a hàm l i, hàm lõm 51 C c tr hàm nhi u bi n 59 3.1 C c tr t 59 3.2 C c tr có u ki n 63 L im đ u Trong nh ng năm g n đây, kỳ kh o sát ch t lư ng, thi h c sinh gi i b c trung h c ph thông thư ng g p nh ng toán yêu c u tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t đ i lư ng Các toán c c tr r t phong phú đa d ng mang n i dung vô sâu s c, có ý nghĩa r t quan tr ng đ i v i em h c sinh Các toán v c c tr góp ph n không nh vào vi c rèn luy n tư cho h c sinh Bài toán tìm t t nh t, r nh t, ng n nh t, dài nh t m t toán Đ d n d n hình thành cho h c sinh thói quen tìm gi i pháp t i ưu cho m t công vi c cu c s ng sau Lu n văn trình bày m t s ng d ng c a đ o hàm đ gi i toán c c tr Lu n văn ch đ c p t i m t s phương pháp gi i m t s lo i toán c c tr đ i s thư ng g p chương trình toán h c trung h c ph thông Lu n văn h th ng hóa, phân lo i toán trình bày theo t ng ý tư ng k v n d ng đ o hàm vào vi c gi i m t l p toán tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t Lu n văn g m có chương v i n i dung sau: Chương 1: Lu n văn trình bày ki n th c khái ni m c n thi t đ o hàm, tính đơn u hàm l i đư c tham kh o [3] Chương 2: Lu n văn trình bày phương pháp s d ng đ o hàm vào gi i toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t Chương lu n văn trình bày phương pháp kh o sát tr c ti p hàm s t p xác đ nh c a hàm s , kh o sát theo hàm s t ng bi n, đ t bi n ph chuy n v đánh giá hàm m t bi n, đánh giá thông qua bi u th c b c nh t, hay phương pháp s d ng tính ch t hàm l i, hàm lõm đư c tham kh o [1, 5, 6, 2, 7, 4] Chương Lu n văn trình bày phương pháp đ tìm c c tr t c c tr có u ki n c a hàm nhi u bi n s T tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s đư c tham kh o [3] Chương M t s ki n th c chu n b 1.1 Đ nh nghĩa đ o hàm t i m t m Đ nh nghĩa 1.1 Cho hàm s y = f (x) xác đ nh kho ng (a, b) x0 ∈ (a, b) N u gi i h n sau t n t i h u h n x→x0 lim f (xx − f (x0) ) − x0 gi i h n đư c g i đ o hàm c a hàm s f t i m x0 đư c ký hi u f (x0) Khi ta nói r ng f kh vi t i x0 Chú ý N u kí hi u ∆x = x − x0, ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) f (x0) = xlim0 f (x0 +x∆− )x− f (x0) = ∆lim0 ∆y x →x x→ ∆x N u hàm s y = f (x) có đ o hàm t i x0 liên t c t i m Ý nghĩa hình h c Cho hàm s y = f (x) có đ th (C) Khi đó, f (x0) h s góc c a ti p n đ th (C) c a hàm s y = f (x) t i M (x0, y0) ∈ (C) Phương trình ti p n c a đ th hàm s y = f (x) t i m M (x0, y0) ∈ (C) y = f (x0)(x − x0) + y0 1.2 C c tr c a hàm s Đ nh nghĩa 1.2 Cho hàm s y = f (x) xác đ nh t p h p D ⊂ R x0 ∈ D Đi m x0 đư c g i m t m c c đ i c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a, b) ch a m x0 cho f (x) ≤ f (x0) v i ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi f (x0) đư c g i giá tr c c đ i c a f (x) m (x0, f (x0)) đư c g i m c c đ i c a đ th hàm s y = f (x) Đi m x0 đư c g i m t m c c ti u c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a, b) ch a m x0 cho f (x) ≥ f (x0) v i ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi f (x0) đư c g i giá tr c c ti u c a f (x) m (x0, f (x0)) đư c g i m c c ti u c a đ th hàm s y = f (x) Đi m c c đ i, c c ti u đư c g i chung m c c tr Giá tr c c đ i, giá tr c c ti u đư c g i chung c c tr Đ nh lý 1.3 Cho hàm s y = f (x) xác đ nh liên t c [a, b] N u f (x) ≥ ∀x ∈ [a, b] f (x) đ ng bi n [a, b] ta có x∈[a,b] f (x) = f (a), max f (x) = f (b) x ] ∈[a,b N u f (x) ≤ ∀x ∈ [a, b] f (x) ngh ch bi n [a, b] ta có x∈[a,b] f (x) = f (b), max f (x) = f (a) x ] ∈[a,b Chú ý Khái ni m c c đ i c c ti u c a m t hàm s có tính ch t đ a phương, chúng chưa ch c giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s Ta có k t qu sau v u ki n c n c a c c tr Đ nh lý 1.4 ( Đ nh lý Fermat) Cho hàm f xác đ nh (a, b) x0 ∈ (a, b) N u hàm s f có c c tr t i x0 hàm f có đ o hàm t i x0 f (x0) = Chú ý Đi u ngư c l i không đúng: N u hàm f có f (x0) = chưa ch c x0 m c c tr , ví d hàm y = x3 có y (0) = hàm s c c tr t i x = N u hàm s f có c c tr t i x0 có th t i x0 đ o hàm không xác đ nh, ví d hàm y = |x| có c c ti u t i x = d ch ng minh đư c hàm s đ o hàm t i x = Đ nh lý 1.5 Gi s hàm s f kh vi kho ng (a, b) ch a x0, f (x0) = N u f (x) ≥ v i m i x ∈ (a, x0) f (x) ≤ v i m i x ∈ (x0, b) ( t c đ o hàm đ i d u t (+) sang (-) qua x0) x0 m c c ti u c a hàm f N u f (x) ≤ v i m i x ∈ (a, x0) f (x) ≥ v i m i x ∈ (x0, b) ( t c đ o hàm đ i d u t (-) sang (+) qua x0) x0 m c c đ i c a hàm f Đ nh lý 1.6 Gi s hàm s f có đ o hàm c p m t kho ng (a, b) ch a x0, có đ o hàm c p hai khác t i x0 N u f (x0) = f (x0) > x0 m c c ti u c a hàm f N u f (x0) = f (x0) < x0 m c c đ i c a hàm f 1.3 Các đ nh lí b n v hàm kh vi Trong ph n này, lu n văn trình bày hai đ nh lý quan tr ng v đ o hàm Đó đ nh lí Lagrange, đ nh lí Rolle (xem [3]) Đ nh lý 1.7 (Đ nh lý Rolle) N u f (x) hàm liên t c đo n [a, b], có đ o hàm kho ng (a, b) f (a) = f (b) t n t i c ∈ (a, b) cho f (c) = Ch ng minh Vì f (x) liên t c [a, b] nên theo đ nh lí Weierstrass f (x) nh n giá tr l n nh t M giá tr nh nh t m [a, b] - Khi M = m ta có f (x) hàm h ng [a, b], v i m i c ∈ (a, b) có f (c) = - Khi M > m, f (a) = f (b) nên t n t i c ∈ (a, b) cho f (c) = m ho c f (c) = M , theo Đ nh lý Fermat suy f (c) = Đ nh lý đư c ch ng minh H qu 1.8 N u hàm s f (x) có đ o hàm (a, b) f (x) có n nghi m ( n s nguyên dương l n 1) (a, b) f (x) có nh t n − nghi m (a, b) H qu 1.9 N u hàm s f (x) có đ o hàm (a, b) f (x) vô nghi m (a, b) f (x) có nhi u nh t nghi m (a, b) H qu 1.10 N u f (x) có đ o hàm (a, b) f (x) có nhi u nh t n nghi m (nlà s nguyên dương) (a, b) f (x) có nhi u nh t n + nghi m (a, b) Đ nh lý 1.11 (Đ nh lí Lagrange) N u f (x) hàm liên t c đo n [a, b], có đ o hàm kho ng (a, b) t n t i c ∈ (a, b) cho f (c) = f (b) − f (a) b−a Ch ng minh Xét hàm s F (x) = f (x) − f (b) − f (a)x, b−a x ∈ [a, b] Khi F (x) hàm liên t c đo n[a, b], có đ o hàm kho ng (a, b) F (a) = F (b) Theo đ nh lí Rolle t n t i c ∈ (a, b) cho F (c) = Mà F (x) = f (x) − f (b) − f (a), b−a suy f (c) = f (b) − f (a) b−a Đ nh lý đư c ch ng minh Đ nh lí Rolle m t h qu c a đ nh lý Lagrange trư ng h p f (a) = f (b) 1.4 Hàm l i hàm lõm Ta ký hi u I(a, b) m t t p h p có m t b n d ng t p h p sau (a, b), [a, b), (a, b] [a, b] Đ nh nghĩa 1.12 Hàm s f (x) đư c g i l i t p I(a, b) n u v i m i x1, x2 ∈ I(a, b) v i m i c p s dương α, β có t ng α + β = 1, ta đ u có f (αx1 + βx2) ≤ αf (x1) + βf (x2) N u d u đ ng th c (1.1) x y ch x1 = x2 ta nói hàm s f (x) hàm l i th c s (ch t) I(a, b) (1.1) Ta có z = 6y  yy A1 = 6.1 = > 0, A2 = 0, B1 = −3, B2 = −3, C1 = 6, C2 = B2 − A1C1 = − 36 = −27 < hàm s đ t c c ti u t i M1(1, 1) V y giá tr nh nh t c a z z(M1) = −1 D th y t i biên c a D = {(x, y) : ≤ x, y ≤ 2}, z ≥ −1 V y giá tr nh nh t c a hàm s z = x3 + y3 − 3xy ≤ x, y ≤ −1 đ t đư c x = y = 61 Bài toán 50 Tìm giá tr nh nh t l n nh t c a hàm s sau z = x3 + 2y3 − 3x − 6y − ≤ x, y ≤ Ch ng minh Ta th y Tương đương v i  z = 3x2 − = x y z = 6y2 −6 =  x =    y2 = Hay (x, y) = (1, 1), (−1, −1), (1, −1), (−1, 1) T a đ m d ng M1(1, 1), M2(−1, −1), M3(−1, 1), M4(1, −1) Hơn n a  z = 6x   xx    zxy = −3    z = 6y  yy Do v y, t i M1 có A1 = 6.1 = > 0, B1 = 0, C1 = 12 Ta có B2 − A1C1 = −72 < hàm s đ t c c ti u t i M1 T i M2 có A2 = −6 < 0, B2 = 0, C2 = −12 Ta có B2 − A2C2 = −72 < hàm s đ t c c đ i t i M3 T i M3 có A3 = −6 < 0, B3 = 0, C3 = 12 62 Ta có B2 − A3C3 = 72 > suy M3 không m c c tr T i M4 có = > 0, B4 = 0, C4 = −12 A T a c ó − A4C4 = 72 > B suy M4 không m c c tr D th y t i biên c a t p D = {(x, y) : −2 ≤ x, y ≤ 2}, t c x ho c y thu c {2, −2} −6 ≤ z ≤ V y giá tr nh nh t l n nh t c a z = x3 + 2y3 − 3x − 6y l n lư t là −6 Bài toán 51 Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s z= 8x2 + 3y2 + − (2x2 + y2 + 1)2 mi n tròn đóng D xác đ nh b i x2 + y2 ≤ Ch ng minh Rõ ràng z liên t c v i m i x, y nên đ t giá tr l n nh t M giá tr nh nh t m mi n D √1 ), (0, T −1 ), (√1 , 0), ( −1 , 0) T a đ m d ng √2 a O(0, 0), A1(0, √ ), A2(0, −1 ), A3(√ , 0), c ó A4( −1 , 0), 2  z = 16x − 2(2x2 + y2 + 1)4x = 8x(1 − 2x2 − y2) = x y z = 6y − 2(2x2 + y2 + 1)2y = 2y(1 − 4x2 − 2y2) = H a y ( x , y ) = ( , ) , ( , c az4 biên c a mi n D Trên biên y x2 + y2 md = 1, v y y2 = − x2, ng đun z = 8x2 + 3(1 − x2) + − (2x2 + x2) = x2 + 1)2 = x2(1 − tron −1 ≤ x ≤ Hàm b ng x = 1, −1 đ t giá tr l n nh t b ng √ , −1 V y hàm s đ t giá tr nh nh t m = t i g c O g mi x= m n D Tính giá tr caz nh t M= 1ti m A3, m A4 đư c z(O) = 0, z(A1) = z(A2) = 1, z(A3) = z(A4) = Bây gi , ta xét giá tr c 2 ti y ta 1√ đ t giá tr l n 63 3.2 C c tr có u ki n Xét toán: Tìm c c tr c a hàm s f (x1, , xn) v i u ki n φj(x1, , xn) = 0, j = 1, , m Phương pháp làm sau (xem [3]): Xét hàm Lagrange m L(x1, , xn, λ1, , λm) = f (x1, , xn) + λjφj(x1, , xn) j=1 Gi i h   xj L (x1, , xn, λ1, , λm) = ∀j = 1, ,n φ (x , , x ) = 0, j = 1, , m n j đ tìm m d ng Sau xét d u c a d ng vi phân c p d2L đ tìm c c tr c a hàm s ban đ u Bài toán 52 Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s u = x − 2y + 2z v i u ki n x2 + y + z − = Ch ng minh Rõ ràng u liên t c v i m i x, y, z nên đ t giá tr l n nh t M giá tr nh nh t m mi n D Ta l p hàm Lagrange L(x, y, z, λ) = u = x − 2y + 2z + λ(x2 + y2 + z2 − 1) Xét h phương trình  L = + 2λx = x      y L = −2 + 2λy =0 Hay z L = + 2λz =     x + y + z − = 2   1 x =   x2 + y2 + z2 = y −2 = z 64 −3 T đây, ta tìm đư c m d ng M1(1, −32, 2) ng v i λ = v i λ = Tính M2(−31, 2, −32) ng d2L = Lxxdx2 + Lyydy2 + Lzzdz2 + 2Lxydxdy + 2Lyzdydz + 2Lzxdzdx Lxx = 2λ, Lyy = 2λ, Lzz = 2λ, Lxy = Lyz = Lzx = Do d2L = 2λ(dx2 + dy2 + dz2) T suy giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s u = x − 2y + 2z v i u ki n x2 + y2 + z2 − = l n lư t (x, y, z) = ( −31, 2, −32)) 3 ( đ t đư c (x, y, z) = ( 1, −32, 2)) 3 −1 ( đ t đư c Bài toán 53 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s u = x2 + y2 v i u ki n x + y = Ch ng minh Rõ ràng z liên t c v i m i x, y nên đ t giá tr nh nh t m mi n D L p hàm Lagrange L(x, y) = x2 + y2 + λ(x + y − 1) Xét h phương trình  L = 2x + λ =  x    Ly = 2y + λ =   x + y − =   ta tìm đư c m d ng M (1, 1) v i λ = −1 Tính 22 d2L(1, 1, −1) = Lxxdx2 + 2Lxydxdy + Lyydy2|( 12, 12,−1) 22 Lxx = 2, Lxy = 0, Lyy = Do d2L(1, , −1) = 2dx2 + 2dy2 > 22 V y giá tr nh nh t u = x2 + y2 v i u ki n x + y = 65 Bài toán 54 Tìm giá tr l n nh t c a hàm s u = sin x sin y sin z v i u ki n x + y + z = π , x, y, z ≥ Ch ng minh Rõ ràng u liên t c v i m i x, y, z nên đ t giá tr l n nh t m mi n D L p hàm Lagrange L(x, y, z, λ) = ln sin x + ln sin y + ln sin z + λ(x + y + z − π ) Ta th y  x L = cot x + λ =      y L = cot y +λ =0 z L = cot z + λ =     x + y + z − π =  √  π π π ta tìm đư c m d ng M ( , , ) v i λ = − 666 Tính d2 L = −( dx2 + dy2 + dz2 ) < 2 sin x sin y sin z Do t i m (π , π , π ) hàm s đ t c c đ i có u ki n V y giá tr l n nh t 666 u = sin x sin y sin z v i u ki n x + y + z = π , x, y, z ≥ Bài toán 55 Tìm giá tr l n nh t c a hàm s u = xyz v i u ki n x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = Ch ng minh Rõ ràng u liên t c v i m i x, y, z nên đ t giá tr l n nh t m mi n D L p hàm Lagrange L(x, y, z, λ) = xyz − λ1(x2 + y2 + z2 − 1) − λ2(x + y + z) Ta th y   L = yz − 2λ x − 1λ = 2x    y  L = xz − 2λ y − λ =       L z = xy − λ1 z − λ2 = 2  x + y2 + z2 =         x + y + z = 66 ta tìm đư c m d ng 11 21 211 M1(√ , √ , −√ ), M2(√ , −√ , √ ), M3(−√ , √ , √ ) v i λ2 = − √ , 66 6 66 666 12 12 M4(−√ , −√ , √ ), M5(−√ , √ , −√ ), M6(√ , −√ , −√ ) v i λ2 = √ 66 66 6 Ti p t c tìm vi phân b c c a hàm Lagrange 26 1 26 d2L = −2λ1(dx2 + dy2 + dz2) + 2zdxdy + 2ydxdz + 2xdydz dx, dy, dz liên h v i b i h th c xdx + ydy + zdz = 0, dx + dy + dz = T i m M1, M4 x = y = −2λ1, z = 4λ1 Khi xdx + ydy + zdz = −2λ1dx − 2λ1dy + 4λ1dz = hay dz = 1(dx + dy) Thay vào bi u th c c a d2L t i M1 ta có 1 d2L(M1) = √ (dx2 + dy2 + dz2) + √ (dx − dy)2 > 6 Vy u(M1) = umin = − √ , 36 1 d2L(M4) = −√ (dx2 + dy2 + dz2) − √ (dx − dy)2 < 6 Vy u(M4) = umax = √ 36 Tương t u(M5) = u(M6) = umax = √ , u(M2) = u(M3) = umin = − √ 36 36 V y giá tr nh nh t l n nh t c a u = xyz v i u ki n x2 +y2 +z2 = 1, x+y +z = l n lư t −3√ 6 √ 67 Bài toán 56 Tìm giá tr l n nh t c a hàm s u = xy + yz v i u ki n x2 + y2 = 2, y + z = 2, x, y, z ≥ Ch ng minh Rõ ràng u liên t c v i m i x, y, z nên đ t giá tr l n nh t m mi n D L p hàm Lagrange L(x, y, z, λ1, λ2) = xy + yz + λ1(x2 + y2 − 2) − λ2(y + z − 2) Ta th y  L = y + λ x =  x     L = x + z + λ y + λ = y     L = y + λ2 = z  x + y = 2       y + z =  ta tìm đư c m d ng M (1, 1, 1) v i λ1 = −1, λ2 = −1 Ti p t c tìm vi phân b c c a hàm Lagrange d2L = 2λ1(dx2 + dy2) + 2dxdy + 2dydz thay λ1 = −1 ta nh n đư c d2L(1, 1, 1, −1) = −(dx2 + dy2) + 2dxdy + 2dydz T phương trình y + z = ta suy dy = −dz t 2xdx + 2ydy = v i x = y = ta có dx = −dy V y nên d2L(1, 1, 1, −1 ) = −(dx2 + dy2) − 2dy2 − 2dz2 = −dx2 − 3dy2 − 2dz2 < V y u(1, 1, 1) = umax = V y giá tr l n nh t c a u = xy + yz v i u ki n x2 + y2 = 2, y + z = 2, x, y, z ≥ K t lu n Lu n văn đ c p t i nghiên c u m t s phương pháp đ o hàm đ tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s v i ng d ng vào gi i quy t nh ng toán khác Lu n văn trình bày v n đ sau: - Phương pháp kh o sát tr c ti p hàm s mi n xác đ nh - Phương pháp kh o sát hàm s theo t ng bi n - Phương pháp đ t bi n ph - Phương pháp đánh giá thông qua bi u th c b c nh t Phương pháp s d ng tính ch t c a hàm l i, hàm lõm - C c tr t c a hàm nhi u bi n, c c tr có u ki n c a hàm nhi u bi n 68 Tài li u tham kh o [1] Ph m Văn Dũng, Phương pháp s d ng đ o hàm ch ng minh b t đ ng th c [2] Ph m Kim Hùng, Sáng t o b t đ ng th c, NXB tri th c, 2006 [3] Tr n Đ c Long, Nguy n Đình Sang, Hoàng Qu c Toàn, Giáo trình gi i tích 1, NXB ĐHQG Hà N i, 2004 [4] Nguy n Văn M u, B t đ ng th c: Đ nh lý áp d ng, NXB Giáo d c, 2006 [5] Tr n Phương, V đ p B t đ ng th c kì thi Olympic Toán h c, NXB ĐHQG Hà N i, 2010 [6] Tr n Phương, Nh ng viên kim cương b t đ ng th c Toán h c, 2009 [7] Nguy n Minh Tu n, Lý thuy t s c a hàm l i b t đ ng th c c n, NXB ĐHQG Hà N i, 2013 69 ... trình bày phương pháp s d ng đ o hàm vào gi i toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t Chương lu n văn trình bày phương pháp kh o sát tr c ti p hàm s t p xác đ nh c a hàm s , kh o sát theo hàm s... o hàm gi i toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s 2.1 Kh o sát tr c ti p hàm s mi n xác đ nh Bài toán ( Thi HSG Qu c gia, 1992) Cho s t nhiên n > Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm. .. đánh giá hàm m t bi n, đánh giá thông qua bi u th c b c nh t, hay phương pháp s d ng tính ch t hàm l i, hàm lõm đư c tham kh o [1, 5, 6, 2, 7, 4] Chương Lu n văn trình bày phương pháp đ tìm c
- Xem thêm -

Xem thêm: Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất , Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất , Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay