Bài giảng Phương trình vi phân dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

98 237 0
  • Loading ...
1/98 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 28/04/2017, 09:40

Bài giảng Phương trình vi phân dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc.Trân trọng.ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢOhttp:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htmhoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên) ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LIÊN VƯƠNG LÂM Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản Quảng Ngãi - 2013 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LIÊN VƯƠNG LÂM Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản Quảng Ngãi- 2013 Mục lục Mở đầu v PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.1 Các định nghĩa khái niệm 1.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp 1.1.3 Bài toán Cauchy ý nghĩa hình học 1.2 Sự tồn nghiệm toán Cauchy 1.3 Các loại nghiệm phương trình vi phân 1.3.1 Nghiệm tổng quát 1.3.2 Nghiệm riêng 1.3.3 Nghiệm kỳ dị Phương trình biến số phân ly 1.4.1 Phương trình biến số phân ly 1.4.2 Phương trình chuyển biến số phân ly 1.4 1.5 Phương trình 11 1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 14 1.7 1.6.1 Phương pháp biến thiên số Lagrange 14 1.6.2 Phương pháp Bernoulli 16 1.6.3 Phương pháp thừa số tích phân 17 Phương trình vi phân Bernoulli 18 i ii 1.8 Phương trình vi phân Dacbu 20 1.9 Phương trình vi phân Ricati 21 1.10 Phương trình vi phân toàn phần 23 1.11 Thừa số tích phân 24 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM 2.1 Các phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm dạng đặc biệt 28 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 28 ✏ fi ♣x, yq Phương trình dạng F ♣x, y ✶ q ✏ Phương trình dạng dy dx 28 29 Phương trình không chứa biến số độc lập 31 Phương trình Lagrange phương trình Clero 32 2.2.1 Phương trình Lagrange 32 2.2.2 Phương trình Clero 33 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 36 3.1 Các khái niệm mở đầu 36 3.2 Định lý tồn nghiệm 37 3.2.1 Định lý tồn nghiệm 38 3.2.2 Các loại nghiệm phương trình vi phân cấp n 38 3.3 Tích phân trung gian- tích phân đầu 3.4 Phương trình vi phân cấp cao giải cầu phương 40 3.5 40 3.4.1 Phương trình chứa biến số độc lập đạo hàm cấp cao 40 3.4.2 Phương trình chứa đạo hàm cấp n cấp ♣n ✁ 1q 42 Phương trình vi phân cấp cao hạ cấp 44 3.5.1 Phương trình không chứa hàm phải tìm đạo hàm đến cấp k 44 3.5.2 Phương trình không chứa biến số độc lập 45 iii PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP n 48 4.1 Định nghĩa tính chất 48 4.2 Lý thuyết tổng quát phương trình tuyến tính cấp n 4.3 Phương trình tuyến tính không cấp n 49 53 4.3.1 Nghiệm tổng quát 53 4.3.2 Phương pháp biến thiên số Lagrange 54 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT 5.1 5.2 Phương trình tuyến tính với hệ số 59 5.1.1 Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực khác 60 5.1.2 Phương trình đặc trưng có n nghiệm khác có nghiệm phức 61 5.1.3 Phương trình đặc trưng có nghiệm bội 62 5.1.4 Phương trình tuyến tính không với hệ số 62 Phương trình tuyến tính cấp hai y ✷   p♣xqy ✶   q ♣xqy 5.2.1 5.2.2 5.3 ✏ Đưa phương trình dạng không chứa đạo hàm cấp 67 67 Phương trình tuyến tính cấp hai tự liên hợp 68 Sự giao động nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai 70 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 6.1 6.2 59 75 Các khái niệm mở đầu 75 6.1.1 Hệ phương trình- nghiệm hệ phương trình 75 6.1.2 Ý nghĩa học 76 Mối quan hệ phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp 78 6.2.1 Chuyển PTVP cấp n hệ n phương trình vi phân cấp 78 6.2.2 Chuyển hệ n phương trình vi phân cấp PTVP cấp n 78 6.3 Định lý tồn nghiệm 79 6.4 Các loại nghiệm hệ phương trình vi phân 80 6.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 81 6.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không 82 6.7 Một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân 83 6.7.1 Phương pháp khử 83 6.7.2 Phương pháp toán tử 85 6.7.3 Phương pháp tổ hợp tích phân 86 Tài liệu tham khảo 90 iv Mở đầu Phương trình vi phân toán xuất phát từ học, vật lý, sinh học Trong trình nghiên cứu sinh phương trình mà nghiệm hàm cần tìm với đạo hàm cấp hàm số Việc tìm hàm số giải phương trình vi phân Khi giải phương trình vi phân tìm tính chất nghiệm phương trình vi phân làm cho người học, sinh viên ngành toán học, có nhìn chặt chẽ đường cong, tích phân toán tiếp tuyến học học phần trước Sau học môn Phương trình vi phân, người học trang bị kiến thức để tiếp cận môn học bậc học phương trình đạo hàm riêng, toán cho vật lý, phương trình toán lý Đối với chương trình Cao đẳng sư phạm Toán, học phần Phương trình vi phân có thời lượng tín tương ứng với 30 tiết Học phần chủ yếu giới thiệu cho người học đại cương Phương trình vi phân, cách giải số phương trình vi phân dạng đặc biệt, sơ lược hệ phương trình vi phân Chúng viết giảng phương trình vi phân sở tham khảo tài liệu tham khảo, xếp cách hệ thống nhằm mục đích tạo cho người học tiếp cận môn học dễ v dàng Không giống ngành kỹ thuật, quan tâm nhiều đến yếu tố " tính chất toán học" học phần Bài giảng chia thành chương: Chương 1: Phương trình vi phân cấp Chương 2: Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm Chương 3: Phương trình vi phân cấp cao Chương 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp n Chương 5: Một số phương trình tuyến tính cấp n dạng đặc biệt Chương 6: Hệ phương trình vi phân thời lượng tín nên giảng sâu số vấn đề Người học tham khảo thêm [1] Cuối chương, có soạn thêm số tập Người học làm thêm tập thuộc học phần [2] Lần biên soạn nên không tránh khỏi sai lầm thiếu sót Chúng mong nhận góp ý chân thành bạn đọc Chân thành cảm ơn Quảng Ngãi, tháng 12 năm 2013 Liên Vương Lâm vi Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1 Các khái niệm mở đầu Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm biến độc lập Phương trình vi phân đời vào kỷ 17 từ nhu cầu toán học Phương trình vi phân đời đồng thời với phép tính tích phân Đến kỷ 18, phương trình vi phân trở thành ngành toán học độc lập nhờ vào công trình Bernoulli, D’Alembert Euler Sau số dụ dẫn đến phương trình vi phân dụ 1.1 Một vật có khối lượng m rơi tự với lực cản không khí tỉ lệ với vận tốc rơi Gọi v ♣tq vận tốc rơi vật, có hai lực tác động lên vật trọng lực F1 ✏ mg chiều với chuyển động vật lực cản không khí F2 ✏ ✁αv♣tq Theo định luật hai Newton a✏ dv ,F dt ✏ F1   F2 ✏ mg ✁ αv Ñ m dv ✏ mg ✁ αv dt Trong phương trình có hàm cần tìm v ♣tq đạo hàm Đây phương trình vi phân dụ 1.2 Một kim loại nung đến 1000 C đặt môi trường có nhiệt độ không đổi 200 C Tìm quy luật thay đổi nhiệt độ kim loại Gọi T ♣tq nhiệt độ kim loại thời điểm t Theo quy dT luật Newton giảm nhiệt vật tốc độ giảm nhiệt tỉ lệ dt với hiệu nhiệt độ vật thể nhiệt độ môi trường thời điểm T ♣tq ✁ 20 Cho nên dT dt 1.1.1   ✟ ✏ ✁k T ♣tq ✁ 20 , k →0 Các định nghĩa khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Một phương trình chứa đạo hàm vi phân một vài hàm cần tìm gọi phương trình vi phân Nếu phương trình chứa đạo hàm biến độc lập gọi phương trình vi phân thường, phương trình có chưa đạo hàm riêng gọi phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 6.1.3 Tập hợp điểm Γ ✏ t♣x, ϕ1 ♣xq, ϕ2 ♣xq, ☎ ☎ ☎ , ϕn ♣xqq, x € ♣a; bq✉ gọi đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1 ♣xq, ϕ2 ♣xq, ☎ ☎ ☎ , ϕn ♣xq Định nghĩa 6.1.4 Không gian Rn gọi không gian pha Tập hợp điểm γ ✏ t♣ϕ1♣xq, ϕ2♣xq, ☎ ☎ ☎ , ϕn♣xqq, x € ♣a; bq✉ gọi đường cong pha hay quỹ đạo pha • Đường cong pha chứa không gian pha • Không gian Rn 1 gọi không gian pha suy rộng • Đường cong tích phân chứa không gian pha suy rộng 6.1.2 Ý nghĩa học • Xem t biến độc lập, x1 , x2 , ☎ ☎ ☎ , xn tọa độ điểm không gian pha Rn • Hệ phương trình vi phân cấp ✩ dx1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✫ dx ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dxn ☎☎☎ dx ✏ ✏ F1 ♣t, x1 , x2 , ☎ ☎ ☎ , xn q F2 ♣t, x1 , x2 , ☎ ☎ ☎ , xn q ☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎ ✏ Fn♣t, x1, x2, ☎ ☎ ☎ , xnq 76 (1.2) • Hệ phương trình hệ phương trình chuyển động điểm không gian pha Rn • Hệ (1.2) độc lập với biến t hay ✩ dx1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✫ dx ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dxn ☎☎☎ dx ✏ ✏ F1 ♣x1 , x2 , ☎ ☎ ☎ , xn q F2 ♣x1 , x2 , ☎ ☎ ☎ , xn q ☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎ ✏ Fn♣x1, x2, ☎ ☎ ☎ , xnq (1.3) vận tốc vector không thay đổi theo thời gian • Hệ phương trình xác định trường vận tốc dừng hay gọi hệ ô-tô-nôm dụ 6.1 Hệ phương trình ✩ dx ✬ ✫ dt dy ✬ ✪ dt ✏y ✏ ✁x hệ dừng • Không gian pha R2 • Hệ có nghiệm x ✏ C1 cos♣t ✁ C2 q; y • x2   y ✏ ✁C1 sin♣t ✁ C2q ✏ C12 nên không gian pha chuyển động hệ xét đường tròn tâm O bán kính ⑤C1 ⑤ 77 6.2 Mối quan hệ phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp 6.2.1 Chuyển PTVP cấp n hệ n phương trình vi phân cấp • Đặt y ✏ y1; y✶ ✏ y2, ☎ ☎ ☎ , yn ✏ y♣n✁1q • Khi có hệ n phương trình vi phân cấp ✩ dy1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✬ ✬ dy ✬ ✫ ✏ ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dyn ☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎ ✏ f ♣x, y1, y2, ☎ ☎ ☎ , ynq dx ☎☎☎ dx 6.2.2 y2 y3 Chuyển hệ n phương trình vi phân cấp PTVP cấp n dụ 6.2 Xét hệ phương trình vi phân ✩ dx ✬ ✫ dt dy ✬ ✪ dt ✏ ✏ 3x ✁ 2y 2x ✁ y d2 x • Vi phân hai vế phương trình đầu dt • Thay phương trình hai vào d2 x dt2 ✁ dx   x ✏ dt 78 dy ✏ dx ✁ dt dt dụ 6.3 Xét hệ phương trình vi phân ✩ dx ✬ ✫ dt ✬ ✪ dy dt ✏ ✏ y x • Cộng hai vế phương trình • Suy x   y d ♣x   yq ✏ x   y dt ✏ C1et • Trừ hai phương trình cho • Suy x ✁ y 6.3 d ♣x ✁ yq ✏ ✁x   y dt ✏ C2e✁t Định lý tồn nghiệm Định lý 6.3.1 Xét hệ phương trình vi phân ✩ dy1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✬ ✬ dy ✬ ✫ dx ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dyn ☎☎☎ dx ✏ ✏ f1 ♣x, y1 , y2 , ☎ ☎ ☎ , yn q f2 ♣x, y1 , y2 , ☎ ☎ ☎ , yn q (4.1) ☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎ ✏ fn♣x, y1, y2, ☎ ☎ ☎ , ynq Nếu hàm fi liên tục giới nội miền G ⑨ Rn hàm fi thỏa mãn điều kiện Lipchitz Khi hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện Cauchy ban đầu 79 6.4 Các loại nghiệm hệ phương trình vi phân Nghiệm tổng quát- nghiệm riêng- nghiệm kỳ dị Định nghĩa 6.4.1 Hệ n hàm khả vi liên tục theo x phụ thuộc vào n số yi ✏ ϕi♣x, C1, C2, ☎ ☎ ☎ , Cnq gọi nghiệm tổng quát hệ phương trình a) Với ♣x0 , y10 , ☎ ☎ ☎ , yn0 q € G xác định số Ci b) Khi thay yi vào hệ phương trình ta đồng thức Định nghĩa 6.4.2 Nghiệm hệ phương trình mà điểm tính nghiệm toán Cauchy đảm bảo gọi nghiệm riêng Nếu tính nghiệm bị phá vỡ gọi nghiệm kỳ dị 80 6.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 6.5.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ phương trìnhdạng ✩ dy1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ dy2 dx ✏ ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dyn ☎☎☎ dx p11 ♣xqy1   p12 ♣xqy2   ☎ ☎ ☎   p1n ♣xqyn p21 ♣xqy1   p22 ♣xqy2   ☎ ☎ ☎   p2n ♣xqyn ☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎ ✏ pn1♣xqy1   pn2♣xqy2   ☎ ☎ ☎   pnn♣xqyn (6.1) Trong hàm pij ♣xq liên tục ♣a; bq Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý 6.5.1 Giả sử y1 ♣xq, y2 ♣xq, ☎ ☎ ☎ , yn ♣xq nghiệm (6.1) Khi nghiệm tổng quát hệ phương trình Y ♣xq ✏ c1 y1 ♣xq   c2 y2 ♣xq   ☎ ☎ ☎   cn yn ♣xq số ci tùy ý 81 6.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không Định nghĩa 6.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không hệ phương trìnhdạng ✩ dy1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ dx ✬ ✬ ✬ dy ✬ ✫ dx ✏ ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dyn ☎☎☎ dx p11 ♣xqy1   p12 ♣xqy2   ☎ ☎ ☎   p1n ♣xqyn   f1 ♣xq p21 ♣xqy1   p22 ♣xqy2   ☎ ☎ ☎   p2n ♣xqyn   f2 ♣xq ☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎ ✏ pn1♣xqy1   pn2♣xqy2   ☎ ☎ ☎   pnn♣xqyn   fn♣xq (7.1) Trong hàm pij ♣xq liên tục ♣a; bq Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính không Định lý 6.6.1 Giả sử y1 ♣xq, y2 ♣xq, ☎ ☎ ☎ , yn ♣xq nghiệm (6.1) y ✝ ♣xq nghiệm hệ phương trình tuyến tính không Khi nghiệm tổng quát hệ phương trình (7.1) Y ♣xq ✏ c1 y1 ♣xq   c2 y2 ♣xq   ☎ ☎ ☎   cn yn ♣xq   y ✝ ♣xq số ci tùy ý 82 6.7 Một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân 6.7.1 Phương pháp khử Nội dung phương pháp: đưa hệ phương trình vi phân phương trình vi phân cấp cao cách đạo hàm phương trình khử hàm chưa biết để lại hàm số dụ 6.4 Xét hệ ✩ dx ✬ ✫ ✏ dt ✬ ✪ dy ✏ dt y t2 3x   t Từ phương trình đầu ta có y ✏t dx dt Ñ dy dt ✏ 2t dx dt   2d y t dt Từ phương trình hai ta có dx dt ✏ 3x   3t y ✏ 3x   3t dx dt Cho nên t2 d2 x dt2 dx   dx ✏ 3x   3t dt dt suy 2d x t dt ✁ t dx ✁ 3x ✏ dt c1 Giải phương trình vi phân cấp hai ta x♣tq ✏   c2 t3 cho t dx nên y ✏ t2 ✏ ✁c1   3c2t2 Cho nên nghiệm hệ dt ✩ c1 ✬ ✫x♣tq ✏   c t3 t ✬ ✪y ♣tq ✏ t2 dx ✏ ✁c   3c t2 dt 83 dụ 6.5 Xét hệ phương trình ✩ dx ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ dt ✏ dy ✏ ✬ dt ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dz ✏ dt 2y 2z 2x Đạo hàm phương trình thứ ta d2 x dt2 ✏ dy dt dy d2 x vào phương trình thứ hai ta dt dt Đạo hàm tiếp ta dz d3 x ✏ dt3 dt dz vào phương trình thứ ba ta Thế dt d3 x dt3 ✏ 4z ✁ 8x ✏ Ta phương trình vi phân cấp ba theo x Giải phương trình theo x thay vào phương trình thứ nhất, thứ hai hệ ta nghiệm hệ ✩ ✬ ✬ x ✬ ✬ ✬ ✫ ✏ y✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪z ✏ ❄ ❄ c1 e2t   e✁t ♣c2 cos 3t   c3 sin 3tq ❄ ❄ ❄ c1 e2t   e✁t ♣♣c3   c2 q cos 3t ✁ ♣c3   c3 q sin 3tq ❄ ❄ ❄ ❄ c1 e2t ✁ e✁t ♣♣c3   c2 q cos 3t ✁ ♣c3   c3 q sin 3tq 84 6.7.2 Phương pháp toán tử Nội dung: Trường hợp hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số phương pháp khử nêu tiến hành nhờ toán tử vi phân việc giải hệ phương trình vi phân giống giải phương trình đại số tuyến tính d Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm D ✏ dt D ✏ d2 , , Dk dt ✏ dk dtk Khi hệ phương trình vi phân biểu diễn hệ phương trình đại số dụ 6.6 Giải hệ phương trình ✩ ✬ ✫x✷   x✶   2y ✏ ✬ ✪x✶ ✁ 3x ✁ 2y ✏ 0 Viết hệ dạng toán tử sau ✩ ✬ ✫Dx   ♣D   2qy ✏ ✬ ✪♣D ✁ 3qx ✁ 2y ✏ Khử x ta ♣D2 0   D ✁ 6qy ✏ Đây hệ phương trình vi phân tuyến tính câp hai y ✷   y ✶ ✁ 6y ✏ Giải phương trình ta y ♣tq ✏ c1 e2t   c2 e✁3t Thế y vào phương trình đầu ta có x✶ ✁ 3x ✏ 2c1 e2t   2c2 e✁3t 85 Giải phương trình tuyến tính ta tìm x ✏ ✁2c1 e2t ✁ c2 e✁3t dụ 6.7 Giải hệ phương trình ✩ ✬ ✫x✷ t ♣ q   y✶♣tq ✁ x♣tq   y♣tq ✏ ✁1 ✬ ✪x✶ ♣tq   y ✶ ♣tq ✁ x♣tq ✏ t2 Viết hệ dạng toán tử sau ✩ ✬ ✫ D2 ♣ ✁ 1qx   ♣D   1qy ✏ ✁1 ✬ ✪♣D ✁ 1qx   Dy ✏ t2 Khử y ta x♣3q ♣tq ✁ x✷ ♣tq ✁ x✶ ♣tq   x♣tq ✏ ✁2t ✁ t2 Giải phương trình vi phân tuyến tính không ta x♣tq ✏ ✁t2 ✁ 4t ✁   c1 et   c2 tet   c3 e✁t Thay vào phương trình hai ta nghiệm hệ phương trình ✩ ✬ ✫x t ♣ q ✏ ✁t2 ✁ 4t ✁   c1et   c2tet   c3e✁t ✬ ✪y ♣tq ✏ ✁t2 ✁ 2t ✁ ✁ c et ✁ 2c e✁t 6.7.3 Phương pháp tổ hợp tích phân Nội dung: tổ hợp phương trình cách thích hợp để phương trình dễ lấy tích phân dụ 6.8 Giải hệ 86 phương trình ✩ dx ✬ ✫ ✏ dt ✬ ✪ dy ✏ dt x2 y y ✁ xy t Nhân phương trình thứ với y, phương trình thứ hai với x cộng lại ta y Thế xy dx dt xy d♣xy q xy   x dy ✏ Ñ ✏ t Ñ xy ✏ c1t dt t dt ✏ c1t vào phương trình thứ ta t2 c1 dx ✏ c1 tx Ñ x ✏ c2 e dt Thế vào phương trình ta y ✏ Vậy nghiệm hệ t2 c1 ✁c1 te , c2 ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫x ✬ ✬ ✬ ✬ ✪y c2 ✏ t2 c2 e ✏ t2 c1 ✁c1 te c2 c1 dụ 6.9 Giải hệ phương trình ✩ dx ✬ ✬ ✫ dt dy ✬ ✬ ✪ dt ✏ x 2x   3y y 2x   3y ✏ 87 ✘ với điều kiện x♣0q ✏ 1; y ♣0q ✏ Chia phương trình thứ cho phương trình thứ hai ta dx dy ✏ xy Ñ x ✏ c1y Ta lập tổ hợp thứ hai sau dx dt   dy ✏ Ñ 2dx   3dy ✏ dt Ñ 2x   3y ✏ t   c2 dt Từ ta ✩ ✬ ✬ ✫x ✏ ✬ ✬ ✪y ✏ c1 ♣t   c2 q 2c1   t   c2 2c1   Sử dụng điều kiện ban đầu ta c1 hệ ✩ ✬ ✫x ✏ ✬ ✪y ✏ ✏ , c2 t 1 t 2 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1:Giải hệ phương trình ✩ dx ✬ ✫ dt dy ✬ ✪ dt ✏ ✏ x y x✁y Bài 2:Giải hệ phương trình ✩ dx ✬ ✬ ✫ dt dy ✬ ✬ ✪ dt ✏ x 2x   3y y 2x   3y ✏ 88 ✏ nên nghiệm Bài 3:Giải hệ phương trình ✩ dy ✬ ✬ ✫ z ✏ dx ♣z ✁ y q2 dz y ✬ ✬ ✪ ✏ dx ♣z ✁ y q2 Bài 4:Giải hệ phương trình ✩ dx ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ dt dy ✬ dt ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ dz dt ✏ ✏ ✏ x✁y z✁t x✁y z✁t x✁y 1 89 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn- Phạm Phu ,(2007), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thế Hoàn- Trần Văn Nhung ,(2007),Bài tập Phương trình vi phân, NXB Giáo dục [3] Đỗ Công Khanh ,(2000),Giải tích nhiều biến, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh [4] Đỗ Công Khanh- Ngô Thu Lương- Nguyễn Minh Hằng,(2003),Toán cao cấp (Toán 4), Chuỗi Phương trình vi phân, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [5] Nguyễn Đình Phư ,(2002) ,Bài tập phương trình vi phân, Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh 90 ... đạo hàm cấp hàm số Vi c tìm hàm số giải phương trình vi phân Khi giải phương trình vi phân tìm tính chất nghiệm phương trình vi phân làm cho người học, sinh vi n ngành toán học, có nhìn chặt chẽ... phần Bài giảng chia thành chương: Chương 1: Phương trình vi phân cấp Chương 2: Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm Chương 3: Phương trình vi phân cấp cao Chương 4: Phương trình vi phân. .. gọi phương trình vi phân thường, phương trình có chưa đạo hàm riêng gọi phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1.2 Cấp cao đạo hàm có phương trình gọi cấp phương trình vi phân Ví dụ 1.3 Các phương
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài giảng Phương trình vi phân dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng, Bài giảng Phương trình vi phân dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng, Bài giảng Phương trình vi phân dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

Mục lục

Xem thêm

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay