Hệ thức lượng giác và ứng dụng

26 21 0
  • Loading ...
1/26 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 01/05/2017, 23:12

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRỊNH THỊ XUÂN TRANG HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016 Có thể tìm Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lượng giác lĩnh vực toán học, tồn , phát triển hàng ngàn năm qua, có nhiều ứng dụng khoa học thực tiễn Trong khuôn khổ chương trình toán phổ thông hành, lượng giác giảng dạy vào cuối năm lớp 10 đầu năm lớp 11 với chủ đề như: công thức lượng giác, phương trình lượng giác hệ thức lượng giác Tuy nhiên, chủ đề hệ thức lượng giác đặc biệt phần ứng dụng đề cập đến với thời lượng không nhiều mức độ định Hệ thức lượng giác chuyên đề tương đối khó học sinh phổ thông Đồng thời, đề thi tuyển sinh Đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế năm thường gặp toán có liên quan đến hệ thức lượng giác ứng dụng Là giáo viên giảng dạy môn Toán trường phổ thông, với mục đích tìm hiểu ứng dụng lượng giác chương trình trung học phổ thông, nên chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ : “Hệ thức lượng giác ứng dụng” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu kiến thức lượng giác, đặc biệt hệ thức lượng giác Hệ thống phân loại số lớp toán giải hệ thức lượng giác Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Các hệ thức lượng giác Các ứng dụng hệ thức lượng giác tam giác tứ giác Các toán thuộc chương trình phổ thông giải cách sử dụng hệ thức lượng giác Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Chương Trình bày sơ lược hệ thức lượng giác số bất đẳng thức đại số hay sử dụng chương sau Chương Trình bày toán hệ thức lượng giác tam giác Chương Trình bày toán hệ thức lượng giác tứ giác CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nhắc lại hệ thức lượng giác số bất đẳng thức đại số nhằm làm sở cho chương sau 1.1 CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1.1 Đẳng thức lƣợng giác a Độ dài đường trung tuyến tam giác m  a  b2  c2   a ; m  b  a  c2   b2 ; m  c  a  b2   c2 b Độ dài đường cao tam giác 2S 2S 2S ; hb  ; hc  a b c c Độ dài đường phân giác tam giác  2bc 2ac cos A ; lb  cos B bc ac d Diện tích tam giác la  ; lc  2ab cos C ab 1 1 1 S  aha  bhb  chc S  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 S abc ; S  pr ; S  p  p  a  p  b  p  c  4R S   p  a   rb  p  b   rc  p  c  e Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác a b c abc    2sin A 2sin B 2sin C 4S f Bán kính đường tròn nội tiếp R r S p ; r   p  a  tan A B C   p  b  tan   p  c  tan 2 g Bán kính đường tròn bàng tiếp góc tam giác  S pa ; rb  S p b ; rc  S pc h Các đẳng thức lượng giác tam giác A B C sin A  sin B  sin C  4cos cos cos 2 sin2 A  sin2B  sin2C  4sin A.sin B.sin C sin A  sin B  sin C   2cos A cos B cos C sin A B C A B C  sin  sin   2sin sin sin 2 2 2 A B C cos A  cos B  cos C   4sin sin sin 2 cos2 A  cos2B  cos2C  1  4cos A.cos B.cos C cos2 A  cos2 B  cos2 C   2cos A cos B cos C A B C A B C  cos2  cos2   2sin sin sin 2 2 2 tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C cos2 A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 cot Acot B  cot B cot C  cot C cot A  tan A B C A B C  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 1.1.2 Bất đẳng thức lƣợng giác a  b  c  sin A  sin B  sin C cot sin A  sin B  sin C  sin 3 3 ; sin A.sin B.sin C  A B C  sin  sin  2 2 sin ; sin A  sin B  sin C  A B C A B C ; sin sin sin   sin  sin  2 2 cos A  cos B  cos C  ; cos A.cos B.cos C  cos A.cos B.cos C  1  cos A 1  cos B 1  cos C  cos A B C 3 A B C 3 ; cos cos cos   cos  cos  2 2 2 cos2 A  cos2 B  cos2 C  A B C ; cos2  cos2  cos2  2 tan A  tan B  tan C  3 (  ABC nhọn) tan A  tan B  tan C  (  ABC nhọn) tan A B C A B C  tan  tan  ; tan  tan  tan  2 2 2 tan A  tan B  tan C  cot A B C  cot  cot 2 cot A  cot B  cot C  ; cot A  cot B  cot C  A B C A B C  cot  cot  3 ; cot  cot  cot  2 2 2 1.1.3 Định lý sin, định lý côsin, định lý tang a Định lý côsin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: cot a2  b2  c2  2bc cos A b2  a2  c2  2ac cos B c2  a2  b2  2ab cos C b Định lý sin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: a b c    2R sin A sin B sin C c Định lý tang Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: A B B C tan a  b  bc  ; BC bc A B ab tan tan 2 tan CA  ca ; C A ca tan tan 1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG GẶP 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Cho a1 , a2 , , an số không âm Khi ta có: a1  a2   an  n n a1a2 an Đẳng thức xảy a1  a2   an 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai dãy số a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi ta có: a  a22   an2 b12  b22   bn2    a1b1  a2b2   anbn  Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn 1.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev Cho hai dãy số a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn thỏa mãn điều kiện a1  a2   an ; b1  b2   bn Khi ta có  a1  a2   an  b1  b2   bn   n  a1b1  a2b2   anbn   a1  a2   an Đẳng thức xảy  b1  b2   bn 1.2.4 Bất đẳng thức Svacxơ Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn bi > với i = 1, 2, , n Khi ta có: a2 a12 a22   n  b1 b2 bn  a1  a2   an  b1  b2  bn Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn CHƢƠNG HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC Chương trình bày việc sử dụng hệ thức lượng tam giác để giải số lớp toán tam giác, cụ thể toán nhận dạng tam giác, toán chu vi, diện tích tam giác 2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC Để nhận dạng tam giác, ta thường sử dụng phương pháp sau: Phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi lượng giác để tính góc cạnh Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức đại số Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đánh giá dựa tính chất tam giác tính chất hàm số 2.1.1 Nhận dạng tam giác vuông Để chứng minh ABC tam giác vuông, ta sử dụng Định lý Pythagore, chứng minh tam giác có góc vuông (góc đối diện với cạnh dài tam giác) Bài toán 2.2 Cho ABC thỏa mãn hệ thức: a b c B C A     sin  sin   sin 4R 2  Chứng minh ABC vuông (2.1) Giải: R(sin A  sin B  sin C )   cos B  cosC   1    4R 2    cos A   sin A  sin B  sin C   cos A  cos B  cos C (2.1)   2sin A A BC B C A cos  2sin cos  2sin 2 2 2  2cos  cos BC B C cos 2 A BC B C  A BC B C   cos  cos  cos   sin  cos  2 2  2 2   2cos  cos A B C A B C cos cos  2sin cos cos 2 2 2 A A  B C   sin  cos cos   2  2  A    A  Vậy ABC vuông A 2 2.1.2 Nhận dạng tam giác cân Để chứng minh ABC tam giác cân, ta chứng minh tam  tan giác có cạnh nhau, có góc Bài toán 2.10 Cho ABC có: cos A  cos B   cot A  cot B  sin A  sin B Chứng minh ABC cân Giải: (2.2) 10 A B C BC B C    aR  2cos cos  aR 2sin cos  aR sin B  sin C   2  2     a  R sin B  R sin C   a b  c  CA A B c cos b c  a     c a  b ; B C 2 2sin 2sin 2 b cos Tương tự ta có: Từ suy ra: Đẳng thức cho  a b  c   b c  a   c a  b  a  b2  c  ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca  2 2 2 2   a  b    b  c    c  a     a  b  c  2 Vậy ABC 2.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH GÓC CỦA TAM GIÁC Bài toán 2.30 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos A  cos B  2cos C c  Chứng minh đẳng bất thức max a , b Đẳng thức xảy nào? Giải: Sử dụng Định lý côsin tam giác ABC, điều kiện toán b2  c  a a  c  b2 a  b2  c   2bc 2ac ab tương đương với  b  c  2bc  a2 a  c  2ac  b2  a  b ab  c2 11   b  c  a  a  b  c    a  c  b  a  b  c  2bc 2ac   a  b  c  a  b  c  ab a  b  c  a   b  a  c  b   2c  a  b  c    a  b2  2c  2ab  ac  bc  (2.3) Từ (2.3) suy b nghiệm phương trình: x   2a  c  x  a  ac  2c  a nghiệm phương trình: x   2b  c  x  b  bc  2c  Hai phương trình có nghiệm   9c  8bc  Suy c    9c  8ac  , nên 8 a c  b 9 max a , b Bài toán 2.33 Hãy tính góc  ABC tam giác Vậy c  2  b  c  a đó, ta có:   sin A  sin B  sin C   Giải: Từ: b2  c  a  b2  c  a  Lúc đó: cos A  b2  c  a   A  900 2bc Ta có: sin A  sin B  sin C  sin A  2sin  sin A  2cos BC B C cos 2 A B C cos 2 12  sin A  sin B  sin C   2cos Mà A  900  A A   450 cos 2 A (2.4) 2 (2.4)  sin A  sin B  sin C   B C  cos   A  Dấu đẳng thức xảy khi: cos  2  sin A     B  C   A  90 Vậy  ABC vuông cân A 2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC, ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƢỜNG CAO CỦA TAM GIÁC Bài toán 2.41 Cho  ABC Chứng minh rằng: p  r  R   hb  hc  2r  (2.5) Giải: (2.5)  p  r  Rr  R   hb  hc   2S 2S 2S   p  r  Rr  R     b c   a 2R 2S  ab  bc  ca   ab  bc  ca abc Vậy từ giả thiết suy phải chứng minh:  p  r  4Rr  p  r  4Rr  ab  bc  ca (2.6) 13 A   p  a  r cot Ta có:   a  R sin A A r   tan  p  a   sin A  a  2R Áp dụng công thức: A thay sin A  a tan A  r , sin A  A pa 2R  tan 2 tan ta có a3  pa2   p2  r  4Rr  a  pRr  Như cách thay A B, C suy a, b, c nghiệm phương trình: x3  px2   p2  r  4Rr  x  pRr  Theo Định lý Vi-et, ta có ab  bc  ca  p  r  4Rr Vậy (2.6) đúng, đẳng thức (2.5) chứng minh Bài toán 2.43 Chứng minh  ABC ta có: hb hc 2r    33 la lb lc R Giải: Trong  ABC vẽ đường cao AH đường phân giác AD Ta có: A   2C  A   B C   sin ADH  sin  C    sin    cos   la 2      14 Tương tự: A B C H D hb  C  A  hc  A B   cos   cos   ,  lb   lc   Theo ta có: hb hc B C CA A B    cos  cos  cos la lb lc 2 hb hc 2r    33 la lb lc R Vậy  cos B C CA A B A B C  cos  cos  sin sin sin 2 2 2 (2.7) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: cos B C CA A B B C CA AB  cos  cos  3 cos cos cos 2 2 2 (2.8) Dấu (2.8) xảy  A  B  C Ta chứng minh rằng: cos Thật vậy: B C CA A B A B C cos cos  8sin sin sin 2 2 2 (2.9) 15 A B C B C CA A B (2.9)  8cos cos cos cos cos cos  8sin Asin B sin C 2 2 2 BC B  C  CA C  A  A B AB     2sin cos cos cos  2sin  2sin  2  2  2    8sin A sin B sin C   sin B  sin C  sin C  sin A sin A  sin B   8sin A sin B sin C (2.10) sin B  sin C  sin B sin C  Theo bất đẳng thức Cauchy thì: sin C  sin A  sin C sin A  sin A  sin B  sin A sin B Vậy (2.10) đúng, tức (2.9) Từ (2.8) (2.9) suy (2.7) (đpcm) Dấu xảy  ABC tam giác 2.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI DIỆN TÍCH TAM GIÁC Bài toán 2.52 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp  ABC Các đường thẳng AI, BI, CI kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp  ABC A’, B’, C’ Chứng minh rằng:  p  a  IA'2   p  b  IB'2   p  c  IC '2  abc Giải: Giả sử O, R, r tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp  ABC Gọi D tiếp điểm đườngtròn (I ; r) với cạnh AB Khi đó: ID  AD.tan A A hay r   p  a  tan 2 Vì S ABC  p.r , nên S ABC  p. p  a  tan A 16 Lại có S ABC  bc sin A , suy p  a  bc.cos A p (2.11) E A D I O C B A' ’ Kẻ đường kính A E đường tròn (O) Ta thấy  A’IB cân A’ (do A' BI  A' IB  BAC  ABC ) nên IA'  BA'  A' E.sin A A a  2R.sin  2 2cos A Từ (2.11) (2.12) suy  p  a  IA'2  Tương tự:  p  b  IB '2  ab c ; 4p (2.12) a 2bc 4p  p  c  IC '2  abc 4p Do đó:  p  a  IA'2   p  b  IB '2   p  c  IC '2  abc  a  b  c  4p  abc (đpcm) 2.5 CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁN KÍNH ĐƢỜNG TRÒN NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP CỦA TAM GIÁC Bài toán 2.72 Cho  ABC Chứng minh rằng: 17 cot A  1  cot B  1   cot C  tan 4R  r p Giải: Ta có: Mà: tan A cot B cot C cot A B C  tan  tan 2  A B C 1   tan  tan  r     2  p a p b p c  pr   p  ab  bc  ca   p  ab  bc  ca r   p  a  p  b  p  c  p  p  a  p  b  p  c   Lại có:  p  ab  bc  ca S (2.13) pabc  p  p  a  p  b  p  c  R  r abc S    p pS p p2S ab  bc  ca  p S Từ (2.13) (2.14) suy đpcm  (2.14) CHƢƠNG HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TỨ GIÁC Chương trình bày việc sử dụng hệ thức lượng giác để giải số lớp toán tứ giác, cụ thể toán nhận dạng tứ giác, toán cạnh góc tứ giác, toán chu vi, diện tích tứ giác 3.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TỨ GIÁC Bài toán 3.2 Cho tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện: 18 sin A sin B sin C sin D    2 sin B  sin C sin C  sin D sin D  sin A sin A  sin B Chứng minh ABCD hình bình hành hình thang cân Giải: ; a2  sin B sin C  sin D sin C sin D  sin A ; a4  sin D sin A  sin B b1  sin A sin B  sin C  ; b2  sin B  sin C  sin D  b3  sin C  sin D  sin A ; b4  sin D  sin A  sin B  Đặt a1  a3  sin A sin B  sin C Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:  a1b1  a2b2  a3b3  a4b4     a12  a22  a32  a42 b12  b22  b32  b42  sin A sin B sin C sin D    2 sin B  sin C sin C  sin D sin D  sin A sin A  sin B (3.1) Dấu (3.1) xảy  sin A  sin B  sin C  sin D Bài toán 3.3 [11] Cho tứ giác lồi ABCD Gọi R1, R2, R3, R4 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh rằng: Nếu R1.R3 = R2.R4 tứ giác ABCD nội tiếp Giải: Theo Định lý sin, ta có: R1  BC AD AD BC , R2  , R3  , R4  2sin D1 2sin C1 2sin B1 2sin A1 19 C B 1 A D Từ R1.R3  R2 R4  sin D1 sin B1  sin C1 sin A1 (3.2) Rõ ràng, ta có A1  B1  C1  D1  D1  B1  A1  C1 (3.3)  cos D1 cos B1  sin D1 sin B1  cos A1 cos C1  sin A1 sin C1 Do từ (3.3) suy ra: cos D1 cos B1  cos A1 cos C1 (3.4) Lấy (3.4) trừ (3.2) vế theo vế suy ra: cos  D1  B1   cos  A1  C1   D1  B1  A1  C1 (3.5) Từ (3.5) (3.3) có D1 = A1 Vậy ABCD tứ giác nội tiếp 3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH GÓC CỦA TỨ GIÁC Bài toán 3.8 Cho ABCD tứ giác lồi góc vuông Chứng minh: tan A  tan B  tan C  tan D  cot A  cot B  cot C  cot D tan A tan B tan C tan D Giải: Xét hai trường hợp sau: A  B  900 A  B  2700 , tan  A  B  tan  C  D  có nghĩa Vì  A  B    C  D   3600 nên tan  A  B   tan  C  D   20  tan A  tan B tan C  tan D    tan A tan B  tan C tan D   tan A  tan B 1  tan C tan D    tan C  tan D 1  tan A tan B    tan A  tan B  tan C  tan D  tan A tan B tan C  tan A tan C tan D  tan B tan C tan D  tan A tan B tan D tan A  tan B  tan C  tan D 1 1      tan A tan B tan C tan D tan D tan B tan A tan C  tan A  tan B  tan C  tan D  cot A  cot B  cot C  cot D tan A tan B tan C tan D A  B  900 A  B  2700 Do C  D  2700 ABCD tứ giác lồi góc vuông nên suy 900  D  1800 (vì D  900  C  1800 mâu thuẫn với tính lồi ABCD) Do A  B  900   A  900  900  A  D  2700 Áp dụng phần với A  D B  C suy đpcm Bài toán 3.10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Đường tròn với tâm cạnh AB tiếp xúc với ba cạnh kề Chứng minh: AD  BC  AB Giải: D N C P M A B O Gọi O tâm đường tròn  O  AB  tiếp xúc với AD, DC, CB M, N, P Ta có: 21   AB  OA  OB  R     sin A sin B  AD  AM  MD  R cot A  R cot BC  BP  PC  R cotB R cot (3.2) D C C D   Từ AD  BC  R  cot A  cot   R  cot B  cot  2 2    cos A  cos C   cos B  cos D   R     R  sin A sin C sin D     sin B (3.3) Do ABCD tứ giác nội tiếp nên A  C  B  D  1800  sin A  sin C ; sin B  sin D ;cos A   cos C ;cos B   cos D Vì từ (3.3) suy ra:  cos A  cos A   cos B  cos B  AD  BC  R      R  sin A  sin B   sin A  sin B    R    sin A sin B  (3.4) Từ (3.2), (3.4) suy đpcm 3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI DIỆN TÍCH TỨ GIÁC Bài toán 3.19 Cho ABCD tứ giác nội tiếp với AB = a’, BC = b’, CD = c’, DA = d’ p’ nửa chu vi tứ giác Chứng minh rằng: A tan  Giải:  p  a  p  d   p  b  p  c  ' ' ' ' ' ' ' ' 22 C b' B c' a' d' D A Áp dụng Định lý côsin tam giác ABD BCD, ta có: BD  a '2  d '2  2a ' d ' cos A  b '2  c '2  2b 'c ' cos C  b '2  c '2  2b 'c ' cos A a '2  d '2  b'2  c'2 2b'c'  2a ' d ' cos A  Từ suy ra: (3.5) Từ (3.5) ta có A  tan b  c    a  d   a  d   b  c  '  Vì tan  cos A   cos A ' ' b  c  a  d b  c  d  a   a  d  b  c  a  d  c  b  ' ' ' b '2  c '2  2b 'c '  2a ' d '  a '2  d '2 a '2  d '2  b '2  c '2  2b 'c '  2a ' d ' ' ' '  ' ' ' ' a'  b'  c'  d '  p' b'2  4a'c' A   p  a  p  d   p  b  p  c  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.6) nên từ (3.6) ta có: (đpcm) Bài toán 3.21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn , đường chéo AC = a, hợp với hai cạnh AB, CD góc  ,  Chứng minh: a sin      sin  2sin   S ABCD  a sin      sin  2sin  23 Giải: K β B α A C β D Giả sử sin   sin  Trên AB kéo dài phía B lấy K cho BKC  CAD   Do KBC  CDA   BKC đồng dạng với  DAC Do sin   sin   BC  CD  SKBC  SCDA  S ABCD  S ACK sin   S ABCD  a sin      sin  (3.7) sin  Tương tự sin  sin   S ABCD  a sin      (3.8) sin  Từ (3.5) (3.6) suy ra: a sin      sin  2sin   S ABCD  a sin      sin  2sin  24 KẾT LUẬN Luận văn “Hệ thức lượng giác ứng dụng” thực mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể giải vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày hệ thức lượng giác Hệ thống phân loại số lớp toán hệ thức lượng tam giác, tứ giác Đối với lớp toán có toán minh họa toán tương tự Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục hoàn thiện mở rộng nữa, nhằm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, quan tâm đến lĩnh vực hệ thức lượng giác ... văn thạc sĩ : Hệ thức lượng giác ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu kiến thức lượng giác, đặc biệt hệ thức lượng giác Hệ thống phân loại số lớp toán giải hệ thức lượng giác Đối tƣợng... Các hệ thức lượng giác 2 Các ứng dụng hệ thức lượng giác tam giác tứ giác Các toán thuộc chương trình phổ thông giải cách sử dụng hệ thức lượng giác Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp, hệ. .. sơ lược hệ thức lượng giác số bất đẳng thức đại số hay sử dụng chương sau Chương Trình bày toán hệ thức lượng giác tam giác Chương Trình bày toán hệ thức lượng giác tứ giác CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ
- Xem thêm -

Xem thêm: Hệ thức lượng giác và ứng dụng, Hệ thức lượng giác và ứng dụng, Hệ thức lượng giác và ứng dụng

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay