Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - NGUY N TH THANH H I M T TI P C N T I ƯU HAI C P CHO HI U CH NH BÀI TOÁN CÂN B NG GI ĐƠN ĐI U LU N VĂN TH C S KHOA H C Hà N i - Năm 2015 Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - NGUY N TH THANH H I M T TI P C N T I ƯU HAI C P CHO HI U CH NH BÀI TOÁN CÂN B NG GI ĐƠN ĐI U Chuyên ngành: TOÁN NG D NG Mã s : 60.46.01.12 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà N i - Năm 2015 M cl c L i c m ơn M đu 6 Ki n th c chu n b 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian n tính đ nh chu n 1.2 T p l i, nón l i, hàm l i 1.2.1 T p l i i 1.2.4 Tính ch t c a hàm l i 1.3 K t lu n 61.1.2 Không gian Hilbert 81.2.2 Nón l i 91.2.3 Hàm l 10 11 12 Bài toán cân b ng 2.1 Bài toán cân b ng khái ni m 2.1.1 Phát bi u toán 2.1.2 Các khái ni m 2.2 Các trư ng h p riêng c a toán cân b ng 2.2.1 Bài toán t i ưu 2.2.2 Bài toán m b t đ ng 2.2.3 Bài toán cân b ng Nash trò chơi không h p tác 2.2.4 Bài toán m yên ng a 2.3 S t n t i nghi m c a toán cân b ng 2.4 K t lu n Hi u ch nh d a t i ưu hai c p 3.1 Hi u ch nh toán cân b ng gi đơn u 31 13 13 13 13 18 18 19 19 20 21 30 31 M CL C 3.2 3.3 3.1.1 Phương pháp hi u ch nh Tikhonov 3.1.2 Phương pháp m g n k Thu t toán gi i 3.2.1 Mô t thu t toán 3.2.2 Tính h i t c a thu t toán K t lu n 31 35 40 40 42 47 K t lu n chung 48 Tài li u tham kh o 49 L I C M ƠN Qua lu n văn em xin bày t lòng kính tr ng bi t ơn sâu s c đ n Th y GS.TSKH Lê Dũng Mưu, ngư i t n tình ch b o, hư ng d n, giúp đ em su t trình h c t p, nghiên c u hoàn thi n lu n văn Tác gi xin trân tr ng cám ơn Ban Giám hi u, Phòng Đào t o sau đ i h c đ c bi t quý th y cô Khoa Toán - Cơ - Tin h c Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i t o u ki n thu n l i cho em hoàn thành khóa h c Tác gi xin g i l i cám ơn chân thành t i gia đình, đ ng nghi p, anh ch , b n bè l p cao h c khóa 2013 - 2015 đ ng viên, khích l tác gi c g ng su t khóa h c đ đ t đư c k t qu h c t p cao nh t Em xin chân thành c m ơn! M ĐU L p toán cân b ng ngày đư c áp d ng nhi u vào lĩnh v c cu c s ng kinh t , xã h i, Chính v y mà ngày đư c nhà khoa h c quan tâm, nghiên c u Hơn n a, toán cân b ng s m r ng c a l p toán khác toán t i ưu, toán b t đ ng th c bi n phân, toán m b t đ ng, toán cân b ng Nash, toán m yên ng a, Mô hình chung cho toán cân b ng Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗, y) ≥ v i m i y ∈ C (EP(C, f )) H không gian Hilbert, C ⊆ H m t t p l i f : C ⋅C → R ∪ {+∞} m t song hàm Bài toán hi u ch nh đư c xây d ng b ng cách thay song hàm ban đ u b ng song hàm fε := f + εg, ε, g l n lư t tham s hi u ch nh song hàm hi u ch nh, thông thư ng ta ch n g m t song hàm đơn u m nh N u f m t song hàm đơn u fε đơn u m nh, toán hi u ch nh có nh t nghi m Tuy nhiên, n u f m t song hàm gi đơn u toán hi u ch nh trư ng h p t ng quát không đơn u m nh hay đơn u, th m chí không gi đơn u toán hi u ch nh nói chung nghi m nh t, th m chí t p nghi m không l i, không th áp d ng tr c ti p phương pháp đ hi u ch nh cho toán EP(C, f ) gi đơn u trư ng h p đơn u Do đó, lu n văn nghiên c u trình bày m t s phương pháp hi u ch nh cho toán cân b ng gi đơn u thông qua toán t i ưu hai c p đ tìm m gi i h n c a qu đ o nghi m hi u ch nh D a ý tư ng c a phương pháp hi u ch nh Tikhonov, [4] tác gi đưa phương pháp hi u ch nh v i toán hi u ch nh sau Tìm x ∈ C cho fk(x, y) := f (x, y) + εkg(x, y) ≥ v i m i y ∈ C, εk > tham s hi u ch nh, g(x, y) m t song hàm đơn u m nh g i song hàm hi u ch nh M ĐU Năm 1970 Martine đưa phương pháp m g n k cho toán b t đ ng th c bi n phân đơn u sau đư c m r ng b i Rockafellar (1976) cho toán t đơn u c c đa Bài toán hi u ch nh có d ng Tìm xk ∈ C cho fk(xk, y) := f (xk, y) + ck xk − xk−1, y − xk ≥ −δk v i m i y ∈ C, ck > 0, δk > l n lư t tham s hi u ch nh sai s cho trư c S khác bi t gi a hai phương pháp phương pháp hi u ch nh m g n k t i m i bư c l p toán hi u ch nh ph thu c vào m l p bư c trư c tham s hi u ch nh ck → k → ∞ N i dung c a lu n văn g m ba chương • Chương 1: Ki n th c chu n b • Chương 2: Bài toán cân b ng • Chương 3: Hi u ch nh d a t i ưu hai c p Chương trình bày m t s ki n th c s không gian n tính, không gian Hilbert; ki n th c v gi i tích l i t p l i, nón l i, hàm l i; khái ni m v s h i t y u, h i t m nh, hàm n a liên t c trên, n a liên t c dư i Chương phát bi u toán cân b ng, m t s trư ng h p có th đưa v toán cân b ng s t n t i nghi m c a toán Chương trình bày phương pháp hi u ch nh toán cân b ng gi đơn u, thu t toán ti p c n d a toán t i ưu hai c p s h i t c a thu t toán M c dù có nhi u c g ng, song th i gian trình đ h n ch nên lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y em r t mong nh n đư c s góp ý c a th y cô b n đ lu n văn đư c hoàn thi n Hà N i, ngày 28 tháng 09 năm 2015 Tác gi Nguy n Th Thanh H i Chương Ki n th c chu n b Chương nh c l i m t s ki n th c v không gian n tính, không gian Hilbert, t p l i, nón l i, hàm l i; khái ni m v s h i t y u, h i t m nh, hàm n a liên t c trên, n a liên t c dư i Các ki n th c đư c l y t tài li u [1], [2] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Không gian n tính đ nh chu n Đ nh nghĩa 1.1.1 Cho X m t không gian n tính th c M t chu n X, kí hi u , m t ánh x :X →R th a mãn tính ch t sau x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = ⇔ x = 0; αx = |α| x , ∀x ∈ X, x + y ≤ x + y , α ∈ R; ∀x, y ∈ X Khi (X, ) đư c g i không gian n tính đ nh chu n Đ nh nghĩa 1.1.2 Cho X không gian n tính th c, X đư c g i không gian ti n Hilbert n u v i m i x, y ∈ X, xác đ nh m t tích vô hư ng, kí hi u x, y , th a mãn tính ch t ∀x, y ∈ X; x, y = y, x , x + y, z = x, z + y, z , αx, y = α x, y , x, x ≥ 0, ∀x, y, z ∈ X; ∀x, y ∈ X, ∀x ∈ X; α ∈ R; x , x = ⇔ x = Chương Ki n th c chu n b 1.1.2 Không gian Hilbert B đ 1.1.1 M i không gian ti n Hilbert X không gian n tính đ nh chu n, v i chu n đư c xác đ nh sau x= X x, x , ∀x ∈ Đ nh nghĩa 1.1.3 Cho X không gian đ nh chu n Dãy {xn} ⊆ X đư c g i dãy b n X n u lim x − xm = n,m→∞ n N u X, m i dãy b n đ u h i t , t c xn − xm → kéo theo s t n t i xo ∈ X cho xn → xo X đư c g i không gian đ Đ nh nghĩa 1.1.4 Không gian ti n Hilbert đ đư c g i không gian Hilbert Trong lu n văn ta th ng nh t kí hi u H m t không gian Hilbert trư ng s th c Ví d 1.1.1 L y H = Rnv i tích vô hư ng xác đ nh b i h th c ∑ x, y = i=1→n xiyi Trong x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn Khi H m t không gian Hilbert Trên H có hai ki u h i t sau Đ nh nghĩa 1.1.5 Xét dãy {xn}n≥0 x thu c không gian Hilbert th c H Dãy {xn} đư c g i h i t m nh đ n x, kí hi u xn → x n u lim n→+∞ xn − x = Dãy {xn} đư c g i h i t y u đ n x, kí hi u xn lim w, xn = w, x , n→+∞ xn u ∀w ∈ H Đi m x đư c g i m t m nh (hay y u) c a dãy {xn} n u t dãy có th trích m t dãy h i t m nh (hay y u) t i x M nh đ 1.1.1 N u {xn} h i t m nh đ n x h i t y u đ n x N u {xn} h i t y u đ n x limn→+∞ xn = x {xn} h i t m nh đ n x Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p Do đó, xk − x∗ ≤ γ , ∀k > kl + V y, v i γ > tùy ý ta có lim xk − x∗ = 0, k→ ∞ hay {xk} h i t m nh v x∗, v y ta có u c n ch ng minh Đ nh lý 3.1.3 Gi s C ⊆ Rn m t t p l i, đóng, khác r ng, f gi đơn u C, f (., y) n a liên t c v i m i y ∈ C, f (x, ) n a lên t c dư i l i v i m i x ∈ C, toán cân b ng EP(C, f ) có nghi m L y {ck}, {δk} hai dãy s dương cho ck < c < +∞ ∑∞=1 δk < +∞ Khi k ck V i m i k, t p δk-nghi m c a toán EP(C, fk) khác r ng compact M i dãy {xk}, v i xk m t δk-nghi m c a toán EP(C, fk) đ u h i t m nh t i nghi m c a toán EP(C, f ) Ch ng minh Áp d ng Đ nh lý 3.1.2 m i dãy b ch n b t kỳ không gian Rn đ u m t dãy h i t m nh nên ta có u ph i ch ng minh Nh n xét Các k t qu ch r ng, m i qu đ o c a thu t toán m g n k đ u có chung m t m gi i h n y u Tuy nhiên vi c tìm m gi i h n m t vi c khó s h i t không m nh k t qu không ch đư c m gi i h n Đ làm rõ u ta xét ví d sau Ví d 3.1.2 Xét song hàm cân b ng gi đơn u Ví d 2.1.3 Ta xét toán hi u ch nh Tìm xk ∈ C cho fk(xk, y) := f (xk, y) + ck xk − xk−1, y − xk ≥ −δk, ∀y ∈ C, x0 = xg = (xg, xg, , xg, ) m xu t phát c a dãy l p, đóng vai trò 12 i nghi m d đoán c a toán EP(C, f ); {ck}, {δk} hai dãy s không âm cho ck ≤ c < +∞ v i m i k ∈ N ∑∞=1 δk < +∞ Khi k ck fk(xk, y) = (2 − xk ) xk, y − xk + ck(xk − xk−1)(y1 − xk) + ck xk − xk−1, y − xk , = ck 1 1 k k k k − x − )(y1 − x ) + ck (2 − x + ck)x − ckxk−1, y − xk 1 (xk (3.1.1) 39 Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p Nh n th y, n u xk = xk−1, (2 − xk + ck)xk − ckxk−1 = 1 đư c th a mãn xk = (xk, xk) m t nghi m c a toán EP(C, fk) ta có √ ckxk−1 c√ k ≤ xk = − xk + c ≤ k − + ck Tuy nhiên, khác v i phương pháp hi u ch nh Tikhonov, cho k → ∞ ck → đó, t c lư ng ta không suy đư c dãy {xk} h i t m nh đ n m t nghi m c th c a toán EP(C, f ) mà ch có th k t lu n đư c r ng dãy b ch n, h i t y u v m t nghi m c a toán ban đ u 3.2 Thu t toán gi i Như bi t, đ i v i toán cân b ng đơn u, nh tính đơn u m nh c a toán hi u ch nh, thu t toán hi u ch nh Tikhonov m g n k có th d n đ n nh ng phương pháp gi i ch p nh n đư c Còn đ i v i toán cân b ng gi đơn u, toán hi u ch nh nói chung không đơn u m nh, th m chí không gi đơn u, v y phương pháp gi i đòi h i tính đơn u không th áp d ng đư c Trong trư ng h p này, m gi i h n m chi u c a nghi m d đoán xg t p nghi m c a toán EP(C, f ) Các m gi i h n có th thu đư c d a vào toán t i ưu hai c p min{ x − xg 3.2.1 v i x ∈ S(C, f )} (BO) Mô t thu t toán Như ta bi t, f gi đơn u C, t p nghi m S(C, f ) c a toán EP(C, f ) m t t p l i Do (BO)là toán tìm c c ti u c a m t hàm chu n m t t p l i Gi s t p nghi m S(C, f ) c a toán EP(C, f ) khác r ng f liên t c y u, gi đơn u C Xét m t song hàm L : H ⋅ H → R th a mãn u ki n sau (B1)L(x, x) = 0, ∃β > : L(x, y) ≥ β x − y 2, ∀x, y ∈ C; (B2)L liên t c y u, L(x, ) kh vi, l i m nh H v i m i x ∈ C ∇2L(x, x) = v im ix∈H Ta xét b đ sau B đ 3.2.1 Gi s f th a mãn gi thi t (A1), (A2) L th a mãn gi thi t (B1), (B2) Khi đó, v i m i ρ > 0, m nh đ sau tương đương 40 Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p x∗ nghi m c a toán cân b ng; x∗ ∈ C : f (x∗, y) + L(x∗, y) ≥ 0, ρ ∀y ∈ C; x∗ = argmin{ f (x∗, y) + L(x∗, y) : y ∈ C} ρ Thu t toán Ch n ρ > η ∈ (0, 1) Kh i đ u v i x1 := xg ∈ C (xg có vai trò m t nghi m d đoán) N u x1 ∈ S(C, f ), x1 m t nghi m c a toán t i ưu (BO), ngư c l i ta th c hi n phép l p đ i v i k theo bư c sau Bư c Gi i toán quy ho ch l i m nh min{ f (xk, y) + L(xk, y) : y ∈ C} ρ (CP(xk)) đ tìm nghi m nh t yk N u yk = xk, ch n uk := xk chuy n đ n Bư c Ngư c l i chuy n sang Bư c Bư c 2.(Qui t c tìm ki m theo tia Amijio) Tìm m t s nguyên, không âm nh nh t mk , m m t s nguyên, th a mãn zk,m := (1 − ηm)xk + ηmyk, (3.11) f (zk,m, yk) + L(xk, yk) ≤ ρ (3.12) Đ t ηk := ηmk, zk := zk,mk, tính −ηk f (zk, yk) , uk := PC(xk − σkgk), σk = (1 − η ) gk k gk ∈ ∂2 f (zk, zk), dư i đ o hàm c a hàm l i f (zk, ) t i zk Bư c Xây d ng n a không gian Ck := {y ∈ H : uk − y ≤ x k − y }; Dk := {y ∈ H : xg − xk, y − xk ≤ 0} Bư c Đ t Bk = Ck ∩ Dk ∩C tính xk+1 := PB (xg) k N u xk+1 ∈ S(C, f ), k t lu n xk+1 nghi m c a toán (BO) Ngư c l i, tăng k lên l p l i trình Chú ý 41 (3.13) Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p (i) Vi c tìm ki m theo tia Bư c hoàn toàn xác đ nh đư c, trái l i v i m i s nguyên không âm m ta có f (zk,m, yk) + L(xk, yk) > ρ (3.14) Cho m → ∞, tính n a liên t c y u c a f (., yk), ta có f (xk, yk) + L(xk, yk) ≥ 0, ρ f (xk, xk) + L(xk, xk) = 0, cho th y xk m t nghi m c a toán quy ρ ho ch l i m nh CP(xk) Do xk = yk, u mâu thu n vi c tìm ki m theo tia ch đư c th c hi n xk = yk Chú ý r ng mk > Th t v y, n u mk = ta có zk = yk, L(xk, yk) = f (zk, yk) + L(xk, yk) ≤ 0, ρ ρ L không âm, L(xk, yk) = t L(xk, yk) ≥ β xk − yk 2, ta có xk = yk (ii) gk = kích thư c σk bư c (3.13) cho th y xk = yk Th t v y, n u gk = đó, gk ∈ ∂2 f (zk, zk) ta có f (zk, x) ≥ gk, x − zk + f (zk, zk) = 0, ∀x ∈ C T (3.12) ta có L(xk, yk) ≤ 0, gi thi t (B1) L(xk, yk) ≥ Do xk = yk 3.2.2 β x k − y k Tính h i t c a thu t toán B đ đ nh lý sau cho th y tính h i t m nh c a dãy {xk}, {uk} thu t toán B đ 3.2.2 T gi thi t c a B đ 3.2.1 ta có Gi s f th a mãn gi thi t (A1), (A2) L th a mãn gi thi t (B1), (B2) uk − x∗ ≤ xk − x∗ −σ2 gk , k 42 ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.15) Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p Ch ng minh Đ t vk = xk − σkgk T uk = PC(vk), ta có uk − x∗ = PC(vk) − PC(x∗) = x k − x ∗ − σk gk ; = xk − x∗ +σ2 g ≤ v k − x ∗ 2; (3.16) − 2σ k gk , x k − x ∗ k k Do gk ∈ ∂2 f (zk, zk) nên ta có gk, xk − x∗ = gk, xk − zk + zk − x∗ ; = gk, xk − zk + gk, zk − x∗ ; (3.17) ≥ gk, xk − zk − f (zk, x∗) Vì x∗ ∈ S(C, f ) nên f (x∗, zk) ≥ 0, f gi đơn u suy − f (zk, x∗) ≥ Do đó, t (3.16) ta có gk, xk − x∗ ≥ gk, xk − zk (3.18) Trong xk − zk = −kη (zk − yk) Khi η k (3.19) gk, xk − zk = −kη gk, zk − yk = σk gk η k Đ ng th c cu i đư c suy t đ nh nghĩa c a σk công th c (3.13) c a thu t toán K t h p v i công th c (3.16), (3.18), (3.19) ta thu đư c (3.15) Đ nh lý 3.2.1 Gi s f song hàm liên t c y u, f(x,.) l i, kh dư i vi phân C v i m i x ∈ C toán EP(C, f ) có nghi m Khi c hai dãy {xk}, {uk} đ u h i t t i nghi m nh t c a toán t i ưu hai c p (BO) Ch ng minh Ta có S(C, f ) ⊆ Bk v i m i k Th t v y, t Đ nh lý 3.1.2 ta có un − x∗ ≤ xn − x∗ , ∀x∗ ∈ S(C, f ), S(C, f ) ⊆ Ck Ta ch ng minh S(C, f ) ⊆ Dk b ng phương pháp qui n p V i k = D1 = H nên S(C, f ) ⊆ D1 Gi s S(C, f ) ⊆ Dk, t c xg − xk, x∗ − xk ≤ v i m i x∗ ∈ S(C, f ) Khi S(C, f ) ⊆ Bk = Ck ∩ Dk M t khác theo đ nh nghĩa xk+1 = PB (xg) nên ta có k x∗ − xk+1, xk+1 − xg ≤ 0, 43 ∀x∗ ∈ S(C, f ), Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p hay xk+1 − x∗, xg − xk+1 ≤ 0, ∀x∗ ∈ S(C, f ) V y S(C, f ) ⊆ Dk+1, suy S(C, f ) ⊆ Bk T đ nh nghĩa c a Dk, ta có xk = PD (xg) k Do xk+1 ∈ Dk nên xk − xg ≤ xk+1 − xg , ∀k ∈ C Hơn n a, xk = PD (xg) k S(C, f ) ⊂ Dk v i m i k nên ta có xg , ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.20) xk − xg ≤ x∗ − D o đ ó { x k } b c h n Do tính b ch n c a {xk} xk − xg ≤ xk+1 − xg v i m i k nên limk xk − xg t n t i Ta ch ng x minh xk+1 − xk → k → ∞ Th t v y, xk ∈ Dk xk+1 ∈ Dk, Dk m t t p l i nên ta có ; k k+1 k + xk ∈ D k xk (xg) M t khác, = PD nên theo tính ch k g t l i m nh c a hàm x − k+1 + x 2≤ ; xk − xg − x x = t a g c ó k + g x g x − − x k + x + + x x − g − x k = S u y xk+1 − x k r a xk+1 − xk ≤ Do lim x xg − xk+1 − xg − xk 2 k − xg t n t i nên ta suy xk+1 − xk → k → ∞ M t khác, xk+1 ∈ Bk ⊆ Ck, t đ nh nghĩa c a Ck ta có k − xk+1 ≤ xk+1 − xk u D o đ ó , uk − xk ≤ uk − xk+1 + xk+1 − xk ≤ xk+1 − xk , xk+1 − xk → 0, t c uk − xk → k → ∞ 4 Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p Sau ta s ch r ng m t m t y u b t kỳ c a dãy {xk} đ u m t nghi m c a toán EP(C, f ) Th t v y, l y x m t m t y u b t kỳ c a dãy {xk} Không m t tính ch t t ng quát, ta gi s xk x Ta xét hai trư ng h p Trư ng h p Vi c tìm ki m theo tia ch x y h u h n m Trong trư ng h p này, theo thu t toán, uk = xk v i m i k vô h n, yk = xk m t nghi m c a toán EP(C, f ) v i m i k Do v y, trư ng h p Trư ng h p Vi c tìm ki m theo tia x y t i vô h n m Khi ta trích m t dãy gi thi t r ng vi c tìm ki m theo tia th c hi n đư c v i m i k Ta xét hai kh (a) limkηk > Do xk x uk − xk → nên uk x Áp d ng công th c (3.15) v i x∗ ∈ S(C, f ) ta th y σk gk → Do đ nh nghĩa c a σk nên ta có −1 −kη gk, yk − zk → η k gk, yk − zk → M t khác t gi thi t (B1) qui T u ki n limkηk > 0, gi s t c tìm ki m Armijo ta có ≤ 2βρ xk − yk Do đó, xk − yk → Do xk ≤ 21ρ L(xk, yk) ≤ − gk, yk − zk → x nên yk x, yk nghi m c a toán f (xk, y) + L(xk, y) : y ∈ C ρ (CP(Ck)) Khi ta có th vi t l i sau f (xk, y) + L(xk, y) ≥ f (xk, yk) + L(xk, yk) ∀y ∈ C ρ ρ Cho k ti n vô cùng, tính liên t c y u c a f L nên f (x, y) + L(x, y) ≥ f (x, y) + L(x, y) ∀y ∈ C, ρ ρ u cho th y y nghi m c a toán CP(x) Do xk − yk → xk x, yk y nên suy x = y V y theo B đ 3.2.1 x m t nghi m c a toán EP(C, f ) (b) limk ηk = Trong trư ng h p dãy {yk} b ch n Th t v y, yk nghi m c a toán CP(xk), hàm m c tiêu liên t c y u, l i m nh l i gi i không đ i Theo Đ nh lý 45 Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p Berge, ánh x xk → s(xk) := yk liên t c y u T tính ch t b ch n c a {xk} ta suy {yk} b ch n, suy yk L p lu n tương t trư c ta đư c f (x, y) + L(x, y) ≤ f (x, y) + L(x, y), ρ ρ y ∀y ∈ C (3.21) M t khác, mk s t nhiên nh nh t th a mãn quy t c tìm ki m theo tia Armijo nên f (zk,mk−1, yk) + L(xk, yk) > ρ Trong zk,mk−1 (3.22) x k → ∞ T b t đ ng th c (3.22), tính liên t c y u c a f L ta thu đư c gi i h n f (x, y) + L(x, y) ≥ ρ (3.23) Thay y = x vào (3.21) ta đư c f (x, y) + L(x, y) ≤ 0, ρ k t h p v i (3.23) ta đư c f (x, y) + L(x, y) = ρ (3.24) T (3.24) f (x, x) + L(x, x) = 0, ρ suy c x, y đ u nghi m c a toán f (x, y) + L(x, y) : y ∈ C ρ Do x = y, theo B đ 3.2.1 x nghi m c a toán EP(C, f ) Hơn n a, t u ki n uk − xk → ta có th k t lu n r ng, m i m t y u c a {xk} đ u m t nghi m c a toán EP(C, f ) Ta c n ch {xk} h i t m nh đ n nghi m nh t c a toán hai c p (BO) Nh n th y m i m t y u c a {xk} đ u thu c t p nghi m S(C, f ) G i x∗ m t m t b t kỳ c a dãy {xk}, s = PS(C, f )(xg) Khi đó, t n t i dãy {xkj} c a dãy {xk} cho xkj → x∗ j → ∞ Theo ch ng minh ta có x∗ ∈ S(C, f ) t đ nh nghĩa c a s ta suy s − xg ≤ x∗ − xg = lim xkj − xg ≤ lim sup xk − xg ≤ s − xg j k 46 Chương Hi u ch nh d a t i ưu hai c p B t đ ng th c cu i x y xk+1 = PB (xg) s ∈ S(C, f ) ⊆ Bk v i m i k Do k lim xk − xg = s − xg = x∗ − xg Do x∗ ∈ S(C, f ), s = PS(C, f )(xg) S(C, f ) m t t p l i đóng nên hình chi u c a xg lên S(C, f ) nh t, suy x∗ = s, xk → s k → ∞ nghi m c a toán (BO) T xk − uk → ta có uk → Psxg 3.3 K t lu n Chương trình bày đư c phương pháp hi u ch nh Tikhonov phương pháp hi u ch nh m g n k , s d ng phương pháp vào vi c gi i toán cân b ng gi đơn u không gian Hilbert thông qua vi c gi i toán t i ưu hai c p Ch ng t toán hi u ch nh có nghi m toán g c có nghi m m i qu đ o nghi m c a toán hi u ch nh đ u h i t v m t nghi m nghi m c a toán ban đ u 47 K T LU N CHUNG Lu n văn trình bày v n đ sau - Các khái ni m v không gian n tính đ nh chu n, không gian ti n Hilbert, không gian Hilbert, s h i t y u, h i t m nh không gian Hilbert - Các đ nh nghĩa v t p l i, nón l i, hàm l i tính ch t c a hàm l i - Phát bi u toán cân b ng, s t n t i nghi m c a toán cân b ng Trình bày m t s trư ng h p có th đưa v toán cân b ng toán t i ưu, toán m b t đ ng, toán cân b ng Nash, toán m yên ng a - Trình bày phương pháp hi u ch nh Tikhonov phương pháp m g n k cho toán cân b ng gi đơn u, thu t toán hi u ch nh d a toán t i ưu hai c p s h i t c a thu t toán 48 TÀI LI U THAM KH O Ti ng Vi t [1] Đ Văn Lưu, Gi i tích hàm, (2009), NXB khoa h c k thu t, Hà N i [2] Lê Dũng Mưu, Nguy n Văn Hi n, Nguy n H u Đi n (2015), Giáo trình gi i tích l i ng d ng, NXB ĐHQG Hà N i Ti ng Anh [3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35:539-563 [4] Pham G Hung, Le D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis 74:6121 - 6129 [5] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications 90:31-43 [6] G Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems, Kluwer Academic, Dordrecht, pp 289-298 [7] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Optimization 15:347-351 49 ... Khi toán t cân b ng tr thành song hàm cân b ng 16 √ Chương Bài toán cân b ng Nh n xét N u F toán t đơn u m nh, đơn u ho c gi đơn u C f song hàm đơn u m nh, đơn u ho c gi đơn u C Th t v y N u toán. .. gi đơn u C Sau ta xét m t vài trư ng h p riêng có th đưa v toán cân b ng 17 Chương Bài toán cân b ng 2.2 Các trư ng h p riêng c a toán cân b ng 2.2.1 Bài toán t i ưu Cho hàm s ϕ : C → R Xét toán. .. i 12 Chương Bài toán cân b ng Chương nh c l i khái ni m v song hàm cân b ng, toán t cân b ng phát bi u toán cân b ng M t s toán có th đưa v d ng toán cân b ng s t n t i nghi m c a toán Các ki