I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: T GIC NI TIP Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt tứ giác nột tiếp) 2) Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 -Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đờng tròn 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số hai góc đối diện 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc II) Bài tập Bài tập Cho ABC vuông A Trên AC lấy diểm M vẽ đờng tròn đờng kính MC Kẻ BM cắt đờng tròn D Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn S Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp ã ã = ACD b) ABD ã c) CA phân giác SCB Bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vuông góc với AD Chứng minh: a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp b) CA phân giác BCF c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD Bài tập Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập Cho tam giác vuông ABC ( A = 90 ; AB > AC) điểm M nằm đoạn AC (M không trùng với A C) Gọi N D lần lợt giao điểm thứ hai BC MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đờng tròn đờng kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh: a Bốn điểm A, M, N B thuộc đờng tròn b CM phân giác góc BCS TA TC = c TD TB Bài tập Cho đờng tròn (O) điểm A nằm đờng tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đờng tròn (M, N tiếp điểm) cát tuyến cắt đờng tròn P, Q Gọi L trung điểm PQ a/ Chứng minh điểm: O; L; M; A; N thuộc đờng tròn ã b/ Chứng minh LA phân giác MLN c/ Gọi I giao điểm MN LA Chứng minh MA2 = AI.AL d/ Gọi K giao điểm ML với (O) Chứng minh KN // AQ e/ Chứng minh KLN cân Bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chứng minh rằng: Các tứ giác AEHF, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài tập Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đờng kính AD đờng tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E nằm đờng tròn tâm N HE// CD b) M tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF Bài tập 10 Cho đờng tròn tâm O điểm A bên đờng tròn Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đờng tròn ( B C tiếp điểm) Gọi Hlà trung điểm DE a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ã b) Chứng minh: HA tia phân giác BHC c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) BH cắt (O) K Chứng minh: AE // CK Bài tập 11 Từ điểm S đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đờng tròn a) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S,A,E,O,B thuộc đờng tròn b) Nếu SA = AO SAOB hình gì? sao? AB.CD AC.BD = BC DA = c) Chứmg minh rằng: Bài tập 12 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài tập 13 Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By vuông góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vuông góc với CI C cắt By K Đ ờng tròn đờng kính IC cắt IK P 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn Bài tập 14 Cho ABC vuông A Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn cắt AB E, cắt AC F a) Chứng minh AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh:BEFC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF d) Gọi M là giao điểm CE BF Hãy so sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Bài tập 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bài tập 16 T im M ngoi ng trũn (O) v tip tuyn MA v MB Trờn cung nh AB l y i m C V CD AB; CE MA; CF MB Gi I l giao im ca AC v DE; K l giao im ca BC v DF Chng minh rng: a) T giỏc AECD; BFCD ni tip c b) CD2 = CE.CF c) IK CD Bài tập 17 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh DMC b) Chứng minh MB + MC = MA c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc d) Khi M Di động cung nhỏ BC D di động đờng cố định ? Bài tập 18 Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn 3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Bài tập 19 Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đờng tròn (O) qua B C (BC không đờng kính (O)) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh: AE2 = AB.AC Tứ giác AEOF Năm điểm A; E; O; I; F nằm đờng tròn ED song song với Ac Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc đờng thẳng cố định Bài tập 20 Cho ABC có góc nhọn A = 45 Vẽ đờng cao BD CE ABC Gọi H gia điểm BD CE a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp DE b) Tính tỉ số BC c) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh OA DE PHN II: I S CN THC BIN I CN THC Dng 1: Tỡm iu kin biu thc cú cha cn thc cú ngha Bi 1: Tỡm x cỏc biu thc sau cú ngha.( Tỡm KX ca cỏc biu thc sau) 1) 3x 8) x2 + 2) 2x 9) x2 3) 4) 5) 6) 7) 7x 14 2x x x 3x + 11) 2x 5x + 12) 7x + x +3 7x 2x x 10) 13) 14) x 5x + x + 3x 5x 6x + x + Dng 2: Bin i n gin cn thc Bi 1: a mt tha s vo du cn a) ; b) x (với x > 0); x c) x ; d) (x 5) x ; 25 x e) x x2 Bi 2: Thc hin phộp tớnh a) ( 28 14 + ) + ; d) b) ( + 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 + 200 450 ) : 10 ; f) g) 3; 20 + 14 + 20 14 ; + + 5; 11 + 11 h) +7 26 + 15 26 15 Bi 3: Thc hin phộp tớnh a) ( 216 ) 82 b) 14 15 + ): c) + 15 + 10 Bi 4: Thc hin phộp tớnh a) (4 + 15 )( 10 6) 15 c) 3+ e) 6,5 + 12 + 6,5 12 + b) d) (3 5) + + (3 + 5) 4+ + Bi 5: Rỳt gn cỏc biu thc sau: a) c) 24 + + 24 + 5+2 52 + 5+ b) d) 3 +1 3 +1 3+ 5 + 3+ Bi 6: Rỳt gn biu thc: a) + 13 + 48 b) + + 48 10 + 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Bi 7: Rỳt gn biu thc sau: a b +b a a) : , với a > 0, b > a b ab a b c) a + a a a , với a > a b) + a + a a a + 2a a ; a4 d) 5a (1 4a + 4a ) 2a c) 3x + 6xy + 3y 2 e) x y2 Bi 8: Tớnh giỏ tr ca biu thc a) A = x 3x y + 2y, x = ;y = 9+4 b) B = x + 12x với x = 4( + 1) 4( 1) ; )( ( ) c) C = x + y , biết x + x + y + y + = 3; d) D = 16 2x + x + 2x + x , biết 16 2x + x 2x + x = e) E = x + y + y + x , biết xy + (1 + x )(1 + y ) = a Dng 3: Bi toỏn tng hp kin thc v k nng tớnh toỏn x x Bi 1: Cho biu thc P = a) Rỳt gn P b) Tớnh giỏ tr ca P nu x = 4(2 - ) c) Tớnh giỏ tr nh nht ca P a2 + a 2a + a + Bi 2: Xột biu thc A = a a +1 a a) Rỳt gn A b) Bit a > 1, hóy so sỏnh A vi A c) Tỡm a A = d) Tỡm giỏ tr nh nht ca A 1 x + x 2 x + x Bi 3: Cho biu thc C = a) Rỳt gn biu thc C b) Tớnh giỏ tr ca C vi x = c) Tớnh giỏ tr ca x C = Bi 4: Cho biu thc M = a + 2 a b a b2 a b : 2 a a b a) Rỳt gn M b) Tớnh giỏ tr M nu a = b c) Tỡm iu kin ca a, b M < x x + (1 x) Bi 5: Xột biu thc P = x x + x + a) Rỳt gn P b) Chng minh rng nu < x < thỡ P > c) Tỡm giỏ tr ln nht ca P Bi 6: Xột biu thc Q = x x + x +1 x x +6 x x a) Rỳt gn Q b) Tỡm cỏc giỏ tr ca x Q < c) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x giỏ tr tng ng ca Q cng l s nguyờn xy x y3 Bi 7: Xột biu thc H = xy x y : ( ) x y + xy x+ y a) Rỳt gn H b) Chng minh H c) So sỏnh H vi H Bi 8: Xột biu thc A = + a a : a + a a a + a a a) Rỳt gn A b) Tỡm cỏc giỏ tr ca a cho A > c) Tớnh cỏc giỏ tr ca A nu a = 2007 2006 Bi 9: Xột biu thc M = 3x + 9x x +1 x + x+ x x + x a) Rỳt gn M b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x giỏ tr tng ng ca M cng l s nguyờn Bi 10: Xột biu thc P = 15 x 11 x 2 x + + x + x x x +3 a) Rỳt gn P b) Tỡm cỏc giỏ tr ca x cho P = c) So sỏnh P vi Ch 2: PHNG TRèNH BC HAI NH Lí VI-ẫT Dng 1: Gii phng trỡnh bc hai Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh 1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x 7,5 = ; 5) x2 4x + = ; 6) x2 2x = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 2( - 1)x - = Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau bng cỏch nhm nghim: 1) 3x2 11x + = ; 2) 5x2 17x + 12 = ; 3) x2 (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 19x 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 11x + 30 = ; 9) x2 12x + 27 = ; 10) x2 10x + 21 = Dng 2: Chng minh phng trỡnh cú nghim, vụ nghim Bi 1: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim 1) x2 2(m - 1)x m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 (2m 3)x + m2 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x 4m 12 = ; 2 5) x (2m + 3)x + m + 3m + = ; 6) x 2x (m 1)(m 3) = ; 7) x2 2mx m2 = ; 8) (m + 1)x2 2(2m 1)x + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bi 2: a) Chng minh rng vi a, b , c l cỏc s thc thỡ phng trỡnh sau luụn cú nghim: (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = b) Chng minh rng vi ba s thc a, b , c phõn bit thỡ phng trỡnh sau cú hai nghim phõn bit: 1 + + = (ẩn x) xa xb xc c) Chng minh rng phng trỡnh: c 2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = vụ nghim vi a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc d) Chng minh rng phng trỡnh bc hai: (a + b)2x2 (a b)(a2 b2)x 2ab(a2 + b2) = luụn cú hai nghim phõn bit Bi 3: a) Chng minh rng ớt nht mt cỏc phng trỡnh bc hai sau õy cú nghim: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bn phng trỡnh (n x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chng minh rng cỏc phng trỡnh trờn cú ớt nht phng trỡnh cú nghim c) Cho phng trỡnh (n x sau): 2b b + c ax x+ =0 (1) b+c c+a 2c c + a bx x+ =0 (2) c+a a+b 2a a + b cx x+ =0 (3) a+b b+c vi a, b, c l cỏc s dng cho trc Chng minh rng cỏc phng trỡnh trờn cú ớt nht mt phng trỡnh cú nghim Bi 4: a) Cho phng trỡnh ax2 + bx + c = Bit a v 5a + 4b + 6c = 0, chng minh rng phng trỡnh ó cho cú hai nghim b) Chng minh rng phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a 0) cú hai nghim nu mt hai iu kin sau c tho món: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dng 3: Tớnh giỏ tr ca biu thc i xng, lp phng trỡnh bc hai nh nghim ca phng trỡnh bc hai cho trc Bi 1: Gi x1 ; x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh: x2 3x = Tớnh: 2 A = x1 + x ; C= B = x1 x ; 1 + ; x1 x D = ( 3x1 + x )( 3x + x1 ) ; E = x1 + x ; F = x1 + x Lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim l 1 x1 x2 Bi 2: Gi x1 ; x2 l hai nghim ca phng trỡnh: 5x2 3x = Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: 3 A = 2x1 3x1 x + 2x 3x1x ; x x1 x x B= + + + ; x x + x1 x1 + x1 x 2 3x + 5x1x + 3x C= 2 4x1x + 4x1 x Bi 3: a) Gi p v q l nghim ca phng trỡnh bc hai: 3x + 7x + = Khụng gii phng trỡnh hóy thnh lp phng trỡnh bc hai vi h s bng s m cỏc nghim ca nú l b) Lp phng trỡnh bc hai cú nghim l p q q p 1 10 72 10 + Bi 4: Cho phng trỡnh x2 2(m -1)x m = a) Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú hai nghim x1 ; x2 vi mi m 1 y = x + b) Vi m 0, lp phng trỡnh n y tho y1 = x1 + x2 x1 Bi 5: Khụng gii phng trỡnh 3x + 5x = Hóy tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau: A = ( 3x1 2x )( 3x 2x1 ) ; B= x1 x + ; x x1 C = x1 x2 ; D= x1 + x + + x1 x2 Bi 6: Cho phng trỡnh 2x2 4x 10 = cú hai nghim x1 ; x2 Khụng gii phng trỡnh hóy thit lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: y1 = 2x1 x2 ; y2 = 2x2 x1 Bi 7: Cho phng trỡnh 2x2 3x = cú hai nghim x1 ; x2 Hóy thit lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: x1 y = x2 y = x + a) b) x2 y = x + y = x Bi 8: Cho phng trỡnh x + x = cú hai nghim x1 ; x2 Hóy thit lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: x1 x y + y = + y + y = x + x 2 x x1 a) ; b) y + y 2 + 5x + 5x = y + y = 3x + 3x y y Bi 9: Cho phng trỡnh 2x2 + 4ax a = (a tham s, a 0) cú hai nghim x1 ; x2 Hóy lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: 1 1 y1 + y = + + = x1 + x x1 x y1 y Dng 4: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh cú nghim cú nghim kộp,vụ nghim Bi 1: a) Cho phng trỡnh (m 1)x2 + 2(m 1)x m = (n x) Xỏc nh m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ny b) Cho phng trỡnh (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + = Tỡm m phng trỡnh cú nghim a) Cho phng trỡnh: (m 1)x2 2mx + m = - Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim - Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ú b) Cho phng trỡnh: (a 3)x2 2(a 1)x + a = Tỡm a phng trỡnh cú hai nghim phõn bit Bi 2: 4x 2( 2m 1) x + m2 m = a) Cho phng trỡnh: 2 x + 2x + x +1 Xỏc nh m phng trỡnh cú ớt nht mt nghim b) Cho phng trỡnh: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xỏc nh m phng trỡnh cú ớt nht mt nghim Dng 5: Xỏc nh tham s cỏc nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = tho iu kin cho trc Bi 1: Cho phng trỡnh: x 2(m + 1)x + 4m = 1) Xỏc nh m phng trỡnh cú nghim kộp Tỡm nghim kộp ú 2) Xỏc nh m phng trỡnh cú mt nghim bng Tớnh nghim cũn li 3) Vi iu kin no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim cựng du (trỏi du) 4) Vi iu kin no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim cựng dng (cựng õm) 5) nh m phng trỡnh cú hai nghim cho nghim ny gp ụi nghim 6) nh m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 tho 2x1 x2 = - 7) nh m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhn giỏ tr nh nht Bi 2: nh m phng trỡnh cú nghim tho h thc ó ch ra: a) (m + 1)x2 2(m + 1)x + m = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 (m 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m 1)x2 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 d) x (2m + 1)x + m + = ; 3x1x2 5(x1 + x2) + = Bi 3: nh m phng trỡnh cú nghim tho h thc ó ch ra: 10 Bi Cho na ng trũn (O; R) ng kớnh AB K tip tuyn Bx v ly hai im C v D thuc na ng trũn Cỏc tia AC v AD ct Bx ln lt E, F (F gia B v E) Chng minh AC AE khụng i Chng minh ABD = DFB Chng minh rng CEFD l t giỏc ni tip Li gii: 1.C thuc na ng trũn nờn ACB = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx l tip tuyn ) => tam giỏc ABE vuụng ti B cú BC l ng cao => AC AE = AB2 (h thc gia cnh v ng cao ), m AB l ng kớnh nờn AB = 2R khụng i ú AC AE khụng i 2. ADB cú ADB = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => ABD + BAD = 900 (vỡ tng ba gúc ca mt tam giỏc bng 1800)(1) ABF cú ABF = 900 ( BF l tip tuyn ) => AFB + BAF = 900 (vỡ tng ba gúc ca mt tam giỏc bng 1800) (2) T (1) v (2) => ABD = DFB ( cựng ph vi BAD) 3.T giỏc ACDB ni tip (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( Vỡ l hai gúc k bự) => ECD = ABD ( cựng bự vi ACD) Theo trờn ABD = DFB => ECD = DFB M EFD + DFB = 1800 ( Vỡ l hai gúc k bự) nờn suy ECD + EFD = 1800, mt khỏc ECD v EFD l hai gúc i ca t giỏc CDFE ú t giỏc CEFD l t giỏc ni tip Bi 10 Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn cho AM < MB Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA Gi P l chõn ng vuụng gúc t S n AB 1.Gi S l giao im ca MA v SP Chng minh rng PSM cõn 2.Chng minh PM l tip tuyn ca ng trũn Li gii: Ta cú SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => AMS = 900 Nh vy P v M cựng nhỡn AS di mt gúc bng 900 nờn cựng nm trờn ng trũn ng kớnh AS Vy bn im A, M, S, P cựng nm trờn mt ng trũn Vỡ Mi xng M qua AB m M nm trờn ng trũn nờn M cng nm trờn ng trũn => hai cung AM v AM cú s o bng => AMM = AMM ( Hai gúc ni tip chn hai cung bng nhau) (1) Cng vỡ Mi xng M qua AB nờn MM AB ti H => MM// SS ( cựng vuụng gúc vi AB) => AMM = ASS; AMM = ASS (vỡ so le trong) (2) => T (1) v (2) => ASS = ASS 37 Theo trờn bn im A, M, S, P cựng nm trờn mt / trũn => ASP=AMP (ni tip cựng chn AP ) => ASP = AMP => tam giỏc PMS cõn ti P Tam giỏc SPB vuụng ti P; tam giỏc SMS vuụng ti M => B1 = S1 (cựng ph vi S) (3) Tam giỏc PMS cõn ti P => S1 = M1 (4) Tam giỏc OBM cõn ti O ( vỡ cú OM = OB =R) => B1 = M3 (5) T (3), (4) v (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 m M3 + M2 = AMB = 900 nờn suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM ti M => PM l tip tuyn ca ng trũn ti M Bi 11 Cho tam giỏc ABC (AB = AC) Cnh AB, BC, CA tip xỳc vi ng trũn (O) ti cỏc im D, E, F BF ct (O) ti I , DI ct BC ti M Chng minh : Tam giỏc DEF cú ba gúc nhn DF // BC T giỏc BDFC ni tip BD BM = CB CF Li gii: (HD) Theo t/c hai tip tuyn ct ta cú AD = AF => tam giỏc ADF cõn ti A => ADF = AFD < 900 => s cung DF < 1800 => DEF < 900 ( vỡ gúc DEF ni tip chn cung DE) Chng minh tng t ta cú DFE < 900; EDF < 900 Nh vy tam giỏc DEF cú ba gúc nhn Ta cú AB = AC (gt); AD = AF (theo trờn) => AD AF = => DF // BC AB AC DF // BC => BDFC l hỡnh thang li cú B = C (vỡ tam giỏc ABC cõn) => BDFC l hỡnh thang cõn ú BDFC ni tip c mt ng trũn Xột hai tam giỏc BDM v CBF Ta cú DBM = BCF ( hai gúc ỏy ca tam giỏc cõn) BDM = BFD (ni tip cựng chn cung DI); CBF = BFD (vỡ so le) => BDM = CBF => BDM CBF => BD BM = CB CF Bi 12 Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R cú hai ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi Trờn on thng AB ly im M (M khỏc O) CM ct (O) ti N ng thng vuụng gúc vi AB ti M ct tip tuyn ti N ca ng trũn P Chng minh : Nh vy M v N cựng nhỡn T giỏc OMNP ni tip OP di mt gúc bng 900 T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh => M v N cựng nm trờn CM CN khụng ph thuc vo v trớ ca im M ng trũn ng kớnh OP Khi M di chuyn trờn on thng AB thỡ P chy trờn on => T giỏc OMNP ni tip thng c nh no T giỏc OMNP ni tip Li gii: => OPM = ONM (ni Ta cú OMP = 900 ( vỡ PM AB ); ONP = 900 (vỡ NP l tip tip chn cung OM) Tam tuyn ) giỏc ONC cõn ti O vỡ cú ON = OC = R => ONC = OCN 38 => OPM = OCM Xột hai tam giỏc OMC v MOP ta cú MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM li cú MO l cnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi thit Ta cú CD AB; PM AB => CO//PM (2) T (1) v (2) => T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh Xột hai tam giỏc OMC v NDC ta cú MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (ni tip chn na ng trũn ) => MOC =DNC = 900 li cú C l gúc chung => OMC NDC => CM CO = => CM CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nờn CO.CD = 2R2 khụng i => CM.CN CD CN =2R2 khụng i hay tớch CM CN khụng ph thuc vo v trớ ca im M ( HD) D thy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chy trờn ng thng c nh vuụng gúc vi CD ti D Vỡ M ch chy trờn on thng AB nờn P ch chy trờn don thng A B song song v bng AB Bi 13 Cho tam giỏc ABC vuụng A (AB > AC), ng cao AH Trờn na mt phng b BC cha in A , V na ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E, Na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F Chng minh AFHE l hỡnh ch nht BEFC l t giỏc ni tip AE AB = AF AC Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Li gii: Ta cú : BEH = 900 ( ni tip chn nc ng trũn ) => AEH = 900 (vỡ l hai gúc k bự) (1) CFH = 900 ( ni tip chn nc ng trũn ) => AFH = 900 (vỡ l hai gúc k bự).(2) EAF = 900 ( Vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A) (3) T (1), (2), (3) => t giỏc AFHE l hỡnh ch nht ( vỡ cú ba gúc vuụng) T giỏc AFHE l hỡnh ch nht nờn ni tip c mt ng trũn =>F1=H1 (ni tip chn cung AE) Theo gi thit AH BC nờn AH l tip tuyn chung ca hai na ng trũn (O1) v (O2) => B1 = H1 (hai gúc ni tip cựng chn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC m AFE + EFC = 1800 (vỡ l hai gúc k bự) => EBC+EFC = 1800 mt khỏc EBC v EFC l hai gúc i ca t giỏc BEFC ú BEFC l t giỏc ni tip Xột hai tam giỏc AEF v ACB ta cú A = 900 l gúc chung; AFE = ABC ( theo Chng minh trờn) => AEF ACB => AE AF = => AE AB = AF AC AC AB 39 * HD cỏch 2: Tam giỏc AHB vuụng ti H cú HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giỏc AHC vuụng ti H cú HF AC => AH2 = AF.AC (**) T (*) v (**) => AE AB = AF AC T giỏc AFHE l hỡnh ch nht => IE = EH => IEH cõn ti I => E1 = H1 O1EH cõn ti O1 (vỡ cú O1E vO1H cựng l bỏn kớnh) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 m H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chng minh tng t ta cng cú O2F EF Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Bi 14 Cho im C thuc on thng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm V v mt phớa ca AB cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo th t l AB, AC, CB v cú tõm theo th t l O, I, K ng vuụng gúc vi AB ti C ct na ng trũn (O) ti E Gi M N theo th t l giao im ca EA, EB vi cỏc na ng trũn (I), (K) Ta cú: BNC= 900( ni tip chn na 1.Chng minh EC = MN ng trũn tõm K) 2.Ch/minh MN l tip tuyn chung ca cỏc na /trũn (I), (K) 3.Tớnh MN 4.Tớnh din tớch hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn Li gii: => ENC = 900 (vỡ l hai gúc k bự) (1) AMC = 900 ( ni tip chn nc ng trũn tõm I) => EMC = 900 (vỡ l hai gúc k bự).(2) AEB = 900 (ni tip chn na ng trũn tõm O) hay MEN = 900 (3) T (1), (2), (3) => t giỏc CMEN l hỡnh ch nht => EC = MN (tớnh cht ng chộo hỡnh ch nht ) Theo gi thit EC AB ti C nờn EC l tip tuyn chung ca hai na ng trũn (I) v (K) => B1 = C1 (hai gúc ni tip cựng chn cung CN) T giỏc CMEN l hỡnh ch nht nờn => C1= N3 => B1 = N3.(4) Li cú KB = KN (cựng l bỏn kớnh) => tam giỏc KBN cõn ti K => B1 = N1 (5) T (4) v (5) => N1 = N3 m N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN ti N => MN l tip tuyn ca (K) ti N Chng minh tng t ta cng cú MN l tip tuyn ca (I) ti M, Vy MN l tip tuyn chung ca cỏc na ng trũn (I), (K) Ta cú AEB = 900 (ni tip chn nc ng trũn tõm O) => AEB vuụng ti A cú EC AB (gt) => EC2 = AC BC ú EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trờn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cú S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta cú din tớch phn hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn l S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 40 Bi 15 Cho tam giỏc ABC vuụng A Trờn cnh AC ly im M, dng ng trũn (O) cú ng kớnh MC ng thng BM ct ng trũn (O) ti D ng thng AD ct ng trũn (O) ti S Chng minh ABCD l t giỏc ni tip Chng minh CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB Gi E l giao im ca BC vi ng trũn (O) Chng minh rng cỏc ng thng BA, EM, CD ng quy Chng minh DM l tia phõn giỏc ca gúc ADE Chng minh im M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE Li gii: Ta cú CAB = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); MDC = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) => CDB = 900 nh vy D v A cựng nhỡn BC di mt gúc bng 900 nờn A v D cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BC => ABCD l t giỏc ni tip ABCD l t giỏc ni tip => D1= C3( ni tip cựng chn cung AB) ẳ = EM ẳ => C2 = C3 (hai gúc ni tip ng trũn (O) chn hai cung bng D1= C3 => SM nhau) => CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB Xột CMB Ta cú BACM; CD BM; ME BC nh vy BA, EM, CD l ba ng cao ca tam giỏc CMB nờn BA, EM, CD ng quy ẳ = EM ẳ => D1= D2 => DM l tia phõn giỏc ca gúc ADE.(1) Theo trờn Ta cú SM Ta cú MEC = 900 (ni tip chn na ng trũn (O)) => MEB = 900 T giỏc AMEB cú MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 m õy l hai gúc i nờn t giỏc AMEB ni tip mt ng trũn => A2 = B2 T giỏc ABCD l t giỏc ni tip => A1= B2( ni tip cựng chn cung CD) => A1= A2 => AM l tia phõn giỏc ca gúc DAE (2) T (1) v (2) Ta cú M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE TH2 (Hỡnh b) Cõu : ABC = CME (cựng ph ACB); ABC = CDS (cựng bự ADC) => CME = CDS ằ = CS ằ => SM ẳ = EM ẳ => SCM = ECM => CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB => CE Bi 16 Cho tam giỏc ABC vuụng A.v mt im D nm gia A v B ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E Cỏc ng thng CD, AE ln lt ct ng trũn ti F, G Chng minh : AC // FG Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD Cỏc ng thng T giỏc ADEC v AFBC ni tip AC, DE, FB ng quy 41 Li gii: Xột hai tam giỏc ABC v EDB Ta cú BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); DEB = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) => DEB = BAC = 900 ; li cú ABC l gúc chung => DEB CAB Theo trờn DEB = 900 => DEC = 900 (vỡ hai gúc k bự); BAC = 900 ( vỡ ABC vuụng ti A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 m õy l hai gúc i nờn ADEC l t giỏc ni tip * BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); DFB = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) hay BFC = 900 nh vy F v A cựng nhỡn BC di mt gúc bng 90 nờn A v F cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BC => AFBC l t giỏc ni tip Theo trờn ADEC l t giỏc ni tip => E1 = C1 li cú E1 = F1 => F1 = C1 m õy l hai gúc so le nờn suy AC // FG (HD) D thy CA, DE, BF l ba ng cao ca tam giỏc DBC nờn CA, DE, BF ng quy ti S Bi 17 Cho tam giỏc u ABC cú ng cao l AH Trờn cnh BC ly im M bt kỡ ( M khụng trựng B C, H ) ; t M k MP, MQ vuụng gúc vi cỏc cnh AB AC Chng minh APMQ l t giỏc ni tip v hóy xỏc nh tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc ú Chng minh rng MP + MQ = AH Chng minh OH PQ Li gii: Ta cú MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 nh vy P v Q cựng nhỡn BC di mt gúc bng 900 nờn P v Q cựng nm trờn ng trũn ng kớnh AM => APMQ l t giỏc ni tip * Vỡ AM l ng kớnh ca ng trũn ngoi tip t giỏc APMQ tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc APMQ l trung im ca AM Tam giỏc ABC cú AH l ng cao => SABC = BC.AH AB.MP Tam giỏc ACM cú MQ l ng cao => SACM = AC.MQ 1 Ta cú SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Tam giỏc ABM cú MP l ng cao => SABM = M AB = BC = CA (vỡ tam giỏc ABC u) => MP + MQ = AH Tam giỏc ABC cú AH l ng cao nờn cng l ng phõn giỏc => HAP = HAQ => ằ = HQ ẳ ( tớnh cht gúc ni tip ) => HOP = HOQ (t/c gúc tõm) => OH l tia phõn giỏc gúc HP POQ M tam giỏc POQ cõn ti O ( vỡ OP v OQ cựng l bỏn kớnh) nờn suy OH cng l ng cao => OH PQ Bi 18 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB Trờn on thng OB ly im H bt kỡ ( H khụng trựng O, B) ; trờn ng thng vuụng gúc vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trũn ; MA v MB th t ct ng trũn (O) ti C v D Gi I l giao im ca AD v BC 42 Chng minh MCID l t giỏc ni tip Chng minh cỏc ng thng AD, BC, MH ng quy ti I Gi K l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc MCID, Chng minh KCOH l t giỏc ni Li gii: BIC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => BID = 900 (vỡ l hai gúc k bự); DE AB ti M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 m õy l hai gúc i ca t giỏc MBID nờn MBID l t giỏc ni tip Theo gi thit M l trung im ca AB; DE AB ti M nờn M cng l trung im ca DE (quan h ng kớnh v dõy cung) 43 => T giỏc ADBE l hỡnh thoi vỡ cú hai ng chộo vuụng gúc vi ti trung im ca mi ng ADC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => AD DC; theo trờn BI DC => BI // AD (1) Theo gi thit ADBE l hỡnh thoi => EB // AD (2) T (1) v (2) => I, B, E thng hng (vỡ qua B ch cú mt ng thng song song vi AD m thụi.) I, B, E thng hng nờn tam giỏc IDE vuụng ti I => IM l trung tuyn ( vỡ M l trung im ca DE) =>MI = ME => MIE cõn ti M => I1 = E1 ; OIC cõn ti O ( vỡ OC v OI cựng l bỏn kớnh ) => I3 = C1 m C1 = E1 ( Cựng ph vi gúc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 M I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO hay MI OI ti I => MI l tip tuyn ca (O) Ch 1: Nhn bit hỡnh, tỡm iu kin ca mt hỡnh Bi 1: Cho tam giỏc u ABC ni tip ng trũn tõm O D v E ln lt l im chớnh gia ca cỏc cung AB v AC DE ct AB I v ct AC L a) Chng minh DI = IL = LE b) Chng minh t giỏc BCED l hỡnh ch nht c) Chng minh t giỏc ADOE l hỡnh thoi v tớnh cỏc gúc ca hỡnh ny Bi 2: Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn cú cỏc ng chộo vuụng gúc vi ti I a) Chng minh rng nu t I ta h ng vuụng gúc xung mt cnh ca t giỏc thỡ ng vuụng gúc ny qua trung im ca cnh i din ca cnh ú b) Gi M, N, R, S l trung im ca cỏc cnh ca t giỏc ó cho Chng minh MNRS l hỡnh ch nht c) Chng minh ng trũn ngoi tip hỡnh ch nht ny i qua chõn cỏc ng vuụng gúc h t I xung cỏc cnh ca t giỏc Bi 3: Cho tam giỏc vuụng ABC ( A = 1v) cú AH l ng cao Hai ng trũn ng kớnh AB v AC cú tõm l O1 v O2 Mt cỏt tuyn bin i i qua A ct ng trũn (O 1) v (O2) ln lt ti M v N a) Chng minh tam giỏc MHN l tam giỏc vuụng b) T giỏc MBCN l hỡnh gỡ? c) Gi F, E, G ln lt l trung im ca O 1O2, MN, BC Chng minh F cỏch u im E, G, A, H d) Khi cỏt tuyn MAN quay xung quanh im A thỡ E vch mt ng nh th no? Bi 4: Cho hỡnh vuụng ABCD Ly B lm tõm, bỏn kớnh AB, v 1/4 ng trũn phớa hỡnh vuụng.Ly AB lm ng kớnh , v 1/2 ng trũn phớa hỡnh vuụng Gi P l im tu ý trờn cung AC ( khụng trựng vi A v C) H v K ln lt l hỡnh chiu ca P trờn AB v AD, PA v PB ct na ng trũn ln lt I v M a) Chng minh I l trung im ca AP b) Chng minh PH, BI, AM ng qui c) Chng minh PM = PK = AH d) Chng minh t giỏc APMH l hỡnh thang cõn ) Tỡm v trớ im P trờn cung AC tam giỏc APB l u Ch 2: Chng minh t giỏc ni tip, chng minh nhiu im cựng nm trờn mt ng trũn Bi 1: Cho hai ng trũn (O), (O') ct ti A, B Cỏc tip tuyn ti A ca (O), (O') ct (O'), (O) ln lt ti cỏc im E, F Gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc EAF a) Chng minh t giỏc OAO'I l hỡnh bỡnh hnh v OO'//BI b) Chng minh bn im O, B, I, O' cựng thuc mt ng trũn c) Kộo di AB v phớa B mt on CB = AB Chng minh t giỏc AECF ni tip Bi 2: Cho tam giỏc ABC Hai ng cao BE v CF ct ti H.Gi D l im i xng ca H qua trung im M ca BC a) Chng minh t giỏc ABDC ni tip c mt ng trũn.Xỏc nh tõm O ca ng trũn ú b) ng thng DH ct ng trũn (O) ti im th l I Chng minh rng im A, I, F, H, E cựng nm trờn mt ng trũn Bi 3: Cho hai ng trũn (O) v (O') ct ti A v B Tia OA ct ng trũn (O') ti C, tia O'A ct ng trũn (O) ti D Chng minh rng: a) T giỏc OO'CD ni tip b) T giỏc OBO'C ni tip, t ú suy nm im O, O', B, C, D cựng nm trờn mt ng trũn Bi 4: Cho t giỏc ABCD ni tip na ng trũn ng kớnh AD Hai ng chộo AC v BD ct ti E V EF vuụng gúc AD Gi M l trung im ca DE Chng minh rng: a) Cỏc t giỏc ABEF, DCEF ni tip c b) Tia CA l tia phõn giỏc ca gúc BCF c)* T giỏc BCMF ni tip c Bi 5: T mt im M bờn ngoi ng trũn (O) ta v hai tip tuyn MA, MB vi ng trũn Trờn cung nh AB ly mt im C V CD AB, CE MA, CF MB Gi I l giao im ca AC v DE, K l giao im ca BC v DF Chng minh rng: a) Cỏc t giỏc AECD, BFCD ni tip c b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bi 6: Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) T A v tip tuyn xy vi ng trũn V hai ng cao BD v CE a) Chng minh rng bn im B, C, D, E cựng nm trờn mt ng trũn b) Chng minh rng xy// DE, t ú suy OA DE Bi 7: Cho tam giỏc u ABC ni tip ng trũn (O) Trờn cung nh AB ly mt im M ng thng qua A song song vi BM ct CM ti N a) Chng minh rng tam giỏc AMN l tam giỏc u b) Chng minh rng MA + MB = MC c)* Gi D l giao im ca AB v CM Chng minh rng: 1 + = AM MB MD Bi 8: Cho ba im A, B, C c nh vi B nm gia A v C Mt ng trũn (O) thay i i qua B v C V ng kớnh MN vuụng gúc vi BC ti D ( M nm trờn cung nh BC).Tia AN ct ng trũn (O) Ti mt im th hai l F Hai dõy BC v MF ct ti E Chng minh rng: a) T giỏc DEFN ni tip c b) AD AE = AF AN c) ng thng MF i qua mt im c nh Bi 9: T mt im A bờn ngoi ng trũn ( O; R) v hai tip tuyn AB, AC vi ng trũn Gi M l trung im ca AB Tia CM ct ng trũn ti im N Tia AN ct ng trũn ti im D a) Chng minh rng MB2 = MC MN b) Chng minh rng AB// CD c) Tỡm iu kin ca im A cho t giỏc ABDC l hỡnh thoi Tớnh din tớch c hỡnh thoi ú Bi 10: Cho ng trũn (O) v mt dõy AB Gi M l im chớnh gia ca cung nh AB V ng kớnh MN Ct AB ti I Gi D l mt im thuc dõy AB Tia MD ct ng trũn (O) ti C a) Chng minh rng t giỏc CDIN ni tip c b) Chng minh rng tớch MC MD cú giỏ tr khụng i D di ng trờn dõy AB c) Gi O' l tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ACD Chng minh rng MAB = AO'D d) Chng minh rng ba im A, O', N thng hng v MA l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ACD Bi 11: Cho tam giỏc ABC vuụng A ( AB < AC), ng cao AH Trờn on thng HC ly D cho HD = HB V CE vuụng gúc vi AD ( E AD) a) Chng minh rng AHEC l t giỏc ni tip b) Chng minh AB l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip t giỏc AHEC c) Chng minh rng CH l tia phõn giỏc ca gúc ACE d) Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi cỏc on thng CA CH v cung nh AH ca ng trũn núi trờn bit AC= 6cm, ACB = 300 Bi 12: Cho ng trũn tõm O cú ng kớnh BC Gi A l Mt im thuc cung BC ( AB < AC), D l im thuc bỏn kớnh OC ng vuụng gúc vi BC ti D ct AC E, ct tia BA F a) Chng minh rng ADCF l t giỏc ni tip b) Gi M l trung im ca EF Chng minh rng AME = ACB c) Chng minh rng AM l tip tuyn ca ng trũn (O) d) Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi cỏc on thng BC, BA v cung nh AC ca ng trũn (O) bit BC= 8cm, ABC = 600 Bi 13: Cho na ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R im M thuc na ng trũn V ng trũn tõm M tip xỳc vi AB ( H l tip im) K cỏc tip tuyn AC, BD vi ng trũn (M) ( C, D l tip im) a) Chng minh rng C, M, D thng hng b) Chng minh rng CD l tip tuyn ca ng trũn (O) c) Tớnh tng AC + BD theo R d) Tớnh din tớch t giỏc ABDC bit AOM = 600 Bi 14: Cho tam giỏc vuụng cõn ABC (A = 900), trung im I ca cnh BC Xột mt im D trờn tia AC V ng trũn (O) tip xỳc vi cỏc cnh AB, BD, DA ti cỏc im tng ng M, N, P a) Chng minh rng im B, M, O, I, N nm trờn mt ng trũn b) Chng minh rng ba im N, I, P thng hng c) Gi giao im ca tia BO vi MN, NP ln lt l H, K Tam giỏc HNK l tam giỏc gỡ, ti sao? d) Tỡm hp im K im D thay i v trớ trờn tia AC Ch 3: Chng minh cỏc im thng hng, cỏc ng thng ng quy Bi 1: Cho hai ng trũn (O) v (O') ct ti hai im A v B ng thng AO ct ng trũn (O) v (O') ln lt ti C v C' ng thng AO' ct ng trũn (O) v (O') ln lt ti D v D' a) Chng minh C, B, D' thng hng b) Chng minh t giỏc ODC'O' ni tip c) ng thng CD v ng thng D'C' ct ti M Chng minh t giỏc MCBC' ni tip Bi 2: T mt im C ngoi ng trũn ( O) k cỏt tuyn CBA Gi IJ l ng kớnh vuụng gúc vi AB Cỏc ng thng CI, CJ theo th t ct ng trũn (O) ti M, N a) Chng minh rng IN, JM v AB ng quy ti mt im D b) Chng minh rng cỏc tip tuyn ca ng trũn (O) ti M, N i qua trung im E ca CD Bi 3: Cho hai ng trũn ( O; R) v ( O'; R' ) tip xỳc ngoi ti A ( R> R' ) ng ni tõm OO' ct ng trũn (O) v (O') theo th t ti B v C ( B v C khỏc A) EF l dõy cung ca ng trũn (O) vuụng gúc vi BC ti trung im I ca BC, EC ct ng trũn (O') ti D a) T giỏc BEFC l hỡnh gi? b) Chng minh ba im A, D, F thng hng c) CF ct ng trũn (O) ti G Chng minh ba ng EG, DF v CI ng quy d) Chng minh ID tip xỳc vi ng trũn (O) Bi 4: Cho ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi ti C AC v BC l ng kớnh ca (O) v (O), DE l tip tuyn chung ngoi (D (O), E (O)) AD ct BE ti M a) Tam giỏc MAB l tam giỏc gỡ? b) Chng minh MC l tip tuyn chung ca (O) v (O) c) K Ex, By vuụng gúc vi AE, AB Ex ct By ti N Chng minh D, N, C thng hng d) V cựng phớa ca na mt phng b AB, v na ng trũn ng kớnh AB v OO ng thng qua C ct hai na ng tũn trờn ti I, K Chng minh OI // AK Ch 4: Chng minh im c nh Bi 1: Cho ng trũn (O ; R) ng thng d ct (O) ti A, B C thuc d ngoi (O) T im chớnh gia P ca cung ln AB k ng kớnh PQ ct AB ti D CP ct (O) ti im th hai I, AB ct IQ ti K a) Chng minh t giỏc PDKI ni tip b) Chng minh: CI.CP = CK.CD c) Chng minh IC l phõn giỏc ngoi ca tam giỏc AIB d) A, B, C c nh, (O) thay i nhng luụn qua A, B Chng minh rng IQ luụn i qua im c nh Bi 2: Cho tam giỏc u ABC ni tip (O ; R) M di ng trờn AB N di ng trờn tia i ca tia CA cho BM = CN a) ng trũn ngoi tip tam giỏc AMN ct (O) ti A v D Chng minh rng D c nh b) Tớnh gúc MDN c) MN ct BC ti K Chng minh DK vuụng gúc vi MN d) t AM = x Tớnh x din tớch tam giỏc AMN l ln nht Bi 3: Cho (O ; R) im M c nh ngoi (O) Cỏt tuyn qua M ct (O) ti A v B Tip tuyn ca (O) ti A v B ct ti C a) Chng minh t giỏc OACB ni tip ng trũn tõm K b) Chng minh: (K) qua hai im c nh l O v H cỏt tuyn quay quanh M c) CH ct AB ti N, I l trung im AB Chng minh MA.MB = MI.MN d) Chng minh: IM.IN = IA2 Bi 4: Cho na ng trũn ng kớnh AB tõm O C l im chớnh gia cung AB M di ng trờn cung nh AC Ly N thuc BM cho AM = BN a) So sỏnh tam giỏc AMC v BCN b) Tam giỏc CMN l tam giỏc gỡ? c) K dõy AE//MC Chng minh t giỏc BECN l hỡnh bỡnh hnh d) ng thng d i qua N v vuụng gúc vi BM Chng minh d luụn i qua im c nh Bi 5: Cho ng trũn (O ; R), ng thng d ct (O) ti hai im C v D im M tu ý trờn d, k tip tuyn MA, MB I l trung im ca CD a) Chng minh im M, A, I, O, B cựng thuc mt ng trũn b) Gi H l trc tõm ca tam giỏc MAB, t giỏc OAHB l hỡnh gỡ? c) Khi M di ng trờn d Chng minh rng AB luụn qua im c nh d) ng thng qua C vuụng gúc vi OA ct AB, AD ln lt ti E v K Chng minh EC = EK Ch 5: Chng minh hai tam giỏc ng dng v chng minh ng thc hỡnh hc Bi 1: Cho ng trũn (O) v dõy AB M l im chớnh gia cung AB C thuc AB, dõy MD qua C a) Chng minh MA2 = MC.MD b) Chng minh MB.BD = BC.MD c) Chng minh ng trũn ngoi tip tam giỏc BCD tip xỳc vi MB ti B d) Gi R1, R2 l bỏn kớnh cỏc ng trũn ngoi tip tam giỏc BCD v ACD Chng minh R + R2 khụng i C di ng trờn AB Bi 2: Cho na ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R v mt im M trờn na ng trũn (M khỏc A, B) Tip tuyn ti M ca na ng trũn ct cỏc tip tuyn ti A, B ln lt C v E a) Chng minh rng CE = AC + BE b) Chng minh AC.BE = R2 c) Chng minh tam giỏc AMB ng dng vi tam giỏc COE d) Xột trng hp hai ng thng AB v CE ct ti F Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn AB + Chng minh rng: HA FA = HB FB + Chng minh tớch OH.OF khụng i M di ng trờn na ng trũn Bi 3: Trờn cung BC ca ng trũn ngoi tip tam giỏc u ABC ly mt im P bt kỡ Cỏc ng thng AP v BC ct ti Q Chng minh rng: 1 = + PQ PB PC Bi 4: Cho gúc vuụng xOy Trờn tia Ox t on OA = a Dng ng trũn (I ; R) tip xỳc vi Ox ti A v ct Oy ti hai im B, C Chng minh cỏc h thc: a) 1 + = 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Ch 6: Cỏc bi toỏn v tớnh s o gúc v s o din tớch Bi 1: Cho hai ng trũn (O; 3cm) v (O;1 cm) tip xỳc ngoi ti A V tip tuyn chung ngoi BC (B (O); C (O)) a) Chng minh rng gúc OOB bng 600 b) Tớnh di BC c) Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi tip tuyn BC v cỏc cung AB, AC ca hai ng trũn Bi 2: Cho im C thuc on thng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm V v mt phớa ca AB cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo th t l AB, AC, CB v cú tõm theo th t l O, I, K ng vuụng gúc vi AB ti C ct na ng trũn (O) E Gi M, N theo th t l giao im ca EA, EB vi cỏc na ng trũn (I), (K) a) Chng ming rng EC = MN b) Chng minh rng MN l tip tuyn chung ca cỏc na ng trũn (I), (K) c) Tớnh di MN d) Tớnh din tớch hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn Bi 3: T mt im A bờn ngoi ng trũn (O), k hai tip tuyn AB v AC vi ng trũn T mt im M trờn cung nh BC k mt tip tuyn th ba ct hai tip tuyn ti P v Q a) Chng minh rng: Khi im M chuyn ng trờn cung BC nh thỡ chu vi tam giỏc APQ cú giỏ tr khụng i b) Cho bit BAC = 600 v bỏn kớnh ca ng trũn (O) bng cm Tớnh di ca tip tuyn AB v din tớch phn mt phng c gii hn bi hai tip tuyn AB, AC v cung nh BC Bi 4: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), I l tõm ng trũn ni tip , K l tõm ng trũn bng tip gúc A, O l trung im ca IK a) Chng minh rng: im B, I, C, K cựng thuc mt ng trũn b) Chng minh rng: AC l tip tuyn ca ng trũn (O) c) Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn (O) bit AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bi 5: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R E l mt im trờn ng trũn m AE > EB M l mt im trờn on AE cho AM.AE = AO.AB a) Chng minh AOM vuụng ti O b) OM ct ng trũn C v D im C v im E cựng mt phớa i vi AB Chng minh ACM ng dng vi AEC c) Chng minh AC l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc CEM d) Gi s t s din tớch hai tam giỏc Acm v AEC l Tớnh AC, AE, AM, CM theo R Ch 7: Toỏn qu tớch Bi 1: Cho tam giỏc ABC cõn (AB = AC) ni tip ng trũn (O) v M l im di ng trờn ng trũn ú Gi D l hỡnh chiu ca B trờn AM v P l giao im ca BD vi CM a) Chng minh BPM cõn b) Tỡm qu tớch ca im D M di chuyn trờn ng trũn (O) Bi 2: ng trũn (O ; R) ct mt ng thng d ti hai im A, B T mt im M trờn d v ngoi ng trũn (O) k cỏc tip tuyn MP, MQ a) Chng minh rng gúc QMO bng gúc QPO v ng trũn ngoi tip tam giỏc MPQ i qua hai im c nh M di ng trờn d b) Xỏc nh v trớ ca M MQOP l hỡnh vuụng? c) Tỡm qu tớch tõm cỏc ng trũn ni tip tam giỏc MPQ M di ng trờn d Bi 3: Hai ng trũn tõm O v tõm I ct ti hai im A v B ng thng d i qua A ct cỏc ng trũn (O) v (I) ln lt ti P, Q Gi C l giao im ca hai ng thng PO v QI a) Chng minh rng cỏc t giỏc BCQP, OBCI ni tip b) Gi E, F ln lt l trung im ca AP, AQ, K l trung im ca EF Khi ng thng d quay quanh A thỡ K chuyn ng trờn ng no? c) Tỡm v trớ ca d tam giỏc PQB cú chu vi ln nht Ch 8: Mt s bi toỏn m u v hỡnh hc khụng gian Bi 1: Cho hỡnh hp ch nht ABCDABCD Bit AB = cm; AC = cm v AC = 13 cm Tớnh th tớch v din tớch xung quanh ca hỡnh hp ch nht ú Bi 2: Cho hỡnh lp phng ABCDABCD cú din tớch mt chộo ACCA bng 25 cm2 Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh lp phng ú Bi 3: Cho hỡnh hp ch nht ABCDABCD Bit AB = 15 cm, AC = 20 cm v gúc AAC bng 60 Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh hp ch nht ú Bi 4: Cho lng tr ng tam giỏc u ABCABC Tớnh din tớch xung quanh v th tớch ca nú bit cnh ỏy di cm v gúc AAB bng 300 Bi 5: Cho tam giỏc ABC u cnh a ng thng d vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti trng tõm G ca tam giỏc ABC Trờn ng thng d ly mt im S Ni SA, SB, SC a) Chng minh rng SA = SB = SC b) Tớnh din tớch ton phn v th tớch ca hỡnh chúp S.ABC, cho bit SG = 2a Bi 6: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy l a v ng cao l a a) Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l cỏc tam giỏc u b) Tớnh th tớch v din tớch xung quanh ca hỡnh chúp Bi 7: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy v cnh bờn u bng a a) Tớnh din tớch toỏn phn ca hỡnh chúp b) Tớnh th tớch ca hỡnh chúp Bi 8: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú chiu cao 15 cm v th tớch l 1280 cm a) Tớnh di cnh ỏy b) Tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh chúp Bi 9: Mt hỡnh chúp ct din tớch ỏy nh l 75 cm 2, din tớch ỏy ln gp ln din tớch ỏy nh v chiu cao l cm Tớnh th tớch ca hỡnh chúp ct ú Bi 10: Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA = a v SA vuụng gúc vi mt phng ỏy (ABCD) a) Tớnh th tớch hỡnh chúp b) Chng minh rng bn mt bờn l nhng tam giỏc vuụng a) Tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh chúp Bi 11: Mt hỡnh tr cú ng cao bng ng kớnh ỏy Bit th tớch hỡnh tr l 128 cm3, tớnh din tớch xung quanh ca nú Bi 12: Mt hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy bng cm v din tớch xung quanh bng 65 cm2 Tớnh th tớch ca hỡnh nún ú Bi 13: Cho hỡnh nún ct, bỏn kớnh ỏy ln bng cm, ng cao bng 12 cm v ng sinh bng 13 cm a) Tớnh bỏn kớnh ỏy nh b) Tớnh din tớch xung quanh v th tớch ca hỡnh nún ct ú Bi 14: Mt hỡnh cu cú din tớch b mt l 36 cm2 Tớnh th tớch ca hỡnh cu ú ... Gii Gi thi gian mt mỡnh t 1sa xong ng l x( gi ) ( x ) Thi gian mt mỡnh t sa xong ng l x + ( gi ) ( ng ) x Trong gi t sa c (con ng ) x+6 Trong gi c hai t sa c (con ng ) 1 4( x + 6) + x = x( x... na cũn li vi thi gian di hn thi gian i ó ó lm l 30 ngy Nu hai i cựng lm thỡ 72 ngy xong c on ng Hi mi i ó lm bao nhiờu ngy trờn on ng ny ? Gii Gi thi gian i lm l x ngy ( x > ) thỡ thi gian i lm... ( on ng ) 2x Mi ngy i lm c ( on ng ) 2( x + 30) Mi ngy c hai i lm c ( on ng ) 72 1 Vy ta cú pt : + = x 2( x + 30) 72 Mi ngy i lm c x2 -42x 108 0 = / / = 212 + 108 0 = 1521 => = 39 x1 = 21 + 39