Chuyên đề hình học giải tích không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Chuyên đề hình học giải tích không gian Quảng Nam, tháng năm 2016 Trần Thông sƣu tầm biên soạn Trang Chuyên đề hình học giải tích không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Mở đầu Trong chƣơng trình Hình học 12, dạng toán liên quan đến đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu không gian dạng toán hay không khó Để làm tốt toán đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ đƣờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều đề thi trung học phổ thông quốc gia nên yêu cầu học sinh phải làm tốt đƣợc dạng toán cần thiết Trong trình giảng dạy, nhận thấy nhiều bạn học sinh lúng túng nhiều trình giải toán liên quan đến đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Nhằm giúp em giảm bớt khó khăn gặp dạng toán mạnh dạn đƣa chuyên đề : “ Hình học giải tích không gian” Trong chuyên đề, tóm tắt lý thuyết, phân loại dạng tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bƣớc giúp học sinh hình thành tƣ tự học, tự giải vấn đề Bên cạnh đó, chuyên đề giới thiệu lại số dạng toán khó, lạ đƣợc sử dụng kỳ thi năm gần để bạn đọc có nhìn tổng quát hình học giải tích không gian Chuyên đề gồm phần: Phần A: Kiến thức cần nhớ Phần B: Bài tập minh họa Phần C: Ứng dụng giải tập hình học không gian túy Phần D: Bài tập trắc nghiệm Mặc dù trình biên soạn tác giả cố gắng để chuyên đề đƣợc hoàn thiện nhƣng có câu, từ làm bạn đọc thấy không hợp lý, tác giả mong nhận đƣợc góp ý từ phía bạn đọc để viết đƣợc hoàn thiện Mọi góp ý từ phía bạn đọc xin gửi cho tác giả qua địa email thongqna@gmail.com, trang facebook www.facebook.com /thong.tranvan.5203 Quảng Nam, ngày 15, tháng 3, năm 2017 Trần Thông Trần Thông sƣu tầm biên soạn Trang Fanpage Hội Toán Bắc Nam Chuyên đề hình học giải tích không gian A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ Hệ trục toạ độ Đề Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với với ba vectơ đơn vị i , j , k  i  j  k  1 Các mặt phẳng  Oxy  ,  Oxz  ,  Oyz  đôi vuông góc với đƣợc gọi mặt phẳng tọa độ a  a1; a2 ; a3   a  a1i  a2 j  a3 k ; M(x;y;z) OM  xi  y j  zk Tọa độ vectơ: cho u( x; y; z), v( x '; y '; z ') z a u  v  x  x '; y  y '; z  z ' b u  v   x  x '; y  y '; z  z ' c ku  (kx; ky; kz) d u.v  xx ' yy ' zz ' e u  v  xx ' yy ' zz '  f u  x2  y  z y O y z z x x y  g u, v    ; ;    yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y    y' z' z' x' x' y'  x h u, v phƣơng [u, v]  k cos  u, v   u.v u.v Tọa độ điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) a AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A ) b AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2 c.G trọng tâm tam giác ABC ta có: x A  xB  xC y y y z z z ;yG= A B C ; zG= A B C 3 xA  kxB y A  kyB z A  kzB ; yM  ; zM  ; d M chia AB theo tỉ số k: xM  1 k 1 k 1 k x x y y z z Đặc biệt: M trung điểm AB: xM  A B ; yM  A B ; zM  A B 2 e ABC tam giác AB  AC  S= AB  AC 1 f ABCD tứ diện AB  AC AD 0, VABCD= AB  AC , AD , VABCD= S BCD h xG=   (h đƣờng cao tứ diện hạ từ đỉnh A) II PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Trần Thông sƣu tầm biên soạn Trang Fanpage Hội Toán Bắc Nam Chuyên đề hình học giải tích không gian Mặt phẳng  qua điểm M(x0;y0;z0) có véc tơ pháp tuyếnlà n  ( A; B; C ) đƣợc xác định phƣơng trình tổng quát A x  x0   B  y  y0   C  z  z0    Ax  By  Cz  D  Bên cạnh đó, mặt phẳng đƣợc xác định điểm M(x0;y0;z0) cặp véc tơ phƣơng u, v * Một số mặt phẳng thƣờng gặp: Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0 Mặt phẳng qua ba điểm A,B,C: có n( ABC )  [ AB, AC] Mặt phẳng  song song với mặt phẳng  n  n Mặt phẳng  vuông góc với mặt phẳng  n  u ngƣợc lại Mặt phẳng  song song với đƣờng thẳng d u  ud Mặt phẳng  vuông góc với đƣờng thẳng d n  ud Phƣơng trình mặt phẳng đoạn chắn qua ba điểm A a,0,0 , B 0, b,0 , C 0,0, c  với a.b.c  x y z   1 a b c * Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Mặt phẳng  đƣợc xác định phƣơng trình tổng quát Ax  By  Cz  D  Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng  đƣợc xác định công thức d(M,)= AxM  ByM  CZ M  D A2  B  C Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Từ nhận xét trên, ta rút công thức tính khoảng cách hai mặt phẳng song song   Ax  By  Cz  D     Ax  By  Cz  D  là: d    ,     D  D A2  B  C * Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng   Ax  By  Cz  D     Ax  By  Cz  D  đƣợc xác định   công thức cos   ,     n.n ' n n' n   A, B, C  , n   A, B, C * Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   Ax  By  Cz  D     Ax  By  Cz  D  Khi đó, vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng   ,    xãy trƣờng hợp sau: A B C  D    A B C D A B C  D Trƣờng hợp 2:   / /        A B C D Trƣờng hợp 1:        Trần Thông sƣu tầm biên soạn Trang Fanpage Hội Toán Bắc Nam Chuyên đề hình học giải tích không gian Trƣờng hợp 3:        A : B : C  A : B : C Trƣờng hợp 4:        A.A  B.B  C.C  III PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG *Đƣờng thẳng  qua điểm M(x0;y0;z0) có véc tơ phƣơng u =(a;b;c) đƣợc xác định bởi:  x  x0  at i.Phƣơng trình tham số:  y  y0  bt ;  z  z  ct  x  x0 y  y0 z  z0   ii.Phƣơng trình tắc: a b c  A1 x  B1 y  C1 z  D1   A2 x  B2 y  C2 z  D2  iii.Đƣờng thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:  n1  ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2  ( A2 ; B2 ; C2 ) hai VÉC TƠ PHÁP TUYẾNvà VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u  [n1 n2 ] * Một số dạng đƣờng phẳng thƣờng gặp: x  x  t x    Đƣờng thẳng Ox:  y   t   ; Oy:  y  t  t   ; Oz:  y   t   z  t z  z     Đƣờng thẳng qua hai điểm A B có véc tơ phƣơng u  AB AB Đƣờng thẳng 1 song song với đƣờng thẳng 2 u  u ; Đƣờng thẳng 1 vuông góc với đƣờng thẳng 2 u  n Mặt phẳng  song song với đƣờng thẳng d u  ud Mặt phẳng  vuông góc với đƣờng thẳng d n  ud * Bài toán khỏang cách Đƣờng thẳng d đƣợc xác định phƣơng trình tổng quát  d  x  x0 y  y0 x  z0   a b c Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến đƣờng thẳng d đƣợc xác định công thức d(M,d)= [ MM , u ] u Khoảng cách hai đƣờng thẳng  d  đƣợc xác định công thức d(d,d’)= x  x0 y  y0 x  z0 x  x0 y  y0 x  z0      d  a b c a b c [u , u '].M M '0 [u, u '] Trần Thông sƣu tầm biên soạn M  d , M 0  d  Trang Chuyên đề hình học giải tích không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam * Bài toán xác định góc Góc hai đƣờng thẳng  d  định công thức cos(d , d )  x  x0 y  y0 x  z0 x  x0 y  y0 x  z0      d  đƣợc xác a b c a b c u.u ' u   a, b, c  , u   a, b, c u u' Góc hai đƣờng thẳng  d  x  x0 y  y0 x  z0   mặt phẳng   Ax  By  Cz  D  a b c đƣợc xác định công thức cos(d , d )  u.n u.n u   a, b, c  , n   A, B, C  * Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Cho hai đƣờng thẳng d qua A, có véc tơ phƣơng u1   a, b, c  đƣờng thẳng d’ qua B có véc tơ phƣơng u2   a ', b ', c ' Khi đó, vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng sảy trƣờng hợp sau: Trƣờng hợp 1: d d’cùng nằm mặt phẳng  u1 , u2  AB   u1 , u2  AB    u1 , u2    Trƣờng hợp 2: d d’ cắt     u1 , u2    Trƣờng hợp 3: d d’ song song với     u1 , AB     u1 , u2     u1 , AB    Trƣờng hợp 4: d d’ trùng với    Trƣờng hợp 4: d d’ chéo  u1 , u2  AB   x  a  bt  Khi hai đƣờng thẳng d:  y  c  dt  t   z  e  ft    x  a  bt   d’:  y  c  d t   t   z  e  f t   cắt số giao a  bt  a  bt   điểm d d’ số nghiệm hệ phƣơng trình c  dt  c  d t   t  e  ft  e  f t  * Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng Trần Thông sƣu tầm biên soạn  Trang Fanpage Hội Toán Bắc Nam Chuyên đề hình học giải tích không gian Cho hai đƣờng thẳng d qua A, có véc tơ phƣơng u1   a, b, c  mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến n   A, B, C  Xét phƣơng trình A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D  () ẩn t ,  +  / /    phƣơng trình (*) vô nghiệm u.n  0, M      +      phƣơng trình (*) có vô số nghiệm u.n  0, M      +    cắt điểm  phƣơng trình (*) có nghiệm u.n   IV PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R đƣợc viết dƣới dạng sau: Dạng 1:  x  a 2   y  b 2   z  c 2  R2 Dạng x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  với R= a2  b2  c2  d *Vị trí tƣơng đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R mặt phẳng  1.d(I, )>R:   (S)= 2.d(I, )=R:   (S)=M (M gọi tiếp điểm).Hay nói cách khác, điều kiện để mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng  tiếp diện mặt cầu (S) M n = IM ) 3.Nếu d(I, )