Luận văn một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải

156 139 0
  • Loading ...
1/156 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/04/2017, 20:27

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HÀM BẢN PHƢƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HÀM BẢN PHƢƠNG PHÁP GIẢI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 L I C M ƠN Lu n văn đư c hoàn thành v i s hư ng d n ch b o t n tình c a PGS TS Nguy n Nh y Nhân d p t đáy lòng mình, em xin đư c bày t lòng bi t ơn trân tr ng sâu s c t i PGS TS Nguy n Nh y, ngư i th y quan tâm, đ ng viên s ch b o hư ng d n nhi t tình, chu đáo nh ng l i đ ng viên khích l em su t trình làm lu n văn Em xin g i l i c m ơn chân thành c a đ n quý Th y giáo khoa Toán - - Tin, phòng Sau Đ i h c, phòng Đào t o Trư ng Đ i H c Khoa h c T nhiên - ĐHQGHN, đ c bi t nh ng Th y giáo t ng gi ng d y l p PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 C m ơn Th y truy n th cho em ki n th c giúp đ em su t trình h c t p t i khoa Đ ng th i, em xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 đ ng viên, giúp đ em su t trình vi t ch nh s a lu n văn Cu i cùng, em xin g i l i c m ơn đ n nh ng ngư i thân gia đình b n bè ng h , t o u ki n thu n l i nhi t tình giúp đ em th i gian v a qua M c dù r t c g ng song s hi u bi t h n c a b n thân khuôn kh c a lu n văn th c sĩ, nên ch c r ng trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong đư c s ch d y đóng góp ý ki n c a Th y đ c gi quan tâm t i Lu n văn Hà N i, ngày 15 tháng 09 năm 2015 H c viên Vũ Th Vân M cl c 0.1 0.2 M c đích c a đ tài lu n văn B c c c a lu n văn M t s phương trình hàm b n ví d 1.1 M t s phương trình hàm b n 1.1.1 T ng quát Bài toán Bài toán phương trình hàm Cauchy u ki n liên t c 1.1.4 Bài toán 1.1.5 T ng quát Bài toán 1.1.6 7 Bài toán (Phương trình hàm Cauchy) 71.1.2 1.1.3 5 14 14 Bài toán 15 1.1.7 T ng quát Bài toán 16 1.1.8 Bài toán 16 1.1.9 T ng quát Bài toán 17 1.2 Các ví d áp d ng 17 M t vài phương pháp gi i phương trình hàm 2.1 Phương pháp đ t n ph 33 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 Phương trình d ng: f (α(x)) = g(x) 33 Các ví d 34 Phương pháp đưa v h phương trình 40 2.2.1 Phương trình d ng: a(x)f (x) + b(x)f (g(x)) = c(x) 40 2.2.2 Các ví d 41 Phương pháp chuy n qua gi i h n 52 33 2.3.1 Các ví d 53 Phương trình hàm v i mi n xác đ nh t p s t nhiên 69 3.1 Tìm công th c t ng quát c a dãy s b ng cách đưa v c p s 3.2 70 Tìm công th c t ng quát c a dãy b ng phương trình đ c trưng 79 3.2.1 Phương trình đăc trưng c a dãy 79 3.2.2 Áp d ng gi i phương trình hàm 86 3.3 M t s phương trình hàm d ng khác 91 K t lu n 100 Tài li u tham kh o 101 M Đ I CƯƠNG V ĐU PHƯƠNG TRÌNH HÀM C U TRÚC C A LU N VĂN Phương trình hàm phương trình n s m t hàm s đó, vi c gi i phương trình hàm tìm hàm s th a mãn u ki n c a đ bài, m i hàm s th a mãn phương trình hàm đư c g i nghi m c a phương trình hàm C u trúc c a phương trình hàm g m ba ph n Phương trình hàm b n ví d M t vài phương pháp gi i phương trình hàm Phương trình hàm v i t p xác đ nh t p s t nhiên Phương trình hàm nói chung m t d ng toán khó c a Gi i tích nói riêng c a toán h c nói chung Nhìn chung vi c gi i phương trình hàm thư ng không theo m t quy t c t ng quát c Gi i phương trình hàm đòi h i ph i s tư sáng t o, v n d ng m t cách linh ho t ki n th c h c vào t ng toán c th Vi c tìm l i gi i ph thu c vào t ng phương trình hàm c th m t vài u ki n ràng bu c Tuy nhiên nh ng toán v phương trình hàm cách gi i g n gi ng nhau, nh ng phương trình hàm c u trúc tương t nhau, nh ng đ c trưng b n gi ng Vì th , ta c n m t s phân l p lo i phương hàm đ tìm phương pháp gi i đ i di n cho m i l p Ti p theo ta c n s p x p phương trình hàm đ th đưa đư c v lo i phương trình hàm kh o sát b ng cách th c Ti p theo n a, đưa m t s k thu t đ c trưng đ gi i phương trình hàm Cu i gi ng toán đ ng em xin nêu m t s đ nh hư ng gi i phương trình hàm mà t m g i phương pháp Các phương pháp đư c nh vi c phân lo i c u trúc phương trình hàm thành phương trình hàm t ng quát cách gi i tương t Phương trình hàm m t chuyên đ quan tr ng thu c chương trình toán trư ng THPT đ c bi t trư ng chuyên Các toán liên quan đ n phương trình hàm t p khó, thư ng g p kỳ thi h c sinh gi i c p qu c gia, c p khu v c, c p qu c t kỳ thi Olympic toán sinh viên.Tuy nhiên, cho đ n nay, h c sinh trư ng chuyên, l p ch n nói riêng ngư i làm toán nói chung bi t r t phương pháp th ng đ gi i toán v phương trình hàm, th m chí b lúng túng không đ nh hư ng đư c ti p c n m t phương trình hàm Các tài li u v phương trình hàm chưa m t tài li u trình bày đ y đ khía c nh c a phương trình hàm Do đó, th giúp h c sinh ti p c n v i phương trình hàm d dàng gi i quy t đư c m t s toán v phương trình hàm m t yêu c u h t s c c n thi t nên em ch n đ tài " M t s phương trình hàm b n phương pháp gi i " 0.1 M c đích c a đ tài lu n văn M c đích c a lu n văn d a vi c tìm hi u phương trình hàm tài li u liên quan đ n phương trình hàm đ hình thành nên phương pháp phân tích, khai thác d li u, d đoán hư ng gi i, k thu t bi n đ i s hình thành nên m t s phương pháp b n đ gi i phương trình hàm 0.2 B c c c a lu n văn Bài lu n văn " M t s phương trình hàm b n phương pháp gi i " g m có: M đ u, chương n i dung, k t lu n tài li u tham kh o Chương M t s phương trình hàm b n ví d Trong chương em đưa Bài toán b n c a phương trình hàm nghi m c a toán nhi u Bài toán b n đư c gi i thi u ([1]) ([2]) Nh ng toán l i gi i ([1]) ([2]), Lu n văn ta ch s d ng k t đ gi i toán khác Chương M t s phương pháp b n gi i phương trình hàm Trong chương em trình bày m t s d ng thư ng g p c a phương trình hàm m t s phương pháp b n đ gi i phương trình hàm ví d áp d ng Chương Phương trình hàm v i t p mi n xác đ nh t p s t nhiên Đó phương trình hàm mà t p xác đ nh t p s t nhiên cách gi i khác Chương M t s phương trình hàm b n ví d Trong chương ta gi i thi u m t s Bài toán b n ví d áp d ng M t s Bài toán b n l i gi i tài li u quen thu c, c th tài li u ([1]) ([2]), ta s không trình bày l i gi i mà ch đưa k t qu Ti p theo m c 1.2 c a chương, em đưa ví d c th áp d ng k t qu c a Bài toán b n 1.1 1.1.1 M t s phương trình hàm b n Bài toán (Phương trình hàm Cauchy) Xác đ nh hàm f (x) liên t c R th a mãn u ki n f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Bài toán đư c trình bày tài li u ([1]) ([2]), (1.1) em ch đưa k t qu Nghi m c a toán f (x) = ax, ∀a ∈ R 1.1.2 T ng quát Bài toán Cho a, b ∈ R∴{0} Tìm hàm f (x) xác đ nh, liên t c R th a mãn u ki n f (ax+by) = af (x)+bf (y), ∀x, y ∈ R (1.2) Gi i Cho x = y = thay vào (1.2) ta đư c f (0) = af (0) + bf (0) ⇔ f (0).(a + b − 1) = a) N u a + b = f (0) = T (1.2) l n lư t cho x = 0, y = ta đư c f (by) = bf (y), ∀y ∈ R f (ax) = af (x), ∀x ∈ R V y (1.2) tr thành f (ax + by) = af (x) + bf (y) = f (ax) + f (by) Khi tr v toán Cauchy nghi m f (x) = cx, v i c ∈ R b) N u a + b = f (0) tùy ý Khi ta đ t g(x) = f (x) − f (0) Cho x = y = g(0) = f (0) − f (0) = thay vào (1.2) ta đư c g(ax + by) + f (0) = a[g(x) + f (0)] + b[g(y) + f (0)] ⇔ g(ax + by) = ag(x) + bg(y) Theo k t qu g(x) = cx, v i c ∈ R V y f (x) = cx + d v i d = f (0), c ∈ R tùy ý Th l i th y f (x) = cx + d th a mãn Nh n xét 1.1 Ngoài gi thi t liên t c R c a hàm c n tìm phương trình hàm Cauchy n u thay b ng u ki n khác Bài toán 1.1.3 dư i l p hàm nh n đư c v n không thay đ i 1.1.3 Bài toán phương trình hàm Cauchy u ki n liên t c Ch ng minh r ng n u hàm f : R −→ R th a mãn phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R m t u ki n f liên t c t i m t m x0 ∈ R; (1.3) Khi un = (−1)nc1 + 2nc2 c1; c2 h ng s tùy ý thu c R th a mãn c + c = u = − −1c + 2c = u = ⇔ c1 = −.2 2 c = V y un = −2 (−1)n = (−1)n−1 hay f −1)n (n) = ( − 2 Th l i ta th y hàm f v a tìm đư c th a mãn u ki n đ Vy n (−1)n−1, n ∈ N 3.16 (D a theo báo Toán h c Tu i tr - tháng 11 - S = Tìm t t c hàm f : a R+ −→ R+ th a mãn: g c f (f (x))+f (x) = h [201532016+(201532016).2]x, ∀x ∈ R G i i m ó un +2 + un i c +1 Vi a mix∈ R+ ta b xét dãy i x; un+1 = f (un), ∀n ∈ N T t o g n i l f V ( 320 16 + ( t 320 h 16 t ) 2] un un > 0, t ∀ n i n ) u0 = = [ ∈ N h i m phân bi t x P x i đ S u y = r a ó u n p h n g = c t r ì n h x ( 2 = − ( đ c + t r n g ) n c a + d ã y l ) K c [ − (1 + 20 15 32016 )]n X é t k h n ă n g x y r a l (4) N u c2 > un < v i n l đ l n Mâu thu n v i gi thi t un > N u c2 < un < v i n ch n đ l n Mâu thu n v i gi thi t un > V y ch c2 = un = c1(201532016)n Do u0 = c1(201532016)0 = x ⇔ c1 = x f (x) = (201532016)nx Th l i, hàm f v a tìm đư c th a mãn u ki n c a đ V y hàm f c n tìm f (x) = (201532016)nx 3.3 M t s phương trình hàm d ng khác Trong ph n ta s đưa m t s ví d toán v phương trình hàm mà không th gi i b ng phương pháp đưa v c p s hay phương trình đ c trưng Ví d 3.17 (IMO 1996 ) Tìm t t c hàm f : N −→ N th