Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z z   z  z  Tính giá trị M.n nhỏ biểu thức P A Gọi M m giá trị lớn giá trị 13 B 39 C 3 D 13 ¾ Cách 1: Re( z ) phần thực số phức z, Im(z) phần ảo số phức z, z ™ Đặt t ™ t2 z  d z  d z  Ÿ t  >0;2@ z  , ta có: 1  z 1  z ™ z2  z 1 œ z.z 1  z.z  z  z z  z  z.z  2Re( z ) Ÿ Re( z ) z z 1  z  2Re( z )  t2  2 2Re( z )  t2  ™ Xét hàm số: f  t t  t  , t  >0;2@ Xét TH: Ö Maxf  t 13 ; Minf  t Ÿ M n 13 ¾ Cách 2: ™ z r  cos x  i sin x a  bi ™ Do z ™ P ­ ° z.z 1Ÿ ® °r ¯ z a  b2  2cos x  2cos x  , đặt t ª cos x  > 1;1@ Ÿ f  t 1º ™ TH1: t  « 1; » ¬ 2¼ f 't ­maxf  t ° 2!0Ÿ®  2t °minf  t ¯ f 1 §1· f¨ ¸ ©2¹ ª1 º ™ TH1: t  « ;1» ¬2 ¼ f 't  2t Ö Maxf  t 2 0œt 13 ; Minf  t  Ÿ maxf  t Ÿ M n § · 13 f ¨ ¸ © 8¹ 13  2t  2t  Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z   4i 2 z   z  i Tính module số phức w M  mi nhỏ biểu thức P A w Gọi M m giá trị lớn giá trị 314 1258 B w C w 137 D w 309 ¾ Cách 1: ™ P 4x  y  Ÿ y ™ z   4i P  4x  œ  x    y  2 § P  4x  · œ  x   ¨  4¸  © ¹ f  x ™ f '  x  x    P  x  11 œ x 0,2P  1,6 Ÿ y 0,1P  1,7 ª P 33 ¬ P 13 ™ Thay vào f  x ta được:  0, P  1,6    0,1P  1,7   œ « 2 ¾ Cách 2: ™ z   4i œ  x    y  2 5:  C ™ (') : x  y   P ™ Tìm P cho đường thẳng ' đường tròn  C có điểm chung œ d  I ; ' d R œ 23  P d 10 œ 13 d P d 33 ™ Vậy MaxP 33 ; MinP 13 ™ w 33  13i Ÿ w 1258 Bài 3: Cho số phức z x  yi  x, y  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z   4i biểu thức P A z z   z  i đạt giá trị lớn Tính z B z C z D z ¾ Giải: ™ z   4i œ  x    y  2 bunhia ™ P x  y   x    y   23 d ­4 x  y  33 ° 2 ° ¯ x    y  ™ MaxP 33 Ÿ ® Chú ý: BĐT Bunhiacopxky: ax  by d a 4 2  22 ª x    y  º  23 33 ¬ ¼ ­x œ® Ÿ z ¯y  b2  x  y Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Dấu “=” xảy khi: a x b y Bài 4: Cho số phức z x  yi  x, y  R thỏa mãn z   4i z  2i m z Tính module số phức w m   x  y i A w B w ¾ Cách 1: ™ z   4i z  2i œ x  y x y t ™ z ™ z  x  y C w D w 42 2 2 ­x  y ­x 2 , Dấu “=” xảy ® œ® Ÿw ¯x y ¯y Chú ý: Với x, y số thực ta có: x  y Dấu “=” xảy x  x  y t 2  4i Ÿ w 2  4i Ÿ w 2 y ¾ Cách 2: ™ z   4i z  2i œ y x2  y ™ z ™ z 4 x x2    x 2  x   t 2 ­x  y 2 Dấu “=” xảy ® ¯x ­x œ® Ÿw ¯y Bài 5: Cho số phức z x  yi  x, y  R thỏa mãn z  i  z  2i Tìm môđun nhỏ z A z z B z ¾ Cách 1: ™ z  i 1 z  2i œ x  y C z D Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn  x  y t ™ x y ™ z x2  y t 2 2 2 Chú ý: Với x, y số thực ta có: x  y 2  x  y t 2 Dấu “=” xảy x  y ¾ Cách 2: ™ z  i 1 ™ z z  2i œ y x y ™ Vậy z x 1 x   x  2 1· 1 § 2¨ x  ¸  t 2¹ 2 © A 2 Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z biểu thức P 1 Gọi M m giá trị lớn nhỏ z  3z  z  z  z Tính M  m B 13 C D 15 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn ¾ Cách 1: ™ Ta có z ™ Đặt t œ z.z z  z  >0;2@ Ÿ t ™ z  3z  z z z2   z  z  z  z  z z  z.z  z t2 1 t2 1 § 1· 3 ™ P t  t 1t ¨t  ¸  t © 2¹ 4 ™ Vậy minP ; maxP t 15 ™ M n 2 ¾ Cách 2: Cách bạn Trịnh Văn Thoại 2  z2  z Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn ™ P z  3z  z  z  z ™ P z  z 1 z  z t z  3z  z z  zz z  z z2   z  z  z 1  z  z Đến bạn tự tìm max Bài 7: Cho số phức a, b, c, z thỏa az  bz  c  a z Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình bậc hai cho Tính giá trị biểu thức P z1  z2  z1  z2   z1  z1 2 A P 2 c a C P c a B P c a D P ™ Ta có : z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2   z1  z2  z1  z2 c a 2 z1  z2 ™ Khi P z1 z2 ™ Ta lại có: z1 z2 c ŸP a z1 z2 c a Bài 8: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 z1 z2 z3 Mệnh đề đúng? 2 2 2 2 2 2 A z1  z2  z2  z3  z3  z1 số ảo B z1  z2  z2  z3  z3  z1 số nguyên tố C z1  z2  z2  z3  z3  z1 số thực âm D z1  z2  z2  z3  z3  z1 số ™ Chứng minh công thức: 2 z1  z2  z2  z3  z3  z1 ™ Ta có: z vế trái: 2 2 z1  z2  z3  z1  z2  z3 z.z z1  z2   zn z1  z2   zn Áp dụng tính chất ta có Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn z     z2 z1  z2   z2  z3 z2  z3   z3  z1 z3  z1 z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z2 z1  z2 z3  z3 z2  z3 z1  z1 z3 2    z1  z2  z3  z1 z1  z2  z3  z2 z1  z2  z3  z3 z1  z2  z3  z1  z2  z3   z1  z2  z3 z1  z2  z3 2 2 2 z1  z2  z3  z1  z2  z3 2 ™ Áp dụng công thức chứng minh suy ra: z1  z2  z2  z3  z3  z1 số nguyến số Bài 9: Có số phức z thỏa mãn hai điều kiện z A.5 B C z z  z z 1? D Phạm Minh Tuấn ™ Ta có: z z.z ™ Đặt z cos x  i sin x, x > 0;2S @ Ÿ z2 ™ z z  z z 1œ z z z.z 2 œ cos x cos 2x  i sin 2x ª «cos x 1œ « «cos x «¬  ™ Giải phương trình lượng giác với x  >0;2S @ nên ta chọn giá trị ­ S 5S 7S 11S S 2S 4S 5S ½ ; ; ; ; ¾ x ® ; ; ; ¯6 6 3 3 ¿ ™ Vậy có số phức thỏa điều kiện đề cho Bài 10: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1 z1  z2  z3 z Tính P A P 1999 z1 z2  z2 z3  z3 z1 z1  z2  z3 P 999,5 z2 z3 1999 Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn B P 19992 P 5997 Giải: § z1 z2  z2 z3  z3 z1 · § z1 z2  z2 z3  z3 z1 · ¸ ¸ ¨¨ ¸ z  z  z z  z  z © ¹© ¹ ™ P2 ¨ ™ Mặc khác: z1 ™ Suy P z2 z3 1999 œ z1 z1 z2 z2 z3 z3 ­ ° z1 ° °° 1999 Ÿ ® z2 ° ° ° z3 °¯ 1999 z1 1999 z2 1999 z3 § 1999 1999 1999 1999 1999 1999   ¨ § z1 z2  z2 z3  z3 z1 · ¨ z1 z2 z2 z3 z3 z1 ¨ ¸¨ 1999 1999 1999 © z1  z2  z3 ¹¨   z z z3 © · ¸ ¸ 1999 ¸ ¸ ¹ Ö P 1999 Bài 11: Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1z  z2 r Tính Min, Max z  z3 Max z2 r ; Min  z3  z1 z1 z r   z3 z1 z1 Áp dụng: Cho số phức z thỏa mãn  2i  2i z   2i trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P A) M.n 25 B) M.n 20 Gọi M n giá z   3i Tính M.m C) M.n 24 D) M.n 30 Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Áp dụng Công thức với z1  2i  2i ; z2  2i , z 3  3i; r ta Max 6; Min Bài 12: Dạng Tổng quát: Dạng: z1z  z2  z1z  z2 k  z2 Ta có: Min z a  bi; z2 c  di; z x  yi k z1 Max z z1 k với z1 Chứng minh công thức: z1z  z2  z1z  z2 t z1z  z2  z1z  z2 Ta có: k 2z1z œ z d k Suy z1 k z1 Max z Mặc khác: z1z  z2  z1z  z2  ax  by  c   ay  bx  d kœ   ax  by  c   ay  bx  d Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: k d  ax  by  c   ay  bx  d 2   ax  by  c   ay  bx  d 2 1  ª«¬ ax  by  c   ay  bx  d   ax  by  c   ay  bx  d º»¼  a  b  x  y   c  d 2 2 Suy z Áp dụng: 2 2 x2  y t 2  k  c  d2  a2  b2 k  z2 z1 2 Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Cho số phức z thỏa mãn z   z  Gọi m z M max z , M.n bằng: B A Cho số phức z thỏa mãn iz  3 C 2  iz  1 i i 1 Gọi m z M max z , M.n bằng: B 2 A C 3  i Tính giá trị nhỏ 2 Bài 13: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 2 D z1  z2  z3 biểu thức P A Pmin C Pmin B Pmin D Pmin 2 Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P t 3 z1 z2 z3 Mặc Khác: z1 z2 z3  i œ z1z2 z3 2 Suy P t Dấu “=” xảy z1 Bài 14: Cho số phức z biểu thức P œ z1 z2 z3 z2 z3 1 x  yi với x, y số thực không âm thỏa mãn 2 z  z  i §¨ z  z ·¸ ª z 1  i  z   i º Giá trị lớn giá trị nhỏ ¼ © ¹¬ P là: A 1 z3 z   2i C Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn B 1 z3 z   2i D 1œ z3 z   2i œ x  y P 16x2 y  8xy , Đặt t § xy· xy Ÿ d t d ¨ ¸ © ¹ ª 1º Ÿ P 16t  8t , t  «0; » Ÿ MaxP 0; MinP ¬ 4¼ Bài 15: Cho số phức z thỏa mãn z P 1 Tính giá trị nhỏ biểu thức  z   z2   z3 A Pmin C Pmin B Pmin D Pmin Ta có: z P Ÿ z 1  z   z2   z3 Bài 16: Cho số phức z thỏa mãn A max z B max z   z  z  z   z t  z  z  z   z 6z  i d Gọi M  3iz 2 6z  i d œ z  i d  3iz œ z  i d  3iz  3iz max z C max z D max z  6z  i  z  i d   3iz   3iz œ  z  i  z  i d   3iz   3iz œ z.z d 1 œ z d œ zd 9 Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn a  bi ,  a, b  Bài 17: Cho z thỏa z2   z P b2  a2  12 Mệnh đề sau đúng?   z  z 2 A P B P C P  z  D P  z  2 2 Đề Đặng Thúc Hứa Giải: z    z œ a2  b2    2ab  a2  b2 2 Chọn b Ÿ a4  4a2  16 Ÿ a 1  i Ÿ z Suy P 1  i § · Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P ¨ 1  i  ¸ © ¹ Bài 18: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Ÿ Nhận Gọi M max z   i , m z   i Tính giá trị biểu thức M  n2 A M  m2 28 C M  m2 26 B M  m2 24 D M  m2 20 z   3i œ  x    y  2 z   i Ÿ  x    y  Đặt P Lấy (1)-(2) ta được: y P (2) với P ! P  10  x Thay vào (1) : § P  10  x ·  3¸  x   ¨ © ¹ (1)   œ 52 x  40  12 P x  P  P  52 (*) Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Để PT (*) có nghiệm thì: '  40  12P Vậy M   4.52 P  4P  52 t œ 14  13 d P d 14  13 14  13 , m Bài 19: Cho số thức z  14  13 Ÿ M  m2 * thỏa mãn z  28 d M z3 max z  Khẳng định sau z đúng? C  M  A 1  M  B  M  D M  M  M  Giải: § 1· ¨z z ¸ © ¹ œ z  z 3 § 1· z3   ¨ z  ¸ œ z3  z¹ z z © § § 1· 1· ¨ z  z ¸  3¨ z  z ¸ © ¹ © ¹ 3 § § § § 1· 1· 1· 1· ¨ z  z ¸  3¨ z  z ¸ œ ¨ z  z ¸  3¨ z  z ¸ d © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 3 § 1· § 1· 1 Mặt khác: ¨ z  ¸  ¨ z  ¸ t z  3 z z¹ z¹ z z © © Suy ra: 1 z  z  d , đặt t z z z t  3t  d œ  t   t  d Ÿ t d Ÿ z  t , ta được: z d2 z Bài 20: Cho số phức z thỏa mãn  z   i 1  i 1  i 2017 Khi số thức w z   i có phần ảo bằng: A ‚( z) 21008  C ‚( z) 21008 B ‚( z) 21008  D ‚( z) 21008  Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Giải: Chọn D  z   i 1  i 1  i 2017 œ  z   i   i   i 1  i 2018 1009 œz w ª  i º «¬ ¼» 3i   i i 1   21008 i   i   i 1009 ¬ª 2i ¼º 3i  21008 i   i  21008  i  Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn  5i z 42  3i  15 Mệnh đề z đúng:  z 2 B  z 3 A C D  z  Giải: Chọn B 1  5i z z42  3i  15 42 œ   i z  3i   i z 42 œ   5i  z  3i œ 1 z œ z   z 4  5i z  3i 2 42 œ z  z  4.42 z 42 z 0œ z ... f ¨ ¸ © 8¹ 13  2t  2t  Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z   4i 2 z   z  i Tính module số phức w M  mi nhỏ biểu thức... z  z z  z  z.z  2Re( z ) Ÿ Re( z ) z z 1  z  2Re( z )  t2  2 2Re( z )  t2  ™ Xét hàm số: f  t t  t  , t  >0;2@ Xét TH: Ö Maxf  t 13 ; Minf  t Ÿ M n 13 ¾ Cách 2: ™ z r  cos x