Đang tải... (xem toàn văn)
Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -*** - NGUYỄN NGỌC HUYÊN PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT DẦM FGM Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT HÀ NỘI, NĂM 2017 Công trình hoàn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Nguyễn Đình Kiên Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ’, ngày … tháng … năm 201… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia MỞ ĐẦU Vật liệu có tính biến thiên (tiếng Anh FGM – Functionally Graded Material, gọi tắt vật liệu FGM) loại vật liệu composite cấu thành chủ yếu hai loại vật liệu: kim loại gốm với tỷ lệ thể tích biến đổi cách liên tục theo chiều kết cấu, ví dụ chiều cao chiều dài dầm Do biến đổi liên tục nên vật liệu có tính vượt trội so với loại composite lớp khác tránh tập trung ứng suất, bong tách lớp, v.v… Do vật liệu FGM sử dụng nhiều ngành công nghệ cao công nghệ vũ trụ, chế tạo máy,… , toán dao động kết cấu FGM quan tâm nghiên cứu Các phương pháp sử dụng như: giải tích gần đúng, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp độ cứng động phương pháp phần tử phổ Gần đây, số tác giả bắt đầu nghiên cứu phá hủy kết cấu FGM, dầm có vết nứt toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM khởi động nghiên cứu Tuy nhiên, nghiên cứu dao động dầm FGM bị nứt chẩn đoán vết nứt dầm FGM quan tâm Luận án đặt vấn đề nghiên cứu dao động dầm FGM có vết nứt phục vụ việc tính toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM đặc trưng động lực học Mục tiêu luận án xây dựng cách tiếp cận phổ để phân tích dao động nhận dạng dầm FGM có vết nứt Đối tượng nghiên cứu luận án dầm Timoshenko tính biến thiên liên tục theo chiều dầy theo quy luật hàm số lũy thừa Phương pháp nghiên cứu chủ yếu luận án phương pháp giải tích minh họa kết số Luận án bao gồm phần mở đầu chương sau: Chương trình bày tổng quan ứng dụng vật liệu FGM, toán dao động dầm FGM, toán vết nứt dao động dầm Chương trình bày sở lý thuyết dao động dầm FGM miền tần số toán nhận dạng vết nứt tần số riêng Chương nghiên cứu số đặc trưng sóng dầm FGM tương tác sóng ngang sóng dọc dầm FGM Chương trình bày kết tính toán số để minh họa cho kết giải tích Kết luận chung trình bày kết thu luận án đề xuất số vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu Những đóng góp luận án: Đã xây dựng lời giải cho toán dao động riêng; biểu thức hàm đáp ứng tần số ma trận độ cứng động cho dầm Timoshenko làm vật liệu có tính biến thiên (gọi tắt dầm FGM) dựa quy luật biến đổi đặc trưng vật liệu hàm lũy thừa tính đến vị trí thực trục trung hòa dầm FGM (nói chung khác với trục dầm) [Công bố số 1, 6] Đã tìm điều kiện để dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM không tương tác với Từ đưa khái niệm dầm FGM tỷ lệ bao gồm dầm đồng nghiên cứu số đặc trưng truyền sóng dầm Timosshenko FGM phụ thuộc vào tham số vật liệu [Công bố số 2, 4] Đã xây dựng mô hình dầm FGM có vết nứt sử dụng hai lò xo dọc trục lò xo xoắn để mô tả vết nứt dừng (không phát triển) dầm FGM tìm lời giải giải tích dao động dầm FGM có vết nứt [Công bố số 3, 5, 7] Sử dụng mô hình giải tích cho dầm FGM có vết nứt nêu trên, phân tích chi tiết ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học vết nứt đến tần số dao động riêng dầm FGM đề xuất phương pháp giải tích để xác định vết nứt dầm FGM tần số riêng [Công bố số 3] CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1 Vật liệu có tính biến thiên (FGM) Vật liệu FGM - loại composite mà đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt sang mặt khác Mỗi loại vật liệu FGM có tiêu cơ-lý đặc trưng hàm thuộc tính vật liệu, sử dụng quy luật toán học hàm thuộc tính vật liệu dùng để phân loại vật liệu FGM thành loại sau đây: Loại P-FGM (hàm tỷ lệ thể tích giả thiết tuân theo quy luật hàm luỹ thừa); Loại S-FGM (hàm tỷ lệ thể tích giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid); Loại E-FGM (môđun đàn hồi giả thiết tuân theo quy luật hàm số mũ) Vật liệu FGM ứng dụng hầu hết lĩnh vực kỹ thuật công nghệ cao lượng hạt nhân, hàng không vũ trụ, hệ thống biến đổi lượng, dụng cụ cắt, phận máy móc, chất bán dẫn, quang học hệ thống sinh học 1.2 Tổng quan dao động dầm FGM Dao động kết cấu làm từ vật liệu FGM nghiên cứu nhiều Trong mục này, tác giả trình bày ngắn gọn tổng quan nghiên cứu dao động dầm FGM phân loại theo phương pháp nghiên cứu như: Phương pháp giải tích; Phương pháp RayleighRitz; Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp độ cứng động Dao động dầm FGM có vết nứt quan tâm vào cuối năm 2000, sử dụng mô hình vật liệu biến thiên theo quy luật hàm số mũ mô hình lò xo tương đương cho vết nứt, tác giả phân tích ảnh hưởng vết nứt đến tần số dao động riêng đáp ứng động dầm FGM Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng để tính toán biểu đồ tần số theo vị trí độ sâu vết nứt Các biểu đồ không sử dụng để phân tích thay đổi tần số vết nứt mà phục vụ việc chẩn đoán vết nứt cách đo đạc tần số riêng Đối với toán nhận dạng vết nứt dầm FGM: Cho đến có số nghiên cứu việc chẩn đoán vết nứt dầm FGM sử dụng phương pháp đo dao động phương pháp đường mức tần số Tuy nhiên sai số đo đạc tính toán, việc xác định độ sâu vị trí vết nứt khó khăn 1.3 Định hƣớng nghiên cứu Mặc dù có nhiều công trình nghiên cứu phát triển phương pháp PTHH để phân tích kết cấu FGM, phương pháp chưa giải toán dao động kết cấu với tần số cao Ngay phương pháp giải tích gần phương pháp Ritz, Galerkin, v.v… giải toán dao động tần số Đã có ý tưởng phát triển phương pháp độ cứng động (DSM) hay phương pháp phần tử phổ (SEM) để mở rộng dải tần nghiên cứu kết cấu FGM, chúng thử nghiệm thành công kết cấu dầm FGM Vì vậy, việc hoàn thiện phương pháp biết để giải trọn vẹn toán cho kết cấu dầm FGM miền tần số cao vấn đề có ý nghĩa khoa học thực tế cao Mặt khác, nghiên cứu công bố chủ yếu nghiên cứu kết cấu lý tưởng mà chưa kể đến khuyết tật xuất kết cấu vết nứt hay suy giảm độ cứng cục khác Đã có số công trình nghiên cứu phá hủy vật liệu FGM, phá hủy kết cấu hay xuất vết nứt kết cấu nghiên cứu bước đầu dầm FGM Trong đó, xuất vết nứt kết cấu nói chung thường biểu rõ ràng dao động tần số cao tần số thấp Vì vậy, để nghiên cứu kết cấu FGM có vết nứt, phương pháp tần số cao nêu phù hợp khả thi Hơn nữa, toán chẩn đoán khuyết tật kết cấu FGM, mới, chắn cần thiết vật liệu FGM ứng dụng nhiều ngành công nghệ cao nói Nếu để khuyết tật dù nhỏ phận tàu vũ trụ hay lò phản ứng hạt nhân không phát tai nạn xảy tránh khỏi Vì lý nêu trên, luận án đặt vấn đề nghiên cứu dao động dầm FGM có vết nứt miền tần số để tiến tới xây dựng phương pháp chẩn đoán vết nứt dầm FGM đặc trưng dao động Nội dung nghiên cứu luận án gồm: Xây dựng phương trình mô tả dao động dầm FGM miền tần số, bao gồm dao động tự dao động cưỡng ma trận độ cứng động; Nghiên cứu tương tác dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM số đặc trưng truyền sóng dầm FGM; Xây dựng mô hình dầm FGM chứa vết nứt sử dụng mô hình hai lò xo để mô tả vết nứt phân tích ảnh hưởng vết nứt với tham số vật liệu lên tần số riêng dầm; Đề xuất thuật toán để chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng kiểm nghiệm thử nghiệm số CHƢƠNG DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM TIMOSHENKO CÓ VẾT NỨT Trong chương này, tác giả thiết lập phương trình tổng quát mô tả dao động dầm FGM Timoshenko dựa quy luật biến đổi hàm lũy thừa đặc trưng vật liệu tính đến vị trí thực trục trung hòa, nói chung không trùng với trục đối xứng tiết diện ngang Xét dầm có chiều dài L, tiết diện ngang hình chữ nhật với chiều rộng b chiều cao h, diện tích tiết diện ngang A = b h Dầm làm từ vật liệu FGM với đặc trưng vật liệu biến đổi theo chiều cao (z) tuân thủ quy luật: E ( z ) Eb Et Eb n z G ( z ) G G G b t b , h / z h / ( z) h b b t (2.1) Trong đó, E mô đun đàn hồi, G mô đun trượt ρ mật độ khối số t b ký hiệu giá trị đặc trưng vật liệu mặt mặt đáy z tọa độ tính từ mặt độ cao h/2 kể từ đáy dầm 2.1 Phƣơng trình chuyển động Giả sử dầm chịu tác dụng tải phân bố: dọc trục p(x, t), tải ngang q(x,t) mô men m(x, t), sử dụng nguyên lý Hamilton, thực phép biến đổi Fourier, ta nhận phương trình chuyển động miền tần số: ( I11U A11U ) ( I12 A12) P( x, ) ; ( I12U A12U ) ( I 22 A22) A33 (W ) M ( x, ) ; I11W A33 (W ) Q( x, ) (2.8) Sử dụng ký hiệu ma trận, viết phương trình (2.8) dạng (2.11) Az Bz Cz q 2.2 Các đặc trƣng dao động dầm FGM 2.2.1 Tần số dạng dao động riêng Dao động riêng hệ xác định từ phương trình Az Bz Cz (2.12) Nghiệm phương trình (2.12) tìm dạng z ( x, ) Φ( x, )d (2.19) d {d11 , , d16 } số phải tìm Áp điều kiện T biên động học cho nghiệm tổng quát (2.19) với điều kiện tồn nghiệm khác thu phương trình tần số 1 f () det[B11 () B12 ()B22 ()B21 ()] (2.23) Ứng với nghiệm phương trình (2.23) k , k 1, 2, ta có dạng dao động riêng φk ( x) Φ( x, k )dk (2.24) 2.2.2 Ma trận truyền – Đáp ứng tần số Nghiệm tổng quát phương trình không (2.11) xác định dạng z( x, ) z ( x, ) z q ( x, ) , (2.25) z ( x, ) nghiệm tổng quát phương trình xác định dạng (2.19) Nghiệm riêng z q ( x, ) phương trình (2.11) có dạng x z q ( x, ) H( x , )q( , )d , (2.26) H( x, ) ma trận truyền Nghiệm (2.25) thoả mãn điều kiện biên đầu trái dầm biểu diễn sau z( x, ) Φ( x, )d z q ( x, ) (2.34) Áp dụng điều kiện biên cho nghiệm (2.34) thu d [B L ( )]1{bq ()} (2.37) Do đó, đáp ứng tần số dầm FGM tải trọng xác định dạng z( x, ) Φ( x, )[B L ()]1{bq ()} z q ( x, ) 2.2.3 (2.38) Ma trận độ cứng động Trong mục này, tác giả xây dựng ma trận độ cứng động cho phần tử dầm hai chiều làm từ vật liệu FGM tuân thủ quy luật (2.1) Ký hiệu tọa độ nút lực đầu nút sau: U {U1 , 1 ,W1 ,U , 2 ,W2 }T ; P {N1 , M1 , Q1 , N2 , M , Q2 }T (2.48) Áp dụng công thức (2.25) tính P1{z q }x 0 P1{}x 0 (0, ) U d d ; P (2.50) ( L, ) P2 {}x L z q ( L) P2 {z q }x L Khử véc tơ số d (2.50) dẫn đến [P()] [K()] {U} {F} , (2.52) [K], {F} ma trận độ cứng động tải trọng nút phần tử dầm FGM xét 2.3 Dao động dầm FGM có vết nứt 2.3.1 Mô hình vết nứt dầm FGM Xét dầm có vết nứt vị trí e tính từ đầu bên trái dầm vết nứt mô hình hoá lò xo tương đương có độ cứng T lò xo dọc trục R lò xo xoắn R x=0 T x=e x=L Hình 2.3 Mô hình vết nứt dầm FGM điều kiện tương thích vị trí vết nứt U (e 0) U (e 0) 1U x (e); (e 0) (e 0) 2x (e) ; W (e 0) W (e 0) ; U x (e 0) U x (e 0); x (e 0) x (e 0); Wx(e 0) Wx(e 0) 2x (e) (2.57) Trong 1, 2 độ lớn vết nứt Trong phân tích dạng dao động dầm FGM có vết nứt, độ lớn vết nứt tính gần A11 / T F (a); A22 / R F2 (a) F1 (a) 2 (1 02 )h1 f1 (a); F2 (a) 6 (1 02 )h2 f (a) 2.3.2 (2.63) (2.64) Phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát phương trình (2.12) thoả mãn điều kiện tương thích vị trí vết nứt có dạng z( x) [Φ0 ( x, ) K( x e)Φ0 (e, )]{D} [G L ( x, )]{D} (2.84) Áp dụng điều kiện biên nghiệm (2.84) thu phương trình tần số dầm FGM bị nứt () det[BLL ()] det[BL G L ( x, ) xL ] (2.87) 11 3.2 Dao động uốn túy dầm FGM Trong phần tác giả nghiên cứu dao động uốn độc lập cho phương trình cuối (3.6) Nghiệm chúng tìm dạng (3.25) z [G1 ( x, ) G ( x, )]d G( x, )d Nghiệm (3.25) thoả mãn điều kiện biên đầu dầm Từ thu phương trình tần số dầm FGM tỷ lệ L0 () det[G L ()] , (3.32) Mỗi nghiệm j ta dạng dao động riêng j ( x) C j G ( x, j )D j , (3.33) Xét ví dụ cụ thể dầm FGM tỷ lệ có thông số vật liệu đầu vào sau: Eb 2.11011 N / m2 , b 7850 kg / m3 , 1 0.3 (mặt dưới) Từ thông số vật liệu mặt ta tính thông số vật liệu mặt với tỷ phần r: Et rEb ; t r b Phân tích tần số cắt Tần số cắt xác định hàm hệ số tỷ lệ với số phân bố vật liệu thay đổi với mảnh khác cho hình vẽ 230 1.1 L/h=10 225 n=20 Normalized natural frequency n=10 Nondimensional cutoff frequency 220 215 n=1 210 n=0.5 205 n=2 n=0.2 200 n=0.1 1.05 n=50 n=5 n=0 1.0 n=0.1 n=0.2 n=2 n=0.5 0.95 n=1 n=0 195 n=5 n=50 0.9 190 n=20 185 n=10 180 0.5 1.5 2.5 Proportional ratio, r 3.5 4.5 r 0.85 Hình 3.5 Tần số cắt chuẩn hoá độc lập phụ thuộc tỷ số r với số phân bố vật liệu n khác 0.5 1.5 2.5 3.5 Material proportional factor, r 4.5 r Hình 3.7 Tần số riêng chuẩn hoá độc lập dần FGM phụ thuộc vào tỷ số r với giá trị n khác Phân tích tần số riêng Có thể thấy tần số dao động uốn tự nhiên dầm PFG bị giới hạn khoảng từ (0.9 – 1.1) lần so với tần số dầm đồng 12 Phân tích dạng dao động 0.8 L/h=5 Phân tích số dạng =10 0.6 =20 =30 0.4 =50 =100 dao động dầm PFG không 0.2 chịu ảnh hưởng thông số -0.2 -0.4 vật liệu tỷ phần r số -0.6 -0.8 phân bố vật liệu n, chúng -1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 3.11 Dạng dao động thứ ba phụ thuộc vào độ mảnh L/h dầm thay đổi phụ thuộc vào độ mảnh dầm Các đặc trƣng sóng dầm FGM 3.3 Trong mục tác giả khảo sát số đặc trưng truyền sóng dầm FGM, có tương tác sóng dọc sóng ngang Các nghiệm phương trình đặc trưng phương trình dao động tự dầm FGM j , j 1, 2, biểu diễn dạng j j2 (ik j )2 , j 1, 2, , k j , j 1, 2, biểu thị số sóng tương ứng với dạng dao động dọc trục, uốn cắt Các bình phương số sóng j k 2j , j 1,2,3 dầm FGM xác định hàm tần số dạng đặc trưng phổ dạng sóng Đặc trưng sóng tìm với thay đổi số phân bố vật liệu n độ mảnh L/h dầm dầm làm vật liệu thép-nhôm cho hình vẽ x 10 1400 4 L/h=5,10 L/h=5 n=50 1200 20 10 1000 Shear wave characteristic,k3 Axial wave characteristic,k1 800 600 0.5 0.2 0.1 400 L/h=20 L/h=30 L/h=50 n=10 n=0 -1 200 L/h=100 0 10 20 30 40 50 60 Dimensionless frequency 70 80 90 100 Hình 3.12 Đặc trưng phổ sóng dọc trục với số phân bố vật liệu n thay đổi độ mảnh L/h = -2 200 400 600 800 Dimensionless frequency 1000 1200 Hình 3.17 Đặc trưng phổ sóng ngang với n = độ mảnh khác dầm 13 x 10 x 10 10 3.5 r =R2/R1 r =R1/R2 Dimensionless cutoff frequency Dimentionless cutoff frequency r=2 2.5 r=0.1 1.5 r =1 r=0.2 r=0.1 r=0.4 r =1 r=2 0.5 0 0.5 1.5 2.5 Material distribution index, n 3.5 4.5 Hình 3.18 Tần số cắt phụ thuộc vào số phân bố vật liệu n với thay đổi tỷ số mô đun đàn hồi vật liệu 0.5 1.5 2.5 Material distribution index, n 3.5 4.5 Hình 3.19 Tần số cắt phụ thuộc vào số phân bố vật liệu n với thay đổi tỷ số mật độ khối Từ đồ thị thấy tất đặc trưng sóng tăng theo số phân bố vật liệu n; đặc trưng sóng dọc trục tăng theo độ mảnh L/h dầm Các đặc trưng dao động uốn cắt giảm độ mảnh tăng lên, nhiên, ảnh hưởng độ mảnh dao động uốn không nhiều dao động dọc trục cắt Kết luận chƣơng Trong Chương này, sử dụng kết tính toán xác vị trí trục trung hòa, tác giả nhận điều kiện để dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM tách rời hoàn toàn, gọi điều kiện không tương tác, từ đưa khái niện dầm PFG tỷ lệ Đã nghiên cứu chi tiết hệ số tương tác phụ thuộc vào tham số vật liệu hình học, đồng thời nghiên cứu tần số dạng riêng dao động uốn dầm FGM tỷ lệ (gọi dao động uốn túy hay dao động uốn tách rời) Nghiên cứu số đặc trưng sóng dầm FGM trường hợp có tương tác dao động dọc dao động uốn, đặc biệt nghiên cứu tần số cắt (là tần số bắt đầu xuất sóng trượt hay gọi sóng cắt) phụ thuộc vào tham số vật liệu 14 CHƢƠNG KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 4.1 Tần số dạng dao động riêng Các tính toán số tiến hành cho dầm FGM với tham số vật liệu: Eb 2.1 1011 N / m2 , b 7800kg / m3 , h0 0.0653, (4.1) Et 3.9 1011 N / m2 , t 3960kg / m3 , n 10 Trước hết, tính năm tần số riêng chuẩn hóa dầm độ với độ mảnh L/h khác sử dụng lý thuyết phát triển có xét tới vị trí thực trục trung hoà (lý thuyết - NA) lý thuyết với giả thiết trục trung hoà trùng với trục (lý thuyết - CA) Kết nhận được so sánh với kết thu sử dụng phương pháp độ cứng động với giả thiết trục trung hoà trùng với trục (h0 = 0) Các kết phương pháp đề xuất tính toán phương pháp độ cứng động cho kết tần số riêng dao động uốn tương đồng Tuy nhiên, kết khác dao động dọc trục – dao động phụ thuộc với dao động uốn dầm FGM Timoshenko Rất tính đến trục trung hòa làm thay đổi nhiều tần số dao động dọc trục 3.5 a) n=0.1 n=0.2 n=0.5 2.5 n=0.1 2.5 Normalized natural frequency n=0.2 Normalized natural frequency n=0.5 n=1 n=2 n=1 n=2 n=3 n=5 1.5 1.5 n=5 n=8 n=10 n=20 n=50 n=50 n=10 0.5 Elasticity modulus ratio n=30 n=20 0.5 10 Hình 4.2 Sự thay đổi tần số riêng chuẩn hoá theo tỉ số mô đun đàn hồi với số mũ n khác -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 Neutral axis dislocation (h0/h) 0.1 0.15 0.2 0.25 Hình 4.1 Các tần số riêng chuẩn hoá theo thay đổi vị trí trục trung hoà với số mũ n khác Rõ ràng tần số riêng tăng với tỷ số mô đun đàn hồi tốc độ tăng phụ thuộc vào số mũ n Số mũ cao tốc độ tăng giảm (khi R > 1) ngược lại R < Các tần số giảm số mũ 15 n tăng, nhiều khác biệt với L/h > 20, đặc biệt tần số dọc trục nhạy cảm với độ mảnh dầm L/h < 20 Các tần số riêng nhạy cảm với vị trí trục trung hoà n nhỏ, với n > 10 tần số không phụ thuộc nhiều vào số mũ n vị trí trục trung hòa Bảng 4.1 So sánh tần số riêng chuẩn hóa dầm đơn FGM Timoshenko λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Tài liệu [50] 2.9513 10.176 (10.1162) 16.686 (16.6665) 19.331 (19.2502) 29.194 (29.1011) Luận án (CA) 2.9359 8.3233 10.1441 19.2500 24.9647 29.1027 Luận án (NA) 2.9369 (B1) 8.3405 (A1) 10.1304 (B2) 19.2538 (B3) 24.9626 (A2) 29.0944 (B4) Tài liệu [50] 3.0959 Luận án (CA) 3.0802 11.7469 16.6775 24.6903 40.5127 Luận án (NA) 3.0805 (B1) 11.7476 (B2) 16.6850 (A1) 24.6834 (B3) 40.5205 (B4) Tài liệu [50] 3.1363 Luận án (CA) 3.1205 12.3206 27.1452 33.3651 46.9994 Luận án (NA) 3.1206 (B1) 12.3218 (B2) 27.1584 (B3) 33.3718 (A1) 46.9904 (B4) Tài liệu [50] 3.1440 Luận án (CA) 3.1282 12.4394 27.7209 48.5505 50.8179 74.8179 Luận án (NA) 3.1282 (B1) 12.4399 (B2) 27.7242 (B3) 48.6527 (B4) 50.0582 (A1) 74.8093 (B5) Tài liệu [50] 3.1496 Luận án (CA) 3.1337 12.5285 28.1641 50.0073 78.0119 Luận án (NA) 3.1338 (B1) 12.5285 (B2) 28.1668 (B3) 50.0095 (B4) 78.0140 (B5) L/h 10 20 30 100 11.805 12.383 12.502 12.591 24.799 33.371 27.291 47.214 27.861 28.304 48.888 50.253 40.700 66.743 75.163 78.388 Ak – dao động dọc trục thứ k; Bk – dao động uốn thứ k; CA – Theo lý thuyết trục giữa; NA – Theo lý thuyết trục trung hoà Các dạng dao động riêng tương ứng với tần số tính bảng 4.1 trình bày hình vẽ với ký hiệu dạng dao động dọc trục (Ak) dao động uốn (Bk) Các tính toán số dạng dao động phụ thuộc vào độ mảnh nhiều tham số vật liệu dầm 16 1 0.8 0.8 Mode 0.6 0.6 Mode 0.4 0.4 Mode Mode 0.2 0.2 0 Mode -0.2 -0.2 Mode -0.4 -0.4 Mode -0.6 -1 Mode -0.6 -0.8 Mode Mode -0.8 -1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 First five mode shape of bending vibration, n=10,L/h=30 First five mode shapes of FGM-SS-Beam, n=10,L/h=5 Hình 4.6 Năm dạng dao động dầm đơn FGM với n = 10 L/h = Hình 4.9 Năm dạng dao động dầm đơn FGM với n = 10 L/h = 30 Hàm đáp ứng tần số 4.2 Các hàm đáp ứng tần số dầm với tham số vật liệu (4.1) tính toán với tỉ số độ mảnh L/h khác Hàm đáp ứng tần số đơn (với điểm đặt lực trùng với điểm đo đáp ứng -The auto FRFs); Hàm đáp ứng tần số chéo (với điểm đặt lực không trùng với điểm đo đáp ứng the cross FRFs) Các kết tần số dạng dao động riêng xác định từ hàm đáp ứng tần số biểu thị hình vẽ trùng khớp với kết thu bảng 4.1 xác định cách giải phương trình tần số Do kết luận tham số mô tần số dạng dao động riêng dầm FGM Timoshenko xác định phương pháp thử nghiệm động thông dụng 140 60 Eb=210,Rob=7800,Et=390,Rot=3960,n=10 Eb=210,Rob=7800,Et=390,Rot=3960,n=10 L/h=10 120 L/h=10 50 L/h=10 40 Cross flexural-axial FRF Croo axial-flexural FRF 100 80 L/h=5 L/h=20 60 30 L/h=20 L/h=5 20 40 L/h=10 L/h=30 10 20 L/h=5 0 10 12 Dimesionless frequency 14 16 18 20 Hình 4.13 Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục-uốn với tỉ số độ mảnh khác 10 12 Dimensionless frequency 14 16 18 20 Hình 4.14 Hàm đáp ứng tần số chéo uốn-dọc trục với tỉ số độ mảnh khác 17 Axial frequency response to axial unite impact 2000 re=1/6 (a) 1800 10000 re=4 1600 re=1/4 8000 Axial displacement FRF Autyo-Flexural FRF 1400 1200 1000 re=5 re=1/6 re=1/3 800 re=9 re=7 6000 4000 600 re=1/5 re=6 400 re=1/2 re=2 re=8 re=1 re=10 2000 re=1 re=3 200 re=3 re=6 re=1/2 re=4 re=2 re=5 re=8 re=7 re=9 re=10 10 11 12 13 Dimensionless frequency 14 15 Hình 4.19 Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với tỉ số mô đun đàn hồi khác 15 16 17 18 19 Dimensionless frequency 20 21 Hình 4.20 Hàm đáp ứng tần số đơn dọc trục với tỉ số mô đun đàn hồi khác Các hàm đáp ứng tần số tìm cho thấy tăng tần số riêng tỉ số mô đun đàn hồi tăng lên Hơn nữa, đồ thị hàm đáp ứng tần số đỉnh dao động dọc trục chiếm ưu với Re = 1/6 dao động uốn chiếm ưu Re = 1/4 4.3 Ảnh hƣởng vết nứt đến tần số dạng dao động riêng 4.3.1 So sánh nghiên cứu a Các tần số riêng dao động phụ thuộc Trước hết ta tính tần số riêng không thứ nguyên dầm FGM Timoshenko nguyên vẹn với tham số vật liệu sau: Thép: Eb 2.11011 N / m2 , b 7850kg / m3 , b 0.3 (mặt dưới); Nhôm: Et 0.7 1011 N / m2 , t 2707kg / m3 , t 0.3 (mặt trên); Bảng 4.2 cho kết thu với mô hình dao động phụ thuộc dầm so sánh với kết tính toán bỏ qua dao động dọc trục Bảng 4.2 So sánh tần số riêng không thứ nguyên dầm FGM nguyên vẹn chịu liên kết đơn No Mode 1st uốn 1st dọc trục 2d uốn 3rd uốn 2nd dt 4th uốn 5th uốn Luận án 2.4972 6.2562 8.3535 15.5235 18.7686 23.1155 30.8132 Li 2.4972 n/a 8.3536 15.5236 n/a 23.1155 30.8133 No Mode 3rd dọc trục 6- uốn 10 7- uốn 11 8- uốn 12 9- uốn 13 4th dt 14 10- uốn Luận án 31.2802 33.2100 36.1146 38.5061 43.1807 43.7955 46.1580 18 Li n/a 33.2032 36.1144 38.5062 43.1833 n/a 46.1581 No Mode 15 11- uốn 16 12- uốn 17 5th dt 18 13- uốn 19 14- uốn 20 6th dt 21 15- uốn Luận án 52.2863 53.7605 56.3034 61.3153 62.4261 68.8114 68.8282 Li 52.2854 53.7606 n/a 61.3154 62.423 n/a 68.8279 L = 0.5m; h = 0.125m; ( L / h) b / Eb ; b Mô hình dầm FGM bị nứt đề xuất Để chứng minh lý thuyết đề xuất mô hình dầm FGM Timoshenko có vết nứt, tính toán tần số riêng dầm ngàm hai đầu so sánh kết thu với kết sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn 0.99 Yang & Chen, L/h=20, Eb/Et=5.0 Luận án L/h =20, Eb/Et =5.0 Fundamental frequency ratio Tỉ số số Yang & Chen, L/h =10, Eb/Et =5.0 0.98 Luận án L/h =10, Eb/Et =5.0 Yang & Chen, L/h =20, Eb/Et =0.2 0.97 Yang & Chen, L/h =10, Eb/Et =0.2 Luận án L/h =20, Eb/Et =0.2 Luận án L/h =10, Eb/Et =0.2 0.96 0.95 0.94 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Crack positrion 0.6 0.7 0.8 0.9 Vị trí vết nứt Hình 4.25 Tỉ số tần số dầm ngàm hai đầu so sánh với kết thu tác giả Yang Chen; độ sâu vết nứt a/h = 20% So sánh kết thu (đường nét liền) với kết thu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (đường nét đứt) cho thấy tương đồng mô hình vết nứt đề xuất luận án dầm FGM sử dụng để phân tích dầm Timoshenko có vết nứt Các kết thu tương đồng sử dụng quy luật phân bố khác vật liệu 19 4.3.2 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng Sự thay đổi tần số riêng gây vết nứt thường gọi độ nhạy tần số riêng với vết nứt Sự thay đổi tần số riêng biểu diễn thông qua tỉ số tần số dầm bị nứt (gọi tắt tần số nứt) tần số dầm nguyên vẹn (tần số nguyên vẹn) Các tỷ số đại lượng không thứ nguyên hàm vị trí độ sâu vết nứt tính phụ thuộc vào vị trí vết nứt nằm dọc theo chiều dài dầm Đối với toán đặt nghiên cứu thay đổi tần số riêng phụ thuộc vào tham số hình học vật liệu dầm FGM Timoshenko ngàm hai đầu Trước hết, từ đồ thị thấy rằng, tương tự dầm đồng nhất, tần số riêng không thay đổi vết nứt số vị trí đặc biệt dầm Các điểm gọi điểm nút tần số Trong trường hợp tổng quát, điểm nút tần số tìm từ phương trình d1 ( x, k0 ) 0; d2 ( x, k0 ) 0; d12 ( x, k0 ) (4.2) hàm d1 ( x, ); d2 ( x, ); d12 ( x, ) xác định (2.96) k0 tần thứ k dầm FGM không nứt a/h=5% a/h=5% a/h=5% a/h=5% 1 10% 10% 10% 10% 0.99 15% 15% 0.99 15% 15% 20% 0.98 20% 20% 0.98 20% 0.97 30% 0.97 0.96 30% 30% 0.96 (b1) - Second frequency 0.95 Re=5.0,n=0.5 30% Re=0.2,n=0.5 0.93 Re=5.0,n=0.5 Re=0.2,n=0.5 (c1) - Third frequency (c1) Tần số thứ ba 0.95 (b1) Tần số thứ hai 0.94 0.94 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 position VịCrack trí vết nứt Hình 4.27 Sự thay đổi tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 VịCrack trí position vết nứt Hình 4.28 Sự thay đổi tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 20 1 0.995 0.995 0.99 0.99 0.985 0.985 n=10,Re=5 n=0.2,Re=0.2 0.98 0.98 n=0.2,Re=0.2 n=1,Re=5 n=1,Re=0.2 0.975 0.97 0.97 0.965 Re=0.2 Re=5.0 n=1,Re=0.2 n=0.2,Re=5 n=10,Re=0.2 n=10,Re=5 0.975 n=1,Re=5 0.965 r=0.2 r=5.0 n=10,Re=0.2 0.96 0.96 (a2) First frequency, n (Re=0.2&5) (a2) Tần số thứ - n (Re = 0.2 & 5) 0.955 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 position VịCrack trí vết nứt 0.7 0.8 (b2) Tần số thứ hai - n (Re = 0.2 & 5) n=0.2,Re=5 0.955 0.95 (b2) Second frequency, n (Re=0.2&5) 0.9 Hình 4.35 Ảnh hưởng tần số riêng thứ phụ thuộc vào vị trí vết nứt với n = (0.2 – 10) Re = 0.2; 5.0 dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, a/h = 20% 1.005 0.95 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 VịCrack trí position vết nứt 0.7 0.8 0.9 Hình 4.36 Ảnh hưởng tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt với n = (0.2 – 10) Re = 0.2; 5.0 dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, a/h = 20% 1.005 L/h=5 L/h=5 100 100 0.995 100 0.995 100 30 30 0.99 20 0.99 20 30 0.985 30 0.985 10 10 0.98 0.98 20 20 0.975 0.975 (c1) Third frequency 0.97 n=5,Re=0.2 n=5,Re=5.0 (c1) Tần số thứ ba 0.97 10 0.965 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 10 (c2) Tần số thứ ba (c2) Third frequency n=5.0,Re=0.2 n=0.5,Re=0.2 0.965 0.6 0.7 0.8 0.9 Crack position Vị trí vết nứt Hình 4.40 Sự thay đổi tần số riêng thứ ba với tỉ số độ mảnh L/h=550 dầm ngàm hai đầu với Re=0.2 &5.0, n=5.0 độ sâu vết nứt a/h=20% 0.96 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Crack position 0.6 0.7 0.8 0.9 Vị trí vết nứt Hình 4.43 Sự thay đổi tần số riêng thứ ba với độ mảnh L/h = 5-50 dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, n=0.5&5.0 độ sâu vết nứt a/h=20% Nghiệm phương trình (4.2) cho bảng 4.3 cho thấy tồn điểm tới hạn xác dạng dao động thứ hai dầm FGM ngàm hai đầu vị trí dầm (e0 = 0.5) Tuy nhiên, tất điểm tới hạn, hình vẽ gần với nghiệm phương trình thứ hai (4.2) Điều giá trị hệ số d1 (e, k0 ) , d12 (e, k0 ) nhỏ so với d2 (e, k0 ) ) Từ đồ thị cho thấy thay đổi tần số riêng giảm đáng kể độ sâu vết nứt tăng lên phụ thuộc vào tham số hình học vật liệu dầm Các tần số riêng dao động uốn nhạy cảm với vết nứt độ mảnh tăng lên phụ thuộc vào vật liệu chế tạo dầm 21 Bảng 4.3 Nghiệm phương trình (4.2) điểm tới hạn dầm FGM Timoshenko ngàm hai đầu Mode d1 ( x,k0 ) d12 ( x,k0 ) d2 ( x,k0 ) 0.0788 0.2432 0.7568 0.22 - 0.5 0.5379 0.13 0.5 0.78 0.32 0.69 0.09 0.35 0.1523 0.87 0.65 0.91 0.2317 0.7683 0.5 0.0771 (0.34) 0.8591 0.5218 (0.66) 0.9223 4.4 Lời giải toán chẩn đoán vết nứt tần số riêng Các kịch vết nứt khác bao gồm ba tham số: độ sâu vết nứt (5% - 20%); vị trí vết nứt (11 vị trí từ vị trí số tới tương ứng với đầu bên trái bên phải dầm) tỉ số độ mảnh (5; 10; 20) Các kết thu cho bảng 4.4 cho thấy độ xác phương pháp đưa ra, đặc biệt, trường hợp độ mảnh nhỏ (L/h = 5), trường hợp điển hình dầm Timoshenko Sai số xuất vết nứt dầm xuất vị trí gần điểm nút tần số, cụ thể 0.22; 0.5; 0.78 Đối với dầm có độ mảnh lớn, độ sâu vết nứt xác định xác tất trường hợp vết nứt khác đưa sai số xảy trường hợp vết nứt đối xứng Bảng 4.4 Xác định vị trí chiều sâu vết nứt phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh với dầm ngàm hai đầu có vết nứt khác Vị trí thực vết nứt L/h 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 0.0 0.10 0.13 0.30 0.40 0.51 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0 30% 30% 87% 30% 30% 73% 30% 30% 86% 30% 30% 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 30% 30% 30% 30% 30% 0.50 0.60 0.30 0.20 0.90 0.0 30% 30% 30% 30% 30% 30% 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 0.70 0.13 0.90 1.0 0.4 0.5 0.6 0.7 Độ sâu thực vết nứt a/h = 30% 10 20 Độ sâu thực vết nứt a/h = 20% 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.52 0.60 22 10 20 20% 20% 20% 20% 20% 77% 20% 20% 78% 20% 20% 0.0 0.10 0.20 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.0 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.11 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0 10% 10% 10% 10% 10% 13% 10% 10% 64% 10% 10% 0.0 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.10 0.0 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% Độ sâu thực vết nứt a/h = 10% 10 20 Độ sâu thực vết nứt a/h = 5% 10 20 0.0 0.10 0.13 0.30 0.40 0.11 0.60 0.70 0.13 0.90 0.0 5% 5% 1% 5% 5% 6% 5% 5% 1% 5% 5% 0.0 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.10 0.0 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 1.0 0.90 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.90 1.0 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% Kết luận chƣơng Kết số nhận Chương chủ yếu để minh họa kiểm chứng lý thuyết trình bày Chương 2, từ kết đưa số kết luận sau: a Phương pháp đề xuất luận án cho phép ta tính toán tần số dạng dao động riêng dầm FGM cách đơn giản với độ xác tương đương với phương pháp ma trận độ cứng động b Nói chung, tần số riêng tăng với tỷ số mô đun đàn hồi giảm tỷ số khối lượng riêng tăng Nhưng tốc độ tăng giảm tần số theo tỷ số nêu phụ thuộc nhiều vào số mũ n Độ mảnh dầm ảnh hưởng đến tần số riêng lớn 20 (L/h > 20), có ảnh hưởng nhiều, đặc biệt tần số dao động dọc trục L/h < 10 23 c Nghiên cứu hàm đáp ứng tần số cho thấy, tần số uốn xuất hàm đáp ứng tần số uốn tần số dọc trục xuất hàm đáp ứng tần số dọc trục Tuy nhiên, hàm đáp ứng tần số chéo (đáp ứng ngang tác dụng tải trọng dọc đáp ứng dọc trục tác dụng tải trọng ngang) hữu ích nghiên cứu tương tác dạng dao động dọc trục dao động uốn d So sánh kết nhận tần số uốn dầm FGM có vết nứt với kết biết cho thấy: mô hình hai lò xo vết nứt cho ta kết không khác nhiều so với mô hình lò xo xoắn (uốn) độ mảnh lớn tức dầm dạng Euler-Bernoulli Như vậy, việc thêm vào lò xo dọc trục để mô tả vết nứt có ý nghĩa dầm ngắn (L/h < 10) e Nghiên cứu ảnh hưởng vết nứt đến tần số với tham số vật liệu khác cho thấy: ảnh hưởng vết nứt đến tần số tăng với Re (n), n < (Re < 1) giảm n > (Re > 1); độ mảnh (L/h) cao ảnh hưởng vết nứt đến tần số yếu Mặc dù, tham số vật liệu có ảnh hưởng đáng kể đến tần số dầm FGM bị nứt, tồn điểm nút tần số f Thuật toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng đề xuất luận án cho phép ta xác định xác vị trí độ sâu vết nứt trừ trường hợp vết nứt gần với điểm nút tần số Trong trường hợp vết nứt xuất gần với điểm nút tần số xác định từ khảo sát thay đổi tần số đo Như vậy, thuật toán chẩn đoán vết nứt nêu đầy đủ để thực việc chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án này, giải trọn vẹn toán sau: 1) Dao động riêng dầm FGM có tính đến vị trí thực trục trung hòa; Đã xây dựng biểu thức phương trình tần số tổng quát cho điều kiện biên khác biểu thức dạng riêng; Đã phân tích chi 24 tiết ảnh hưởng tham số vật liệu đến đặc trưng dao động dầm Đã xác định điểm nút tần số, vết nứt xuất không làm thay đổi tần số Các điểm nút tần số không phụ thuộc vào đặc trưng vật liệu 2) Đã tìm điều kiện để dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM hoàn toàn độc lập Từ nghiên cứu dạng dao động uốn dọc trục tách rời Các dầm FGM thỏa mãn điều kiện không tương tác dao động dọc trục dao động uốn gọi dầm FGM tỷ lệ, bao hàm dầm đồng cổ điển 3) Đã thiết lập toán dao động riêng dầm FGM có vết nứt, sử dụng mô hình lò xo kép (dọc trục xoay) cho vết nứt Ở phân tích chi tiết ảnh hưởng vết nứt với tham số vật liệu đến tần số riêng 4) Đã thiết lập giải toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng Các phương trình chẩn đoán thiết lập cách tường minh Do tính không chỉnh toán ngược khắc phục để nhận kết xác vị trí lẫn độ sâu vết nứt Tuy nhiên, hạn chế thời gian, nhiều vấn đề cần phải nghiên cứu tiếp, cụ thể là: Cần phải nghiên cứu kỹ tương tác dao động dọc trục dao động uốn phụ thuộc vào đặc trưng vật liệu nghiên cứu chi tiết lớp dầm FGM tỷ lệ; Bài toán dao động cưỡng dầm FGM miền tần số, tải trọng kích động di động hay kích động tần số cao; Bài toán chẩn đoán đa vết nứt dầm FGM tần số riêng hay đặc trưng động lực học khác dầm dạng dao động riêng, hàm đáp ứng tần số DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014) Lý thuyết dao động dầm FGM miền tần số Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, pp.93-98 N T Khiem, N N Huyen (2015) On the neutral axis of functionally graded beams Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 2015, pp.164-169 N T Khiem, N N Huyen (2016) A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam Journal of Nondestructive Testing and Evaluation, Published online: 17 Oct 2016 DOI: 10.1080/10589759.2016.1226304 Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem (2016) Uncoupled vibrations in functionally graded Timoshenko beam Journal of Science and Technology, V 54, No 6, pp.785-796 Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem Frequency analysis of cracked functionally graded cantilever beam Journal of Science and Technology (accepted to publish in V 55, No 1, 2017) N.N Huyen, N.T Khiem (2017) Modal analysis of functionally graded Timoshenko beam Vietnam Journal of Mechanics, V 39, No 1, pp 1-19 DOI:10.15625/0866-7136/7582 N T Khiem, N N Huyen, N T Long (2017) Vibration of cracked Timoshenko beam Proceeding of the 35 made th of functionally graded material International modal analysis Conference, USA Jan 30 – Feb 2, 2017 (to be published) ... cứu dao động dầm FGM bị nứt chẩn đoán vết nứt dầm FGM quan tâm Luận án đặt vấn đề nghiên cứu dao động dầm FGM có vết nứt phục vụ việc tính toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM đặc trưng động lực học Mục... ma trận độ cứng động tải trọng nút phần tử dầm FGM xét 2.3 Dao động dầm FGM có vết nứt 2.3.1 Mô hình vết nứt dầm FGM Xét dầm có vết nứt vị trí e tính từ đầu bên trái dầm vết nứt mô hình hoá lò... giải tích dao động dầm FGM có vết nứt [Công bố số 3, 5, 7] Sử dụng mô hình giải tích cho dầm FGM có vết nứt nêu trên, phân tích chi tiết ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học vết nứt đến tần số dao