GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Việc vận dụng kiến thức toán học vào giải vấn đề thực tiễn vấn đề quan trọng dạy học toán trường phổ thông Điều thể từ đề thi THPT quốc gia năm học 2014-2015, 2015 – 2016 gần đề thi minh họa Bộ Giáo dục Trong chương trình sách giáo khoa Toán hành, chương trình Đại số Giải tích , có nhiều chủ đề kiến thức có nhiều lợi việc lồng ghép toán mang tính thực tế cao, chẳng hạn: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn, Phương trình bậc hai, Bất phương trình bậc hai (Lớp 10), Giải tích tổ hợp, Xác suất, Cấp số cộng, Cấp số nhân (lớp 11) , Đạo hàm (Lớp 12), Những chủ đề có vai trò quan trọng việc rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn Tuy nhiên, vì nhiều lý quan tâm, ý khai thác người dạy và người học toán Trong chuyên đề này, cố gắng làm công việc sau đây: - Phân loại tập theo chủ đề kiến thức; - Cố gắng sưu tầm nhiều tốt t́nh thực tiễn từ nêu lên toán cần phải giải quyết, vận dụng kiến thức toán đă học để giải vấn đề; - Xây dựng hệ thống tập theo chủ đề kiến thức Mặc dù đă cố gắng khả hạn chế nên chuyên đề chắn nhiều hạn chế, kính mong quí thầy, cô đóng góp ý kiến để tài liệu tốt tương lai Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Chủ đề đạo hàm Đây công cụ hữu hiệu việc tìm cực trị; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta cho học sinh giải toán thực tiễn hấp dẫn mang nhiều ý nghĩa Ví dụ 1: Một ảnh chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? C Lời giải : Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất, điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) AC AB − tgAOC − tgAOB OA OA = = AC.AB + tgAOC.tgAOB 1+ OA Xét hàm số f(x) = 1,4 B 1,8 1,4 1,4x x = = 3,2.1,8 x + 5,76 1+ x2 A 1,4x x + 5,76 Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn − 1,4 x + 1,4.5,76 Ta có f'(x) = , f'(x) = ⇒ x = ± 2,4 (x + 5,76) Ta có bảng biến thiên x f'(x) + 2,4 _ + 84 193 f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang O GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Ví dụ 2: Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vuông miếng phụ hình vẽ Hãy xác định kích thước miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất? Ta có lời giải toán sau: Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ Hình vẽ Gọi d đường kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh < x < d d(2 − ) ,0 0) chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k = h ⇔ h = kx x V = xyh ⇔ y = V V = xh kx Nên diện tích toàn phần hố ga là: S = xy + 2yh + 2xh = (2k + 1)V + 2kx kx Áp dụng Đạo hàm ta có S nhỏ x = y =2 2kV , h= (2k + 1)2 Hình 2.18 ( 2k + 1) V Khi 4k k(2k + 1)V Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Ví dụ 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Lời giải : Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Ta có: t= = AC CD AE − CE CD + + = = v1 v2 v1 v2 l− h h l − h.cot α h − tan α + sin α = v1 v sin α v1 v2 Xét hàm số: t(α) = l − h.cot α h − v1 v sin α Ứng dụng Đạo hàm ta t (α) nhỏ cos α = Hình 2.20 v2 v2 Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cos α = v1 v1 Ví dụ 6: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, l độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, l - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, l nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) Lời giải : Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy; l = 2y + x = 2S + x x Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Xét hàm số l(x ) = 2S + x x Ta có l' ( x) = − 2S x − 2S +1= x2 x2 S = x l' ( x) = ⇔ x − 2S = ⇔ x = 2S , y = S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x = 2S , y = S mương có dạng thuỷ động học Ví dụ 7: Cần phải đặt điện phía bàn hình tròn có bán kính a Hỏi phải treo độ cao để mép bàn nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C biểu thị công thức C = k sin α ( α góc nghiêng r2 Đ tia sáng mép bàn, k - số tỷ lệ r phụ thuộc vào nguồn sáng) h Lời giải: Gọi h độ cao đèn so với mặt bàn (h > 0) Các ký hiệu r, M, N, Đ, I Hình 2.22 Ta có sin α = N a h 2 h = r − a , suy r I α M Hình 2.22 cường độ sáng là: r2 − a2 C = C(r ) = k (r > a ) r3 Ứng dụng Đạo hàm ta có C lớn r = a h= N a → M v0 Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu , α K P x Hình 2.23 Trang GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Ví dụ 8: Một vật ném lên trời xuyên góc α so với phương nằm ngang, vận tốc ban đầu v0 = m/s a) Tính độ cao vật quỹ đạo xác định thời điểm mà đạt độ cao (g = 10m/s2) b) Xác định góc α để tầm ném cực đại Lời giải: → a) Véc tơ v phân tích thành tổng hai véc tơ theo hai phương vuông góc với (phương ngang phương thẳng đứng) (Hình 2.23) Vật cao uuur uuuur uuur 2 MN = − MP , MP = gt (1) , MN = v − MK 2 2 Suy MN = v − v cos α (2) Từ (1) (2) ⇒ g2 t = v 20 (1 − cos2 α) ⇔ t = Vậy h lớn t = v sin α g v sin α đó: g v sin α maxh = v sin α = g v 20 sin α g b) Vì quỹ đạo vật ném xiên Parabol nên tầm ném vật tính x = MK.2t = v cos α v sin α v sin 2α = g g Ứng dụng Đạo hàm hàm f( α ) = v 20 sin 2α , cho ta tầm ném cực g đại α = 450 Ví dụ 9: Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn A nhất? B1 B d A Chuyên đề Toán ứng dụng.1Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Lời giải : Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = t = 85t − 70 t + 25 Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ (giờ), ta có d ≈ 3,25 (hải lý) 17 Ví dụ 10: Cần phải dùng thuyền để vượt sang bờ đối diện dòng sông chảy xiết mà vận tốc dòng chảy vc lớn vận tốc vt thuyền Hướng thuyền phải để độ dời theo dòng chảy gây nên nhỏ nhất? y B b C z Kx h α → vt α1 A B1 D → E Lời giải toán sau: Giả sử hướng uur uur thuyền, hướng dòng nước chảy theo véctơ vận tốc v t , v n (Hình 2.25) Gọi góc véctơ vận tốc thuyền dòng nước α , y độ dời thuyền dòng nước chảy, b khoảng cách hai bờ sông, ký hiệu x, h, z, α1 , A, B, C, D, E, B1, K (Hình 2.25) Ta có h.vn = vt.vn.sin α (vì diện tích hình bình hành ACDE) Nên h = vt sin α Do α1 + α = 1800 (tổng hai góc phía), Suy z = - vtcos α ⇒ x = - (-vtcos α ) ⇒ x = + vtcos α (x = CD - z) Mặt khác ta có b( v n + v t cos α) bx x h = = (Do KD // BB1) ⇔ y = h v t sin α y b Xét hàm số y(α) = b(cot gα + ) v t sin α Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Ứng dụng Đạo hàm ta có y nhỏ cos α = − vt Ví dụ 11: Một nguồn điện với suất điện động E Er điện trở r nối với biến trở R Với giá trị biến trở công suất tỏa nhiệt mạch đạt R cực đại? Lời giải : Theo công thức: P = RI2 với I = E R+r E2R Suy P = , ( R > 0) (R + r)2 Áp dụng Đạo hàm ta thu P lớn R = r Ví dụ 12: Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ôxít từ nitơ (II) ôxít ôxy Hãy xác định nồng độ khí ôxy tham gia phản ứng để phản ứng xảy nhanh nhất? Lời giải : Phương trình phản ứng: 2NO + O2 = 2NO2 Vận tốc phản ứng: v = kx2y = kx2(100 - x) = -kx3 + 100kx2 (0 < x < 100) Trong x nồng độ % khí NO, y nồng độ % khí O 2, k số phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào chất tham gia phản ứng Áp dụng Đạo hàm ta thu v lớn x = 66,67% Lúc này, nồng độ % khí ôxy y = 33,33% Ví dụ 13: Trong môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian qui luật: p(t) = 1000 + 100t (t thời gian (đơn vị giờ)) 100 + t Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn nhất? Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Áp dụng Đạo hàm ta thu P lớn t = 10 (giờ) Link tải chuyên đề miễn phí (trọn bộ): http://bit.ly/2p33eXh Link tải chuyên đề file word Toán tại: http://bit.ly/2oTWQBt (Coppy link dán vào trình duyệt click vào link) Chuyên đề Toán ứng dụng Nguồn: Thầy Phong Lưu Trang 10 ... THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ Ví dụ 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy