Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN H C PH M TU N ANH TÍNH NH PHÂN MŨ Đ U C A H CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Hà N i - Năm 2015 Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN H C PH M TU N ANH TÍNH NH PHÂN MŨ Đ U C A H CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60 46 01 02 NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C TS LÊ HUY TI N Hà N i - Năm 2015 M cl c L i c m ơn ii L i nói đ u iii Ki n th c chu n b 1.1 Toán t ti n hóa c a phương trình vi phân 11.2 Đ nh lý m b t đ ng 11.3 Toán t ngh ch đ o 1.4 Công th c bi n thiên h ng s 1.5 B đ Gronwall-Bellman Nh phân mũ r i r c 2.1 Nh phân r i r c c a h phương trình sai phân 42.2 B t đ ng th c ki u Gronwall r i r c 52.3 M i liên h nh phân mũ r i r c gi a hai h sai phân Nh phân mũ đ u 17 3.1 Nh phân mũ đ u c a h phương trình vi phân 17 3.2 M i liên h gi a nh phân mũ r i r c nh phân mũ đ u 20 3.3 Nh phân mũ đ u ph thu c tham s 22 3.4 Đa t p tích phân K t lu n Tài li u tham kh o 29 32 33 i L i c m ơn Đ hoàn thành đư c chương trình đào t o hoàn thi n lu n văn này, th i gian v a qua nh n đư c r t nhi u s giúp đ c a gia đình, Th y cô b n bè Tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i TS Lê Huy Ti n, Th y r t nhi t tình hư ng d n ch b o trình hoàn thành lu n văn Th y d y cho cách làm vi c cách t nghiên c u cách seminar Tôi xin g i l i c m ơn sâu s c t i TS Nguy n Văn Khiêm - Gi ng viên khoa Toán Tin trư ng Đ i h c Sư ph m Hà N i, Th y đ ng hành bu i seminar Th y ch b o thêm cho nhi u ki n th c Tôi xin g i l i c m ơn chân thành t i t t c Th y cô Khoa, đ c bi t GS TS Nguy n H u Dư, PGS TS Hoàng Qu c Toàn, PGS TS Đ ng Đình Châu, nh ng ngư i tr c ti p truy n th ki n th c, gi ng d y trình h c cao h c Tôi xin c m ơn Ban Ch nhi m khoa Toán - Cơ - Tin h c, Phòng sau Đ i h c trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên t o u ki n thu n l i đ hoàn thi n th t c b o v lu n văn ii L i nói đ u Khái ni m nh phân mũ m t ch đ lý thuy t phương trình vi phân n tính đ c bi t h u ích ngư i ta gi i quy t toán phi n mà ph n n tính có nh phân mũ M t nh ng tính ch t quan tr ng c a nh phân mũ tính v ng Tính v ng nghĩa không b thay đ i b i nhi u c a ma tr n h s Nói rõ hơn, gi s phương trình vi phân n tính x = A(t)x có nh phân mũ đ u, A(t) hàm ma tr n th c liên t c theo t c d ⋅ d N u B(t) hàm ma tr n th c liên t c theo t c d ⋅ d sup |B(t) − A(t)| ≤ δ0 đ nh phương trình y = B(t)y có nh phân mũ đ u t Xu hư ng g n đây, nhà toán h c không đ t lên u ki n c a ma tr n h s mà l i đ t lên dòng sinh b i phương trình, t c đ t lên toán t ti n hóa Trong lu n văn không ch xét h đơn gi n x = A(t)x mà xét h phương trình vi phân ph thu c tham s x = A(t; λ)x, λ tham s Trong lu n văn này, ch ng minh chi ti t m i liên h nh phân mũ đ u gi a h phương trình vi phân x = A(t; λ)x ph thu c tham s v i h y = B(t)y Ý tư ng ch ng minh tính liên t c c a nh phân mũ đ u cho h phương trình vi phân s chuy n v nh phân mũ r i r c c a phương trình sai phân Đ làm rõ đư c ch ng minh trên, tìm hi u cách ch ng minh c a nhà toán h c sau Coppel ch ng minh đ nh lý nhi u k t qu l i m c đ đơn gi n (xem [3]) Palmer ch ng minh đ nh lý nhi u m t cách t ng quát (xem [7]) tương đương đ nh lý nhi u c a Henry (xem [5]), cách ch ng minh c a Palmer khác c a Henry Trong lu n văn cho m t c lư ng hi n liên quan đ n đ nh lý nhi u c a Henry cho nh phân mũ làm rõ u ki n biên c a h s Vì v y k t qu t t so v i đ nh lý nhi u c a Henry Lu n văn đư c chia làm ba chương: • Chương 1: Ki n th c chu n b Chương nh c l i ki n th c b n mà ch ng minh chương sau c n dùng Các ki n th c chu n b g m có toán t ti n hóa c a phương trình vi phân, đ nh lý m b t đ ng, toán t ngh ch đ o, công th c bi n thiên h ng s B đ Gronwall-Bellman • Chương 2: Nh phân mũ r i r c Chương trình bày nh phân r i r c c a h iii phương trình sai phân, b t đ ng th c ki u Gronwall r i r c, m i liên h nh phân mũ r i r c gi a hai h sai phân • Chương 3: Nh phân mũ đ u Chương có ch ng minh đ nh lý lu n văn Chương trình bày nh phân mũ đ u c a h phương trình vi phân, m i liên h gi a nh phân mũ r i r c nh phân mũ đ u, nh phân mũ đ u ph thu c tham s , ng d ng đa t p tích phân M t s kí hi u lu n văn C(R, Rd) không gian hàm liên t c BC(R, Rd) không gian hàm liên t c b ch n M (d ⋅ d, R) không gian ma tr n th c c d ⋅ d GL(d, R) không gian ma tr n th c kh ngh ch c d ⋅ d BC(δ), U(δ) hình c u m bán kính δ không gian Banach BC U I ma tr n đơn v Hà n i, ngày 20 tháng 10 năm 2015 Ph m Tu n Anh iv Chương Ki n th c chu n b 1.1 Toán t ti n hóa c a phương trình vi phân Xét phương trình vi phân n tính thu n nh t x = A(t)x (1.1.1) x ∈ Rd, A ∈ C(R, Rd) G i X(t) ma tr n nghi m b n c a h (1.1.1), t c nghi m c a h (1.1.1) th a mãn x(t) = X(t)x(0) Chúng ta đ nh nghĩa X(t, s) = X(t)X−1(s) ma tr n ti n hóa (hay toán t ti n hóa) c a h (1.1.1) th a mãn tính ch t sau X(s, s) = I, ∀s ∈ R X(t, τ )X(τ, s) = X(t, s), ∀t, τ, s ∈ R X−1(t, s) = X(s, t), ∀t, s ∈ R 1.2 Đ nh lý m b t đ ng Đ nh nghĩa 1.2.1 Gi s X không gian metric v i kho ng cách d Ánh x f : X → X đư c g i ánh x co n u t n t i ≤ θ < cho d(f (x), f (y)) ≤ θ d(x, y) v i m i x, y ∈ X Đi m x0 ∈ X đư c g i m b t đ ng c a ánh x f n u f (x0) = x0 Đ nh lý 1.2.1 (Nguyên lý ánh x co) M i ánh x co t không gian mêtric đ y đ X vào có nh t m b t đ ng 1.3 Toán t ngh ch đ o Đ nh lý 1.3.1 Cho X không gian Banach A toán t n tính b ch n X Khi v i m i µ ∈ C cho |µ| < ||A||−1 toán t I − µA có ngh ch đ o liên t c, n a (I − µA)−1 ∞ µnAn = n=0 1.4 Công th c bi n thiên h ng s Trong không gian Rd, xét phương trình vi phân n tính (1.4.1) x = A(t)x, A(t) ma tr n liên t c c p d ⋅ d v i m i t ∈ R V i m i s ∈ R xs ∈ Rd phương trình (1.4.1) có m t nghi m nh t x(t) th a mãn u ki n ban đ u x(s) = xs Toán t ti n hóa X(t, s) : Rd −→ Rd v i m i t, s ∈ R xác đ nh b i X(t, s)xs = x(t) Xét phương trình vi phân (1.4.2) x = A(t)x + f (t, x) v i hàm f (t, x) liên t c G i x(t) nghi m c a phương trình (1.4.2) Khi đó, nghi m c a h (1.4.2) đư c xác đ nh b i công th c t X(t, τ )f τ, x(τ ) dτ x(t) = x(t, s, xs) = X(t, s)x(s) + s Công th c (1.4.3) đư c g i công th c bi n thiên h ng s 1.5 B đ Gronwall-Bellman B đ 1.5.1 Gi s λ(t) m t hàm th c liên t c µ(t) hàm liên t c không âm đo n [a, b] N u hàm liên t c y(t) th a mãn t y(t) ≤ λ(t) + µ(s)y(s)ds, a (1.4.3) v i a ≤ t ≤ b, đo n y(t) ≤ λ(t) + a tt λ(s)µ(s)e s Nói riêng, n u λ(t) ≡ λ h ng s t a y(t) ≤ λe µ(s) ds µ(τ ) dτ ds ≤C ≤C ≤C Do Y (t, s) có m t nh phân mũ lo i (α1, β1, K1), K1 = C1K1 max e(µ1+α1)l, e(µ1+β1)l V y b đ đư c ch ng minh Trư c nghiên c u đ nh lý chính, tìm hi u b đ sau 3.3 Nh phân mũ đ u ph thu c tham s B đ 3.3.1 Cho f : R −→ R liên t c đ u |f (n)| ≤ Ceαn, ∀n ∈ Z, α > 0, C > Khi t n t i D > cho |f (x)| ≤ Deαx, ∀x ∈ R Ch ng minh Do f hàm liên t c đ u nên v i m i ε > t n t i δ = δ(ε) cho ∀x, x ∈ R mà |x − x | < δ =⇒ |f (x) − f (x )| < ε Đ t n = [x − δ] + suy n − ≤ x − δ < n D dàng ta có |x − n| < δ Khi |f (x)| < ε + |f (n)| ≤ ε + Ceαn = (εe−αn + C)eαn ≤ (εe−αn + C)eα(1−δ)eαx < Deαx, D = (εe−αn + C)eα(1−δ) V y b đ đư c ch ng minh Ti p theo gi i thi u đ nh lý nh phân mũ đ u ph thu c tham s Ý tư ng ch ng minh đ nh lý đư c d a ý tư ng c a b đ trên, t c là, dùng nh phân mũ r i r c đ ch ng minh cho trư ng h p liên t c Đ nh lý 3.3.1 Cho A : R ⋅ Λ → M (d ⋅ d, R) m t hàm liên t c theo t v i m i λ ∈ Λ, Λ m t không gian tham s Gi s r ng v i m i λ ∈ Λ, h x = A(t; λ)x có m t nh phân mũ đ u R lo i (α, β, K) v i phép chi u P (t; λ) Cũng gi s r ng h (1) có b c tăng b ch n b i (C, µ) h ng s α, β, K, C µ không ph 22 (1) thu c vào λ ∈ Λ Cho B : R → M (d ⋅ d, R) liên t c Y (t, s) toán t nghi m c a h (2) y = B(t)y Y (t, s) có b c tăng b ch n b i (C1, µ1) Khi v i m i α1 ∈ (0, α), β1 ∈ (0, β) t n t i δ0 > δ1 > cho h (2) có m t nh phân mũ lo i (α1, β1, K1) n u u ki n sau đư c th a mãn (i) có m t hàm λ∗ : R → Λ cho |X(t, s; λ∗(s)) − Y (t, s)| ≤ δ0, |t − s| ≤ l, s ∈ R (ii) đánh giá sau |P (s; λ∗(s + l)) − P (s; λ∗(s))| ≤ δ1, s∈R l > th a mãn Ke−αl < e−α1l, Ke−βl < e−β1l K1 > C1Keµ1l max{eα1l, eβ1l} Hơn n a, phép chi u P (t; B) đư c k t h p v i nh phân mũ c a h (2) th a mãn sup |P (t; B) − P (t; λ∗(t))| = O(|δ0| + |δ1|) t∈R Các s δ0 δ1 đ nh đư c xác đ nh b i δ1 < K−1eβl − eβ1l , e−α1l − Ke−αl δ 2Keβ1l , 2Ke−α1l δ0 + 12−1KCδ eµl < L−1, 2K L đư c xác đ nh b i L = max{L1, L2} L1 =K−1eβK− e+α2lδ(1K)2δ K) + (1 − 2K(1)−−2αδ11l K)Ke−αl l (1 − + − δ1K e 1 L2 =K−1eK(1e+12(11K)2δ K) + (1 − 2δ(1 −e21δl1− ) e−αl • β β δ +1 K KK βl − l K) K H ng s K1 đư c xác đ nh b i K1 = C1eµ1l − δL max{eα1l, eβ1l}, δ = δ0 + 12−1KCδ eµl• δ 2K Ch ng minh Theo gi thi t, h (1) có m t nh phân mũ lo i (α, β, K) Khi s t n t i m t h phép chi u P (t; λ∗(t)), t ∈ R cho 23 • sup |P (t; λ∗(t))| ≤ K, • X(t, s; λ∗(s))P (s; λ∗(s)) = P (t; λ∗(t))X(t, s; λ∗(s)), t, s ∈ R • |X(t, s; λ∗(s))P (s; λ∗(s))| ≤ Ke−α(t−s), t ≥ s • |X(t, s; λ∗(s))Q(s; λ∗(s))| ≤ Keβ(t−s), t ≤ s, Q(t) = I − P (t) t V i m i t0 ∈ R c đ nh, ta đ t tn = t0 + nl, n ∈ Z Hình 3.1: Hình bi u th kho ng cách gi a đo n b ng l Ta đ nh nghĩa Tn, Pn, Pn sau Tn = X(tn+1, tn; λ∗(tn)), Pn = P (tn; λ∗(tn)), Pn = P (tn; λ∗(tn−1)) • Rõ ràng ta có sup{|Pn|, |Pn|} = K, sup{|Qn|, |Qn|} = K, n n Qn = I − Pn, Qn = I − Pn • Tính b t bi n đư c th a mãn TnPn =X(tn+1, tn; λ∗(tn))P (tn; λ∗(tn)) =P (tn+1; λ∗(tn))X(tn+1, tn; λ∗(tn)) =Pn+1Tn R(TnPn) = R(Pn+1) • Ta l i có |X(tn+1, tn; λ∗(tn))P (tn; λ∗(tn))x| ≤ Ke−α(tn+1−tn)|x|, n ≥ ⇒|X(tn+1, tn; λ∗(tn))x| ≤ Ke−αl|x|, n u P (tn; λ∗(tn))x = x θ = Ke−αl ⇒|Tnx| ≤ θ|x|, n u Pnx = x, 24 • Tương t , ta có |X(tn+1, tn; λ∗(tn))Q(tn; λ∗(tn))x| ≤ Keβ(tn+1−tn)|x|, n ≤ |X(tn+1, tn; λ∗(tn))[I − P (tn; λ∗(tn))]x| ≤ Keβ(tn+1−tn)|x|, n ≤ ⇒|X(tn+1, tn; λ∗(tn))x| ≤ Ke−βl|x|, n u P (tn; λ∗(tn))x = ⇒|Tnx| ≤ Ke−βl|x|, n u Pnx = γ = K−1eβl ⇒|Tnx| ≥ γ|x|, n u Pnx = 0, Gi s Sn = Y (tn+1, tn), |tn+1 − tn| ≤ l, theo gi thi t (i), (ii) ta có |Tn − Sn| =|X(tn+1, tn; λ∗(tn)) − Y (tn+1, tn)| ≤ δ0 |Pn − Pn| =|P (tn; λ∗(tn)) − P (tn; λ∗(tn−1)| ≤ δ1 B i v y, t t c gi thi t c a Đ nh lý 2.3.3 đư c th a mãn Khi đó, dãy {Sn} có m t nh phân lo i (θ1, γ1, K1) n u δ0 δ1 đ nh Cho θ1 = e−α1l, γ1 = eβ1l δ0, δ1 hoàn đư c xác đ nh b i đánh giá δ1 < ⇒δ1 < γ − γ1 , θ1 − θ 2Kγ1 2Kθ1 K−1eβl − eβ1l , e−α1l − Ke−αl 2Keβ1l 2Ke−α1l δ0 + 12−1KCδ eµl =: δ < L−1, δ 2K K K1 = − δL , L đư c xác đ nh b i L = max{L1, L2} L1 =K−1eβK− e+α2lδ(1K)2δ K) + (1 − 2K(1)−−2αδ11l K)Ke−αl l (1 − + − δ1K e 1 L2 =K−1eK(1e+12(11K)2δ K) + (1 − 2δ(1 −e21δl1− ) e−αl • β δ +1 K KK βl − l β K) Khi {Y (nl + t0, (n − 1)l + t0)} có m t nh phân r i r c lo i (θ1, γ1, K1) v i m i t0 ∈ R θ1 βl = e−α1l, γ1 = e , K K1 = − δL • T n u Y (t, s) có b c tăng b ch n b i (C1, µ1) theo B đ 3.2.1 h (2) có m t nh phân mũ lo i (α1, β1, K1) K1 = C1eµ1lK1 max{eα1l, eβ1l} K µ = C1e 1l − δL max{eα1l, eβ1l} 25 Hơn n a, P (t, λ∗(t)) phép chi u ng v i h (1) n u ta g i P (t; B) phép chi u ng v i h (2) theo H qu 2.3.1 ta có sup |P (t; B) − P (t; λ∗(t))| = O(|δ0| + |δ1|) t∈R V y đ nh lý đư c ch ng minh Đi u ki n mà đ t lên ma tr n h s đư c công b t trư c M t nh ng u ki n Đ nh lý 3.3.1 đư c đưa b i u ki n c a toán t ti n hóa Chúng ta s tìm hi u b đ ti p theo đưa m i liên h gi a ma tr n h s toán t ti n hóa B đ 3.3.2 (i) N u h (3.1.1) có b c tăng b ch n b i (C, µ) th a mãn sup |A(t) − B(t)| ≤ ε t h (2) có b c tăng b ch n b i (C, µ + εC) |X(t, s) − Y (t, s)| ≤ εlC2e(µ+εC)|t−s|, |t − s| ≤ l (ii) N u c h (3.1.1) h (2) có b c tăng b ch n b i (C, µ) t |A(τ ) − B(τ )|dτ , t, s ∈ R |X(t, s) − Y (t, s)| ≤ C2eµ|t−s| s Ch ng minh (i) Ta có y =B(t)y =A(t)y + [B(t) − A(t)]y Theo công th c bi n thiên h ng s nghi m c a h đư c xác đ nh b i công th c t X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]y(τ )dτ y(t) =X(t, s)y(s) + s t X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)y(s)dτ ⇒ Y (t, s)y(s) =X(t, s)y(s) + s t X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)dτ ⇒ Y (t, s) =X(t, s) + s 26 Gi s φ(t) = |Y (t + s, s)|e−µt, t ≥ Khi t+s −µt |X(t + s, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)|e−µtdτ φ(t) ≤ |X(t + s, s)|e + s t+s ≤ Ceµ(t+s−s)e−µt + ε |X(t + s, τ )| • |Y (τ, s)|e−µtdτ s t |X(t + s, u + s)| • |Y (u + s, s)|e−µtdu, (đ t u = τ − s) ≤C +ε t |X(t + s, u + s)|e−µ(t−u) • |Y (u + s, s)|e−µudu ≤C +ε t |Y (u + s, s)|e−µudu =⇒ φ(t) ≤ C + εC t ≤ C + εC φ(τ )dτ S d ng b t đ ng th c Gronwall, ta có |Y (t + s, s)|e−µt ≤ CeεCt, t ≥ ⇒|Y (t + s, s)| ≤ Ce(µ+εC)t, t ≥ Tương t đánh v i t ≤ ta có |Y (t + s, s)| ≤ Ce−(µ+εC)t, t ≤ Như v y, thu đư c |Y (t, s)| ≤ Ce(µ+εC)|t−s| hay h (2) có b c tăng b ch n b i (C, µ + εC) M t khác, s d ng công th c bi n thiên h ng s , ta có t X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)dτ |Y (t, s) − X(t, s)| ≤ s t ≤ εC eµ|t−τ| • eµ |τ−s|dτ s µ ≤ εlC e | |t−s , µ = µ + εC, |t − s| < l 27 Ti p theo s ch ng minh ph n (ii) M t l n n a, s d ng công th c bi n thiên h ng s , ta có t |X(t, τ )| • |B(τ ) − A(τ )| • |Y (τ, s)|dτ |Y (t, s) − X(t, s)| ≤ s t eµ|t−τ|+µ|τ−s| • |B(τ ) − A(τ )|dτ , (do gi thi t (ii)) ≤C s t |A(τ ) − B(τ )|dτ , t, s ∈ R ≤ C2eµ|t−s| s V y b đ đư c ch ng minh Sau B đ 3.3.1 đư c ch ng minh xong, s có k t qu sau Đ nh lý 3.3.2 Gi s r ng t t c u ki n c a Đ nh lý 3.3.1 đư c th a mãn ngo i tr u ki n (i) đư c thay th b i m t hai u ki n sau (i1) có m t hàm λ∗ : R −→ Λ cho v i m i s ∈ R |A(t; λ∗(s)) − B(t)| ≤ δ0, |t − s| ≤ l; (i2) có m t hàm λ∗ : R −→ Λ cho v i m i s ∈ R t |A(τ ; λ∗(s)) − B(τ )|dτ ≤ δ0, |t − s| ≤ l s Khi k t qu Đ nh lý 3.3.1 v n Ch ng minh Áp d ng theo B đ 3.3.1 ta có (i1) N u h (1) có b c tăng b ch n b i (C, µ) th a mãn u ki n |A(t; λ∗(s)) − B(t)| ≤ δ0, |t − s| ≤ l Khi h (2) có b c tăng b ch n b i (C, µ + δ0C) |X(t, s; λ∗(s)) − Y (t, s)| ≤ δ0lC2e(µ+δ0C)l, |t − s| ≤ l (i2) N u h (1) h (2) có b c tăng b ch n b i (C, µ) t ∗ |X(t, s; λ (s)) − Y (t, s)| ≤ |A(τ ; λ∗(s)) − B(τ )|dτ ≤ δ0C2eµl C2eµ|t−s| s Chúng ta ch c n ch n δ0 Đ nh lý 3.3.1 b i δ0lC2e(µ+δ0C)l ho c δ0C2eµl V y đ nh lý đư c ch ng minh 28 3.4 Đa t p tích phân Xét h phi n x = A(t, y)x + f (t, x, y, u) y = g(t, x, y, u), x ∈ Rd, y ∈ Y đa t p Riemannian v i m t metric d u ∈ U m t không gian Banach Chúng ta gi s r ng u ki n sau đư c th a mãn (i) A : R ⋅ Y −→ M (d ⋅ d, R) liên t c, b ch n th a mãn |A(t, y1) − A(t, y2)| ≤ Cd(y1, y2) (ii) f : R ⋅ Rd ⋅ Y ⋅ U −→ Rd liên t c, b ch n, f (t, 0, y, 0) ≡ th a mãn |f (t, x1, y1, u1) − f (t, x2, y2, u2)| ≤C(|x1 + x2| + |u1 + u2|)|x1 − x2| + C|u1 + u2|d(y1, y2) + C|u1 − u2| (iii) g : R ⋅ Rd ⋅ Y ⋅ U −→ Y liên t c, b ch n th a mãn |g(t, x1, y1, u1) − g(t, x2, y2, u2)| ≤ N (|x1 − x2| + d(y1, y2) + |u1 − u2|) Chúng ta ý r ng v i m i (xi(•), ui, µi) ∈ BC ⋅ U ⋅ Y, nghi m nh t yi(t) c a yi = g(t, xi(t), yi, ui), yi(s) = µi, th a mãn d(y1(t), y2(t)) ≤d(µ1, µ2)eN|t−s| t (|x1(τ ) − x2(τ )| + |u1 − u2|)eN|t−τ|dτ • +N s Trong đó, BC = BC(R, Rd) Chúng ta trang b cho không gian BC v i chu n |x|ρ, ρ ≥ đư c đ nh nghĩa b i |x|ρ = sup |x(t)|e−ρ|t| t∈R Khi nh n m nh chu n không gian, có th vi t BCρ Đ nh lý 3.4.1 Gi s r ng v i m i (s, η) ∈ R ⋅ Y, xét h n tính X = A(t, y0(t, s, η))X có m t nh phân mũ đ u lo i (α, β, K) R có b c tăng b ch n b i (C, µ), y0(t, s, η) nghi m nh t c a y = g(t, 0, y0, 0), y(s) = η N u N < min{α, β} 29 (3.4.1) s t n t i δ1 > cho v i |u| ≤ δ1 h (3.4.1) có m t đa t p tích phân g n R ⋅ {0} ⋅ Y ⊂ R ⋅ R ⋅ Y Hơn n a m t cách xác, t n t i m t hàm liên t c d φ : R ⋅ Y ⋅ U(δ1) −→ Rd cho Su = {(t, φ(t, η, u, η), η) ∈ R ⋅ Rd ⋅ Y; t ∈ R, η ∈ Y } m t đa t p tích phân cho h (3.4.1) (i) φ liên t c lipschitz theo (η, u) v i m i t ∈ R (ii) sup{|φ(t, η, u)|; t ∈ R, η ∈ Y } = O(|u|) Chúng ch d ng l i phát bi u đ nh lý mà không ch ng minh đ ch ng minh đư c đ nh lý c n s d ng nhi u ki n th c Chúng s gi i thi u m t b đ ti p theo có liên quan đ n đ nh lý mà công c ch ng minh b đ có s d ng đ n k t qu m c nh phân mũ đ u Trư c tiên gi i thi u Ư c lư ng cho h phép chi u Cho X = A(t)X Y = B(t)Y có nh phân mũ đ u R lo i (α, β, K) N u đ nh nghĩa hàm Green đư c k t h p v i nh phân mũ X(t, s)P (s; A), G(t, s; A) = t≥s −X(t, s)Q(s; A), t < s Y (t, s)P (s; B), G(t, s; B) = t≥s −Y (t, s)Q(s; B), t < s theo công th c bi n thiên h ng s ta có ∞ G(t, τ ; A)[B(τ ) − A(τ )]G(τ, s; B)dτ G(t, s; B) = G(t, s; A) + −∞ M t khác, G(s, s; A) = P (s; A), G(s, s; B) = P (s; B) |G(t, s; A)| = |G(t, s; B)| = Ke−α(t−s), t ≥ s Keβ(t−s), t≤s nên ta có c lư ng ∞ |G(s, τ ; A)| |B(τ ) − A(τ )| |G(τ, s; B)| dτ |P (s; B) − P (s; A)| ≤ −∞ (3.4.2) ∞ e−(α+β)|τ−s||B(τ ) − A(τ )|dτ ≤ K2 −∞ Ph n cu i, gi i thi u m t b đ mà ch ng minh c a có d a vào k t qu c a đ nh lý m c trư c 30 B đ 3.4.1 Gi s có u ki n Đ nh lý 3.4.1 N u N < α + β, v i m i (α1, β1), α1 ∈ (0, α), β1 ∈ (0, β) t n t i δ0 > δ1 > cho v i m i (t0, η, x, u) ∈ R ⋅ Y ⋅ BC0 ⋅ U v i |x0| ≤ δ0, |u| ≤ δ1, h n tính X = A(t, y(t; t0, η, x, u))X có m t nh phân mũ đ u lo i (α1, β1, K1) y(t; t0, η, x, u) nghi m nh t c a y(t0) = η y = g(t, x(t), y, u)), Ch ng minh Chúng ta s ki m tra u ki n Đ nh lý 3.3.2 Ch n l > cho Ke−αl < e−α1l Ke−βl < e−β1l Đ t A(t; λ) = A(t, y0(t, s, η)), λ = (s, η) ∈ Λ = R ⋅ Y m t tham s B(t) = A(t, y(t, t0, η, x, u)) Đ nh nghĩa λ∗ : R −→ Λ = R ⋅ Y b i λ∗(s) = (s, y(s, t0, η, x, u)) V i m i s ∈ R, |t − s| ≤ l ta có c lư ng |B(t) − A(t; λ∗(s))| ≤ Cd(y(t, t0, η, x, u), y0(t, s, y(s, t0, η, x, u))) t (|x(τ )| + |u|)eN|t−τ|dτ ≤ CN s ≤ CN (|x|0 + |u|)e N |t−s| − ≤ C(δ + δ )eNl N N u đ nh nghĩa P (t; λ) h phép chi u đư c liên k t v i nh phân mũ đ u đ i v i h X = A(t; λ)X, theo (3.4.2) ta có đánh giá |P (s; λ∗(s)) − P (s; λ∗(s + l))| ∞ e−(α+β)|τ−s||A(τ, λ∗(s)) − A(τ, λ∗(s + l))|dτ ≤ K2 −∞ ∞ ≤ CK −∞  e−(α+β)|τ−s|d(y0(τ, s, y(s)), y0(τ, s + l, y(s + l)))dτ  ∞ ≤ CK2  −∞ ≤ e−(α+β)|τ−s|eN|τ−s|dτ  d(y(s), y0(τ, s + l, y(s + l))) ∞ ( e−(α+β−N)|τ−s|dτ = 2CK +δ0 + δN)e , α β− y(s) = y(s, t0, η, x, u) Đ nh lý 3.3.2 đư c áp d ng n u ch n δ0 δ1 đ nh V y b đ đư c ch ng minh 31 Nl K t lu n Lu n văn ch ng minh l i m t cách chi ti t rõ ràng d a báo Estimates on the Strength of Exponential Dichotomies and Application to Integral Manifolds c a nhà Toán h c ngư i Nh t B n, Kunimochi Sakamoto (xem [10]) Có nh ng đ nh lý vi t rõ hơn, chi ti t so v i báo Đ nh lý 2.3.1; hay b đ đưa thêm vào lu n văn ch ng minh chi ti t B đ 3.3.1 Vì th i gian nghiên c u có h n nên lu n văn c a không th tránh kh i nh ng thi u sót r t mong b n đ c góp ý đ lu n văn c a đư c hoàn thi n Tôi xin chân thành c m ơn! 32 Tài li u tham kh o [1] Ph m Kỳ Anh, Tr n Đ c Long (2001), Giáo trình hàm th c gi i tích hàm, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c gia Hà N i [2] Cung Th Anh (2015), Cơ s lí thuy t phương trình vi phân, Nhà xu t b n Đ i h c Sư ph m [3] W A Coppel (1978), Dichotomies in stability theory, in Lecture Notes in Math, Vol 629, Springer-Verlag, New York/Berlin [4] J K Hale (1969), Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, New York [5] D Henry (1980), Geometric theory of semilinear parabolic equations, in Lecture Notes in Math, Vol 840, Springer-Verlag, New York/Berlin [6] R A Johnson (1987), Remarks on linear differential systems with measurable coefficients, Proc Amer Math Soc 100 [7] K J Palmer (1987), A perturbation theorem for exponential dichotomies, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 103 [8] K Sakamoto (1990), Invariant manifolds in singular perturbation problems for Ode's Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 116, 45-78 [9] K Sakamoto, A remark on perturbation theorems for exponential dichotomies, in preparation [10] K Sakamoto (1994), Estimates on the Strength of Exponential Dichotomies and Application to Integral Manifolds, Journal of differential equation 107, 259-279 [11] Y YI (1990), Generalized integral manifolds Theorem, preprint, CDSNS report, Georgia Institute of Technology 33 ... nh phân mũ m t ch đ lý thuy t phương trình vi phân n tính đ c bi t h u ích ngư i ta gi i quy t toán phi n mà ph n n tính có nh phân mũ M t nh ng tính ch t quan tr ng c a nh phân mũ tính v ng Tính. .. nh lý lu n văn Chương trình bày nh phân mũ đ u c a h phương trình vi phân, m i liên h gi a nh phân mũ r i r c nh phân mũ đ u, nh phân mũ đ u ph thu c tham s , ng d ng đa t p tích phân M t s kí... phân Nh phân mũ đ u 17 3.1 Nh phân mũ đ u c a h phương trình vi phân 17 3.2 M i liên h gi a nh phân mũ r i r c nh phân mũ đ u 20 3.3 Nh phân mũ đ u ph thu c tham