Luận văn giải tích malliavn và ứng dụng luận văn ths toán học

118 118 0
  • Loading ...
1/118 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/04/2017, 20:14

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 M cl c L i nói đ u iii Công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng 1.1 Trư ng h p m t chi u 1.1.1 V n đ đ nh y 1.1.2 M t đ c a phân b 1.1.3 1.2 Kỳ v ng có u ki n Trư ng h p nhi u chi u Gi i tích Malliavin Brown 2.1 12 Trư ng h p h u h n chi u 12 2.1.1 Các đ nh nghĩa tính ch t 12 2.1.2 Các toán t vi phân Các tính ch t b n 14 2.2 Trư ng h p vô h n chi u 18 2.2.1 Mi n xác đ nh t p Domp(D) = D1,p 2.2.2 Mi n xác đ nh t p Domp(δ) 20 2.2.3 19 Các tính ch t 20 2.3 2.2.4 Các ví d 25 2.2.5 Công th c Clark - Ocone 30 2.2.6 Mi n xác đ nh t p Domp(L) 31 2.2.7 Công th c tích phân t ng ph n 33 Chuy n đ ng Brown nhi u chi u 34 2.4 hàm b c cao công th c tích phân t ng ph n 41 2.5 ch tán 44 i Các đ o Quá trình khu 2.6 Ph l c Phân tích h n đ n Wiener (Wiener chaos decomposition) 48 Áp d ng vào Tài 3.1 53 Công th c Clark - Ocone danh m c đ u tư tái t o 53 3.2 Tính toán đ nh y 57 3.2.1 T p Delta 59 3.2.2 M t s ví d khác 63 3.3 Kỳ v ng có u ki n 69 3.3.1 Th t c đư ng chéo công th c b n 69 3.3.2 Công th c đ a phương 74 ii L I NÓI Đ U Gi i tích Malliavin đư c hình thành t nh ng năm 70 c a th k XX đ n nh ng năm 80, 90 m t lư ng kh ng l công vi c đư c th c hi n lĩnh v c Lý thuy t ph n l n đư c xây d ng tính toán ng u nhiên Itô nh m m c đích nghiên c u c u trúc phân b c a không gian hàm Wiener Đ u tiên năm 1974, Malliavin dùng tiêu chu n liên t c t đ i đ ch ng minh r ng dư i u ki n Hormander phân b c a trình khu ch tán có m t đ m n v i cách ông ch ng minh đư c đ nh lý xác su t Hormander Sau ngư i ta dùng phương pháp gi i tích nhi u toán khác có liên quan t i trình ng u nhiên Cu i ngư i ta tìm ng d ng c a gi i tích Malliavin phương pháp s xác su t, ch y u lĩnh v c toán tài Nh ng ng d ng khác nh ng phương pháp trư c b i công th c tích phân t ng ph n gi i tích Malliavin đư c dùng đ gi i thích m t cách ch c ch n v n đ thu t toán phi n B c c lu n văn g m ba chương : Chương 1: "Công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng " Chương nh m gi i thi u công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng T ta đưa đư c nh ng k t qu quan tr ng : v n đ đ nh y, m t đ c a phân b kỳ v ng có u ki n Chương 2: "Gi i tích Malliavin Brown" Chương đưa khái ni m v hàm đơn gi n, trình đơn gi n, t khái ni m ngư i ta m i đưa đ nh nghĩa đ o hàm Malliavin Ti p theo đưa đ nh nghĩa tích phân Skorohod, m i quan h gi a tích phân Skorohod v i tích phân Itô, t m i quan h ta th y đư c tích phân Skorohod m r ng c a tích phân Itô th Áp d ng công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng đ suy đư c tính ch t quan tr ng c a tích phân : công th c đ i ng u, quy t c chu i, công th c Clark - Ocone công th c tích phân t ng ph n Malliavin Ngoài chương gi i thi u trình khu ch tán phân tích h n đ n Wiener, t p Domp(D), Domp(δ), Domp(L) Chương 3: "Áp d ng vào tài chính" Ta áp d ng k t qu c a chương iii chương vào chương Trư c tiên áp d ng công th c Clark - Ocone đ tìm danh m c đ u tư tái t o, t c tìm đư c nh ng c phi u φit đ l a ch n vi c đ u tư tái t o; tìm giá c a tùy ch n (H, T ) ki u châu âu t i th i m t, nghĩa t i kỳ h n toán T tương ng v i chi tr ng u nhiên H Áp d ng vi c tính toán đ nh y chương công th c tích phân t ng ph n Malliavin đ tính toán đ nh y Vi c tính toán đ nh y cho ta bi t phương án đ u tư có an toàn hay không, đ nh y th p phương án đ u tư an toàn ngư c l i đ nh y cao c n tính đ n vi c thay đ i phương án đ u tư khác M t áp d ng n a tính kỳ v ng có u ki n, tính kỳ v ng có u ki n giúp ta quy t đ nh có bán c phi u theo giá b o hi m hay không Lu n văn đư c d a s tài li u "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" c a tác gi : Vlad Bally trư ng đ i h c Paris - Est Marne la - Vallée, Lucia Caramellino trư ng đ i h c Roma -Tor Vergata Luana Lombardi trư ng đ i h c L'Aquila Tôi xin t lòng kính tr ng bi t ơn sâu s c đ n th y cô trư ng đ i h c Khoa h c t nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i th y cô vi n Toán h c trang b ki n th c, dìu d t t o u ki n cho th i gian h c t p t i đây, đ c bi t th y TS Nguy n Th nh t n tình hư ng d n, giúp đ , ch b o hoàn thành lu n văn Hà N i, ngày 01 tháng năm 2015 Bùi Hùng Cư ng iv Chương Công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng Trong chương này, ta s nghiên c u m t phép tính Malliavin tr u tư ng, công th c tích phân t ng ph n ta nh n m nh vài k t qu quan tr ng :tính toán đ nh y, m t đ c a phân b kỳ v ng có u ki n 1.1 Trư ng h p m t chi u Cho (Ω, Φ, P) m t không gian xác su t E kỳ v ng chu n P B Ck(Rd) c Ck(Rd) không gian hàm f : Rd → R kh vi liên t c b c k, compact b đ o hàm đư c h n ch t p tương ng Khi hàm kh vi vô h n, ta có t p tương ng C∞(Rd) C∞(Rd) c b Đ nh nghĩa 1.1.1: Cho F, G : Ω → R bi n ng u nhiên kh tích Ta nói r ng công th c tích phân t ng ph n IP (F ; G) n u t n t i bi n ng u nhiên kh tích H(F ; G) cho: IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ C∞(R) c (1.1) Hơn n a, ta có công th c tích phân t ng ph n IPk(F ; G) n u t n t i bi n ng u nhiên kh tích Hk(F ; G) cho: IPk(F ; G) : E(φ(k)(F )G) = E (φ(F )Hk(F ; G)) , ∀φ ∈ C∞(R) c (1.2) Nh n xét 1.1.2: - B ng cách s d ng k t qu tiêu chu n quy, có th ki m tra hàm C∞(R) c IPk(F ; G) có th chuy n thành Ck(R) ho c C∞(R), Ck(R) c b b - Rõ ràng IP1(F ; G) IP (F ; G) H1(F ; G) H(F ; G) Hơn n a, n u ta có công th c IP (F ; G) IP (F ; H(F ; G)) ta s suy công th c IP2(F ; G) v i H2(F ; G) = H(F ; H(F ; G)) Tương t v y cho đ o hàm b c cao Ví d : Trong IPk(F ; 1) cho xác đ nh Hk(F ; 1) ≡ Hk(F ) b ng cách xác đ nh l i: H0(F ) = 1, Hk(F ) = H(F ; Hk−1(F )), k ≥ - N u có công th c IP (F ; G) t E(H(F ; G)) = suy G = (1.1) Hơn n a, H(F ; G) IP (F ; G) không ph i nh t : V i b t kỳ bi n ng u nhiên R th a mãn E(φ(F )R) = (nghĩa E(R |F ) = 0) ta có th s d ng H(F ; G) + R ( th c t E(H(F ; G) |F )) nh t ) Trong s h c u đóng vai trò quan tr ng b i n u ta mu n tính E(φ(F )H(F ; G)) s d ng phương pháp Monte Carlo có th cho ta phương sai t i thi u Cũng lưu ý r ng đ th c hi n thu t toán Monte Carlo ta có mô ph ng F H(F ; G) Trong m t s trư ng h p, H(F ; G) có th tính toán tr c ti p Nhưng gi i tích Malliavin cho ta m t h th ng phép toán đ tính toán u Thư ng ng d ng F l i gi i c a phương trình ng u nhiên H(F ; G) xu t hi n m t s t ng h p c a toán t vi phân F Nh ng u có liên quan t i phương trình ng u nhiên v y ta có th s d ng m t s x p x c a phương trình đ t o thu t toán c th Ví d : Cho f = ∆ G = g(∆) f, g hàm kh vi ∆ bi n ng u nhiên Gauss có kỳ v ng c a phương sai σ Khi đó: E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆)∆ − g (∆)] σ v y ta có công th c IP (F ; G) v i H(F ; G) = g(∆)∆ − g (∆) T σ ti p c a công th c tích phân t ng ph n v i s (1.3) ng d ng tr c có m t c a m t đ Gauss p(x) = √ exp(− x ) ta có : 2 2πσ 2σ E(f (∆)g(∆)) = (x)g(x)p(x)dx f =− (x))dx f (x)(g (x)p(x) + g(x)p = f (x)[g (x) + g(x)p ((x))]p(x)dx − x p = E(f (∆)[g(∆)∆ − g (∆)]) σ Gi i tích Malliavin t o H(F ; G) cho m t l p l n bi n ng u nhiên - (1.3) đ i di n cho ví d đơn gi n ki u này, không ph i m c tiêu c a ph n ta ch đưa m t vài h qu c a tính ch t 1.1.1 V n đ đ nh y Trong nhi u ng d ng ta xem xét đ n nh ng s có d ng E(φ(F x)) F x m t lo i bi n ng u nhiên ch s tham s h u h n x M t ví d n hình F x = Xx t m t trình khu ch tán b t đ u t x Đ nghiên c u đ nh y c a y u t v i tham s x, ta ch ng minh r ng x → E(φ(F x)) kh vi tìm bi u th c đ o hàm c a Có hai cách đ gi i quy t v n đ này, : cách ti p c n theo t ng qu đ o ho c cách ti p c n theo phân b Cách ti p c n theo t ng qu đ o : gi s r ng x → F x(ω) kh vi h u kh p nơi ω ( trư ng h p x → Xx(ω) ví d ) φ kh vi Khi : t ∂xE(φ(F x)) = E (φ (F x)∂xF x) cách ti p c n không th c hi n đư c n u φ không kh vi Cách ti p c n theo phân b : vư t qua tr ng i nh s d ng s uy n chuy n m t đ c a phân b c a F x Vì v y cách ti p c n ta gi thi t r ng F x ∼ px(y)dy x → px(y) kh vi v i m i y Khi đó: ∂xE(φ(F x)) = φ(y)∂xpx(y)dy = φ(y)∂x ln px(y)px(y)dy = E (φ(F x)∂x ln px(F )) 3.3 Kỳ v ng có u ki n Đ tránh ph c t p, ta ch xem xét trư ng h p c a mô hình Black - Scholes Trư ng h p t ng quát ta th a nh n (xem ví d Bouchard, Ekeland Touzi [10]) Dư i đ đo r i ro trung tính, ta có X đư c vi t d dX = (r − η )X dt + it i it j=1 σijXitdWjt v i Xi0 = xi, i = 1, , d x = (x1, , xd) ∈ Rd bi u th véc tơ c a giá tr tài s n ban đ u, r (h ng + s ) t giá giao η ∈ Rd véc tơ c a c t c c a tùy ch n, σ bi u th ma tr n thay đ i d ⋅ d mà ta gi s không suy bi n, W m i tương quan chuy n đ ng Brown d chi u Không m t tính t ng quát, gi s r ng σ ma tr n tam giác, nghĩa σij = v i b t kỳ i < j W chuy n đ ng Brown chu n d chi u Vì v y thành ph n c a Xt có th vi t t it i X = x exp i ht + j=1 t ta đ t i h σijWjt , i = 1, , d (3.29) j m c đích đ nghiên c u kỳ v ng có u ki n , E (Φ(Xt)|Xs = α) < s < t, α ∈ Rd εb(Rd) bi u th l p hàm đo đư c v i t c đ đa th c, + nghĩa |Φ(y)| ≤ C(1 + |y|m) v i m Trong m t s trư ng h p, m c tiêu đ đ xem xét trình ph X v i thành ph n đ c l p mà m t công th c đ i v i kỳ v ng có u ki n đư c cho dư i d ng m t tích Trong bư c hai, m t công th c có th phù h p v i trình X ban đ u v i nghĩa m t hàm (kh ngh ch) cho X t trình ph X 3.3.1 Th t c đư ng chéo công th c b n Theo m c đích đ ra, ta thi t l p Xit = xi exp hit + σiiWit , i = 1, , d 69 (3.30) Như k t qu ban đ u, ta nghiên c u m t chuy n đ i cho phép x lý trình m i X t i v trí c a trình ban đ u X : B đ 3.3.1 Cho t ≥ b t kỳ, t n t i m t hàm kh ngh ch Ft(.) : Rd → Rd cho Xt = Ft(Xt) Xt = Gt(Xt) ta quy c + =1 + j=1 i− i Ft (y) = y i xj y, z ∈ R + t j=1 d v i i = 1, , d; zj e−hjt σ yj e−hjt σ , Gi(z) = zi i−1 ij j=1 ij xj σij = σij ; i, j = 1, , d; σ = σ−1 σjj (3.32) B đ 3.3.2 Gi s d = : Xt = xeµt+σWt v i µ ∈ R, x, σ ∈ R+ W chuy n đ ng Brown m t chi u Gi s f, g : R → R, f có t c đ đa th c g có đ o hàm liên t c Khi v i b t kỳ < s < t ta có s E (f (Xt)g (Xs)) = E f (Xt)g(Xs)σs(∆Ws,t)X t−s ∆Ws,t = (t − s)(Ws + σs) − s(Wt − Ws) Như m t h qu , cho c đ nh b t kỳ α ∈ R ta có công th c sau E (f (Xt)g (Xs − α)) = E f (Xt)σgs((Xs −)α) ∆Ws,t t−s X s Ch ng minh Vi c ch ng minh bao g m áp d ng hai l n công th c tích phân t ng ph n, l n đ u kho ng [0, s] l n th hai [s, t] (i) Công th c tích phân t ng ph n [0, s] Ta có Drg(Xs) = g (Xs)σXs v i b t kỳ r < s Do g (Xs) = b ng phương pháp đ i ng u 70 (3.31) s Drg (Xs)dr σsXs s E (f (Xt)g (Xs)) = E Drg(Xs).f (sXt)dr X σ s = Ef g( ( )δ X s t ) σs Xs s D =E g(Xs )f r f ( Xt ) σs Xs d r (sXt )W s −X σ s s s ta s d ng th c t r ng δ(F ) = F δ(1) − DrF dr = F Ws− DrF dr áp 0 d ng cho F = f (sXt) Bây gi nh c l i r ng DrXu = σXu v i r < u, ta nh n đư c X σ s (Xt) X D r σsX = −f f n [s, t] ( B ng cách dùng l p lu n tương t ( X ( [s, t], ta có th vi t X t ) t s ) i X s ) X + C t ô n f s K h i đ ó E (f (Xt)g (Xs)) = E f s g − Ef t (X h (Xt)g(Xs).Wσs t sXσs + Xs ) )g( Xt s Df (Xt)g( (X ) Xs) dr t Xt s X σ ( t − s ) X r X t í c h g ( X s ) = E t a Ef s s Bây gi ta x lý s h ng (*), "x u" b i s có m t c a đ o hàm c a f : bây gi g(Xs) = E c s t i p f h ( X â n b t q t ) δ σ ( t − s ) X s u n a g n p ó h = E f ( X B ∆ n g(Xsg W s,t ta s d ng th c t r ng Dr g X c (W c h W t− c h s è n ( s X s ) σ ( t − s ) X s = , r ∈ ( s , t ) E (g (Xs)f (Xt)) = E f (Xt)g(Xs) σ s ( t − s ) X s h n Ta nh n xét r ng đ có k t qu ta hoàn toàn gi g thi t r ng f đ y đ (C ), mà không trư ng h p t ng quát, ( * u không th c s ) v o s h n g n y t a c ó k t l u n m t v n đ : ta có th h p lý hóa f b ng cách gi m s phù h p b ng cách s d ng l p lu n v m t đ , ta có u c n ch ng minh Bây gi ta s n sàng ghi k t qu th c c a ph n Đ nh lý 3.3.3 [Công th c I: không đ a phương] Cho < s < t, Φ ∈ εb(Rd) α ∈ Rd c đ nh T p : Xs = Gs(Xs) αs = Gs(α), Gs + đư c xác đ nh (3.31), H(ξ) = 1ξ≥0, ξ ∈ R, σ (3.32) ∆Wis,t = (t − s)(Wis + σiis) − s(Wit − Wis), i = 1, , d (3.33) Khi công th c liên h đ i v i kỳ v ng có u ki n sau : E(Φ(Xt)|Xs = α) = Ts,t [Φ]((α)) α Ts,t [1] : d Ts,t [f ] (α) = E f (Xt) i=1 H(Xis − αis) ∆Wi s,t σiis(t − s)Xis (3.34) Ch ng minh Ta đ t Φt(y) ≡ Φ(y) = Φ ◦ Ft(y), y ∈ Rd , Ft đư c xác đ nh (3.31) + T Xt = Ft(Xt) v i t tùy ý, rõ ràng ta có E(Φ(Xt)|Xs = α) = E Φ(Xt)|Xs = Gs(α) (nh c l i r ng Gs = Fs−1) Vì v y, đ t αs = Gs(α), u đ ch ng minh r ng E(Φ(Xt)|Xs = αs) = Ts,t [f ] (α) = E f (Xt) Ts,t Φ (α) Ts,t [1] (α) d H(Xis − αis) ∆Wi s,t i i=1 σ s(t − s)X s ii Trư c tiên ta gi s r ng Φ(y) = Φ1(y1) Φd(yd), nghĩa Φ có th đư c tách tích c a d hàm, m i hàm ch ph thu c m t bi n đơn thu c εb(R) Trong trư ng h p rõ ràng có d E(Φ(Xt)|Xs = αs) = i=1 72 E Φi(Xit)|Xis = αis (3.35) Bây gi , ta xem xét E(Φi(Xit)|Xis = αis), v i b t kỳ i c đ nh , i = 1, , d Cho {hn}n m t dãy c a C∞ hàm m t đ xác su t R h i t y u t i lư ng Dirac t i n → ∞ Khi ta có th vi t E Φ (Xit)|Xis i E Φi(Xit)hn Xis − αis E hn Xis − αis = nlim = αi s →∞ Đ t Hn hàm phân ph i xác su t liên quan t i hn, ta ph i x lý nh ng đ i lư ng E f (Xit)Hn(Xis − αis) Vì trình Xi nh ng d ng tương t nh ng đ i lư ng ta nghiên c u B đ 3.3.2, ta có th áp d ng u : Hn Xis − αis   = E f (Xit) E f (Xit)Hn Xis − αis ∆Wis,t σiis(t − s)Xis ∆Wis,t = (t − s)(Wis + σiis) − (t − s)(Wit − Wis) B ng cách áp d ng đ nh lý h i t làm tr i Lebesgue, ta có Hn Xis − αis   E Φi(Xit) σiis(t − s)Xs i ∆Wis,t is is  Hn X − α E Φi(Xit)|Xis = αis = nlim →∞ E σiis(t − s)Xs i ∆Wis,t  H Xis − αis   ∆Wis,t E Φi(Xit)  = σiis(t − s)Xis  H Xis − αis E s)Xis ∆Wis,t σiis(t − H(ξ) = lim Hδ(ξ) = 1ξ≥0 Vì v y δ→0 d E(Φ(Xit)|Xs = α s) = i=1 Ts,t Φ (α) E Φi(Xit)|Xis = αis = Ts,t [1] (α) v y (3.35) Φ(y) = Φ1(y1) Φd(yd) Trong trư ng h p t ng quát, phát bi u đư c gi nguyên b ng cách s d ng tham s m t đ : cho tùy ý Φ ∈ εb(Rd), t n t i dãy hàm Φn 73 n ⊂ εb(Rd) cho Φn(Xt) → Φ(Xt) L2 th a mãn m i Φn m t t h p n tính c a hàm tách bi n Vì công th c đ i di n (3.35) v i b t kỳ Φn, b ng cách chuy n qua gi i h n ta có cho Φ Ta có u c n ch ng minh 3.3.2 Công th c đ a phương Bây gi ta th o lu n v công th c liên quan đ n hàm đ a phương N u ta h n ch nh ng u ta quan tâm t i hàm đ a phương d ng tích, trư c tiên ta có th nêu công th c đ a phương cho toán t Ts,t[f ](α) Đt L1 = ψ : R → [0, +∞) ; ψ ∈ C1(R), ψ(+∞) = 0, Ld = {ψ : R → [0, +∞) ; ψ(x) = R ψ(t)dt = d d i=1 ψi(xi), ψi ∈ L1, ∀i} Ta có Đ nh lý 3.3.4 [Công th c II : đ a phương ] Cho b t kỳ ≤ s < t, Φ ∈ εb, α ∈ Rd cho b t kỳ ψ ∈ Ld ta có + Tψ [Φ] (α) s,t E (Φ(Xt)|Xs = α) = Tψ [1] (α) s,t vi  Tψ [f ] (α) = E f (Xt) s,t d  ψi(Xs − α) + i=1 (H − Ψi) Xis − αis  ∆Wis,t (3.36) σiis(t − s)Xis y Ψi bi u th hàm phân b xác su t liên quan đ n ψi : Ψi(y) = −∞ ψi(ξ)dξ Ch ng minh Ch ng minh dư i t s th c t : trư ng h p s chi u d = 1, B đ 3.3.2 cho ta E (f (Xt)g (Xs − α)) = E (f (Xt)(g − Ψ) (Xs − α)) + E (f (Xt)ψ(Xs − α)) = E f (Xt)(g − Ψ)(Xs − α)σs(∆Ws,t)X + E (f (Xt)ψ(Xs − α)) t−s s v y E (f (Xt)g (Xs − α)) = E f (Xt) ψ(Xs − α) + (g − Ψ)(Xs − α)σs(∆Ws,t)X t−s Bây gi s d ng đ ng th c này, vi c ch ng minh c a Đ nh lý 3.3.3 có th đư c l p l p l i ta có u c n ch ng minh 74 s Nh n xét 3.3.5 Chú ý r ng v nguyên t c hàm có th đ a phương hóa khác cho m i toán t , Tψ1 [Φ] (α) E (Φ(Xt)|Xs = α) = Ts,t2 [1] (α) ψ s,t Ta thêm vào m t s chi ti t v hàm đ a phương Đ u tiên ta ph i xem xét b i th c hành (ví d giá toán ng u nhiên ki u M ) công th c không đ a phương không làm vi c ( th c t , thu t toán th i giá) Sau đó, câu h i đ t : l a ch n th ? Chúng ta th o lu n v u Ta b qua vi c ch ng minh có th xem Bally, Caramellino, zanette [7] Ta b t đ u t k t qu c a Đ nh lý 3.3.4 : Đ tính E(Φ(Xt)|Xs = α) ta đánh giá (H − Ψi) Xis − αis   d Tψ [f ] (α) = E f (Xt) s,t ψi(Xis − αis) + ∆Wis,t σiis(t − i=1  s)Xis v i f = Φ f = M t kỳ v ng v y đánh giá thông qua kinh nghi m th c t , nghĩa t nhi u ng d ng M c tiêu bây gi ch n hàm đ a phương ψ cho phép gi m phương sai Đ đ t đư c m c đích này, ta có th đưa t i ưu hóa trư ng h p m t chi u b ng Kohatsu - Higa Petterson [15] Nó x lý vi c tìm ki m hàm đ a phương ψ mà làm c c ti u hóa phương sai tích h p, cho b i :   d (H − Ψi) Xis − αi i=1 I f ( ψ ) = E f ( Xt )  σiis(t − s)Xs i ψi(Xis − αi) + 2 ∆Wis,t dσ (3.37)  d Rd lên đ n h ng s ( đ i v i hàm ψ) s h ng t Tψ [f ] (α) = Ts,t [f ] (α) Khi ta có s,t k t qu sau Đ nh lý 3.3.6 R Cho L1 = ψ : R → [0, +∞) ; ψ ∈ C (R), ψ(+∞) = 0, ψ(t)dt = d Ld = {ψ : Rd → [0, +∞) ; ψ(x) = inf If (ψ) = Khi ta có ψ∈Ld d d ψ∗(x) = j=1 If (ψ∗) d i=1 ψi(xi), ψi ∈ L1, ∀i} ψ∗(xj) j v i ψ∗(ξ) = λ∗e−λ∗j |ξ|/2 m t hàm m t đ xác su t j j 75 Laplace R λ∗ = λ∗[f ] có h phương trình n tính sau : j j λ∗2 + Θ2 ;i E f 2(Xt)Θ2 ;j s,t j i: i=j λ∗2 = j E f ( Xt ) s,t λ ) + Θ ∗2 i: i=j , j = 1, , d (3.38) ;i s,t j ∆Wis,t Θs,t;i = σiis(t − s)Xis , i = 1, , d Trong trư ng h p f = 1, giá tr t i ưu có th vi t m t cách rõ ràng H qu 3.3.7 Ta có − j λ [1] = e h s+σj s j xj t + σ2js(t − s) j ∗ , j = 1, , d σ2js(t − s) j M c đích th c s , d u hi u s ch r ng ch n λ∗ = √ đ th c hi n t t công t−s vi c, v y tránh đư c s c n ng cho thu t toán v i vi c ph i tính toán thêm kỳ v ng Khi f = 1, rõ ràng u đư c suy t H qu 3.3.7 Trong trư ng h p t ng quát, s gi i thích lý thuy t đư c cho sau Đ nh lý 3.3.8 √ Cho b t kỳ j = 1, , d, ta có λ∗[f ] = O j t c λ∗[f ] σ→ t→s j lim lim λj∗[1] = 76 t − s t → s Hơn n a, n u f liên K t lu n : Lu n văn trình bày đư c v n đ sau: 1) Nêu đư c công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng cho c trư ng h p m t chi u, nhi u chi u Áp d ng công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng đ nghiên c u : v n đ đ nh y, m t đ c a phân b , kỳ v ng có u ki n 2) Gi i tích Malliavin c trư ng h p h u h n chi u, vô h n chi u hay chuy n đ ng Brown nhi u chi u đ u đưa đư c đ nh nghĩa : Đ o hàm Malliavin c a bi n ng u nhiên, tích phân Skorohod tính ch t Công th c tích phân t ng ph n Malliavin c trư ng h p riêng trư ng h p t ng quát Nghiên c u đư c trình khu ch tán phân tích h n đ n Wiener 3) Áp d ng ki n th c Chương Chương vào nghiên c u đ tìm Danh m c đ u tư tái t o giúp cho ngư i đ u tư bi t ph i mua vào nh ng c phi u bán nh ng c phi u Nghiên c u đư c đ nh y c a giá c phi u, nghiên c u đư c kỳ v ng có u ki n 77 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Vi t Phú - Nguy n Duy Ti n: Cơ s lý thuy t Xác su t, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2004 [2] Tr n Hùng Thao: Nh p môn Toán h c Tài chính, NXB Khoa h c k thu t, 2004 [3] Đ ng Hùng Th ng: Xác su t nâng cao, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2013 [4] V Bally: An elementary introduction to Malliavin calculus Rapport de recherche 4718 INRIA, 2003 [5] V Bally, M.P Bavouzet, M Messaoud: Integration by parts formula for locally smooth laws and applications to sensitivity computations Annals of Applied Probability, 17, 33-66, 2007 [6] V Bally, L Caramellino, L Lombardi: An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance, 2010 [7] V Bally, L Caramellino, A Zanette: Pricing and Hedging American Options by Monte Carlo methods using a Malliavin calculus approach Monte Carlo Methods and Applications, 11, 121-137, 2005 [8] M.P Bavouzet-Morel, M Messaoud: Computation of Greeks uning Malliavin's calculus in jump type market models Electronic Journal of Probability, 11, 276- 300, 2006 [9] K Bichteler, J.-B Gravereaux, J Jacod Malliavin calculus for processes with jumps Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1987 78 [10] B Bouchard, I Ekeland, N Touzi: On the Malliavin Approach to Monte Carlo Approximation of Conditional Expectations.Finance and Stochastics, 8, 45-71, 2004 [11] N Chen, P Glasserman Malliavin Greeks without Malliavin calculus Stochastic Processes and their Applications, 117, 1689-1723, 2007 [12] E Fourni'e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions, N Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance Finance and Stochastics, 3, 391 - 412, 1999 [13] E Fourni'e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance II Finance and Stochastics, 5, 201 - 236, 2001 [14] P.E Kloeden, E Platen: Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations Applications of Mathematics, Stochastic Modeling and Applied Probability 23, Springer, 1991 [15] A Kohatsu-Higa, R Petterson: Variance Reduction Methods for Simulation of Densities on Wiener Space SIAM Journal of Numerical Analysis, 4, 431-450, 2002 [16] S Kusuoka, D Strook: Applications of the Malliavin calculus II J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 32, 1-76, 1985 [17] N Ikeda, S Watanabe:Stochastic differential equations and diffusion processes North Holland, second ed 1989 [18] D Lamberton, B Lapevre Introduction to stochastic calculus applied to finance Chapman and Hall, London, 1996 [19] P-L Lions, H Reqnier: Calcul du Prix et des Sensibilit'es d'une option Am'ericaine par une M'ethode de Monte Carlo Preprint, 2000 [20] P Malliavin: Stochastic analysis Springer, 1997 79 [21] P Malliavin, A Thalmaier: Stochastic calculus of variations in mathematical finance Springer-Verlag, Berlin, 2006 [22] D Nualart: The Malliavin calculus and related topics Springer-Verlag, 1995 [23] M Sanz-Sol'e: Malliavin calculus, with applications to stochastic partial differential equations EPFL Press, 2005 80 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 M cl c L... đưa đ nh nghĩa tích phân Skorohod, m i quan h gi a tích phân Skorohod v i tích phân Itô, t m i quan h ta th y đư c tích phân Skorohod m r ng c a tích phân Itô th Áp d ng công th c tích phân t ng... trư c b i công th c tích phân t ng ph n gi i tích Malliavin đư c dùng đ gi i thích m t cách ch c ch n v n đ thu t toán phi n B c c lu n văn g m ba chương : Chương 1: "Công th c tích phân t ng ph
- Xem thêm -

Xem thêm: Luận văn giải tích malliavn và ứng dụng luận văn ths toán học , Luận văn giải tích malliavn và ứng dụng luận văn ths toán học , Luận văn giải tích malliavn và ứng dụng luận văn ths toán học

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay