Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TR N TH MAI INFIMUM C A PH C A TOÁN T LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MI N GI V I METRIC BERGMAN LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C HÀ N I - 2015 L I B CH N Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TR N TH MAI INFIMUM C A PH C A TOÁN T LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MI N GI L I B CH N V I METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60460102 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: TS NGUY N TH C DŨNG HÀ N I - 2015 L I C M ƠN Tôi xin bày t lòng bi t ơn chân thành sâu s c nh t t i TS Nguy n Th c Dũng - Ngư i th y bên đ ng viên, ch d y giúp đ t n tình đ có th hoàn thành t t lu n văn Th t khó có th nói h t s quan tâm l n lao mà th y dành cho su t th i gian qua Th y không qu n ng i không gian, th i gian v t ch t, dành h t tâm huy t cho công vi c, không ng ng mong m i h c trò c a lĩnh h i đư c nhi u ki n th c Th y qu m t ngư i th y m u m c, t m gương sáng đ l p l p th h h c trò noi theo Qua đây, xin phép đư c g i l i c m ơn t i t p th th y cô Khoa Toán- Cơ- Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i tr c ti p gi ng d y t o u ki n thu n l i cho su t trình h c t p Tôi c m ơn gia đình, c m ơn b n bè, c m ơn t t c m i ngư i quan tâm, góp ý, giúp đ cho Trong trình làm lu n văn, m c dù h t s c c g ng th c t s c kh e không đư c t t, ki n th c h n ch l i thêm hoàn c nh đ c bi t nên lu n văn khó tránh kh i có thi u sót Tôi kính mong quý th y cô b n b sung, góp ý nh ng ý ki n quý báu đ lu n văn đư c hoàn ch nh Cu i cùng, xin kính chúc quý th y cô b n s c kh e, h nh phúc thành đ t! Chúc m t năm m i an khang, th nh vư ng! Hà N i, tháng 12 năm 2015 i M cl c Ph n m đ u 1 M t s ki n th c v gi i tích ph c nhi u bi n 1.1 1.2 Hàm đa u hòa dư i mi n gi l i 1.1.1 Hàm đa u hòa dư i 1.1.2 Mi n gi l i Toán t Laplace-Beltrami đa t p K¨ ahler C n dư i nh nh t c a ph c a toán t Laplace-Beltrami mi n gi l i b ch n 11 2.1 Ư c lư ng c n dư i c a λ1 11 2.2 Ư c lư ng c n c a λ1 23 2.3 Giá tr c c đ i c a λ1 m t vài mi n đ c bi t 30 K t lu n 35 Tài li u tham kh o 36 ii Ph n m đ u Cho (M n, g) m t đa t p K¨ ahler n chi u v i metric K¨ ahler n g= i,j=1 gijdzi ⊗ dzj Gi s n g ij ∆g = −4 i,j=1 ∂2 ∂ zi ∂ z j toán t Laplace-Beltrami tương ng v i metric g hi u g ij t ta dùng ký −1 Khi đó, c n dư i nh nh t c a ph c a toán t = gij Laplace-Beltrami đư c xác đ nh b i   n   L2 ∞ ij g ∂f ∂zf dVg : f ∈ C (M ), f ∂ λ1(∆g, M ) = inf M i,j=1  = 1 ∂ zi j dVg d ng th tích M tương ng v i metric K¨ ahler g Bài toán đ t tính giá tr λ1 ho c cho m t đánh giá v λ1 T t nhiên vi c đánh giá ph thu c vào đa t p M metric K¨ ahler g Ngư i ta ch ng minh đư c r ng M đa t p compact ∆g toán t elliptic đ u λ1(∆g) giá tr riêng dương đ u tiên c a ∆g v i u ki n biên Dirichlet Vi c nghiên c u λ1 có nhi u ng d ng toán hình h c v t lý Ch ng h n, v i gi thi t v đ cong phù h p gi thi t v λ1 có c n dư i phù h p, Li-Wang-Munteanu-KongZhou ch r ng đa t p ph i có d ng hình h c đ c bi t (xem [6, 10, 11, 12, 17]) Trư c h t ta ý r ng λ1(∆g) có th không ph i giá tr riêng c a ∆g Ví d , n u M m t không gian hyperbolic ph c λ1(∆g) không ph i giá tr riêng c a ∆g Tuy nhiên, c n dư i c a ph dương c a ∆g T ng quát M đa t p K¨ ahler không compact λ1(∆g) không ch c giá tr riêng c a ∆g dù đa t p có th đa t p đ y Khi M m t đa t p đ y không compact, có nhi u ngư i nghiên c u toán đánh giá cho λ1(∆g) mà n hình công trình c a Li Wang ([10]) V i gi thi t đ cong song nhát c t ch nh hình c a M b ch n dư i b i −1, h ch ng minh r ng λ1(∆g) ≤ n2 Đánh giá c a h ch t đ ng th c đ t đư c M không gian hyperbolic ph c Sau Munteanu ([17]) ch ng minh đư c m t cách t t r ng λ1(∆g) ≤ n2 ch v i gi thi t đ cong Ricci c a M b ch n dư i b i −2(n + 1) Ư c lư ng c a Munteanu ch t d u đ ng th c đ t đư c đ i v i không gian hyperbolic ph c Lu n văn trình bày m t cách chi ti t k t qu báo c a Song-Ying Li My-An Tran ([16]) N i dung c a lu n văn đưa ví d v đa t p K¨ ahler đ y đ mà đ i v i chúng giá tr xác c a λ1 có th tính toán đư c Nói m t cách c th , ta s c lư ng xác λ1(∆u) mi n D mi n gi l i b ch n Cn v i ∂2u v i u hàm đa u ∂ zi ∂ z j hòa dư i ch t, vét c n mi n D Trong trư ng h p t ng quát, D mi n metric K¨ ahler uijdzi ⊗ dzj, uij = gi l i b ch n vi c tính đư c xác giá tr c a λ1(∆u) r t ph c t p Vì th , c n ph i đưa vào nh ng u ki n ph khác đ i v i hàm u vét c n D Nh u ki n đó, s x p x c n c n dư i c a λ1 b ng cách xây d ng hàm đ c bi t ti n hành phân tích mi n c a D Lu n văn bao g m hai chương Trong chương m đ u, nh c l i m t vài ki n th c b n v hàm đa u hòa dư i, mi n gi l i toán t Laplace-Beltrami đa t p K¨ ahler Trong chương hai, xét c lư ng c n dư i c n c a c n dư i nh nh t c a ph c a toán t LaplaceBeltrami Ư c lư ng c n dư i đư c xét m c 2.1, c lư ng c n đư c trình bày m c 2.2 Đ c bi t, m c 2.2 đưa m t cách ch ng minh khác cho Đ nh lý 2.2 Ch ng minh m i đơn gi n so v i ch ng minh báo g c Trong m c 2.3, đưa c lư ng c a c n dư i nh nh t c a ph mi n gi l i đ c bi t v i metric K¨ ahler-Einstein metric Bergman Chương M t s ki n th c v gi i tích ph c nhi u bi n 1.1 1.1.1 Hàm đa u hòa dư i mi n gi l i Hàm đa u hòa dư i Đ nh nghĩa 1.1 Gi s Ω m t mi n Cn, u : Ω → R m t hàm thu c l p C2 Khi u đư c g i hàm đa u hòa dư i n u ch n u n i,j=1 ∂2u (z)ξ ξ ≥ ∀z ∈ Cn, ξ = (ξ , , ξ ) ∈ Cn ij ∂ zi ∂ z n j Do u ij = ∂ u = uij + i uij, đ t ξj = xj + iyj, ∀j = 1, n, ta có dzidzj uijξiξj = ( uij + √ √ = ( u ij + −1 uij)(xi + √ −1yi)(xj − √ −1 uij)(xixj + yiyj + √ −1yj) −1(yixj − xiyj)) √ = uij (xi xj + yi yj) + uij (yixj − xiyj + −1( uij(yixj − xiyj) + uij(xixj + yiyj)) Vì v y, n u u hàm đa u hòa dư i thu c l p C2 n i,j=1 uij(xixj + yiyj) + uij(yixj − xiyj) ≥ n i,j=1 uij(yixj − xiyj) + uij(xixj + yiyj) = ∀ xi, yi ∈ R Đ nh nghĩa 1.2 M t hàm u thu c l p C2 đư c g i hàm