Phần I: mở đầu I- Đặt vấn đề: Trong thời đại hiện nay, các ngành khoa học đợc đặc biệt quan tâm, trong đó Toán học là một bộ môn trí tuệ, đỉnh cao, là chìa khoá mở cửa cho tất cả các ngành khoa học khác, là một trong bốn bộ môn khoa học công cụ của ngành Giáo dục. Toán học là một môn khoa học trí tuệ, giúp cho con ngời phát triển t duy lô gíc, t duy biện chứng, óc phán đoán, kỹ năng tính toán. Nó là tiền đề, là nền tảng vững chắc cho các môn khoa học tự nhiên khác phát triển. Vì vậy bộ môn Toán đóng vai trò then chốt, mũi nhọn trong nhà trờng phổ thông. Để nắm vững kiến thức Toán học, ngời học sinh phải lĩnh hội đợc đầy đủ tri thức do ngời Thầy truyền đạt và muốn học sinh lĩnh hội đầy đủ thì ngời Giáo viên phải có một phơng pháp dạy thích hợp, phù hợp với đối tợng học sinh. Những năm trớc đây phơng pháp dạy học chủ yếu là phơng pháp thuyết trình thụ động, thầy giảng trò tiếp thu một cách máy móc, hoặc thầy giảng giải xen kẽ vấn đáp, giải thích minh hoạ bằng tranhNhững phơng pháp ấy cha phát huy đợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Trong chơng trình toán cấp II hiện nay, các thể loại toán rất đa dạng, phong phú, nhng không ít phức tạp, rắc rối mà học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Một dạng bài toán có thể coi là công cụ của nhiều dạng toán khác, đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử. Để giúp học sinh có đợc kiến thức cơ bản này, qua thực tế giảng dạy và tiếp xúc với học sinh tôi mạnh dạn trình bày một số kinh nghiệm Hớng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử bởi một số lý do sau: Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở của rất nhiều bài toán khác nh: Biến đổi đồng nhất các biểu thức, rút gọn biểu thức, giải phơng trình đa về phơng trình tích Để giải đợc bài toán này đòi hỏi học sinh phải biết và vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích suy đoán. 1 Học sinh phải t duy và nắm chắc các kiến thức liên quan đã học, đồng thời phải có kỹ năng lựa chọn các phơng pháp thích hợp trớc một bài toán cụ thể. Xây dựng cho học sinh một thuật toán về phân tích đa thức thành nhân tử, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực t duy, sáng tạo của học sinh. Đó là lý do tôi chọn đề tài: Hớng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử 2 Phần II: Nội dung Ch ơng I: Các kiến thức cơ bản liên quan 1-Các hằng đẳng thức đáng nhớ. 2-Các bài toán liên quan. 3-Định luật phân phối giữa phép nhân với phép cộng và quy tắc về dấu để sử dụng trong phơng pháp: Đặt nhân tử chung Ví dụ:1. 10x 2 y 5x 3 = 5x 2 .2y 5x 2 .x = 5x 2 ( 2y x) 2. 3x 2 (y 2z) 15x(2z y)= =3x x(y 2z) + 5(y 2z) = = (y 2z)(3x 2 + 5) 4-Định lý về nghiệm của đa thức: Nếu x 0 là nghiệm của đa thức f(x) thì: f(x) = (x x 0 ).g(x) Đặc biệt: Nếu f(x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm x 1 , x 2 thì f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho: x - 1 Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho: x + 1 Ví dụ: a. f(x) = x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) b. f(x) = 2x 2 + 5x +3 = 2(x + 1)(x + 3/2) 3 Ch ơng II: các phơng pháp cơ bản hớng dẫn thực hiện I- các phơng pháp cơ bản: 1- Ph ơng pháp đặt nhân tử chung: Trớc hết ta hiểu rằng: Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức thành dạng tích của các nhân tử. Vấn đề đặt ra là khi nào thì biểu thức không thể phân tích đợc, hay nói cách khác học sinh phải biết biểu thớc nào phân tích đợc, biểu thớc nàokhông phân tích đợc, sau đó ta sử dụng định luật phân phối và quy tắc về dấu để phân tích Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử A = 5a 2 (b 2c) 15a(b 2c) 2 Tìm ra các nhân tử chung: 5a(b 2c) Khi đó ta viết: A = 5a(b 2c)[a 3(b 2c)]= = 5a(b 2c)(a 3b + 6c) Chú ý: Một nhị thức bậc nhất không thể phân tích đợc nữa Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 2x(y z) + (z y)(x + y) Nhận xét rằng: y z = -(z y). Từ đó ta có: B = 2x(y z) (y z)(x + y) = =(y z)[(2x (x + y)] = = (y z)(x y) Ví dụ3: Phân tích đa thức thành nhân tử C = x 3 2x 2 + 2x = =x(x 2 2x + 2) Biểu thức: x 2 2x + 2 = (x 1) 2 + 1 x 01 ; nghĩa là đa thức: x 2 2x + 2 không có nghiệm nên không thể phân tích đợc nữa. Ta cũng có thể dùng phơng pháp phản chứng để chứng minh x 2 2x + 2 không thể phân tích đợc nữa 2- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: 4 Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử D = 4x 2 + 12x + 9 Nhận xét:D không có nhân tử chung nên ta viết: D = (2x 2 ) + 2(2x).3 + 3 2 áp dụng: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 với a = 2x ; b = 3 Ta có:D = (2x) 2 + 2.(2x).3 + 3 2 = (2x + 3) 2 Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử E = (1 8x 6 y 3 Chú ý: Ta viết: 1 = 1 2 = 1 3 = 1 n (nN) Khi đó: E = 1 3 (2x 2 y) 3 áp dụng: a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab +b 2 ) E = (1 2x 2 y)(1 + 2x 2 y +4x 4 y 2 ) Hớng dẫn thực hiện: Nếu đa thức không có nhân tử chung ta nhận định xem có thể áp dụng hằng đẳng thức nào? Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử F = -x 4 y 2 8x 2 y - 16 F = -[(x 2 y) 2 + 2.4x 2 y + 4 2 ] F = -(x 2 y + 4) 2 Trớc hết ta xét hạng tử bậc cao nhất, kết hợp với hạng tử tự do ( nếu có), là luỹ thừa bậc mấy để có thể nhận định dùng hằng đẳng thức nào? Chẳng hạn: D = 4x 2 + 12x +9 có hạng tỷ bậc cao nhất là 4x 2 có dạng: (2x) 2 và hạng tử tự do là 9 = 3 2 Nên ta dùng hằng đẳng thức: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 E = 1 8x 6 y 3 có hạng tỷ bậc cao nhất là: 8x 6 y 3 có dạng: (2x 2 y) 3 và 1 có thể viết: 1 = 1 3 nên ta dùng hằng đẳng thức: a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab +b 2 ) 3- Phơng pháp nhóm các hạng tử: 5 Một đa thức nếu không dùng đợc phơng pháp đặt nhân tử chung, cũng không dùng đợc phơng pháp hằng đẳng thức thì ta xét xem trong các hạng tử, những hạng tử nào có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng thức thì ta nhóm chúng lại với nhau. Ví dụ 7: G = xy 5y + 2x - 10 Rõ ràng G không phân ytích đợc bằng phơng pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức. Ta nhận thấy: xy 5y = y(x 5) và 2x 10 = 2(x 5) hoặc xy + 2x = x(y + 2) và -5y 10 = -5(y + 2) Cả hai hớng đều cho ta kết quả: G = (x 5)(y + 2) G = (y + 2)(x 5) Việc chia nhóm phải đạt đợc mục đích là: Sau đó xuất hiện nhân tử chung của các nhóm Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử H = x 2 + 2x + 1 y 2 Ta nhận thấy: x 2 + 2x = x(x + 2) Nhng 1 y 2 = (1 + y)(1 y). Giữa hai nhóm không có nhân tử chung và ta nhận thấy: x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 Khi đó: H = (x + 1) 2 y 2 là hiệu hai bình phơng nên: H = (x + 1 + y)(x + 1 y) Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử I = 81x 2 6yz 9y 2 - z 2 Ta có:-6yz 9y 2 = -3y(2z + 3y) và 81x 2 z 2 = (9x + z)(9x z) Hai nhóm này không có nhân tử chung. Tơng tự: -6yz z 2 = -z(6y + z) 81x 2 9y 2 = (9 + 3y)(9 3y) cũng không có nhân tử chung. Ta nhận thấy: -(9y 2 + 6yz + z 2 ) = - (3y + z) 2 nên: 6 I = 81x 2 (9y 2 + 6yz + z 2 ) = = 81x 2 - (3y + z) 2 = (9x + 3y + z)(9x 3y z) 4- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử: Khi các phơng pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức và kể cả việc nhóm các hạng tử không cho ta kết quả thì ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm hạng tử hoặc hằng đẳng thức. Thông thờng ta tách hạng tử chứa đa số các thừa số còn lại để xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc tách hạng tử tự do để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử K = x 2 + 5x + 6 Vì K có 3 hạng tử nên việc nhóm hai hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là không thể đợc. Ta tách: 5x = 3x + 2x Khi đó: K = x 2 + 3x +2x + 6 K = (x 2 + 3x) + (2x + 6) = x(x + 3) + 2(x + 3) = = (x + 3)(x + 2) Hoặc K = (x 2 + 2x) + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = = (x + 2)(x + 3) Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử L = x 2 x - 6 L = x 2 3x + 2x 6 = x(x 3) + 2(x + 3) L = (x + 2)(x + 3) Hoặc: L = x 2 x 2 4 = (x 2 4) (x + 2) L = (x 2)(x + 2) (x + 2) = (x + 2)(xx 3) 5- Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử: Đa thức có dạng tổng các bình phơng ta sẽ thêm, bớt cùng một hạng tử sao cho xuất hiện bình phơng của một tổng hay một hiệu ( hoặc lập phơng của một tổng hay một hiệu) Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử M = x 4 + 4 7 Rõ ràng đây là tổng các bình phơng, chứ không phải là một hiệu các bình ph- ơng, nên không thể sử dụng công thức hiệu các bình phơng. Ta nhận thấy: x 4 = (x 2 ) 2 và 4 = 2 2 nên: M = (x 2 ) 2 +4x 2 + 2 2 4x 2 M = (x 2 + 2) 2 (2x) 2 = (x 2 + 2x + 2)(x 2 2x + 2) Chú ý: x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1) 2 + 1 1 x 2 2x + 2 = x 2 2x + 1 + 1 = (x 1) 2 + 1 1 Đều không thể phân tích đợc nữa Ví dụ 13: Giải phơng trình: 5x 2 4(x 2 2x + 1) - 5 = 0 Cách 1: 5x 2 4(x 2 2x + 1) - 5 = 0 5(x 2 1) 4(x 1) 2 = 0 (x 1)[5(x + 1) 4(x 1)] =0 (x 1)(5x + 5 4x + 4) = 0 (x 1)(x + 9) = 0 = = 9 11 x x ở đây ta áp dụng phơng pháp nhóm các hạng tử để phân tích vế trái thành tích. Cách 2: 5x 2 4(x 2 2x + 1) - 5 = 0 5x 2 4x 2 + 8x 4 5 = 0 x 2 + 8x 9 = 0 x 2 + 9x x 9 = 0 x(x + 9) (x + 9) = 0 (x + 9) (x 1) = 0 = = 1 9 x x Ch ơng III: các bớc giải 8 Qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng một số ví dụ ở phần trên tôi mạnh dạn đa ra trình tự các bớc giải bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử nh sau: Bớc 1: Nhận xét bài toán, nếu thấy tất cả các hạng tử có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung Nếu tất cả các hạng tử không có nhân tử chung thì kiểm tra phơng pháp hằng đẳng thức Nếu không sử dụng đợc hai phơng pháp trên thì nhóm các số hạng để làm xuất hiện nhân tử chung, hoặc hằng đẳng thức Nếu việc nhóm các số hạng không xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì ta sử dụng phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử Bớc 2: Tuỳ theo phàan đa thức còn lại đơn giản hay phức tạp mà sử dụng các phơng pháp nh đã sử dụng ở bớc 1. Một vấn đề học sinh còn rất lúng túng và mất nhiều thời gian đó là: Khi nào thì kết thúc quá trình phân tích Do kiến thức về đa thức ở lớp 8 mới dừng ở mức độ khái niệm cơ bản, các em cha đợc trang bị về đa thức bất khả quy nên: Quá trình phân tích sẽ kết thúc nếu các nhân tử là các nhị thức bậc nhất hoặc nếu là các biểu thức từ bậc hai trở lên thì chúng luôn khác 0 (hoặc lớn hơn 0, hoặc nhỏ hơn 0 với mọi giá trị của biến x) Trên đây là các bớc tiến hành giải một bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, chỉ áp dụng đối với những đa thức đơn giản, đặc biệt chỉ sử dụng các phơng phápđã học ở lớp 8. Còn nói chung đối với các đa thức phức tạp hơn sẽ đợc trình bày tỉ mỉ ở phần dành cho học sinh khá giỏi. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi chỉ muốn đa ra những vấn đề cụ thể, bức thiết và đơn giản nhằm gúp các em giải đợc bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng các dạng bài toán khác một cách linh hoạt và thực tế 9 Ch ¬ngIV: c¸c bµi to¸n liªn quan Bµi to¸n1: Cho biÓu thøc: A = 78 55 2 ++ + xx x 10