Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ———- NGUY N TH MINH THƯƠNG LÝ THUY T Đ TH V I CÁC BÀI TOÁN PH THÔNG LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C HÀ N I - 2015 Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ———- NGUY N TH MINH THƯƠNG LÝ THUY T Đ TH V I CÁC BÀI TOÁN PH THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ c p Mã s : 60.46.01.13 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TS Đ ng Huy Ru n HÀ N I - 2015 M cl c L i nói đ u Đi 1.1 cương v đ th Đ nh nghĩa đ th 41.2 th đ c bi t 61.3 đ th 1.3.1 B c c a đ nh c 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 tính ch t Xích, chu trình, đư ng, vòng 1.4.1 Xích, chu trình 1.4.2 Đư ng, vòng 1.4.3 M t s tính ch t Đ th liên thông 1.5.1 Đ nh nghĩa 1.5.2 Tính ch t S n đ nh trong, s n đ nh 1.6.1 S n đ nh 1.6.2 S n đ nh 1.6.3 Các thu t toán tìm s n đ nh trong, s Nhân c a đ th ng d ng vào trò chơi 1.7.1 Đ nh nghĩa 1.7.2 Tính ch t 1.7.3 Trò chơi Nim 1.7.4 Trò chơi b c v t Cây b i 1.8.1 Đ nh nghĩa 1.8.2 Đ c m c a b i M t s d ng đ B c c a đ nh 81.3.2 N a b 81.3.3 M t s 13 13 14 15 16 16 17 18 18 19 n đ nh 20 21 21 22 23 24 29 29 30 M t s toán đ th b n 2.1 Bài toán v đư ng 2.1.1 Đư ng Euler - Chu trình Euler 2.1.2 Đư ng Hamilton - Chu trình Hamilton 2.2 Bài toán tô màu đ th 2.2.1 Đ nh nghĩa 2.2.2 M t s tính ch t 2.2.3 Thu t toán tô màu đ nh ng d ng lý thuy t đ th vào gi i toán ph thông 3.1 Quy trình gi i toán b ng phương pháp đ th 3.1.1 Xây d ng đ th G mô t quan h 3.1.2 D a vào k t qu c a lý thuy t đ th ho c lý lu n tr c ti p suy đáp án c a toán D 3.2 Bài toán v đ nh - c nh c a đ th 3.3 Bài toán v xích, chu trình, đư ng, vòng tính liên thông c a đ th 3.4 Bài toán v tô màu đ th 3.5 Bài toán liên quan đ n s n đ nh trong, s n đ nh 3.6 Bài toán liên quan đ n đư ng 3.6.1 Bài toán tìm đư ng mê cung 3.6.2 Bài toán liên quan đ n đư ng chu trình Euler 3.6.3 Bài toán liên quan đ n đư ng chu trình Hamilton 3.7 Bài toán liên quan đ n 33 33 33 40 43 43 43 53 54 54 54 54 55 58 63 74 76 76 80 82 84 K t lu n 89 Tài li u tham kh o 90 L I NÓI Đ U Lý thuy t đ th m t nh ng ngành khoa h c đ i s m Lý thuy t đ th giúp mô t hình h c gi i quy t nhi u toán th c t ph c t p Khái ni m lý thuy t đ th đư c nhi u nhà khoa h c đ c l p nghiên c u có nhi u đóng góp lĩnh v c toán h c ng d ng Năm 2001, B Giáo D c Đào T o có quy đ nh chuyên đ b i dư ng h c sinh gi i th ng nh t toàn qu c, có chuyên đ lý thuy t đ th Như v y, vi c h c chuyên đ Lý Thuy t Đ Th đ i v i h c sinh gi i nhu c u th c t d y h c toán ph thông Tuy nhiên, vi c d y h c chuyên đ t n t i m t s khó khăn nh ng lý khác M t lý s m i m , đ c đáo khó c a ch đ ki n th c Lu n văn "Lý thuy t đ th v i toán ph thông" đưa đ n s sáng t o cách nhìn nh n toán l p lu n cách gi i dư i m t c a lý thuy t đ th Ngoài ph n m đ u k t lu n lu n văn g m chương: Chương Đ i cương v đ th Chương M t s toán đ th b n Chương ng d ng lý thuy t đ th vào gi i toán ph thông Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n, giúp đ t n tình c a GS.TS Đ ng Huy Ru n, tác gi xin bày t s kính tr ng lòng bi t ơn sâu s c t i th y Tác gi xin g i l i c m ơn chân thành đ n Ban giám hi u th y cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin, Trư ng Đ i h c Khoa H c T Nhiên - Đ i H c Qu c Gia Hà N i t o u ki n, d y b o dìu d t tác gi nh ng năm h c v a qua Xin chân thành c m ơn s giúp đ c a b n bè, ngư i thân th i gian h c t p làm lu n văn Do kh nh n th c c a b n thân tác gi , lu n văn nhi u h n ch , thi u sót Tác gi kính mong ý ki n ch b o c a quý th y cô s đóng góp c a b n đ c Tác gi xin chân thành c m ơn! Hà N i, tháng năm 2015 Chương Đ i cương v đ th 1.1 Đ nh nghĩa đ th T p h p X = ∅ đ i tư ng b E c p s p th t không s p th t ph n t c a X đư c g i m t đ th , đ ng th i đư c ký hi u b ng G(X, E) (ho c G = (X, E) ho c G(X)) Hình 1.1: Ví d v mô hình đ th Các ph n t c a X đư c g i đ nh C p đ nh không s p th t đư c g i c nh, c p đ nh s p th t đư c g i c nh có hư ng hay cung Đ th ch ch a c nh đư c g i đ th vô hư ng, đ th ch ch a cung đư c g i đ th có hư ng N u đ th ch a c c nh l n cung đư c h i đ th h n h p hay đ th h n t p M t c p đ nh có th đư c n i v i b ng hai ho c nhi u hai c nh (hai ho c nhi u hai cung m t hư ng) Các c nh (cung) đư c g i c nh (cung) b i M t cung (hay m t c nh) có th b t đ u k t thúc t i m t đ nh Cung (c nh) lo i đư c g i khuyên hay nút C p đ nh x,y đư c n i v i b ng c nh (cung) a a đư c g i c nh (cung) thu c đ nh x, đ nh y N u cung b xu t phát t đ nh u vào đ nh v u đư c g i đ nh đ u, v đư c g i đ nh cu i c a cung b C p đ nh x, y đư c g i hai đ nh k n u x = y hai đ u c a m t c nh hay m t cung Đ i v i m i đ nh x dùng D(x) đ ch t p đ nh, mà m i đ nh đư c n i v i x b ng nh t m t c nh; D+(x) đ ch t p đ nh mà m i đ nh t x có cung t i; D−(x) đ ch t p đ nh mà m i đ nh có cung t i x Hai c nh (cung) a,b đư c g i k nhau, n u: i) Chúng khác ii) Chúng có đ nh chung (n u a, b cung, không ph thu c vào đ nh chung đ nh đ u hay đ nh cu i c a cung a, đ nh đ u hay đ nh cu i c a cung b) Ví d 1.1 Cho đ th h n h p có khuyên G(X, E) v i t p đ nh X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}, t p c nh cung E = {x1, x2; x2, x3; x4, x6; x5, x6; x3, x3; x1, x6; x5, x5} = {a1 a2 a3 a4 a5 b1 a1, a2, a3, a4, a5 c nh; b1, b2 cung Hình 1.2 b2}, 1.2 M t s d ng đ th đ c bi t Trong nh ng trư ng h p không c n phân bi t gi a c nh cung ta quy c dùng c nh thay cho c cung Đ th G = (X, E) khuyên m i c p đ nh đư c n i v i b ng không m t c nh, đư c g i đ th đơn hay đơn đ th thông thư ng đư c g i đ th Đ th G = (X, E) khuyên có nh t m t c p đ nh đư c n i v i b ng t hai c nh tr lên đư c g i đa đ th Đ th G = (X, E) đư c g i vô hư ng n u c nh E không đ nh hư ng Đ th G = (X, E) đư c g i có hư ng n u c nh E có đ nh hư ng Hình 1.3 Đ th vô hư ng (có hư ng) G = (X, E) đư c g i đ th đ y đ n u m i c p đ nh đư c n i v i b ng m t c nh (m t cung v i chi u tùy ý) Hình 1.4: Đ th đ y đ Đa đ th vô hư ng (có hư ng) G = (X, E) đư c g i đ th k-đ y đ n u m i c p đ nh đư c n i v i b ng k c nh (k cung v i chi u tùy ý) Đ th (đa đ th ) G = (X, E) đư c g i đ th (đa đ th ) hai m ng n u t p đ nh X c a đư c phân thành hai t p r i X1, X2 (X1 X2 = X X1 X2 = ∅) m i c nh đ u có m t đ u thu c X1 đ u thu c X2.Khi G = (X, E) đư c ký hi u b ng G = (X1, X2, E) Hình 1.5: Đ th hai m ng Đ th (đa đ th ) G = (X, E) đư c g i đ th (đa đ th ) ph ng, n u có nh t m t d ng bi u di n hình h c tr i m t m t ph ng đó, mà c nh c a đ th ch c t đ nh Đ th (đa đ th ) G = (X, E) đư c g i h u h n, n u s đ nh c a h u h n, t c t p X có l c lư ng h u h n Đ th (đa đ th ) G = (X, E) đư c g i vô h n, n u s đ nh c a vô h n Đ th (đa đ th ) v i s c nh thu c m i đ nh đ u h u h n đư c g i đ th (đa đ th ) h u h n đ a phương M t đ th hay đa đ th h u h n h u h n đ a phương Cho Y ⊆ X, Y = ∅; H ⊆ E, F = E ∩ (Y ⋅ Y ) V = (X ⋅ X)/E Đ th G1(Y, F ) đư c g i đ th con, G2(X, H) đ th b ph n c a đ th G(X, E) Đ th G (X, V ) đư c g i đ th bù c a đ th G(X, E) Đ th có hư ng G(X, E) đư c g i đ th đ i x ng n u ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E Trong đ th đ i x ng tùy ý, hai đ nh k luôn đư c n i b ng hai cung ngư c chi u Đ đơn gi n, trư ng h p ngư i ta quy c thay hai cung nói b ng m t c nh n i gi a x y Đ th có hư ng G(X, E) đư c g i đ th ph n đ i x ng n u ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E / Áp d ng thu t toán tìm s n đ nh m c 1.6.3.2 ta có s n đ nh β(G) = 12, nên ch c n đ t t i thi u 12 mã bàn c chúng kh ng ch đư c toàn b ô l i c a bàn c Ch ng h n, có th đ t 12 mã hình 3.12 3.6 Bài toán liên quan đ n đư ng 3.6.1 Bài toán tìm đư ng mê cung Bài toán tìm đư ng mê cung m t toán đ vui đ th lâu đ i nh t M t ví d văn h c c Hi l p câu chuy n dũng sĩ Theseus c u công chúa Ariadne b nhân mã Minotaur giam gi mê cung Mê cung h th ng g m nhi u hành lang n i v i Bài toán tìm đư ng mê cung đ ng t v trí s (bên mê cung ho c c a vào) tìm đư ng đ n v trí e (c a ho c bên mê cung) N u bi u di n mê cung b ng đ th , hành lang c nh, giao m c a chúng đ nh ta có toán tìm đư ng đ th Lưu ý r ng ta không bi t trư c sơ đ c a mê cung Thu t toán Tarri tìm đư ng mê cung Xu t phát t đ nh s theo c nh đ th theo nguyên t c sau: Không bao gi tr l i m t c nh theo m t chi u - Khi đ n m t đ nh E (ngã ba, ngã tư, ) ch đư c ch n c nh d n t i E l n đ u tiên không cách khác (nghĩa t t c c nh khác có đ u mút t i E đư c hai l n r i) - T i m i đ nh ch n c nh chưa qua trư c Trư ng h p c nh qua ch n c nh theo hư ng ngư c l i C nh đánh d u đ c bi t phương án cu i n u không cách khác B ng cách ta qua t t c c nh c a đ th Như v y n u đ th liên thông lúc ta s đ n đ nh e 76 Bài toán 3.6.1 ([1]Graph gi i toán ph thông) Cho mê cung hình v 3.13a.Tìm đư ng t v trí A (c ng) đ n v trí M Hình 3.13a Gi i: Ta đánh d u (b ng nh ng m đ m) ngã ba, ngã tư m cu i c a ngõ c t, r i n i m v i theo đư ng mê cung; ta đư c m t đ th v i 13 đ nh hình 3.13b Hình 3.13b 77 Ta v l i đ th dư i d ng đơn gi n hình 3.13c Hình 3.13c Nhìn vào hình 3.13c ta th y đư ng ng n nh t t ACEGHJKM (hình 3.13d) Hình 3.13d 78 A đ n M Bài toán 3.6.2 Bài toán ba ông ch ng ghen Có ba c p v ch ng qua sông b ng thuy n nh M i l n thuy n ch đư c nhi u nh t ngư i bi t bơi thuy n Các ông ch ng m c b nh ghen n ng nên không cho v đ ng v i ngư i đàn ông khác Hãy tìm phương án ch t t c sang sông Gi i: Ký hi u c p ch ng v Aa, Bb, Cc Ta l p đ th có hư ng, bi u di n kh chuy n đ i tr ng thái c p ch ng v hai bên b sông xu t phát đ n M i nút tr ng thái t p c a (AaBbCc) tr t p d ng {S|((aB) ⊂ S hay (aC) ⊂ S) v` A ∈ S} a/ {S|((bA) ⊂ S hay (bC) ⊂ S) v` B ∈ S} a/ {S|((cA) ⊂ S hay (cB) ⊂ S) v` C ∈ S} a/ t p bù c a chúng Sau áp d ng thu t toán đ tìm đư ng t nút 1.AaBbCc đ n 2.AaBbCc M t phương án tìm đư c bi u di n đ th hình 3.14 sau: Hình 3.14 có đư ng 1.AaBbCc → 2.Cc → 1.AaBbC → 2.abc → 1.ABCc → 2.AaBb → 1.AaCc → 2.ABbC → 1.abc → 2.AaBbC → 1.Cc → 2.AaBbCc 79 3.6.2 Bài toán liên quan đ n đư ng chu trình Euler Bài toán 3.6.3 ([1]Graph gi i toán ph thông) Có th d o chơi qua c u thành ph (hình 3.15a), m i c u v a m t l n không? Hình 3.15 Gi i: Coi m i khu v c A, B, C, D, E, F c a thành ph m t đ nh, m i c u qua l i hai khu v c m t c nh n i hai đ nh b n đ thành ph m t đ th hình 3.15b Nhìn vào đ th ta nh n th y đ nh đ u có b c ch n, theo đ nh lý v chu trình Euler t n t i m t chu trình Euler đ th hình 3.15b, nên ta hoàn toàn có th qua c u m i c u v a m t l n Ví d , ta có m t l i gi i v i chu trình xu t phát t B sau: BECEBDCDEFAB 80 Bài toán 3.6.4 ([1]Graph gi i toán ph thông) M t ông vua xây d ng m t lâu đài v i nhi u phòng đ c t báu v t Ngư i ta tìm th y sơ đ c a lâu đài (hình 3.16a) v i l i d n: Mu n tìm th y báu v t ch c n t m t phòng bên (s 1, 2, 6, 10, ), qua t t c c a phòng, m i c a ch m t l n Báu v t đư c gi u sau c a cu i Hãy tìm nơi gi u báu v t Gi i: Hình 3.16 Coi m gi a c a m i phòng m t đ nh, đư ng t phòng sang phòng bên (qua c a) m t c nh ta có đ th hình 3.16b Đ nh ng v i phòng phòng 18 có b c l , đ nh l i có b c ch n, áp d ng đ nh lý v đư ng Euler, ta xu t phát t phòng 6, c a cu i có ch a báu v t phòng s 18 81 3.6.3 Bài toán liên quan đ n đư ng chu trình Hamilton Bài toán 3.6.5 ([1]Graph gi i toán ph thông) Có đ i bóng chuy n thi đ u v i đ tranh gi i cúp qu c gia Bi t r ng hai đ i ch đ u v i m t tr n m i đ i ph i đ u v i đ i khác, đ ng th i tr n hòa Ch ng t r ng c vào k t qu thi đ u có th x p đ i trư ng đ i đ ng theo m t hàng d c đ đ i đ ng sau th ng đ i đ ng trư c Gi i: Ta cho tương ng m i đ i bóng m t đ nh c a đ th Hai đ i thi đ u v i ta dùng m t cung n i đ nh tương ng; chi u c a cung t đ nh tương ng v i đ i th ng sang đ nh tương ng v i đ i thua Như v y đ th thi t l p đư c đ th đ y đ có hư ng v i đ nh Đ th hình 3.17 mô t k t qu thi đ u c a đ i bóng chuy n A, B, C, D, E Theo đ nh lý: "Đ th đ y đ , có hư ng có đư ng Hamilton" Nên c vào m t nh ng đư ng Hamilton ta có th x p đ i trư ng đ i đ ng theo hàng d c sau: A, E, C, D, B Hình 3.17 Bài toán 3.6.6 ([1]Graph gi i toán ph thông) Hình 3.18 cho sơ đ nhà c a 22 b n l p (đánh s t đ n 22) Tìm m t đư ng t nhà l p trư ng (s 1) qua nhà m i b n m t l n đ đ n sân v n đ ng (S) Gi i: 82 Trư c h t ta th y đ nh 11, 12, 18, 19 đ u có đ nh b c 2, b i v y đư ng Hamilton xu t phát t ph i qua c nh đư c v b ng nét đ t Khi ta xóa c nh đư c đánh d u x Đư ng n i đ nh 1, 12, 6, 17, 13, 7, 2, 3, 8, 9, 4, 5, 11, 16, 19, 10, 15, 14, 18, 22, 21, 20, S (đư ng nét đ t) mô t toàn b hành trình c a l p trư ng (s 1) xu t phát t nhà qua nhà m i b n m t l n đ đ n sân v n đ ng (S) Hình 3.18 Bài toán 3.6.7 ([4]Lý thuy t đ th toán không m u m c) M t nư c có 10 thành ph Hãy thi t l p m t m ng c u hàng không (b ng đ th ) cho: M i thành ph có c u hàng không n i tr c ti p v i thành ph khác; T m i thành ph có đư ng hàng không t i m t thành ph tùy ý khác hành trình t i đích có th qua t ng thành ph m t l n Gi i: Ta s xây d ng đ th G bi u di n m ng c u hàng không c n tìm Đ nh: Dùng 10 m tương ng v i 10 thành ph làm đ nh đ th đánh s t đ n 10 C nh: Hai đ nh có c nh n i v i ch hai thành ph tương ng v i hai đ nh có c u hàng không n i tr c ti p 83 Do m i thành ph có c u hàng không n i tr c ti p v i ba thành ph khác, nên m i đ nh c a đ th G đ u có c nh Khi m t nh ng d ng c a m ng hàng không c n tìm đư c bi u di n b ng đ th G sau: Hình 3.19 Trong đ th G m i đ nh đ u xu t phát c nh, nên m i thành ph đ u có c u hàng không n i tr c ti p v i thành ph khác Đ th l i có chu trình Hamilton, ch ng h n, dãy đ nh: α = 1, 2, 7, 8, 6, 3, 5, 9, 10, m t nh ng chu trình Hamilton c a đ th G, nên xu t phát t thành ph tùy ý theo α, có th đ n b t kỳ thành ph 10 thành ph 3.7 Bài toán liên quan đ n Bài toán 3.7.1 ([4]Lý thuy t đ th toán không m u m c) T i Euro 92, b n đ i Đ c, Đan M ch, Hà Lan, Th y Đi n vào bán k t Có m y d đoán x p h ng sau: 84 a) Đan M ch vô đ ch, Th y Đi n nhì b) Đan M ch nhì, Hà Lan ba c) Pháp nhì, Hà Lan tư K t qu : M i d đoán v m t đ i Hãy cho bi t k t qu x p h ng c a đ i Gi i: Hình 3.20 Ta ch n m t đư ng t "g c" O đ n "ng n" c nh không mang ch trùng (vì m t đ i không th x p hai th h ng khác nhau), ch s trùng (vì hai đ i không th x p m t h ng), đ ng th i th t x p h ng c a đ i th a mãn u ki n đ u Đư ng tô màu h ng (nét đ m) v i dãy ký hi u Đ1, H3, P2 cho ta x p h ng c n tìm Bài toán 3.7.2 Minh Châu thi đ u c u lông v i Hai b n chơi ván, b n th ng ván trư c s k t thúc cu c thi giành chi n th ng Cu c thi đ u có th di n theo cách khác nhau? Gi i: Dùng M đ ký hi u Minh th ng, C đ ký hi u Châu th ng Dùng đ mô t toàn b hi n tr ng có kh x y Xây d ng cây: Xu t phát t m O - Hai nhánh đ u tiên tương ng v i Minh th ng ho c Châu th ng - T m i nhánh l i r nhánh thành hai nhánh ng v i kh Minh th ng ho c Châu th ng 85 - Th c hi n kéo dài đư ng m t cách tương t , quy c c a b n, nh ng đư ng mà xu t hi n đ nh đư c ghi b ng m t ký hi u đ u không đư c kéo dài Ta có hình 3.21 Hình 3.21 Cây có 20 đ nh ng n, nên cu c thi đ u có th di n theo 20 cách khác Bài toán 3.7.3 ([1]Graph gi i toán ph thông) Hãy tìm t t c c s c a 126 Gi i: Trư c h t xin trình bày thu t toán xây d ng sinh c Sau dùng sinh c đ xác đ nh t p c s c a 126 • Thu t toán xây d ng sinh c Bư c 1: Phân tích s n thành tích c a lũy th a s nguyên t x p theo th t s tăng d n: n = as11.as22 astt.astt+1 askk +1 (∗) V i at, (1 ≤ t ≤ k) s nguyên t , aj > ai, n u j > i st s nguyên không âm Khi U (astt) = {1, at, a2, , astt−1, astt} t Bư c 2: Xây d ng sinh c (T) Cây T đư c xây d ng b ng phương pháp quy n p theo s th a s c a d ng phân tích (*) 86 Cơ s quy n p: Đ u tiên l y m t m ghi s làm g c c a đ ng th i đ t khuyên tròn có mũi tên vào Sau v phía ph i c a g c ta l y m t c t g m s1 + m khác ký hi u l n lư t t xu ng dư i b ng c c a as11: 1, a1, a2, , am, , as11 1 Đ t m khuyên tròn, r i n i m i m v i g c b ng m t c nh Hình 3.22 Quy n p: Gi s xây d ng đư c ph n đ u c a T đ n h t c t đ nh tương ng v i t p c c a astt Khi đ i v i đ nh đ i v i m i đ nh am, (1 ≤ m ≤ t) v i t m i đ nh thu c c t tương ng v i đ nh am b ng m t c nh t Hình 3.23 Ta ti p t c trình xây d ng cho t i đ t h t c t đ nh ghi c c a askk đ ng th i k xong c nh n i m i đ nh v i đ nh tương ng 87 Ta g i s ghi đ nh c a nhãn c a đ nh, dãy s ghi l n lư t đ nh c a đư ng α nhãn c a đư ng α Do cách xây d ng tương ng v i d ng phân tích s n thành tích lũy th a s nguyên t (*), nên T có đ c m sau: i, M i nhóm lũy th a d ng (*) T đ u có m t đư ng d ch y t g c đ n (đ nh không ph i g c, ch thu c m t c nh), mà m i s thu c nhóm đ u nhãn c a nh t m t đ nh thu c d đ ng th i d đ nh v i nhãn n m nhóm đư c xét B i v y tích s thu c nhãn c a đư ng d m t c c a n, đ ng th i m i c c a n đ u tích c a s thu c nhãn c a m t đư ng t g c đ n m t ii, M i đư ng t g c đ n đ u có nhãn, mà tích s thu c nhãn c c a n V i hai đ c m nên T sinh đư c t p c s c a n • Tìm t t c c s c a s 126 Bư c 1: Phân tích s 126 thành tích lũy th a có s nguyên t : 126 = 2.32.7 (∗∗) Khi đó: U (2) = {1, 2}, U (9) = {1, 3.9}, U (7) = {1, 7} Bư c 2: Xây d ng T: Cây T có d ng hình 3.24 Cây T có 12 lá, nên 126 có 12 c s khác t p c c a 126 là: U (126) = {1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126} Hình 3.24 88 K T LU N Trong lu n văn này, tác gi t p trung vào vi c nghiên c u lý thuy t đ th v n d ng k t qu c a đ gi i quy t toán ph thông trung h c đ t đư c k t qu sau: Nh m m c đích t ng quan v m t s v n đ b n nh t c a lý thuy t đ th : Trình bày khái ni m, đ nh nghĩa b n v lý thuy t đ th , đ nh lý, tính ch t đư c áp d ng thi t th c hi u qu đ gi i toán sơ c p Làm n i b t ưu th c a lý thuy t đ th vi c gi i m t s toán sơ c p: Nêu đư c m t s toán liên quan đ n đ nh, c nh, tô màu, chu trình, đư ng c a đ th Các toán đư c ch ng minh m t cách c th đư c v n d ng có hi u qu vi c gi i toán sơ c p liên quan H th ng phân lo i m t s l p toán chương trình toán ph thông trung h c có th gi i b ng cách ng d ng hi u qu lý thuy t đ th Bên c nh nh ng toán dành cho h c sinh l p chuyên, l p ch n, tác gi đưa nh ng toán đ gi ng d y cho h c sinh ph thông đ i trà Tuy nhiên, v i kh nghiên c u khoa h c h n ch , n i dung c a đ tài r t m i đ i v i tác gi , dù c g ng r t nhi u v n có nh ng h n ch Tác gi mong mu n nh n đư c s quan tâm ch d n c a quý th y cô s đóng góp ý ki n c a b n đ c đ b n lu n văn đư c hoàn thi n Tác gi xin chân thành c m ơn! 89 Tài li u tham kh o [1] Hoàng Chúng, 1992, Graph gi i toán ph thông ,NXB Giáo D c [2] Vũ Đình Hòa, 2008, Giáo trình lý thuy t đ th , NXB đ i h c sư ph m [3] Đ ng Huy Ru n, 2000, Lý thuy t đ th ng d ng, NXB khoa h c kĩ thu t [4] Đ ng Huy Ru n, 2003, Lý thuy t đ th toán không m u m c [5] Đ ng Huy Ru n, 2003, Trò chơi đ th , NXB khoa h c kĩ thu t [6] Đ ng Huy Ru n, 2002, B y phương pháp gi i toán logic, NXB khoa h c kĩ thu t [7] Vũ Dương Th y (Ch biên), 2001, 40 năm Olympic toán h c qu c t (1959-2000), NXB Giáo d c [8] M t s lu n văn Th c sĩ v toán logic ng d ng thu c chuyên ngành "Phương pháp toán sơ c p" 90 ... 3.4 Bài toán v tô màu đ th 3.5 Bài toán liên quan đ n s n đ nh trong, s n đ nh 3.6 Bài toán liên quan đ n đư ng 3.6.1 Bài toán tìm đư ng mê cung 3.6.2 Bài toán. .. vào k t qu c a lý thuy t đ th ho c lý lu n tr c ti p suy đáp án c a toán D 3.2 Bài toán v đ nh - c nh c a đ th 3.3 Bài toán v xích, chu trình, đư ng, vòng tính liên thông c a đ th... c t d y h c toán ph thông Tuy nhiên, vi c d y h c chuyên đ t n t i m t s khó khăn nh ng lý khác M t lý s m i m , đ c đáo khó c a ch đ ki n th c Lu n văn "Lý thuy t đ th v i toán ph thông" đưa