a mãn: f (m + f (n)) = f (f (m)) + f (n), ∀m, n ∈ N Gi i Đ gi i toán trư c tiên ta s Cho m = n = thay vào (1) ta f (f (0)) = f (f (0)) + f (0) ⇔ f (0) = Cho m = thay vào (1) ta đư c f (f (n)) = f (f (0)) + f (n) 91 (1) ⇔ f (f (n)) = f (n) V y f (n) m b t đ ng c a f v i m i n ∈ N Vì v y (1) tr thành f (m + f (n)) = f (f (m)) + f (n) = f (m) + f (n) Ti p theo ta gi s w ∈ N m b t đ ng c a f B ng qui n p ta s ch kw m b t đ ng c a f, v i m i k ∈ N Th t v y a) V i k = k = hai trư ng h p ta xét trên; b) Gi s kw m b t đ ng c a f, f ((k + 1)w) = f (kw + w) = f (kw + f (w)) = f (kw) + f (w) = kw + w = (k + 1)w Nên (k + 1)w m b t đ ng V y kw m b t đ ng c a f N u f m b t đ ng t i Thì theo ta f (n) = 0, ∀n ∈ N Rõ ràng m t nghi m c a toán M t khác, gi s f w > 0, w ∈ N m b t đ ng nh nh t Ta s ch nh ng m b t đ ng khác d ng kw Th t v y, gi s x m b t đ ng khác c a f mà x d ng x = kw + r ≤ r < w Ta có: x = f (x) = f (kw + r) = f (r + f (kw)) = f (r) + f (kw) = f (r) + kw T ta f (r) = x − kw = r Do r m b t đ ng mà r < w, u mâu thu n v i gi thi t w m b t đ ng nh nh t Do v y r = 0, hay x = kw Theo ta f (n) m b t đ ng v i m i n ∈ N nên f (n) = cnw v i cn ∈ N V i n ∈ N ta bi u di n n = kw + r ≤ r < w Ta f (n) = f (kw + r) = f (r + f (kw)) = f (r) + f (kw) = cr w + kw = (cr + k)w = (cr + [ n ])w w 92 Th t v y, ta cho m = kw + r; n = lw + s v i ≤ r, s < w Thay vào (1) ta f (m + f (n)) = f (kw + r + f (lw + s)) = f (kw + r + (cr + l)w) = crw + kw + csw + lw = f (m) + f (n) Ví d 3.18 ( Theo IMO 1987) Ch ng minh r ng hàm f : N −→ N th a mãn: f (f (n)) = n + 1987, ∀n ∈ N (3) Gi i Gi s t n t i hàm f th a mãn yêu c u toán Gi s ∃n ∈ N cho f (n + 1) = f (n), ta đư c f (f (n + 1)) = f (f (n)) ⇒ n + + 1987 = n + 1987 ⇔ 1988 = 1987 (vô lý) f (n + 1) = f (n),khi x y hai trư ng h p sau a) Gi s f (n + 1) < f (n), ta n + 1987 = f (f (n)) ⇒ f (f (f (n))) = f (n) + 1987 ⇒ f (n+1987) = f (n)+1987 (3a) Mà f (n) > f (n + 1) nên f (n) ≥ f (n + 1) + Suy f (n) ≥ f (n+1)+1 ≥ f (n+2)+2 ≥ ≥ f (n+1987)+1987 Theo (3a) ta f (n + 1987) − 1987 ≥ f (n + 1987) + 1987 (vô lý) b) Gi s f (n + 1) > f (n), ∀n ∈ N, hay f (n + 1) ≥ f (n) + 1, ∀n ∈ N T f (n + 1987) ≥ f (n + 1986) + ≥ ≥ f (n) + 1987 93 (3b) N u f (n + 1987) > f (n) + 1987 f tăng nghiêm ng t nên f (f (n + 1987)) > f (f (n) + 1987) ≥ f (f (n)) + 1987 Do n + 2.1987 > n + 2.1987 (Vô lý) T (3b) ta f (n + 1987) = f (n) + 1987, d u b ng (3b) x y ra, t c la f (n + 1) = f (n) + = f (n − 1) + = = f (1) + n ⇒ f (n) = n + f (1) − = n + a v i a = f (1) − ∈ Z Mà f (f (n)) = n + 2a = n + 1987 ⇒ a = 1987 ∈ Z 2/ V y hàm f th a mãn yêu c u c a Bài toán Ví d 3.19 ( D a theo IMO 1987) Tìm hàm f : N −→ N th a mãn: f (f (n))+f (n) = 2n+3, ∀n ∈ N Gi i Gi s t n t i hàm s th a mãn yêu c u toán V i n = ta f (f (0)) + f (0) = 2.0 + ⇒ ≤ f (0) ≤ a) N u f (0) = f (f (0)) + f (0) = = 3, mâu thu n b) N u f (0) = f (2) + = ⇒ f (2) = Mà f (1) = f (f (2)) = 2.2 + − f (2) = 6, t f (6) = f (f (1)) = 2.1 + − f (1) = −1 ∈ N / V y f (0) = c) N u f (0) = tương t ta ch ng minh đư c f (0) = 94 (4) d) N u f (0) = ta f (f (0)) + f (0) = ⇒ f (1) = f (f (0)) = = + f (f (1)) + f (1) = 2.1 + ⇔ f (2) = − = = + Khi ta s ch ng minh hàm s c n tìm f (n) = n + Th t v t b ng phương pháp qui n p ta có: V i n = f (0) = Gi s kh ng đ nh v i n = k, (k ∈ N), t c f (k) = k + V i n = k + ta f (k+1) = f (f (k)) = 2k+3−f (k) = 2k+3−k−1 = k+2 = (k+1)+1 V y kh ng đ nh v i n = k + 1, Th l i ta th y hàm v a tìm đư c th a mãn yêu c u c a đ V y nghi m c a toán là: f (n) = n + 1, n ∈ N Ví d 3.20 Tìm t t c hàm s f : N∗ −→ N∗ th a mãn: f (1) = f (2n) = 2f (n) − 1, ∀n ∈ N∗ f (2n + 1) = 2f (n) + 1, ∀n ∈ N∗ Gi i Gi s t n t i hàm s th a mãn yêu c u toán T gi thi t ta f (1) = 1; f (2) = 1; f (3) = 3; f (4) = 1; f (5) = 3; f (6) = 5; f (7) = 95 7; f (8) = 1; f (9) = 3; f (11) = 7; f (12) = 9; f (13) = 11; f (14) = 13; f (15) = 15; f (16) = 1; Sau tính toán đư c m t s giá tr c a hàm f (n) h 10, ta v n chưa tìm đư c qui lu t c a f (n) Tuy nhiên n u vi t h s ta f (12) = 12 = 1.20 = f (1) = f ((1)2) = 12 = 1.20 = f (2) = f ((10)2) = (01)2 = 0.21 + 1.20 = f (3) = f ((11)2) = (11)2 = 1.21 + 1.20 = f (4) = f ((100)2) = (001)2 = 0.22 + 0.21 + 1.20 = f (5) = f ((101)2) = (011)2 = 0.22 + 1.21 + 1.20 Ta th y r ng: N u n bi u di n h nh phân n = (akak−1 a1)2 v i ak = f ((akak−1 a1)2) = (ak−1 a1ak)2 = ak−1.2k−1 + + a1.20 + ak.20 Ta s ch ng minh nh n xét b ng qui n p Ta th y (*) v i n ≤ Gi s (*) v i n = m, (m ≥ 6) Ta s ch ng minh (*) v i n = m + a) N u m + s ch n, ta đ t m + = 2q v i q = (akak−1 a1)2 m + = 2q = (akak−1 a1)2 Ta đư c f (m + 1) = f (2q) = 2f (q) − = 2(ak−1.2k−1 + + a1.21 + ak.20) − = (ak−1 a101)2 = (ak−1 a10ak)2 b) N u m + s l , ta đ t m + = 2q + v i q = (akak−1 a1)2 m + = 2q = (akak−1 a11)2 Ta đư c f (m + 1) = f (2q + 1) = 2f (q) + 96 (∗) = 2(ak−1.2k−1 + + a1.21 + ak.20) + = (ak−1 a111)2 = (ak−1 a11ak)2 V y (*) v i n = m + Do n bi u di n h nh phân n = (akak−1 a1)2 v i ak = f ((akak−1 a1)2) = (ak−1 a1ak)2 = ak−1.2k−1 + + a1.20 + ak.20 Th l i th y hàm s th a mãn u ki n toán Ví d 3.21 Tìm t t c hàm s f : N∗ −→ N∗ th a mãn: f (1) > f (m2 + n2) = f 2(m) + f 2(n), ∀m, n ∈ N Gi i Gi s t n t i hàm s th a mãn yêu c u toán a) V i m = n = ta f (0) = 2f (02) ⇔ f (0) = f (0) = (lo i f (0) ∈ N ) b) V i n = ta f (m2) = f 2(m) Khi f (m2 + n2) = f (m)2 + f (n)2 Ta nh n xét sau: f (1) = f 2(1) ⇒ f (1)(1 − f (1)) = ⇒ f (1) = (f (1) > 0) f (2) = f (12 + 12) = f 2(1) + f 2(1) = f (4) = f (22) = f 2(2) = f (5) = f (22 + 12) = f 2(2) + f 2(1) = + = f (25) = f (52) = f 2(5) = 25 = f (32 + 42) Vy f (3) = 97 Tương t ta tính đư c f (6) = 6; f (7) = 7; f (8) = 8; f (9) = 9; f (10) = 10 V y f (n) = n v i n < 10, b ng quy n p ta s ch ng minh đư c f (n) = n, ∀n ∈ N Th t v y, gi s f (k) = k v i k ≥ 10 Ta ch ng minh f (k + 1) = k + Ta th y r ng (k + 1) d ng sau 5m + r, ≤ r ≤ 4, m, r ∈ N Ta đ ng th c sau: (5m)2 = (4m)2 + (3m)2 (5m + 1)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m − 1)2 (5m + 2)2 + 12 = (4m + 1)2 + (3m + 2)2 (5m + 3)2 + 12 = (4m + 3)2 + (3m + 1)2 (5m + 4)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m + 4)2 V i k + = 5m f 2(5m) = f ((5m)2) = f 2(4m) + f 2(3m) = (5m)2 ⇒ f (5m) = 5m V i k + = 5m + f 2(5m) = f ((5m)2 + 22) = f ((4m + 2)2) + f ((3m − 1)2) = f 2(4m) + f 2(3m) = f 2(5m + 1) = (5m + 1)2 ⇒ f (5m + 1) = 5m + V i k + = 5m + f 2(5m + 2) = f ((5m + 2)2 + 12) = f ((4m + 1)2) + (3m − 1)2) ⇒ f (5m + 2) = 5m + V i k + = 5m + f 2(5m + 3) = f ((5m + 3)2 + 12) = f ((4m + 3)2) + (3m + 1)2) ⇒ f (5m + 3) = 5m + V i k + = 5m + f 2(5m + 4) = f ((5m + 3)2 + 12) = f ((4m + 3)2) + (3m + 4)2) ⇒ f (5m + 4) = 5m + 98 V y f (k + 1) = k + Do f (n) = n, ∀n ∈ N Th l i ta th y hàm f th a mãn u ki n c a đ 99 K t lu n Lu n văn trình bày đ t đư c m t s k t qu sau Đưa m t s Bài toán b n c a phương trình hàm bao g m Bài toán Cauchy nghi m c a Bài toán đó, t ng quát hóa gi i toán mi n xác đ nh khác Sau em trình bày ví d s d ng k t qu c a Bài toán b n Trình bày m t vài phương pháp b n đ gi i Phương trình hàm M i phương pháp em l y ví d đ minh h a Ch d u hi u c a t ng d ng Phương trình đ s d ng phương pháp cho hi u qu nh t Trình bày m t vài d ng khác c a Phương trình hàm, phương trình hàm mi n xác đ nh đ c bi t t p s t nhiên oTuy nhiên, khuôn kh c a lu n văn th c sĩ s hi u bi t c a b n thân h n ch , tài li u ti ng Vi t v Phương trình hàm chưa nhi u nên ch c ch n Lu n văn nhi u thi u sót Vì v y, r t mong đư c s góp ý c a quý th y b n đ Lu n văn đư c hoàn ch nh 100 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Văn M u, Phương Trình Hàm, Nhà xu t b n Giáo D c, 1999 [2] Nguy n Văn M u, T p Bài gi ng v Phương Trình Hàm [3] ThS.Nguy n Tài Chung - ThS NGƯT Lê Hoàng Phò Chuyên Kh o Phương Trình Hàm, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c Gia Hà N i, 2013 [4] Marko Radovanovic, Function Equations,The Authors and IMO compediu Group, 2007 [5] Function Equations, IMO maths.com 101 ... a phương trình hàm C u trúc c a phương trình hàm g m ba ph n Phương trình hàm b n ví d M t vài phương pháp gi i phương trình hàm Phương trình hàm v i t p xác đ nh t p s t nhiên Phương trình hàm. .. ĐU PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ C U TRÚC C A LU N VĂN Phương trình hàm phương trình n s m t hàm s đó, vi c gi i phương trình hàm tìm hàm s th a mãn u ki n c a đ bài, m i hàm s th a mãn phương trình hàm. .. s phương pháp b n gi i phương trình hàm Trong chương em trình bày m t s d ng thư ng g p c a phương trình hàm m t s phương pháp b n đ gi i phương trình hàm ví d áp d ng Chương Phương trình hàm
- Xem thêm -

Xem thêm: Luận văn một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải , Luận văn một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải , Luận văn một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay