Header Page of 134 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ THANH LAM BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 Footer Page of 134 Header Page of 134 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 134 Header Page of 134 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học, phần toán sơ cấp đẹp thú vị Các toán bất đẳng thức đa dạng đề tài, phong phú chủng loại phù hợp với nhiều đối tượng thuộc cấp học khác Các toán bất đẳng thức lượng giác toán sơ cấp khó khó, giải chúng phương pháp sơ cấp, không vượt giới hạn chương trình toán học phổ thông Trong kì thi chọn học sinh giỏi toán liên quan đến phép tính lượng giác thường ẩn dạng công cụ giải toán Nhiều toán liên quan đến ước lượng tính toán tổng, tích toán cực trị thường có mối quan hệ nhiều đến đặc trưng lượng giác Do đó, toán bất đẳng thức lượng giác đem lại hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Luận văn "Bất đẳng thức toán cực trị lớp đa thức lượng giác" đề cập đến số dạng bất đẳng thức lượng giác mà biểu thức thường đa thức lượng giác Trên sở đó, nội dung luận văn trình bày phần lí thuyết tập liên quan đến bất đẳng thức lượng giác, toán cực trị lớp đa thức lượng giác, từ khai thác thêm ứng dụng đại số giải tích lượng giác hóa số toán đại số, ước lượng đa thức, xấp xỉ đa thức, Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống tổng quan toán bất đẳng thức lượng giác bản, bất đẳng thức liên quan đến đa thức lượng giác Footer Page of 134 Header Page of 134 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng khảo sát đề tài luận văn toán bất đẳng thức lớp đa thức lượng giác hệ thống kiến thức liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, sách chuyên đề bất đẳng thức, đa thức, lượng giác, Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu thầy hướng dẫn, tham khảo ý kiến đồng nghiệp nơi công tác bạn học viên lớp Tổng hợp tài liệu liên quan, nắm vững cốt lõi nội dung kiến thức, từ xếp, trình bày hệ thống khai thác ứng dụng theo đề tài chọn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học từ chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm say mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Mở đầu Chương Một số tính chất hàm số lượng giác đa thức lượng giác Chương Các bất đẳng thức liên quan đến đa thức lượng giác Footer Page of 134 Header Page of 134 Chương Một số áp dụng đại số giải tích Kết luận Footer Page of 134 Header Page of 134 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC 1.1 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1.1 Tính chẵn lẻ hàm số Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 Hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R gọi hàm số chẵn M , M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M f (x) gọi hàm số lẻ M , M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Nhận xét 1.1 Hàm số y = cos x hàm số chẵn Các hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ tập xác định chúng 1.1.2 Tính tuần hoàn phản tuần hoàn hàm số Định nghĩa 1.2 a) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kì a (a > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b) Cho f (x) hàm số tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kì sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kì T mà không tuần hoàn với chu kì bé T Footer Page of 134 Header Page of 134 Nhận xét 1.2 Hàm số y = cos x, hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π Hàm số y = tan x, hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T = π Bài toán 1.1 Cho cặp hàm số f (x), g(x) tuần hoàn M a có chu kì a b, với ∈ Q Chứng minh b F (x) := f (x) + g(x) G(x) := f (x).g(x) hàm tuần hoàn M Định nghĩa 1.3 a) Hàm số f (x) gọi phản tuần hoàn (cộng tính) chu kì b (b > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M b) Nếu f (x) hàm số phản tuần hoàn chu kì b0 M mà không hàm phản tuần hoàn với chu kì bé b0 M b0 gọi chu kì sở hàm phản tuần hoàn f (x) M Bài toán 1.2 Chứng minh hàm phản tuần hoàn M hàm tuần hoàn M Định nghĩa 1.4 Hàm số f (x) gọi hàm tuần hoàn (nhân tính) chu kì a (a ∈ / {−1, 0, 1}) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M Ví dụ 1.1 Xét f (x) = sin(2π log2 x) Khi f (x) hàm tuần hoàn nhân tính chu kì R+ Footer Page of 134 Header Page of 134 Thật vậy, ta có: Với x ∈ R+ 2±1 ∈ R+ f (2x) = sin[2π log2 (2x)] = sin[2π(1 + log2 x)] = sin(2π + 2π log2 x) = sin(2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R+ Định nghĩa 1.5 Hàm số f (x) gọi phản tuần hoàn (nhân tính) chu kì a (a ∈ / {−1, 0, 1}) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1.3 Chứng minh hàm số phản tuần hoàn nhân tính M hàm tuần hoàn nhân tính M 1.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC 1.2.1 Định nghĩa đa thức lượng giác Định nghĩa 1.6 Biểu thức n Ln (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx) (1.1) k=1 a0 , ak , bk ∈ R(k ∈ {1, 2, , n}; |an | + |bn | = 0(n ∈ N∗ ) gọi đa thức lượng giác bậc n (cấp n) với hệ số a0 , ak , bk Định nghĩa 1.7 Nếu đa thức (1.1) tất hệ số bk (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n cos: Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + + an cos nx, (an = 0) (1.2) Footer Page of 134 Header Page of 134 Nếu đa thức (1.1) tất hệ số ak (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n sin: Sn (x) = a0 + b1 sin x + b2 sin 2x + + bn sin nx, (bn = 0) (1.3) 1.2.2 Một số tính chất Sau ta liệt kê số tính chất đơn giản đa thức lượng giác Tính chất 1.1 Cho Lm (x) Ln (x) hai đa thức lượng giác Khi đó: a) Lm (x)+Ln (x) đa thức lượng giác bậc k, với k ≤ max{m, n} b) Lm (x).Ln (x) đa thức lượng giác bậc m + n Tính chất 1.2 Đa thức lượng giác Ln (x) với a0 = có nghiệm Tính chất 1.3 Với đa thức lượng giác Ln (x) dạng (1.1) luôn tìm đa thức đại số Pn (t) Qn−1 (t) có bậc không n n − t cho Ln (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x) Chứng minh Ta có công thức Moivre (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx, n ∈ N Khai triển công thức đồng phần thực phần ảo hai vế ta công thức: Cn0 cosn x − Cn2 cosn−2 x sin2 x + Cn4 cosn−4 sin4 x − = cos nx Cn1 cosn−1 x sin x−Cn3 cosn−3 x sin3 x+Cn5 cosn−5 sin5 x− = sin nx Như vậy, từ công thức ta nhận kết sau: ∃qk−1 (t) cho sin kx = sin xqk−1 (cos x), qk−1 (t) đa thức đại số bậc k − 1, với k ≥ 1, k ∈ N Do n (bk sin kx) = sin xQn−1 (cos x) k=1 Footer Page of 134 Header Page 10 of 134 với n Qn−1 (cos x) = qk−1 (cos x) k=1 cos kx = pk (cos x) pk (t) đa thức đại số bậc k, với k ≥ 1, k ∈ N Suy n a0 + (ak cos kx) = Pn (cos x) k=1 với n Pn (cos x) = pk (cos x) k=1 Vậy tính chất (1.3) chứng minh Từ chứng minh này, ta suy kết sau: Tính chất 1.4 Với đa thức lượng giác Sn (x) dạng (1.3) luôn tồn đa thức đại số Qn−1 (t) để Sn (x) = b0 + sin xQn−1 (cos x) Tính chất 1.5 Với đa thức lượng giác Cn (x) dạng (1.2) luôn tồn đa thức đại số Pn (t) để Cn (x) = Pn (cos x) Pn (t) đa thức bậc n t có hệ số bậc cao an 2n−1 Ngược lại, với đa thức Pn (t) với hệ số bậc cao từ phép đặt ẩn phụ t = cos x ta biển đổi đa thức Cn dạng (2.2) với an = 21−n Bài toán 1.4 Viết công thức biểu diễn cos nx sin nx theo lũy thừa cos x sin x Bài toán 1.5 Biểu diễn hàm số sinn x cosn x dạng đa thức lượng giác Footer Page 10 of 134 10 Header Page 12 of 134 Bài toán 1.9 Cho Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + + an cos nx(a = 0) Chứng minh Cn (0)−Cn π 2π 3π (2n − 1)π +Cn −Cn + .−Cn n n n n = 2nan Hệ 1.1 π 2π (2n − 1)π |Cn (0)| + Cn ( ) + Cn ( ) + + Cn ( ) ≥ 2n|an | n n n π Từ dễ thấy tồn k để Cn (k ) ≥ |an | n Hệ 1.2 Độ lệch so với đa thức lượng giác Cn (x) không nhỏ |an | Hệ 1.3 Độ lệch so với đa thức quy chuẩn Pn (x) đoạn [−1; 1] không nhỏ 21−n Hệ 1.4 Đa thức quy chuẩn có độ lệch nhỏ đoạn [−1; 1] có dạng Pn (cos α) = 21−n cos nα Pn (x) = 21−n cos(n arccos x) độ lệch nhỏ 21−n 1.2.3 Đa thức Chebyshev Định nghĩa 1.8 Các đa thức Tn (x), n ∈ N xác định sau: T0 (x) = 1; T1 (x) = x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x), ∀n > 1, gọi đa thức Chebyshev (loại 1) Footer Page 12 of 134 11 Header Page 13 of 134 Định nghĩa 1.9 Các đa thức Un (x), n ∈ N xác định sau: U0 (x) = 0; U1 (x) = 1, Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x), ∀n > 1, gọi đa thức Chebyshev (loại 2) • Tính chất đa thức Tn (x) Tính chất 1.6 Tn (x) = cos(n arccos x) với x ∈ [−1; 1] Tính chất 1.7 Tn (x) ∈ Z[x] bậc n có hệ số cao 2n−1 hàm chẵn n chẵn, hàm lẻ n lẻ Tính chất 1.8 Tn (x) có n nghiệm đoạn [−1; 1] xk = cos 2k + π, (k = 0, 1, , n − 1) 2n Tính chất 1.9 Tn (x) ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Tn (x) = x = kπ , cos n k∈Z Tính chất 1.10 Đa thức T ∗ (x) = 21−n Tn (x) đa thức bậc n với hệ số bậc cao có độ lệch so với [-1;1] nhỏ tất đa thức bậc n với hệ số bậc cao • Tính chất đa thức Un (x) Tính chất 1.11 Un (x) = sin(n arccos x) √ − x2 với x ∈ (−1; 1) sin nt Tn (x) = , cos t = x, đa thức n sin t bậc n − có hệ số bậc cao 2n−1 hàm chẵn n lẻ, hàm lẻ n chẵn Tính chất 1.12 Un (x) = Footer Page 13 of 134 12 Header Page 14 of 134 Tính chất 1.13 |Un (x)| ≤ n, ∀x ∈ [−1; 1] |Tn (x)| ≤ n2 , ∀x ∈ [−1; 1] Xét hàm số 1 shx = (ex − e−x ), chx = (ex + e−x ) 2 Khi với |x| > Tn (x) = ch(nt), Un (x) = sh(nt) sht x = cht Bài toán 1.10 Chứng minh Un (x) = xUn−1 (x) + Tn−1 (x), ∀x ∈ N∗ , x ∈ R Bài toán 1.11 Chứng minh với m, n ∈ N; n ≥ m x ∈ R Tn+m (x) + Tn−m (x) = 2Tn (x)Tm (x) Bài toán 1.12 Chứng minh Tm (Tn (x)) = Tmn (x), ∀x ∈ R; m, n ∈ N Footer Page 14 of 134 13 Header Page 15 of 134 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC 2.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN Định lý 2.1 (Bất đẳng thức AM - GM) Giả sử x1 , x2 , , xn số không âm Khi √ x1 + x2 + + xn ≥ n x1 x2 + xn n (2.1) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn Định lý 2.2 (Jensen) Giả sử hàm số f (x) liên tục I(a, b), I(a, b) ngầm hiểu số tập [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Khi điều kiện cần đủ để hàm số f (x) lồi I(a, b) f( f (x1 ) + f (x2 ) x1 + x2 )≤ , ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) 2 (2.2) Định lý 2.3 (Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử f (x) g(x) hai hàm đơn điệu tăng (xk ) dãy đơn điệu tăng: x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn Khi trọng (pj ): pj ≥ 0, j = 1, 2, , n; p1 + p2 + + pn = 1, ta có n n pk g(xk ) ≤ pk f (xk ) k=1 Footer Page 15 of 134 n k=1 pk f (xk )g(xk ) k=1 (2.3) 14 Header Page 16 of 134 2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trong phần đề cập đến số bất đẳng thức liên quan đến hàm số lượng giác Các phương pháp giải thường đạo hàm hàm số, sử dụng bất đẳng thức bản, biến đổi lượng giác Ta xét số ví dụ sau Ví dụ 2.1 Chứng minh với x ∈ 0, π , ta có 2 sin x ≤ ≤ π x Ví dụ 2.2 Chứng minh với x ∈ 0, cos x ≥ − Ví dụ 2.3 Cho x ∈ 0, x2 π Chứng minh sin x x > cos x Ví dụ 2.4 Chứng minh 2| sin x| + 2| cos x| ≥ 3, ∀x ∈ R Ví dụ 2.5 Xác định số dương a cho acos 2x ≥ cos2 x, ∀x ∈ R Ví dụ 2.6 Cho a, b hai số thực thỏa mãn cos a + cos b + cos a cos b ≥ Chứng minh cos a + cos b ≥ Footer Page 16 of 134 π , ta có 15 Header Page 17 of 134 Ví dụ 2.7 Với n số tự nhiên x ∈ 0, π Chứng 2(n + 1) minh (1 − cosn x)(1 + cosn x) < tan nx sin x Ví dụ 2.8 Chứng minh (n + 1) cos 2.3 π π − n cos > 1, với n ≥ n+1 n MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC Tương tự phần 2.2, phần ta xét bất đẳng thức mà hàm số lượng giác đa thức lượng giác Ví dụ 2.9 Chứng minh tập giá trị đa thức lượng giác bậc n (n ≥ 1), không chứa số hạng tự (tức a0 = 0) An (x) = a1 cos x+b1 sin x+ .+an cos nx+bn sin nx với a2n +b2n > chứa giá trị dương giá trị âm Hệ 2.1 Tập giá trị đa thức lượng giác bậc n ( n ≥ 1) dạng An (x) = a0 +a1 cos x+b1 sin x+ .+an cos nx+bn sin nx(a2n +b2n > 0) chứa giá trị lớn a0 nhỏ a0 Hệ 2.2 Mọi đa thức lượng giác bậc n (n ≥ 1), không chứa số hạng tự An (x) = a1 cos x + b1 sin x + + an cos nx + bn sin nx có nghiệm thực Footer Page 17 of 134 16 Header Page 18 of 134 Ví dụ 2.10 Cho đa thức n fn (x) = a0 + (ak coskx + bk sinkx) k=1 số thực a0 , ak , bk ∈ R thỏa mãn điều kiện fn (x) > 0, ∀x ∈ R, a2k + b2k = 1, (k ∈ {1, 2, , n}) Chứng minh fn (x) − n ≤ 1, ∀x ∈ R a0 Ví dụ 2.11 Cho đa thức lượng giác f (x) = b1 sin x + b2 sin 2x + + bn sin nx thỏa mãn điều kiện |f (x)| ≤ | sin x|, với x ∈ R, bi ∈ R, i = 1, 2, , n Chứng minh |b1 + 2b2 + 3b3 + + nbn | ≤ Ví dụ 2.12 Cho số thực a, b, c, d Chứng minh với x ∈ R ta có a cos x + b sin x + c cos 2x + d sin 2x ≤ c2 + d2 a = b = Ví dụ 2.13 Cho số thực a, b, A, B Xét đa thức lượng giác f (x) = − a cos x − b sin x − A cos 2x − B sin 2x Chứng minh f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R a2 + b2 ≤ A2 + B ≤ Footer Page 18 of 134 17 Header Page 19 of 134 Nhận xét 2.1 Ví dụ trường hợp đặc biệt định lí đa thức lượng giác nhận giá trị không âm n Nếu f (x) = 1+ (ak cos kx+bk sin kx) ≥ 0, ∀x ∈ R a2i +b2i ≤ k=1 2, ∀i = 1, n − a2n + b2n ≤ Ví dụ 2.14 Cho đa thức lượng giác f (x) = + a cos x + b cos 2x + cos 3x Chứng minh f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R a = b = Ví dụ 2.15 Tồn hay không đa thức Pn (x) = xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an ∈ R[x] thỏa mãn |Pn (x)| ≤ 2, ∀x ∈ [−2, 2] Footer Page 19 of 134 18 Header Page 20 of 134 CHƯƠNG MỘT SỐ ÁP DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 3.1 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài toán 3.1 Tìm giá trị nhỏ hàm số y= 1 + sin x cos x π biết x ∈ (0; ) Bài toán 3.2 Tìm giá trị nhỏ hàm số y= √ sin x + √ cos x với x ∈ 0; π Bài toán 3.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin2 x + sin x cos x − cos2 x + Bài toán 3.4 Xét tất dãy số = x0 ≤ x1 < < x1999 = 2π Tìm giá trị lớn biểu thức 1998 | cos(xi ) − cos(xi+1 )| M= i=0 Bài toán 3.5 Cho hàm số f (x) = sin x Xét tất dãy số (xi ) cho x0 = < x1 < x2 < < x9 = 10π Xác định giá trị lớn biểu thức |f (xi ) − f (xi+1 )| M= i=0 Footer Page 20 of 134 19 Header Page 21 of 134 Bài toán 3.6 Cho hàm số f (x) = sin 2x + cos 2x Xét tất dãy số = x0 ≤ x1 < < x10 ≤ 2π Tìm giá trị lớn biểu thức |f (xi ) − f (xi+1 )| M= i=0 • Lượng giác hóa toán đại số Khi giải toán với hàm nhiều ẩn dạng " Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số u = f (x, y) biết x2 +y = 1", ta chuyển toán lượng giác cách giải đơn giản dễ dàng Quá trình gọi "lượng giác hóa" toán Lúc ta lựa chọn việc đặt x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π) Sau số ví dụ Ví dụ 3.1 Cho x2 + y = Tìm giá trị lớn biểu thức √ A = x + y + y + x Ví dụ 3.2 Trong nghiệm (x, y) bất phương trình x2 + y (x + y) ≥ Hãy tìm nghiệm cho (x + y) đạt giá trị lớn Ví dụ 3.3 (Đề tuyển sinh ĐH, CĐ khối B, năm 2008) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x2 + 6xy) + 2xy + 2y Ví dụ 3.4 (Đại học ngoại thương Hà Nội 1995) Cho x, y > với x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức E= Footer Page 21 of 134 x2 1 + + 4xy +y xy 20 Header Page 22 of 134 Ví dụ 3.5 Tìm a, b để hàm số y= ax + b x2 + nhận giá trị lớn giá trị nhỏ - 3.2 CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC Bài toán 3.7 Cho số thực a, b Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = a sin x + b cos x Bài toán 3.8 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1 y = + cos x + cos 2x + cos 3x Bài toán 3.9 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = − cos 3x + cos 2x + cos x Bài toán 3.10 ( Định lí Fejér) Chứng minh với x ∈ [0; π] với số nguyên dương n ta có 1 sin x + sin 2x + sin 3x + + sin nx ≥ n Bài toán 3.11 Chứng minh với x ∈ R với số tự nhiên n, ta có + cos x + 1 cos 2x + + cos nx ≥ n Bài toán 3.12 Xét dãy số thực {xn }(n = 1, 2, , 2004) thỏa mãn điều kiện π π ≤ x1 , x2 , , x2004 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức y = (sin x1 +sin x2 + .+sin x2004 )( Footer Page 22 of 134 1 + + .+ ) sin x1 sin x2 sin x2004 21 Header Page 23 of 134 3.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ XẤP XỈ VÀ ƯỚC LƯỢNG ĐA THỨC • Ước lượng đa thức Bài toán ước lượng đa thức gồm nhiều dạng toán ước lượng miền giá trị đa thức tập cho trước, ước lượng hệ số đa thức, ước lượng nghiệm đa thức, ước lượng giá trị đạo hàm, Ta xét số toán dạng Ngoài mục ta đưa cách chứng minh định lí Berstein - Markov mô tả mối quan hệ đa thức với đạo hàm Bài toán 3.13 Cho đa thức Pn−1 (x) bậc ≤ n − có hệ số cao a0 , thỏa mãn điều kiện − x2 |Pn−1 (x) ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh |Pn−1 (x)| ≤ n, ∀x ∈ [−1; 1] Bài toán 3.14 Cho đa thức lượng giác P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + + at sin nt thỏa mãn điều kiện |P (t)| ≤ 1, ∀t ∈ R \ { , −2π, −π, 0, π, 2π, } Chứng minh P (t) ≤ 1, ∀t ∈ R \ { , −2π, −π, 0, π, 2π, } sin t Bài toán 3.15 Cho đa thức lượng giác n P (x) = (aj cos jx + bj sin jx) j=0 thỏa mãn điều kiện |P (x)| ≤ 1, với x ∈ R Chứng minh |P (x)| ≤ n, với x ∈ R Footer Page 23 of 134 22 Header Page 24 of 134 Bài toán 3.16 (Định lí Berstein - Markov) Cho đa thức Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an thỏa mãn điều kiện |Pn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh |Pn (x)| ≤ n2 , ∀x ∈ [−1; 1] Bài toán 3.17 (Đề thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc năm 1994) Cho n số nguyên dương ak , bk ∈ R, (k = 0, 1, , n) Chứng minh phương trình n x+ (ak sin kx + bk cos kx) = k=1 có nghiệm khoảng (−π, π) Bổ đề 3.1 (Định lí Roll) Cho f : [a; b] → R hàm số liên tục khoảng đóng [a; b] khả vi khoảng mở (a; b) với a < b Khi tồn giá trị c ∈ (a, b) cho f (c) = f (b) − f (a) b−a • Xấp xỉ hàm số đa thức Trong số hàm số biến thực đa thức coi hàm số đơn giản nhiều phương diện, mặt tính toán Một vấn đề ta quan tâm toán xấp xỉ hàm số cho trước đa thức, đặc biệt tìm điều kiện (cần đủ) để hàm số cho trước xấp xỉ đa thức Ta xét số toán sau Bài toán 3.18 Cho a, a1 , a2 , , an số thực Tồn hay không tồn đa thức Pn (x) = xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an Footer Page 24 of 134 23 Header Page 25 of 134 thỏa mãn điều kiện |Pn (x)| ≤ a, ∀x ∈ [−a; a] Bài toán 3.19 Tìm đa thức P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an , với a0 = thỏa mãn điều kiện (1 − x2 )[P (x)]2 = n2 [1 − P (x)], ∀x ∈ R P (x) đạo hàm P (x) Bài toán 3.20 Cho cj ∈ C, j = 0, 1, , n, c0 = 0, cn = 0, z = eit , t ∈ R Chứng minh h(z) = c0 + c1 z + c2 z + + cn z n |h(z)|2 đa thức lượng giác bậc n theo t Bài toán 3.21 Chứng minh hàm số f (x) = sin2p x (p số tự nhiên) đa thức lượng giác theo cosin Footer Page 25 of 134 24 Header Page 26 of 134 KẾT LUẬN Luận văn trình bày theo hướng hệ thống hóa kiến thức liên quan đến số bất đẳng thức hàm số lượng giác đa thức lượng giác, sở khai thác sâu số toán cực trị lớp đa thức lượng giác áp dụng đại số giải tích Trong chương một, tác giả trình bày số kiến thức sở hàm số lượng giác đa thức lượng giác có dạng n Ln (x) = a0 + (ak coskx + bk sinkx) k=1 a0 , ak , bk ∈ R(k ∈ {1, 2, , n}; |an | + |bn | = 0(n ∈ N∗ ) Trong chương hai, tác giả trình bày kiến thức số bất đẳng thức bản, bất đẳng thức hàm số lượng giác bản, bất đẳng thức liên quan đến đa thức lượng giác Chương ba chương quan trọng nhất, trình bày số toán cực trị hàm số lượng giác, lượng giác hóa số toán đại số, toán cực trị liên quan đến đa thức lượng giác ứng dụng ước lượng đa thức, xấp xỉ đa thức Footer Page 26 of 134 ... thức số bất đẳng thức bản, bất đẳng thức hàm số lượng giác bản, bất đẳng thức liên quan đến đa thức lượng giác Chương ba chương quan trọng nhất, trình bày số toán cực trị hàm số lượng giác, lượng. .. liên quan đến bất đẳng thức lượng giác, toán cực trị lớp đa thức lượng giác, từ khai thác thêm ứng dụng đại số giải tích lượng giác hóa số toán đại số, ước lượng đa thức, xấp xỉ đa thức, Mục đích... MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC Tương tự phần 2.2, phần ta xét bất đẳng thức mà hàm số lượng giác đa thức lượng giác Ví dụ 2.9 Chứng minh tập giá trị đa thức lượng giác bậc