đa u hòa dư i ch t ch t n t i m t h ng s > cho u − |z|2 m t hàm đa u hòa dư i Vì v y, n u u m t hàm đa u hòa dư i (ch t) ma tr n Hessian ph c (uij)c a m t ma tr n Hermit xác đ nh dương (ch t) Chú ý r ng n u u m t hàm đa u hòa dư i ch t (uij) kh ngh ch u−1 = (uij)t m t ma tr n Hermit xác đ nh dương ch t Ví d Xét không gian ph c C 2, cho u(z, w) = |z|2 + |w|2 v(z, w) = |z|2 + |w|2 v i (z, w) ∈ C2 Khi đó, u hàm đa u hòa dư i ch t v hàm đa u hòa dư i Th t v y, d th y u, v hàm trơn, n a, ma tr n Hessian ph c c a u v l n lư t   1 0 Hu(z, w) =  =I ,    01    1 Hv(z, w) =    0   |w|2  C hai ma tr n đ u Hermite Ma tr n Hu xác đ nh dương ch t Hv xác đ nh dương 1.1.2 Mi n gi l i Cho Ω ⊂ Rn m t t p m Ta nói r ng Ω có biên l p Ck, k ≥ n u t n t i m t lân c n U c a ∂Ω m t hàm r l p Ck xác đ nh U cho Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0} dr = ∂Ω v i m i z ∈ ∂Ω n dr(z) = j=1 ∂r (z)dx j ∂ xj Đ nh nghĩa 1.3 Gi s Ω m t mi n b ch n Cn, n ≥ r m t hàm xác đ nh D D đư c g i mi n gi l i hay mi n gi l i Levi t i p ∈ ∂Ω n u d ng Levi n Lp(r, ξ) = ∀ξ ∈ Tp(1,0)(∂Ω) ∂2r (p)ξ ξ ≥ ij i,j=1 ∂ zi ∂ z j Ω đư c g i mi n gi l i ch t t i p n u d ng Levi xác đ nh dương ch t ∀ξ = Ω mi n gi l i ch t n u Ω mi n gi l i ch t t i m i m c a Ví d Xét không gian ph c C hình c u đơn v B2 = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 < 1} Khi B2 mi n gi l i ch t Th t v y, ta có th ch n hàm xác đ nh c a ∂B2 hàm r(z, w) = |z|2 + |w|2 − Hàm hàm đa u hòa dư i ch t t i m i m (z, w) ∈ ∂B2 27 t c theo t [0, 1], λ1(D) ≤ n2β (2.10) Ch ng minh V i α := n + s (s > 0, r t nh ) γ > 0, ta đ t    [−r(z)]s{[−r(z)]γ − γ} n u z ∈ D∴D   f (z) =    0  n u z ∈ D∴D / Trư c h t, ta th y r ng D (f, f )u = |f (z)|2dVu = D∴ D = D∴ D (−r)n+2s[(−r)γ − (−r)n+1 γ ] J (r) dv [(−r)γ − γ]2J(r)dv < +∞ (−r)1−2s −r(z) ≈ dist(z, ∂D) n u z g n ∂D J(r) b ch n D∴D Ti p theo, ta đ t J(r)(z)dσ(z) C := ∂D Do z→∂ u lim |∂u|2 = β D J(r)(z)dσ(z) = lim t→0 ∂D t ∂D J(r)(z)dσ(z) = C nên t n t i δ( ) > cho |∂u|2 ≤ β(1 + δ( )) D∴D u ∂Dt J(r)(z)dσ(z) − ∂D J(r)(z)dσ(z) ≤ Cδ( ) T b t đ ng th c ta nh n đư c ∀0 > đ nh , ta nh n đư c Vi λ1(D∴D ) ≤ 4β D∴ D u − (α + γ)2e 2(α+γ) dVu D∴ D e−2(α+γ)udVu = 4(α + γ)2β + Cho γ → 0+ α → n, k t qu λ1(D∴D ) ≤ 4 n2 β + = β n + Do tính ch t đơn u theo mi n c a giá tr riêng nên v i m i λ1(D) ≤ λ1(D∴D ) Vì v y λ1(D) ≤ βn2 + Vì bé tùy ý, ta có u ph i ch ng minh 2.3 Giá tr c c đ i c a λ1 m t vài mi n đ c bi t Trong ph n này, s s d ng c lư ng c n c n dư i c a λ1 đ ch ng minh đ nh lý sau Đ nh lý 2.3 Gi s D mi n gi l i b ch n C n v i m t hàm xác đ nh r(z) ∈ C2(Cn) Gi thi t r ng u(z) = − log(−r(z)) hàm 30 >0 đa u hòa dư i ch t D v i β(z) = ∂D Khi ký hi u λ1(D) = λ1(∆u, D), ta có: (a) λ1(D) ≤ λ1(D∴K) ≤ n2 v i b t kỳ t p compact K c a D (b) N u b sung thêm u ki n r(z) hàm đa u hòa dư i D λ1(D) = n2 Ch ng minh a) T k t qu c a hai đ nh lý ta có λ1(D) ≤ λ1(D∴K) ≤ n2 ∀ Kcp ⊂ D b) Do r(z) hàm đa u hòa dư i D, không m t tính t ng quát, ta gi s H(r)(z) xác đ nh dương v i z ∈ D ho c có th s d ng r1(z) = r(z) + (|z|2 − d) thay th cho r(z), v i d đư ng kính c a D T B đ 2.1 ph n (ii), ta có |∂u|2 u |∂r|2 = −r + |∂r|2 ≤ r r nên theo M nh đ 2.1, suy λ1(D) ≥ n2 M t khác, theo Đ nh lý 2.1, ta l i có λ1(D) ≤ n2 Do v y v i r(z) hàm đa u hòa dư i D λ1(D) = n2 T đ nh lý ta d n t i m t h qu quan tr ng sau H qu 2.1 Gi s D m t mi n gi l i ch t, b ch n trơn C n v i hàm xác đ nh r(z) ∈ C2(Cn) u(z) = − log(−r(z) Khi (i) N u n α,β=1 uαβ dzα ⊗ dzβ m t metric K¨ ahler-Einstein D λ1(∆1, D) ≤ n2, u nghi m đa u hòa dư i ch t c a phương 31 trình Monge-Ampère: det H(u) = e(n+1)u D u = ∞ ∂D (ii) N u n α,β=1 uαβ dzα (2.11) ⊗ dzβ m t metric Bergman D, ∂2 log K(z, z) ∂ zi ∂ z j uij = n + K(z, w) hàm nhân Bergman đ i v i mi n D λ1(∆u, D) ≤ n2 Ch ng minh (i) Trư c h t ta quan tâm đ n toán t Laplace-Beltrami trư ng h p metric K¨ ahler-Einstein Gi s u hàm đa u hòa dư i ch t D cho     det H(u) = e(n+1)u      u = +∞   D (2.12) ∂D r(z) = −e−u(z) (2.13) Khi n+1 det H(u) = J(r) −r Do gi thi t v nghi m u c a phương trình Monge-Ampère (2.12), ta có e(n+1)u = J(r) e−u n+1 D dàng th y r ng, t phương trình này, ta nh n đư c J(r) = e(n+1)ue−(n+1)u = e0 = 32 B i đ nh lý quy nghi m c a phương trình Monge-Ampère ph c c a Cheng Yau ([2]), Lee Melrose ([7]), ta có r(z) ∈ Cn+2− (D) v i m i > Vì v y, ∂r = ∂D det H(r) = eu − |∂u|2 u D Do det H(r)(z) b ch n D u(z) → +∞ z → ∂D nên lim |∂u|2 = u z →∂ D Áp d ng Đ nh lý 2.1 v i β = ta có k t qu λ1(D) ≤ n2 K(z, z) n+1 log (ii) Gi s K hàm nhân Bergman Đ t u(z) = u(z) hàm đa u hòa dư i ch t D Đ t r(z) = −e−u(z) r ∈ Cn+2− (D) m t hàm xác đ nh D theo k t qu c a Fefferman ([4]) Gi s ρ ∈ C∞(D) m t hàm xác đ nh đa u hòa dư i ch t b t kỳ D Theo Fefferman ([4]), ta có u(z) = −log(−ρ(z)) + b(z), b ∈ Cn+2− (D) Do [uij] = [(−log(−ρ))ij](In + ρB), (2.14) B m t ma tr n vuông c p n v i t t c ph n t b ch n g n ∂D Đ t u0 = −log(−ρ) t (2.9) ta có zlimD |∂u0|20 = T →∂ phương trình (2.14), có th ch ng minh đư c |∂u0|20(1 + Cρ) ≤ |∂u|2 ≤ |∂u0|20(1 − Cρ) u v iC u u z g n ∂D Vì v y, zlimD |∂u|2 = u →∂ Áp d ng Đ nh lý 2.2 v i β = 1, ta có λ1(D) ≤ n2 đ i v i toán t 33 u Laplace-Beltrami metric Bergman Đó u ph i ch ng minh 34 K t lu n Lu n văn ch ng minh m t cách chi ti t k t qu báo c a Song-Ying Li My-An Tran([16]) Các k t qu bao g m, ch ng minh c lư ng c n c n dư i cho ph c a toán t Laplace-Beltrami mi n gi l i đ c bi t T đưa áp d ng đ đánh giá c n c a giá tr ph mi n gi l i v i metric K¨ ahler-Einstein metric Bergman Lu n văn đưa m t cách ch ng minh m i cho Đ nh lý 2.2 Ch ng minh đơn gi n ng n g n so v i báo g c 35 Tài li u tham kh o [1] S Y Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Zeits., 143 (1975), 289-297 [2] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complex K¨ ahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman's equation, Comm Pure Appl Math., 33 (1980), 507-544 [3] C Fefferman, Monge-Amp` e equations, the Bergman kernel, and er geometry of pseudoconvex domains, Ann of Math., 103 (1976), 395416 [4] C Fefferman, The Bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent Math., 65 (1974), 1-65 [5] L Ji, P Li and J Wang, Ends of locally symmetric spaces with maximal bottom spectrum, J Reine Angew Math., 632 (2009), 1-35 58Jxx(22Exx) [6] S Kong, P Li and D Zhou, Spectrum of the Laplacian on quaternionic K¨ ahler manifolds, J Differential Geom., 78 (2008), 295-332 36 [7] J M Lee and R Melrose, Boundary behavior of the complex MongeAmp` e equations, Acta Math., 148 (1982), 159-192 er [8] P Li, Lecture notes on geometric analysis, Lecture Notes Series, 6, Research Institute of Mathematics and Global Analysis Research Center, Seoul National University, Korea, 1993 [9] P Li, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Handbook of Geometric Analysis, No 1, Advanced Lectu Maths., 7, International press, 2008 [10] P Li and J Wang, Comparion theorem for K¨ ahler manifolds and positivity of spectrum, J Differential Geom., 69 (2005), 43-74 [11] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum II, J Differential Geom., 62 (2002), 143-162 [12] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum, J Differential Geom., 58 (2001), 501-534 [13] S Y Li, Characterization for balls by potential function of K¨ ahlerEinstein metrics for domains in Cn, Comm Anal Geom., 13(2) (2005), 461-478 [14] S Y Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Amp` e equations on weakly pseudoconvex domains, er Calc Var Partial Differential Equations, 20 (2004), 119-132 37 [15] S Y Li, Characterization for a class of pseudoconvex domains whose boundaries having positive constant pseudo scalar curvature, Comm Anal Geom., 17 (2009), 17-35 [16] S Y Li and M A Tran, Infimum of the spectrum of Laplace-Beltrami operator on a bounded pseudoconvex domain with a K¨ ahler metric of Bergman type, Comm Anal Geom., 18(2) (2010), 375-395 [17] of O Munteanu, A sharp estimate for the bottom of the spectrum the Laplacian on K¨ ahler manifolds, J Differential Geom., 83 (2009), 163-187 [18] the S Udagawa, Compact K¨ ahler manifolds and the eigenvalues of Laplacian, Colloq Math., 56(2) (1988), 341-349 38 ... - - - - - - - - TR N TH MAI INFIMUM C A PH C A TOÁN T LAPLACE- BELTRAMI TRÊN MI N GI L I B CH N V I METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60460102 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C NGƯ I HƯ... m t metric K ¨ ahler m t đa t p ph c M Do m i metric Hermit đ u c m sinh m t metric Riemann nên ta có th đ nh nghĩa toán t Laplace- Beltrami tương ng v i metric Riemann < v, w >R,h Trong metric. .. Ωp(M ) * toán t Hogde Đ nh nghĩa 1.4 Toán t Hogde -Laplace Ωp(M ) ∆H = −(dd∗ + d∗d) : Ωp(M ) → Ωp(M ) Toán t Hogde -Laplace đư c liên h v i toán t Laplace- Beltrami sau V i m i hàm trơn f , ta có