Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN Đ NG VĂN TI N M TS K T QU V Đ NH LÝ PALEY - WIENER Chuyên ngành : TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60 46 01 02 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c : TS VŨ NH T HUY Hà N i - 2015 L i cám ơn Trư c trình bày n i dung c a lu n văn, xin bày t lòng bi t ơn chân thành sâu s c c a t i TS Vũ Nh t Huy, ngư i t n tình giúp đ ch b o su t trình hoàn thành lu n văn t t nghi p Tôi xin chân thành cám ơn s giúp đ c a th y giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i Khoa sau đ i h c, nhi t tình truy n th ki n th c t o u ki n giúp đ hoàn thành khóa Cao h c Tôi xin bày t lòng bi t ơn đ n gia đình, b n bè đ ng viên khuy n khích r t nhi u th i gian nghiên c u h c t p Do m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c h n ch v th i gian th c hi n nên lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót Tôi kính mong nh n đư c ý ki n đóng góp c a th y cô b n đ lu n văn đư c hoàn thi n Hà N i, 11/2015 Đ ng Văn Ti n M cl c M đu CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ B N VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY R NG 1.1 Không gian hàm b n ∆(Rn) 1.2 1.3 Không gian hàm suy r ng ∆ (Rn) C p c a hàm suy r ng 1.4 Không gian hàm gi m nhanh Σ (Rn) 10 1.5 Không gian hàm suy r ng tăng ch m Σ (Rn) 11 Giá c a hàm suy r ng 13 1.6 1.7 1.8 Không gian hàm suy r ng v i giá compact Ε (Rn) 14 Tích ch p 15 1.9 Phép bi n đ i Fourier 16 1.9.1 Phép bi n đ i Fourier không gian hàm gi m nhanh Σ (Rn) 16 1.9.2 Phép bi n đ i Fourier không gian Σ (Rn) Ε (Rn) 23 D NG PH C C A Đ NH LÝ PALEY- WIENER 2.1 D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) 25 2.2 D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c Ε (Rn) 28 D NG TH C C A Đ NH LÝ PALEY- WIENER 3.1 25 30 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) 30 3.1.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact b t kì 30 3.1.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i dãy s 35 3.1.3 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa th c 40 3.1.4 3.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i 42 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c Ε (Rn) 43 3.2.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact b t kì 43 3.2.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i dãy s 48 3.2.3 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa th c 50 3.2.4 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i 51 K t lu n 53 Tài li u tham kh o 53 M đu Bi n đ i Fourier đư c đ t tên theo nhà toán h c ngư i Pháp Joseph Fourier, m t nh ng hư ng nghiên c u quan tr ng c a Toán h c nói chung c a Gi i tích nói riêng Phép bi n đ i Fourier m t l p nh ng phép bi n đ i tích phân ph bi n nh t, có ng d ng r ng rãi nh t Lu n văn đ c p t i nghiên c u m t s tính ch t c a hàm kh vi vô h n thông qua giá c a bi n đ i Fourier V n đ có ý nghĩa r t l n đ i v i ng d ng vào gi i quy t nh ng toán khó khác Gi i tích hàm, Phương trình vi phân đ o hàm riêng, Lý thuy t hàm suy r ng, Lý thuy t nhúng, Lý thuy t x p x , Lý thuy t sóng nh Ngoài ph n m đ u, k t lu n tài li u tham kh o, lu n văn đư c chia làm ba chương: Chương 1: Các không gian hàm b n không gian hàm suy r ng Chương lu n văn trình bày nh ng ki n th c b n v không gian hàm b n, không gian hàm suy r ng, tích ch p c a hàm suy r ng, phép bi n đ i Fourier c a m t hàm b n, c a hàm suy r ng, đ nh lý k t qu liên quan đ n lu n văn làm s đ xây d ng n i dung chương ti p theo Chương 2: M t s k t qu v d ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener Chương lu n văn đưa u ki n c n đ đ m t hàm s bi n đ i Fourier c a hàm s có giá ch a m t hình c u tâm 0, bán kính R cho trư c bi n đư c xét bi n ph c Chương 3: M t s k t qu v d ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener Chương lu n văn trình bày d ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact b t kì, t p sinh b i dãy s , t p sinh b i đa th c cho t p l i Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ B N VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY R NG Trong chương này, lu n văn trình bày nh ng khái ni m k t qu b n v lý thuy t hàm suy r ng phép bi n đ i Fourier (xem [1], [2], [5]) 1.1 Không gian hàm b n ∆(Rn) Trư c nghiên c u v không gian hàm b n, lu n văn ch m t s ký hi u đư c trình bày lu n văn Cho N = {1, 2, } t p s t nhiên, Z + = {0, 1, 2, } t p s √ nguyên không âm, R t p s th c, C t p s ph c Đơn v o −1 = i n V i m i s t nhiên n ∈ N t p Zn = {α = (α1, , αn) | αj ∈ Z+, j = 1, 2, , n}, R + không gian Euclid n chi u x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn V i chu n Euclid x = ( n x2)1/2, tích vô hư ng x, ξ = j j=1 n j=1 V i m i k ∈ Z+ ký hi u t p sau Ck(Rn) = {u : Rn → C|u kh vi liên t c đ n c p k}, Ck(Rn) = {u : Rn → C|u ∈ Ck(Rn), suppu t p compact}, C∞(Rn) = ∩∞ Ck(Rn), C∞(Rn) = ∩∞ Ck(Rn), k=1 k=1 suppu = {x ∈ Rn| u(x) = 0} V i ε > K t p compact Rn ta đ nh nghĩa: Kε = {x ∈ Rn| ∃ξ ∈ K, x − ξ < ε} x j ξj K (ε) = { x ∈ C | ∃ ξ ∈ K , x − ξ < ε} Ký hi u Φ phép bi n đ i Fourier, f (hay Φf) nh Fourier c a hàm f, suppf giá c a nh Fourier (g i ph ) c a hàm f Các gi i h n mlim am, mlim am, lim am tương ng gi i h n, gi i h n trên, gi i →∞ →∞ m→∞ ∞ {am} =1 m h n dư i c a dãy hàm Bây gi lúc ta có th phát bi u đ nh nghĩa, đ nh lý, đ ng th i đưa ví d minh h a đ làm rõ v không gian hàm b n Đ nh nghĩa 1.1 Không gian ∆(Rn) không gian g m hàm ϕ ∈ C∞(Rn) v i khái ni m h i t sau: dãy {ϕj}∞ hàm C∞(Rn) đư c g i h i t j=1 đ n hàm ϕ ∈ C∞(Rn) n u (i) có m t t p compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , (ii) jlim supn |Dαϕj(x) − Dαϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn + →∞ x∈R Khi đó, ta vi t ϕ = ∆− lim ϕj →∞ j Ví d 1.1 Ta đ nh nghĩa hàm m t bi n Ψ(x) sau  ce Ψ(x) =  1/(|x|−1) 0 n u |x| < 1, n u |x| ≥ Khi Ψ ∈ ∆(R) M nh đ 1.1 Không gian ∆(Rn) đ 1.2 Không gian hàm suy r ng ∆ (Rn) Đ nh nghĩa 1.2 Ta nói r ng f m t hàm suy r ng R n n u f m t phi m hàm n tính liên t c ∆(Rn) Hàm suy r ng f ∈ ∆ (Rn) tác đ ng lên m i ϕ ∈ ∆(Rn) đư c vi t f, ϕ Hai hàm suy r ng f, g ∈ ∆ (Rn) đư c g i b ng n u f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ ∆(Rn) T p t t c hàm suy r ng R n l p thành không gian ∆ (Rn) Chú ý 1.1 Trên ∆ (Rn) có th xây d ng m t c u trúc không gian vectơ C, nghĩa ta có th đ nh nghĩa phép toán n tính sau (i) phép c ng: v i f, g ∈ ∆ (Rn) t ng f + g đư c xác đ nh sau f + g : ϕ → f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ϕ ∈ ∆ (Rn) , đó, f + g ∈ ∆ (Rn), nghĩa là, f + g phi m hàm n tính liên t c ∆(Rn), (ii) phép nhân v i s ph c: v i λ ∈ C, f ∈ ∆ (Rn) tích λf đư c xác đ nh sau λf : ϕ → λf, ϕ =λ f, ϕ , ϕ ∈ ∆ (Rn) , đó, λf ∈ ∆ (Rn), nghĩa là, λf phi m hàm n tính liên t c ∆(Rn) Hơn th , ta có th đ nh nghĩa phép nhân v i m t hàm C∞(Rn) V i φ ∈ C∞(Rn), f ∈ ∆ (Rn) tích φf ∈ ∆ (Rn) đư c xác đ nh sau φf : ϕ → φf, ϕ = f, φϕ , ϕ ∈ ∆ (Rn) , đó, φf ∈ ∆ (Rn) Ví d 1.2 V i m i f ∈ L1(Rn) đư c coi m t hàm suy r ng b ng cách sau f : ϕ → f, ϕ = Rn f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ ∆(Rn) Như v y, có th coi L1(Rn) t p c a ∆ (Rn) Hàm suy r ng f ∈ L1(Rn) đư c g i hàm suy r ng quy V i f, g ∈ L1(Rn), s b ng theo nghĩa hàm suy r ng theo nghĩa thông thư ng nhau, nghĩa f, g ∈ L1(Rn), Rn f (x)ϕ(x)dx = g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ ∆(Rn) Rn f = g, h.k.n Rn 1.3 C p c a hàm suy r ng Đ nh nghĩa 1.3 Cho K ⊂ Rn, f ∈ ∆ (Rn) Ta nói hàm suy r ng f có c p h u h n K n u có m t s nguyên không âm k m t s dương C cho | f, ϕ | ≤ C sup |Dαϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C∞(Rn), suppϕ ⊂ K |α|≤k x∈K (1.1) S nguyên không âm k nh nh t s nguyên không âm mà ta có b t đ ng th c (1.1) đư c g i c p c a hàm suy r ng f t p K N u m t s nguyên không âm k đ có (1.1) v i s dương C đó, ta nói r ng, hàm suy r ng f có c p vô h n K Đ đơn gi n, ta nói r ng, hàm suy r ng f ∈ ∆ (Rn) có c p k n u có c p k Rn Ví d 1.3 M i hàm f ∈ L1(Rn) đ u có c p Ta có: | f, ϕ | = f (x)ϕ(x)dx Rn ≤ sup n |ϕ (x)| x ∈R Rn |f (x)| dx = c supn |ϕ (x)| , x∈R |f (x)| dx < ∞ c= R n n Do f ∈ L1(R ) có c p Đ nh lý 1.1 M i phi m hàm n tính f ∆(Rn) m t hàm suy r ng ch khi, m i t p compact K ⊂ Rn, có m t s nguyên không âm k m t s dương C cho | f, ϕ | ≤ C supn |Dαϕ(x)| = C ϕ Ck(Rn), ∀ϕ ∈ C∞(Rn), suppϕ ⊂ K |α|≤k x∈R Ch ng minh Đ ch ng minh u ki n đ ta ch c n ch ng minh tính liên t c c a f t i g c, nghĩa n u có m t dãy {ϕj}∞ C∞(Rn) mà ∆− l jl →∞ j=1 f, ϕj = im j →∞ ϕj = Đi u d th y t gi thi t Đ ch ng minh u ki n c n ta dùng ph n ch ng, nghĩa gi s có m t t p compact K ⊂ Rn v i m i k ∈ Z+ ta đ u có sup ϕ∈C0 (Rn) ∞ | f, ϕ | = +∞ ϕ C k ( Rn ) suppϕ⊂K,ϕ=0 đó, t n t i ϕk ∈ C∞(Rn), suppϕ ⊂ K, ϕk C k (R n ) | f, ϕk | > k ϕk C k (R n ) > cho im Ch n ψk(x) = k ϕk ϕk(x), Ck (R ) n ψk ∈ C∞(Rn), suppψk ⊂ K ∆− lim ψk = 0, | f, ψk | ≥ k 12 , n ê n f ∈ ∆ ( R n ) , t r i v i g i t h i t k → ∞ Do P m(∆)u(η)ϕm(η)dη = P m(∆)u, ϕm = Φ−1(P m(∆)u), Φϕm Rn = P m(x)u, Φϕm = u, (Φϕm)(x)P m(x) = u, Pϕmxx)P m(x) () = u, ϕ ( Cho nên P m(∆)u(η)ϕm(η)dη | u, ϕ | = Rn (1 + η )N |ϕm(η)| dη, ≤ Cm ∀m > m0 (3.26) Rn Đi u d n đ n −1  (1 + η )N ϕm(η)dη lim C1/m ≥  lim m→∞ m→∞ m Rn Ta th y (1 + η )N |ϕm(η)|dη ≤ 2N (1 + η 2)N |ϕm(η)|dη Rn Rn N = 2N k=1Rn N k η ≤ 22N sup 1≤k≤N η k 2k |ϕm(η)|dη |ϕm(η)|dη (3.27) Rn S d ng công th c Leibniz ta có Rn ηαϕm(η) dη = ηαϕm(η) = Φ −1 ≤ γ≤ α () = Φ−1(∆α(Pϕmxx))) ( α! γ ≤α γ!(α − γ)! ∆γϕ(x)∆α−γ P m1(x) α! γ!(α − γ)! Φ−1 ∆γϕ(x)∆α−γ P m1(x) 45 1 Khi theo B đ 3.1 lim m→∞ ηαϕm(η) dη 1/m ≤ sup |P 1ξ)| ξ ∈ Β[ σ, ] R n T ta ( có v i ≤k≤ N:  lim |ϕm( k η)| dη  ( ≤ su p| P 1ξ )| m→∞ R T ( ) ( ( ( ) R n ξ ( ∈ t a t T (3.2 i | 6) n P ∀ (3.2 9) ta có v im> a t h m0 l đ ó đ minh t n t i m t h ng s Cδ < ∞ th a mãn đánh giá u im C1 c Ch ng minh Đ nh lý 3.5 Chi u thu n: Gi s u ∈ Ε (K) N ≥ Ta c n ch ng n h P (∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |P (x)| ∈K(δ) | x /m ≥ C h o c →   m lim(1 + η) N |ϕ m (η)| dη  ≤ u p | P t a đ c s ( n m→∞ n h / g m ξ∈Β i m → ∞ m ) Th t v y, gi s u ∈ Ε (K) Ta c đ nh δ > ch n m t hàm ψδ ∈ C∞(Kδ2 ) cho ψδ = Kδ4 , Kλ = {x + y : x ∈ K, y∈ Rn, |y| ≤ λ} Khi t n t i N > cho u m t hàm suy r ng c p N Do đó, P (∆)u(η)| = |Φ (P (ξ)u(ξ)) (η)| | Do B suppu ⊂ K ψδ = đ lân c n lim c a K nên đ D o c đ c ó h P (∆)u(η)| = |Φ (ψδ (ξ) P (ξ)u(ξ)) (η)| | Suy u(ξ), ψδ(ξ)P (ξ)e−i η,ξ |P (∆)u(η)| ≤ sup ∆α ψδ(ξ)P (ξ)e−i η,ξ ≤C |α|≤N ξ∈K δ v i m i η ∈ Rn v i m i đa th c P T công th c Leibniz ta có ∆α α! = ψδ(ξ)P (ξ)e−i η,ξ γ ≤α γ! (α − γ)!∆ P (ξ)∆ γ γ α− ψ (ξ)e−i η,ξ δ Ta bi t r ng đ o hàm c a hàm nguyên P (ξ) có th đư c c lư ng Kδ2 b ng cách l y giá tr l n nh t c a môđun K(δ), ta thu đư c (3.24) Ngư c l i, gi s u th a mãn đánh giá |P (∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |P (x)| x∈K(δ) ta c n ch ng minh u ∈ Ε (K) Th t v y, u th a mãn đánh giá rõ ràng u ∈ Σ (Rn) Do đó, u ∈ Σ (Rn) Bây gi ta ch ng minh u ∈ Ε (K) b ng ph n ch ng: Gi s t n t i m t m θ ∈ suppu, θ ∈ K Ta đ nh nghĩa / Q(x) = t − (x − θ)2, t = sup(x − θ)2 x∈K Khi áp d ng (3.24) cho trư ng h p đa th c P (x) = Qm(x) ta đư c |Qm(∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |Qm(x)| x∈K(δ) Do supn |Q (∆)u(η)| ≤ Cδ sup |Qm(x)| m η∈R (1 + η )N x∈K(δ) Do v y lim supn |Q (∆)u(η)| ≤ sup |Q(x)| m (3.30) m→∞ η∈R (1 + η )N x∈K(δ) Theo B đ 3.4 lim supn |Q (∆)u(η)| ≥ |Q(θ)| m m→∞ η∈R (1 + η )N (3.31) 47 K t h p (3.30) (3.31) ta đư c |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Đi u mâu thu n Đ nh lý đư c ch ng minh 3.2.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i dãy s Đ nh lý 3.6 Gi s K compact có tính ch t g Khi u ∈ Ε (K) n u ch n u u ∈ C∞(Rn) t n t i m t s N cho v i δ > b t kì t n t i m t s Cδ |Dαu(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |ξα|, ∀η ∈ Rn, α ≥ (3.32) ξ∈Kδ Ch ng minh Đi u ki n c n: Gi s u ∈ Ε (K), u ∈ C∞(Rn) N, δ s dương cho trư c Ta c n ch ng minh t n t i h ng s Cδ th a mãn đánh giá (3.32) Th t v y, theo Đ nh lý 3.5 áp d ng P (x) = xα ta thu đư c |Dαu(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |ξα| ξ∈K(δ/n) Ta th y r ng, v i m i x ∈ K(δ/n) t n t i ξ ∈ K cho n x−ξ = 1/2 |ξ − x |2 j j < δ/n, j=1 |xj| < |ξj| + (δ/n) v i m i j = 1, 2, , n T ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) ∈ K K có tính ch t g, ta có (|ξ1|, |ξ2|, , |ξn|) ∈ K Do đó, t (|ξ1|+(δ/(2n)), |ξ2|+(δ/(2n)), , |ξn|+(δ/(2n)))−(|ξ1|, |ξ2|, , |ξn|) = δ/ 4n < δ v i η = (|ξ1| + (δ/(2n)), |ξ2| + (δ/(2n)), , |ξn| + (δ/(2n))) ∈ Kδ Vì v y, t (3.33) v i (3.33) √ m i α ∈ Zn ta đư c + |xα| ≤ |ηα|, x ∈ K(δ/n), η ∈ Kδ hay sup |xα| ≤ sup |xα| ∀α ∈ Zn + x∈K(δ/n) x∈Kδ 48 (3.34) Do đó, t (3.32) (3.34), ta đư c |Dαu(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |ξα| ξ∈Kδ Đi u ki n đ : Gi s u th a mãn đánh giá |Dαu(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |ξα| ξ∈Kδ ta c n ch ng minh u ∈ Ε (K) Th t v y, u th a mãn (3.32), rõ ràng u ∈ Σ (Rn) Do đó, u ∈ Σ (Rn) Bây gi ta ch ng minh u ∈ Ε (K) b ng ph n ch ng: Gi s t n t i m t m θ ∈ suppu, θ ∈ K Khi t K = g(K) t n t i γ ∈ Zn cho / + |θγ| > sup |ξγ| ξ∈K Ta đ nh nghĩa Q(x) = (xγ)2, x ∈ Rn Khi áp d ng (3.24) cho trư ng h p đa th c P (x) = Qm(x) ta đư c |Qm(∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |Qm(x)| x∈K(δ) Do sup |Qm(∆)u(η)| ≤ C sup |Qm(x)| δ η∈Rn (1 + η )N x∈K(δ) Do v y lim supn |Q (∆)u(η)| ≤ sup |Q(x)| m (3.35) m→∞ η∈R (1 + η )N x∈K(δ) Theo B đ 3.4 lim supn |Q (∆)u(η)| ≥ |Q(θ)| m m →∞ η∈R (1 + (3.36) η )N K t h p (3.35) (3.36) ta đư c |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Đi u mâu thu n Đ nh lý đư c ch ng minh 49 3.2.3 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa th c Đ nh nghĩa 3.3 Gi s P (ξ) m t đa th c Ta đ t Q(P ) = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ 1} g i t p sinh b i P (ξ) Rõ ràng, Q(P ) có th t p không l i không compact Ta gi s Q(P ) = ∅ N u Q(P ) compact (v i trư ng h p, P (ξ) = |ξ|2) ta có ch ng minh sau Đ nh lý 3.7 Gi s P (ξ) m t đa th c Q(P ) compact N u u ∈ Ε (Q(P )) t n t i m t s N ≥ cho v i δ > b t kì t n t i m t s Cδ < ∞ |P m(∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N (1 + δ)m, m ≥ 0, η ∈ Rn (3.37) Ngư c l i, v i m i hàm u(η) Rn th a mãn (3.37) bi n đ i Fourier c a hàm suy r ng v i giá ch a Q(P ) Ch ng minh Gi s u ∈ Ε (K) δ m t s dương Do K = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ 1} nên t n t i s δ1 cho sup |P (ξ)| ≤ + δ (3.38) ξ∈K(δ1) Khi theo Đ nh lý 3.5 ta có: |P m(∆)u(η)| ≤ CN,δ(1 + η )N sup |P m(x)| x∈K(δ1) Áp d ng (3.38) ta có |P m(∆)u(η)| ≤ CN,δ(1 + η )N (1 + δ)m Do ta nh n đư c đánh giá (3.37) Ngư c l i, u th a mãn (3.37), rõ ràng u ∈ Σ (Rn) Do đó, u ∈ Σ (Rn) Bây gi ta ch ng minh u ∈ Ε (K) b ng ph n ch ng: Gi s t n t i m t m θ ∈ suppu, θ ∈ K Khi |P (θ)| > Ta đ nh nghĩa / Q(x) = |P (x)|2 , 50 x ∈ Rn Khi áp d ng (3.24) cho trư ng h p đa th c P (x) = Qm(x) ta đư c |Qm(∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |Qm(x)| x∈K(δ) Do supn |Q (∆)u(η)| ≤ Cδ sup |Qm(x)| m η∈R (1 + η )N x∈K(δ) Do v y lim supn |Q (∆)u(η)| ≤ sup |Q(x)| m (3.39) Theo B đ 3.4 m→∞ η∈R (1 + η )N x∈K(δ) lim supn |Q (∆)u(η)| ≥ |Q(θ)| m m →∞ η∈R (1 + (3.40) η )N K t h p (3.39) (3.40) ta đư c |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Đi u mâu thu n Đ nh lý đư c ch ng minh 3.2.4 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i Kí hi u Π1 h t t c đa th c v i h s th c b c ≤ Đ nh nghĩa 3.4 V i t p K compact b t kì Rn kí hi u ch(K) = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ sup |P (t)| ∀P ∈ Π1} t ∈K g i bao l i c a K Rõ ràng, K t p l i ch K = ch(K) Ta có th ch ng minh nh ng k t qu sau Đ nh lý 3.8 Gi s t p K compact l i N u u ∈ Ε (K) v i δ > b t kì t n t i m t s Cδ < ∞ cho |P m(∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |P (z)|m z∈K(δ) v i m i m ∈ Zn , P (ξ) ∈ Π1 η ∈ Rn + Ngư c l i, n u (3.41) v i u(η) ∈ C∞(Rn) u(η) bi n đ i Fourier c a m t hàm suy r ng Ε (K) (3.41) 51 Ch ng minh Gi s u ∈ Ε (K), theo Đ nh lý 3.5 ta có |P m(∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |P (z)|m z∈K(δ) Ngư c l i, u th a mãn (3.41), rõ ràng u ∈ Σ (Rn) Do đó, u ∈ Σ (Rn) Bây gi ta ch ng minh u ∈ Ε (K) b ng ph n ch ng: Gi s t n t i m t m θ ∈ suppu, θ ∈ K Khi t n t i đa th c P ∈ Π1 cho |P (θ)| > Ta đ nh nghĩa / Q(x) = |P (x)|2 , x ∈ Rn Khi áp d ng (3.24) cho trư ng h p đa th c P (x) = Qm(x) ta đư c |Qm(∆)u(η)| ≤ Cδ(1 + η )N sup |Qm(x)| x∈K(δ) Do supn |Q (∆)u(η)| ≤ Cδ sup |Qm(x)| m η∈R (1 + η )N x∈K(δ) Do v y lim supn |Q (∆)u(ηN| ≤ sup |Q(x)| m x∈K(δ) ) Theo B đ 3.4 m→∞ η∈R (1 + lim sup (3.42) η |) |Qm(∆)u(η)| ≥ |Q(θ)| η |)N m→∞ η∈Rn (1 + K t h p (3.42) (3.43) ta đư c |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Đi u mâu thu n Đ nh lý đư c ch ng minh 52 (3.43) K t lu n Lu n văn trình bày m t cách chi ti t h th ng l i v lý thuy t hàm suy r ng, phép bi n đ i Fourier c a m t s k t qu c a đ nh lý PaleyWiener N i dung c a lu n văn bao g m: • Gi i thi u v không gian hàm b n, không gian hàm suy r ng lý thuy t v phép bi n đ i Fourier • D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hình c u Rn • D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact b t kì, t p sinh b i dãy s , t p sinh b i đa th c t p l i Tôi xin chân thành c m ơn! 53 Tài li u tham kh o [1] Đ ng Anh Tu n, (2005), Lý thuy t hàm suy r ng không gian Sobovlep, Giáo trình [2] Vũ Nh t Huy, (2012), Nghiên c u tính ch t c a hàm s thông qua giá c a phép bi n đ i Fourier, Lu n án ti n sĩ [3] N.B Andersen, M de Jeu (2010), Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius formulas, Trans Amer Math Soc., 362, pp 3613-3640 [4] H.H Bang, The Paley-Wiener-Schwartz theorem for nonconvex domains, Proc Amer Math Soc., 108, pp 19-31 [5] V.S Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Generalized Functions Taylor Francis, London, New York [6] [Schwartz 1952] L Schwartz, Transformation de Laplace des distributions, Comm Sém Math Univ Lund (1952), 196-206 54 ... A Đ NH LÝ PALEY- WIENER 2.1 D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) 25 2.2 D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c Ε (Rn) 28 D NG TH C C A Đ NH LÝ PALEY- WIENER. .. a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) 30 3.1.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact b t kì 30 3.1.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener. .. c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa th c 40 3.1.4 3.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i 42 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho