Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN MAI TH THU NHÀN M TS PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH CH A N DƯ I D U CĂN LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C HÀ N I - 2015 Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - MAI TH THU NHÀN M TS PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH CH A N DƯ I D U CĂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ c p Mã s : 60460113 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C TS PH M VĂN QU C Hà N i - Năm 2015 M cl c M đu M t s ki n th c chu n b 1.1 M t s công th c c n nh 1.2 Ví d m đ u M t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u 2.1 Phương pháp 1: Bi n đ i tương đương 2.2 Phương pháp 2: Nhân liên h p 2.3 Phương pháp 3: Đ t n ph 2.3.1 Đ t n ph đưa v phương trình theo n ph m i 2.3.2 Đ t n ph đưa v phương trình tích, phương trình đ ng c p b c hai, b c ba 2.3.3 " n ph không hoàn toàn" 2.3.4 Đ t n ph đưa v h phương trình 2.3.5 Phương pháp lư ng giác hóa 2.4 Phương pháp : S d ng tính đơn u c a hàm s 2.5 Phương pháp 5: S d ng b t đ ng th c 2.5.1 S d ng b t đ ng th c lũy th a 2.5.2 S d ng m t s b t đ ng th c quen thu c so sánh v c a phương trình M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u 3.1 Xây d ng theo phương pháp bi n đ i tương đương 3.2 Xây d ng t nghi m ch n s n phương pháp nhân liên h p 3.3 Xây d ng t phương trình b c hai 3.4 Xây d ng t phương trình tích, đ ng th c 3.4.1 Xây d ng t phương trình tích 3.4.2 Xây d ng t đ ng th c 3.5 Xây d ng t phép "đ t n ph không hoàn toàn" 3.6 Xây d ng t h phương trình 3.7 Xây d ng d a vào hàm s lư ng giác phương trình lư ng giác 3.8 Xây d ng d a theo hàm đơn u 3.8.1 D a theo tính ch t c a hàm đơn u 5 11 11 13 20 21 28 32 37 43 46 51 51 55 59 59 60 62 64 64 64 66 67 69 71 71 M CL C 3.8.2 D a vào c lư ng c a hàm đơn u 72 K t lu n 76 Tài li u tham kh o 77 M đu Phương trình ch a n dư i d u m t l p toán có v trí đ c bi t quan tr ng chương trình toán h c b c ph thông Nó xu t hi n nhi u đ thi h c sinh gi i kỳ thi n sinh vào đ i h c H c sinh ph i đ i m t v i r t nh u d ng toán v phương trình ch a n dư i d u mà phương pháp gi i chúng l i chưa đư c li t kê sách giáo khoa Đó d ng toán v phương trình ch a n dư i d u gi i b ng phương pháp đ t n ph không hoàn toàn, d ng n ph lư ng giác hóa, Vi c tìm phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u ni m say mê c a không ngư i, đ c bi t nh ng ngư i tr c ti p d y toán Chính v y, đ đáp ng nhu c u gi ng d y h c t p, tác gi ch n đ tài "M t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u căn" Đ tài nh m m t ph n đáp ng nhu c u mong mu n c a b n thân v m t đ tài phù h p mà sau có th ph c v thi t th c cho vi c gi ng d y c a nhà trư ng ph thông Lu n văn đư c ho n thành dư i s hư ng d n tr c ti p c a TS Ph m Văn Qu c.Tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn chân thành sâu s c đ n ngư i th y c a mình, ngư i nhi t tình hư ng d n, ch b o mong mu n đư c h c h i th y nhi u n a Tác gi xin chân thành c m ơn quý th y cô Ban giám hi u, Phòng đào t o Đ i h c sau Đ i h c Trư ng Đ i h c Khoa h c T Nhiên, Đ i h c Qu c Gia Hà N i, quý th y cô tham gia gi ng d y khóa h c, toàn th h c viên khóa 20131015 t o m i u ki n, giúp đ tác gi su t trình h c t p nghiên c u đ tác gi hoàn thành khóa h c hoàn thành b n lu n văn Lu n văn g m ph n m đ u, ba chương, ph n k t lu n danh m c tài li u tham kh o Chương M t s ki n th c chu n b Chương M t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u M CL C M c dù c g ng r t nhi u nghiêm túc trình nghiên c u, th i gian trình đ h n ch nên k t qu đ t đư c lu n văn r t khiêm t n không tránh kh i thi u xót Vì v y tác gi mong nh n đư c nhi u ý ki n đóng góp, ch b o quý báu c a quý th y cô, b n h c viên đ lu n văn đư c hoàn thi n Hà N i, tháng 08 năm 2015 H c viên th c hi n Mai Th Thu Nhàn Chương M t s ki n th c chu n b 1.1 M t s công th c c n nh Căn b c hai b c ba c a m t tích √ √3 ab = |a| |b| v i a, b ∈ R, ab ≥ √√ ab = a b v i a, b ∈ R Căn b c hai b c ba c a m t thương |a| v i a, b ∈ R, ab ≥ 0, b = a= b |b| √ a= a √3b b v i a, b ∈ R, b = Căn c a m t lũy th a √ √m n ∗ ∗ a = a m = ( n a)m, v i a ∈ R ; m, n ∈ N , n ≥ + n Căn nhi u l p n √ m √n m a= √n a= m ∗ ∗ a v i a ∈ R ; m, n ∈ N ; m, n ≥ + Đưa m t th a s d u b c hai √ √2 a b = |a| b, v i a ∈ R, b ∈ R+ Đưa m t th a s vào d u b c hai √ √ a b = a2.b a, b ≥ 0; a, b ∈ R √ √ a b = − a2.b a ≤ 0, b ≥ 0; a, b ∈ R Tích c a hai √√ √ m n a a = a a = a + = a m + n = mn a + = ( a)m+n m n m m mn 1 n ∗ n ∗ v i a ∈ R ; m, n ∈ N ; m, n ≥ + mn √ Thương c a hai √ m √a = a = am − = anmnm = mn an−m = ( mn a)n−m m n − a √ n an √ Chương M t s ki n th c chu n b ∗ ∗ v i a ∈ R ; m, n ∈ N ; m, n ≥ + √ √ 10 11 12 A=B⇔ B≥0 A = B2 √ A≥0 A= B⇔ A = B A= B ⇔ A = B √3 √3 √3 A = B ⇔ A = B 13 Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng n) đư c g i tương đương n u chúng có m t t p nghi m N u phương trình f1(x) = g1(x) tương đương v i phương trình f2(x) = g2(x) ta vi t f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x) Khi mu n nh n m nh hai phương trình có t p xác đ nh D (hay có u ki n xác đ nh mà ta kí hi u D) tương đương v i nhau, ta nói - Hai phương trình tương đương v i D, ho c - V i u ki n D, hai phương trình tương đương v i Ch ng h n v i x > 0, hai phương trình x2 = x = tương đương v i Trong phép bi n đ i phương trình, đáng ý nh t phép bi n đ i không làm thay đ i t p nghi m c a phương trình Ta g i chúng phép bi n đ i tương đương Như v y, phép bi n đ i tương đương bi n m t phương trình thành phương trình tương đương v i nó.Ch ng h n, vi c th c hi n phép bi n đ i đ ng nh t m i v c a m t phương trình không thay đ i t p xác đ nh c a m t phép bi n đ i tương đương 14 Hàm s đ ng bi n, hàm s ngh ch bi n Hàm s y = f(x) đư c g i đ ng bi n (tăng) kho ng (a,b) n u v i ∀x1,x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1) < f (x2) Hàm s y = f(x) đư c g i ngh ch bi n (gi m) kho ng (a,b) n u v i ∀x1,x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1) > f (x2) Hàm s y = f(x) đ ng bi n ho c ngh ch bi n (a,b), ta nói hàm s y = f (x) đơn u (a,b) Đ nh lý Gi s hàm s y = f(x) có đ o hàm (a,b) Khi : Chương M t s ki n th c chu n b - Hàm s y = f(x) đ ng bi n (a,b) ⇔ f,(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) f,(x) = ch x y t i m t s h u hãn m (a,b) - Hàm s y = f(x) đ ng bi n (a,b) ⇔ f,(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) f,(x) = ch x y t i m t s h u hãn m (a,b) - N u f,(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) f liên t c [a, b] y = f(x) đ ng bi n [a, b] - N u f,(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) f liên t c [a, b] y = f(x) ngh ch bi n [a, b] 15 H phương trình đ i x ng lo i I f (x, y) = (I) v i f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x) g(x, y) = Phương pháp gi i y S = x + đưa h phương trình m i v i n P = xy Bi n đ i v t ng, tích đ t S,P Gi i h phương trình m i tìm đư c S, P u ki n có nghi m (x, y) S2 ≥ 4P Tìm nghi m (x, y) b ng cách gi i phương trình X2 − SX + P = ho c nh m nghi m v i S, P đơn gi n 16 H phương trình đ i x ng lo i II f (x, y) = (y, x) = (1) f (2) Phương pháp gi i Tr (1) (2) v cho v ta đư c h phương trình m i f (x, y) − f (y, x) = (x, y) = (3) f (1) x=y g(x, y) = Bi n đ i (3) v phương trình tích (x − y).g(x, y) = ⇔ Khi gi i hai trư ng h p f (x, y) = ∨ x=y f (x, y) = g(x, y) = Gi i h ta tìm đư c nghi m c a h cho 17 M t s công th c lư ng giác hay dùng cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = − sin2 x sin 2x = sin x cos x Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u √ Ví d 3.12 Ta ch n t = x2 + 2, f(x) = 3, g(x) = x − Ta có toán gi i phương trình vô t sau Bài toán Gi i phương trình x2 + − x2 + x = + x2 + Hư ng d n Đ gi i trư c h t bi n đ i phương trình v d ng (x2 + 2) − (2 + x) Sau đ t t = √ x2 + − + x = x2 + 2, phương trình cho tr thành t2 − (2 + x)t − + 3x = Có th nh m nghi m ho c tính ∆, đư c nghi m t = 3, t = x − Sau tìm x v i giá tr t v a tìm đư c Như v y ta có th sáng t o nhi u toán d a cách xây d ng 3.6 Xây d ng t h phương trình • Xét h phương trình t ng quát d ng b c hai (αx + β)2 = ay + b (αy + β)2 = ax + b Ta s xây d ng lên m t phương trình √ T phương trình th hai h ta có αy + β = ax + b, thay vào phương trình đ u tiên c a h ta có phương trình (αx + β)2 = a ax + b + b − βαa √ α V y đ có m t phương trình vô t b ng cách đưa v h đ i x ng lo i II, ta ch c n ch n α, β, a, b phù h p v i m c đ khó d c a toán (x + 1)2 = y + (y + 1)2 = x + Ví d 3.13 Ta xét phương trình đ i x ng lo i II sau Vi c gi i h phương trình đơn gi n Bây gi ta s bi n h thành phương trình b ng cách đ t y = f(x) √ cho phương trình th hai h V y y = x + − 1, thay vào phương trình đ u c a h phương trình ta có phương trình √ (x + 1)2 = ( x + − 1) ho c x2 + 2x = x + 67 √ Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u T ta có toán sau Bài toán Gi i phương trình x2 + x = √ x + Ví d 3.14 Ta xây d ng toán sau Ch n α = 2, β = −3, a = 4, b = Ta có phương trình √ (2x − 3)2 = 4x + + 11 hay 2x2 − 6x − = 4x + √ Khi ta có toán sau Bài toán Gi i phương trình √ 2x2 − 6x − = 4x + Hư ng d n Bi n đ i phương trình d ng √ (2x − 3)2 = 4x + + 11 (2x − 3)2 = 4y + √ Sau đ t 2y − = 4x + đ đư c h phương trình Suy (x − y)(x + y − 1) = √ V i x = y 2x − = 4x + 5, suy x =√+ (2y − 3)2 = 4x + √ V i x + y − = y = 1, suy x = − 3.15 Ta s s d ng phương pháp l p đ sáng tác phương trình t √ Ví d 4x = √ 30 + u 4u = x + 30 √ h phương trình đ i x ng lo i II Xu t phát t s d ng phép th ta đư c phương trình 4x = 30 + x + 30 T phương trình ta l i thu đư c h phương trình đ i x ng lo i II   u = 30 + 1√x + 30 4    x=  30 + u + 30 √ T h này, ti p t c s d ng phép th ta thu đư c phương trình 4x = Ta có toán sau 30 + 30 + 30 + x + 30 √ Bài toán (Đ d b Olympic 30/4 Chuyên Hùng Vương) 68 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u Gi i phương trình 4x = 30 + Bài toán đư c gi i ví d • N u xét h 30 + x + 30 √ 30 + 4 chương (αx + β)3 = ay + b (αy + β)3 = ax + b T phương trình dư i ta đư c √ αy + β = ax + b ⇔ y = ax + b − β α √3 α Thay vào phương trình c a h , ta đư c √ (αx + β) = a ax + b − aβ + b α α Ví d 3.16 Ch n α = 1, β = 1, a = 3, b = ta đư c √ (x + 1)3 = 3 3x + + Ta có toán sau Bài toán (Đ ngh Olympic 30/04/2009) Gi i phương trình √ x3 + 3x2 − 3 3x + = − 3x Hư ng d n Phương trình cho tương đương Đ t y+1= √ (x + 1)3 = 3 3x + + (x + 1)3 = 3y + (y √3 3x + Ta có h + 1)3 = 3x + (1) (2) L y (1) tr (2) theo v ta đư c (x + 1)3 − (y + 1)3 = −3(x − y) ⇔ x = y Thay vào (1) gi i tìm đư c x = 1, x = −2 nghi m 3.7 Xây d ng d a vào hàm s lư ng giác lư ng giác phương trình T m t phương trình lư ng giác đơn gi n đó, k t h p v i phép bi n đ i lư ng giác s t p đư c phương trình ch a n dư i d u hay 69 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u Như t công th c lư ng giác cos 3t = sin t, ta có th t o ta đư c phương trình vô t T cos 3t = 4cos3t − cos t ta có phương trình vô t 4x3 − 3x = − x2 (3.1) Ta có th thay x phương trình (3.1) b i bi u th c ví d (x−1), , x ta s có phương trình khó Tương t v y t công th c sin 3x, sin 4x ta có th xây d ng phương trình vô t theo ki u lư ng giác t Ví d 3.17 T phương trình lư ng giác cos 3t = cos , v i t ∈ [0; π] Ta th y phương trình tương đương v i cos3 t − cos t = Đ t x = cos t ta đư c toán sau Bài toán (Đ ngh Olympic 30/04/2006) Gi phương trình √ x3 − 3x = 2(1 + cos t) x + Hư ng d n Đi u ki n x ≥ −2 N u x > √ x3 − 3x = x + x(x2 − 4) > x > 2x = √ x+x> √ x + V y x > không th a mãn, đ gi i phương trình cho ch c n xét −2 ≤ x ≤ Khi đ t x = cos t, t ∈ [0; π] Thay vào phương trình cho, ta đư c cos3 t − cos t = 2(1 + cos t) ⇔ cos3 t − cos t = cos t  t ⇔ cos 3t = cos  t= k4π t = k4π (k ∈ Z) 4π , t = 4π K t h p t ∈ [0; π], ch l y t = 0, t = √ Ví d 3.18 T phương trình lư ng giác t + sin t = 2 công th c √ cos sin2 t + cos2 t = 1, suy sin t = − cos2 t Thay cos t = x, ta có m t phương trình sau + √ = 2 √ Khi đó, ta có toán sau Bài toán Gi i phương trình x √ 1+√ x − x2 = 2 70 1−x Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u Hư ng d n Phương trình đư c gi i theo phương pháp đ t n ph lư ng giác Ví d 3.19 T phương trình + sin t = cos6 t + sin6 t thay th cos t b i x, ta đư c phương trình 5+3 − x2 = x6 + − x2 − x2 = x6 + − x2 Nên ta có toán sau Bài toán Gi i phương trình 5+3 Hư ng d n T u ki n −1 ≤ x ≤ 1, ta đ t x = cos t, t ∈ [0; π] ta thu đư c phương trình + sin t = sin6 t + cos6 t ⇔ + sin t = 8(1 − sin2 t cos2 t) ⇔ sin t = − 24 sin2 t cos2 t ⇔ sin t = − sin2 t cos2 t ⇔ cos π − t = cos 4t Đây phương trình lư ng giác b n, ta tìm t, sau suy đư c x 3.8 Xây d ng d a theo hàm đơn u 3.8.1 D a theo tính ch t c a hàm đơn u D a vào tính ch t "N u hàm s y = f(x) đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) liên t c D s nghi m D c a phương trình f(x) = a không vó nhi u m t nghi m ∀u, v ∈ D : f(u) = f(v) ⇔ u = v " Ta có th xây d ng đư c phương trình ch a n dư i d u th c Ví d 3.20 Xét hàm s f(t) = t3 + 2t đ ng bi n R Cho f Ta đư c −x3 + 9x2 − 19x + 11 = f (x − 1) √ −x3 + 9x2 − 19x + 11 + −x3 + 9x2 − 19x + 11 = (x − 1)3 + 2(x − 1) Khai tri n rút g n ta đư c toán sau Bài toán (Đ ngh Olympic 30/04/2009) Gi i phương trình x3 − 6x2 + 12x − = −x3 + 9x2 − 19x + 11 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u √3 Hư ng d n Đ t y = −x3 + 9x2 − 19x + 11 Ta có h y3 = −x33 + 9x22 − 19x + 11 ⇔ y = x − 6x + 12x − y3 = −x33 + 9x22− 19x + 11 2y = 2x − 12x + 21x − 14 C ng v v i v c a hai phương ta đư c y3 + 2y = x3 − 3x2 + 5x − ⇔ y3 + 2y = (x − 1)3 + 2(x − 1) Xét hàm đ c trưng f(t) = t3 + 2t, ch ng minh hàm đ ng bi n R sau dùng phương pháp s d ng tính đơn u c a hàm s đ gi i Ví d 3.21 T hàm đơn u y = f(x) = 2x3 + x2 + v i m i x ≥ 0, ta xây d ng đư c phương trình f (x) = f √ √ 3x − hay 2x3 + x2 + = 3x − + (3x − 1)2 + Rút g n ta đư c phương trình √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Nên ta có toán sau Bài toán Gi i phương trình √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − 3.22 T hàm s đ ng bi n R, f(t) = t3 + t t phương trình √ f 7x + 9x − = f (x + 1) Ta xây d ng đư c toán sau Ví d Bài toán Gi i phương trình 7x2 + 9x − x3 − 42 − 5x + = Hư ng d n Bài toán đư c gi i theo phương pháp s d ng phương pháp hàm s Gi i phương trình ta có nghi m phương trình nghi m c a phương trình x+1= √ Suy x = ho c x = 3.8.2 7x2 + 9x − −1 ± D a vào c lư ng c a hàm đơn u Đ d s d ng k t h p nhi u c lư ng xây d ng m t s c lư ng b n như: 72 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u −1 ≤ √x − − x ≤ √ Hàm s f(x) = √x − − x hàm đơn u tăng [0; 1] √ Nên ta có −1 = f(0) ≤ f(x) ≤ f(1) = −1 ≤ √x − − x ≤ √ Hàm s f(x) = √x − − x hàm tăng [0; 1] √ Nên ta có −1 = f(0) ≤ f(x) ≤ f(1) = −1 ≤ √x − − x ≤ √ Hàm s f(x) = √x − − x hàm tăng liên t c [0; 1] √ Nên ta có −1 = f(0) ≤ f(x) ≤ f(1) = √ ≤ x + ≤ √ 2+ 1−x √ Hàm s f(x) = √x + hàm tăng [−3; 1] 2+ 1−x Nên ta có = f(−3) ≤ f(x) ≤ f(1) = √4 ≤ x√+ 15 ≤ 2+ 1−x √ Hàm s f(x) = 15 x√+ hàm tăng [−15; 1] 2+ 41−x Nên ta có = f(−15) ≤ f(x) ≤ f(1) = + √x − + − x ≤ √ Hàm s f(x) = + √x − + − x hàm tăng [0; 1] √ Nên ta có f(x) ≤ f(1) = √ √ − x ≤ √ √ Hàm s f(x) = x + − + − x hàm tăng [−3; 1] Nên ta có f(x) ≤ f(1) = 1+ x+3− √ x + − x ≤ √ √ Ta có x ≤ x, − x ≤ − x √ √ Suy x + − x ≤ x + − x = √ D u đ ng th c đ t đư c x = 0, x = S d ng b t đ ng th c gi a trung bình c ng trung bình nhân, ta nh n đư c √ 2x − ≤ x√ Vì x − ≤ 2x −21 + = x x D u đ ng th c x y x = 73 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u 10 √4 4x − ≤ x√ Vì x − ≤ 4x − +41 + + = x x D u đ ng th c x y x = √ 11 x − ≤ x√ Vì x − ≤ 6x − + +41 + + + = x x D u đ ng th c x y x = √ 12 x + − x ≤ √ √ x + − x = 2 D u đ ng th c x y x = Vì x + − x ≤ √ √ 13 x + − x ≤ √ √ Vì x + − x ≤ x + − x = √ D u đ ng th c x y x = √ 14 x + − x2 ≤ Vì x+ √ − x2 ≤ |x| + √ √ √ − x2 = x2 + − x2 ≤ D u đ ng th c x y x = x2 + − x2 = 2 √ 15 x + − x4 ≤ Vì √4 − x 4 √4 − x ≤ |x| + x+ √4 √ 4 4 = x + 2−x ≤ x + − x = D u đ ng th c x y x = √ 16 x + − x6 ≤ Vì √ √6 √ −x = D u đ ng th c x y x = x+ − x ≤ |x| + √ 6 x + − x6 ≤ x + − x = 6 Ta g i c lư ng b n Có th t o đư c r t nhi u c lư ng b n theo cách Ta xây d ng phương trình ch a n dư i d u sau Cách C ng hai hay nhi u c lư ng b n 74 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u Ví d 3.23 Gi i phương trình √ √ √ √ √ x + x + x = + − x + − x + − x √ Gi i Đi u ki n ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương √ √ √ √ √ x − − x + x − − x + x − − x = √ S d ng c lư ng b n ta thu đư c v trái ≤ 3, d u đ ng th c x y ch x = V y phương trình có nghi m x = Ví d 3.24 Gi i phương trình √ 2x − + √4 4x − + √6 6x − = 3x Gi i Đi u ki n x ≥ Phương trình cho tương đương √ 2x − + x √4 4x − + x √6 6x − = x S d ng c lư ng b n ta thu đư c v trái ≤ 3, d u b ng x y ch x = V y phương trình có nghi m x = Cách Nhân c lư ng b n dương ta thu đư c phương trình ch a Ví d 3.25 Gi i phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 Hư ng d n Đi u ki n x ≤ Phương trình cho tương đương √ √4 √6 6x − = (vì x3 = 0) 2x − 4x − x x x V trái nh ho c b ng D u b ng x y ch x = 75 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u K t lu n Lu n văn "M t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u căn" gi i quy t đư c nh ng v n đ sau : - H th ng đư c m t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u - Đưa đư c m t s cách xây d ng, sáng t o phương trình ch a n dư i d u m i K t qu c a lu n văn đóng góp vào vi c nâng cao ch t lư ng d y h c môn Toán trư ng trung h c ph thông giai đo n hi n 76 Chương M t s cách xây d ng phương trình ch a n dư i d u TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy n Văn M u, 1993, Phương pháp gi i phương trình b t phương trình, NXB Giáo D c [2] Nguy n Văn M u, 2002, Đa th c đ i s phân th c h u t , NXB Giáo D c [3] Nguy n Vũ Lương, 2008„ H phương trình phương trình ch a th c, NXB Đ i H c Qu c Gia Hà N i [4] Nguy n Tu n Anh, 2014, M t s phương pháp gi i phương trình vô t ,NXB Giáo D c [5] T p chí toán h c tu i tr [6] Các chuyên đ phương pháp gi i phương trình m ng Internet [7] Tuy n t p đ thi Olympic 30-4, NXB Đ i H c Sư Ph m 77 ... đ u M t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u 2.1 Phương pháp 1: Bi n đ i tương đương 2.2 Phương pháp 2: Nhân liên h p 2.3 Phương pháp 3: Đ t n... phương trình cho v phương trình mà ta bi t cách gi i 10 Chương M t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u 2.1 Phương pháp 1: Bi n đ i tương đương N i dung c a phương pháp lũy th a hai... = 19 30 Thay x = vào phương trình cho ⇒ −2 = (vô lý) 12 Chương M t s phương pháp gi i phương trình ch a n dư i d u Thay x = 19 vào phương trình cho th a mãn 30 V y phương trình cho có nghi m