Đang tải... (xem toàn văn)
Trong một vài năm trở lại đây thì trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi et xuất hiện khá phổ biến . Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng.Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông .
Chuyờn H THC VI- ẫT V NG DNG CA H THC VI- ẫT Nm hc 2015- 2016 A M U Trong mt vi nm tr li õy thỡ cỏc thi vo lp 10 trung hc ph thụng , cỏc bi toỏn v phng trỡnh bc hai cú s dng ti h thc Vi- et xut hin khỏ ph bin Trong ú ni dung v thi lng v phn ny sỏch giỏo khoa li rt ớt, lng bi cha a dng Ta cng thy gii c cỏc bi toỏn cú liờn qua n h thc Vi - et hc sinh cn tớch hp nhiu kin thc v i s , thụng qua ú hc sinh cú cỏch nhỡn tng quỏt hn v hai nghim ca phng trỡnh bc hai vi cỏc h s Vy nờn nhúm toỏn chỳng tụi xõy dng chuyờn ny ngoi mc ớch giỳp hc sinh nõng cao kin thc cũn giỳp cỏc em lm quen vi mt s dng toỏn cú thi vo lp 10 trung hc ph thụng Ni dung chớnh ca chuyờn gm : I ng dng Nhm nghim ca phng trỡnh bc hai mt n II ng dng Lp phng trỡnh bc hai III ng dng Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng IV ng dng Tớnh giỏ tr ca biu thc nghim ca phng trỡnh V ng dng VI ng dng VII ng dng Tỡm h thc liờn h gia hai nghim ca phng trỡnh cho hai nghim ny khụng ph thuc vo tham s Tỡm giỏ tr tham s ca phng trỡnh tha biu thc cha nghim Xỏc nh du cỏc nghim ca phng trỡnh bc hai VIII ng dng Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc nghim B NI DUNG CHUYấN : NG DNG CA H THC VI-ẫT TRONG GII TON Cho phng trỡnh bc hai: ax2 + bx + c = (a 0) (*) b Cú hai nghim ; x1 = 2a b b + 2b b Suy ra: x1 + x2 = = = 2a 2a a x2 = b + 2a ( b )(b + ) b 4ac c x1 x2 = = = = 4a 4a 4a a Vy t : - Tng nghim l S : S = x1 + x2 = - Tớch nghim l P : P = x1 x2 = b a c a Nh vy ta thy gia hai nghim ca phng trỡnh (*) cú liờn quan cht ch vi cỏc h s a,b,c õy chớnh l ni dung ca nh lớ Vi-et, sau õy ta tỡm hiu mt s ng dng ca nh lớ ny gii toỏn I NHM NGHIM CA PHNG TRèNH : Dng c bit: Xột phng trỡnh (*) ta thy : a) Nu cho x = thỡ ta cú (*) a.12 + b.1 + c = hay a + b + c = Nh võy phng trỡnh cú mt nghim x1 = v nghim cũn li l x2 = b) Nu cho x = thỡ ta cú (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = hay a b + c = c a Nh vy phng trỡnh cú mt nghim l x1 = v nghim cũn li l x2 = c a Vớ d: Dựng h thc VI-ẫT nhm nghim ca cỏc phng trỡnh sau: 1) x + x + = (1) 2) x + x 11 = (2) Ta thy : Phng trỡnh (1) cú dng a b + c = nờn cú nghim x1 = v x2 = 11 Phng trỡnh (2) cú dng a + b + c = nờn cú nghim x1 = v x2 = Bi ỏp dng: Hóy tỡm nhanh nghim ca cỏc phng trỡnh sau: 35 x 37 x + = x + 500 x 507 = x 49 x 50 = 4321x + 21x 4300 = x2 mx + m 1= ( m l tham s) ax2 +bx (a +b ) = ( a, b l tham s; a 0) Cho phng trỡnh, cú mt h s cha bit, cho trc mt nghim tỡm nghim cũn li v ch h s ca phng trỡnh : Vớ d: a) Phng trỡnh x px + = Cú mt nghim bng 2, tỡm p v nghim th hai b) Phng trỡnh x + x + q = cú mt nghim bng 5, tỡm q v nghim th hai c) Cho phng trỡnh : x x + q = , bit hiu nghim bng 11 Tỡm q v hai nghim ca phng trỡnh d) Tỡm q v hai nghim ca phng trỡnh : x qx + 50 = , bit phng trỡnh cú nghim v cú mt nghim bng ln nghim Bi gii: a) Thay x1 = vo phng trỡnh ban u ta c : 44p+5 = p = T x1 x2 = suy x2 = 5 = x1 b) Thay x1 = v phng trỡnh ban u ta c: 25 + 25 + q = q = 50 T x1 x2 = 50 suy x2 = 50 50 = = 10 x1 c) Vỡ vai trũ ca x1 v x2 bỡnh ng nờn theo bi gi s x1 x2 = 11 v theo Vi-et ta cú x1 + x2 = , ta gii h sau: x1 x2 = 11 x1 = x + x = x2 = Suy q = x1 x2 = 18 d) Vỡ vai trũ ca x1 v x2 bỡnh ng nờn theo bi gi s x1 = x2 v theo Vi-et ta cú x1 x2 = 50 Suy x = x22 = 50 x22 = ( 5)2 x2 = Vi x2 = thỡ x1 = 10 Vi x2 = thỡ x1 = 10 Bi ỏp dng: Cho phng trỡnh: x2 2(m-1)x +m2 -2 = cú nghim bng Tỡm m v tỡm nghim th hai 2.Cho phng trỡnh: x2 mx + 27 = cú nghim Tỡm m v tỡm nghim ca phng trỡnh bit nghim ny bng ba ln nghim Cho phng trỡnh: x2 x - 2m +5 = Bit hiu hai nghim bng Tỡm m v tỡm nghim ca phng trỡnh Tỡm nghim ca phng trỡnh: a) x + 24 x + 19 = b) x (m + 5) x + m + = II LP PHNG TRèNH BC HAI Lp phng trỡnh bc hai bit hai nghim x1 ; x2 Vớ d1: Cho x1 = ; x2 = lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn S = x1 + x2 = vy x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh cú dng: P = x x = Theo h thc Vi-et ta cú x Sx + P = 0hayx x + = \Vớ d 2: Cho x1 = +1 ; x2 = 1+ Hóy lp phng trỡnh bc hai cú ngim: x1; x2 Gii: Ta cú x1 = +1 ; x2 = 1+ = (1 + )(1 ) = 1 +1 = 1+ 3 +1 +1 + x1 + x2 = + = = 1+ 2 Nờn x1.x2 = Vy phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 l : x2 - x + = hay 2x2 - x + = Bi ỏp dng: Lp phng trỡnh bc hai bit nghim ca chỳng l x1 ; x2 tha : x1 = x2 = -3 x1 = 3a x2 = a x1 = 36 x2 = -104 x1 = + x2 = 2 Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim tho biu thc cha hai nghim ca mt phng trỡnh cho trc: V d: Cho phng trỡnh : x 3x + = cú nghim phõn bit x1 ; x2 Khụng gii phng trỡnh trờn, hóy lp phng trỡnh bc cú n l y tho : y1 = x2 + 1 v y2 = x1 + x2 x1 Cỏch 1: + Tớnh trc tip y1 ; y bng cỏch: Tỡm nghim x1 ; x ca phng trỡnh ó cho ri thay vo biu thc tớnh y1 ; y Phng trỡnh x x + = cú a + b + c = + (3) + = nờn phng trỡnh cú hai nghim l x1 = 1; x = Ta cú y1 = x + 1 1 = + = 3; y = x1 + =1+ = x1 x2 2 + Lp phng trỡnh bc hai bit hai nghim y1 ; y (dng 2.1) = 2 P = y1 y = = 2 S = y1 + y = + Phng trỡnh cn lp cú dng: y Sy + P = hay y 9 y + = ( hoc y y + = ) 2 Cỏch 2: Khụng tớnh y1 ; y m ỏp dng nh lớ Vi-et tớnh S = y1 + y ; P = y1 y sau ú lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim l y1 ; y Theo nh lớ Vi-et ta cú: S = y1 + y = x + ( x2 + x + x2 1 + x1 + = ( x1 + x ) + + = ( x1 + x ) + = 3+ = x1 x2 x1 x 2 x1 x 1 1 ).( x1 + ) = x1 x + + + = +1 +1 + = x1 x2 x1 x 2 Phng trỡnh cn lp cú dng: y Sy + P = hay y 9 y + = ( hoc y y + = ) 2 Nhn xột: - Nu lm theo Cỏch 1: Phng trỡnh x + x = cú = 4.3.(6) = 97 nờn cú hai nghim vụ t l: + 97 97 ;x = 6 Vic tớnh y1 ; y , S, P cng phc v mt nhiu thi gian x1 = y1 = x1 + 6 = ; y = x2 + = x + 97 x1 97 S = y1 + y = ; P = y1 y = 2 Phng trỡnh cn lp: y Sy + P = hay y + 5 y = ( hay y + y = ) - Cỏch ch thớch hp phng trỡnh ban u cú nghim x1 ; x l hu t ú nờn chn Cỏch vic tớnh toỏn n gin v nhanh hn, c th: Theo nh lớ Vi-et, ta cú: x1 + x 1 5 = ( x1 + x ) + S = y1 + y = x1 + + x2 + = ( x1 + x ) + + = + = x2 x1 x1 x x1 x P = y1 y = ( x1 + 1 1 ).( x + ) = x1 x +1 +1 + = +1 +1 + = x2 x1 x1 x 2 2 Phng trỡnh cn lp: y Sy + P = hay y + y = (hay y + y = ) Ví dụ 3: Tìm hệ số p q phơng trình: x2 + px + q = cho hai nghiệm x 1; x2 phơng trình x1 x = 3 x x = 35 thoả mãn hệ: Giải: Điều kiện = p2 - 4q (*) ta có: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Từ điều kiện: ( x x ) = 25 x1 x2 = 2 x1 x3 35 = ( x x )( x1 + x1 x + x ) = 35 ( x + x ) 4x x = 25 ( ) x + x x x + x x = 35 2 ( ) p 4.q = 25 p q = Giải hệ tìm đợc: p = 1; q = - p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị thoả mãn (*) Bi ỏp dng: 1/ Cho phng trỡnh x + x = cú nghim phõn bit x1 ; x2 Khụng gii phng trỡnh, Hóy lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim y1 = x1 + ỏp s: y + 1 v y2 = x2 + x1 x2 y = hay y + y = 2/ Cho phng trỡnh : x x = cú nghim x1 ; x2 Hóy lp phng trỡnh bc cú n y tho y1 = x14 v y2 = x24 (cú nghim l lu tha bc ca cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho) (ỏp s : y 727 y + = ) 3/ Cho phng trỡnh bc hai: x x m = cú cỏc nghim x1 ; x2 Hóy lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim y1 ; y2 cho : a) y1 = x1 v y2 = x2 b) y1 = x1 v y2 = x2 ỏp s : a) y y + m = b) y y (4m 3) = 4/: Lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim bng nghch o cỏc nghim ca phng trỡnh x + mx = 5/ Cho phng trỡnh x x m = cú hai nghim x1 ; x Hóy lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim y1 = x1 1; y = x 6/Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim x1 ; x tha x1 x = 3 x1 x = 26 Hng dn: - Gii h phng trỡnh tỡm x1 ; x - Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim x1 ; x tỡm c III TèM HAI S BIT TNG V TCH CA CHNG Nu hai s cú tng bng S v tớch bng P thỡ hai s ú l hai nghim ca phng trỡnh : (iu kin cú hai s ú l S2 4P ) x Sx + P = Vớ d1: Tỡm hai s a, b bit tng S = a + b = v tớch P = ab = Vỡ a + b = v ab = nờn a , b l nghim ca phng trỡnh : x + 3x = gii phng trỡnh trờn ta c x = v x2 = Vy nu a = thỡ b = nu a = thỡ b = * Lu ý: khụng phi lỳc no ta cng tỡm c hai s tha yờu cu bi Vớ d 2: Tỡm hai s a v b bit S = a + b = 3, P = ab = Gii: Hai s a v b l nghim ca phng trỡnh x x + = = 4.1.6 = 24 = 15 < Phng trỡnh vụ nghim nờn khụng tn ti hai s a v b tha bi * Lu ý: Vi trng hp ny ta cng cú th nhn xột S P = 4.6 = 24 = 15 < nờn khụng tn ti hai s a v b tha yờu cu bi m cha cn lp phng trỡnh Bi ỏp dng: Tỡm s a v b bit tng S v tớch P S = v P=2 S = v P=6 S = v P = 20 S = 2x v P = x y2 Bi nõng cao: Tỡm s a v b bit a + b = v a2 + b2 = 41 a b = v ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hng dn: 1) Theo bi ó bit tng ca hai s a v b , vy ỏp dng h thc Vi- et thỡ cn tỡm tớch ca a v b T a + b = ( a + b ) = 81 a + 2ab + b = 81 ab = 2 81 ( a + b ) = 20 x1 =4 Suy : a, b l nghim ca phng trỡnh cú dng : x x +20 =0 x2 =5 Vy: Nu a = thỡ b = Nu a = thỡ b = 2) ó bit tớch: ab = 36 ú cn tỡm tng : a + b Cỏch 1: t c = b ta cú: a + c = v a.c = 36 x1 = x2 =9 Suy a,c l nghim ca phng trỡnh : x x 36 =0 Do ú nu a = thỡ c = nờn b = nu a = thỡ c = nờn b = Cỏch 2: T ( a b ) = ( a + b ) 4ab ( a + b ) = ( a b ) + 4ab = 169 2 2 a +b =13 ( a +b ) =132 a +b =13 x1 = *) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x + 13 x + 36 = x2 = Vy a = thỡ b = x1 = x2 = *) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x 13 x + 36 = Vy a = thỡ b = 3) ó bit ab = 30, ú cn tỡm a + b: a + b = 11 T : a2 + b2 = 61 ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 a + b = 11 x1 = x2 = *) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh: x + 11x + 30 = Vy nu a = thỡ b = ; nu a = thỡ b = x1 = x2 = *) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh : x 11x + 30 = Vy nu a = thỡ b = ; nu a = thỡ b = IV TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l phi bit bin i biu thc nghim ó cho v biu thc cú cha tng nghim S v tớch nghim P ỏp dng h thc VI-ẫT ri tớnh giỏ tr ca biu thc Bin i biu thc lm xut hin : ( x1 + x2 ) v x1 x2 a) x1 + x2 = ( x1 + x1 x2 + x2 ) x1 x2 = ( x1 + x2 ) x1 x2 Vớ d 2 ( ) =(x +x ) 3 2 b) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) x1 x1 x2 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) 3x1 x2 c) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 ) 2 2 2 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 d) x12 x22 = ( x1 + x2 )2 x1 x2 x12 x22 x1 x2 = ? Vớ d Ta bit ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) x1 x2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 Bi ỏp dng:T cỏc biu thc ó bin i trờn hóy bin i cỏc biu thc sau lm xut hin : ( x1 + x2 ) v x1 x2 : = ( x1 x2 ) ( x1 + x2 ) =.) x12 x22 ( x13 x23 2 ( = ( x1 x2 ) x1 + x1 x2 + x2 = ( x1 x2 ) ( x1 + x2 ) x1 x2 = ) ( x1 x2 4 ( = x1 + x2 x1 x2 ) x1 x2 ( 2 x1 + x2 x22 ) = ) ( = ( x1 ) + ( x2 ) = x1 + x2 x16 + x26 ( )(x )(x x12 x22 + x24 ) = ) x17 + x27 1 + x1 x2 10 x1 + x2 Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim a) Cho phng trỡnh : x x + 15 = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh x12 + x22 x1 x2 + x2 x1 1 + x1 x2 ( x1 + x2 ) b) Cho phng trỡnh : x 72 x + 64 = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh: 1 + x1 x2 x12 + x22 c) Cho phng trỡnh : x 14 x + 29 = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh: 1 + x1 x2 x12 + x22 d) Cho phng trỡnh : x x + = Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh: 1 + x1 x2 x1 x + x2 + x1 + x1 x2 + x1 x2 x12 + x22 e) Cho phng trỡnh x x + = cú nghim x1 ; x2 , khụng gii phng trỡnh, tớnh x12 + 10 x1 x2 + x22 Q= x1 x23 + x13 x2 Hng dn: Ta cú x1 + x2 = b c = 8; x1 x2 = = 15 a a 2 2 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = 2.15 = 64 30 = 34 x + x2 1 + = = x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x12 + x2 34 + = = x x x x 15 1 4.ỏp s : 46 e)HD: x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 Q= = = = 2 x1 x23 + x13 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 ỏp s : 14 b1 = ữ ; b2 = (65) ; c1 = ữ ; c2 = 138 ; d1 = ; d2 = 1; d3 = ; d4= ữ 29 Nhn xột: Vi dng bi ny ta khụng cn gii phng trỡnh tỡm cỏc nghim V TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIM NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S lm cỏc bi toỏn loi ny, ta lm ln lt theo cỏc bc sau: 10 - t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2 (thng l a v 0) - p dng h thc Vi-et vit S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham s - Dựng quy tc cng hoc th tớnh tham s theo x1 v x2 T ú a h thc liờn h gia cỏc nghim x1 v x2 Vớ d 1: Cho phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m = cú nghim x1 ; x2 Lp h thc liờn h gia x1 ; x2 cho chỳng khụng ph thuc vo m phng trỡnh trờn cú nghim x1 v x2 th ỡ : m m m m ' 5m m ( m 1)( m 4) m Theo h thc Vi- et ta cú : 2m x1 + x2 = m x1 + x2 = + m (1) x x = m x x = (2) m m Rỳt m t (1) ta cú : 2 = x1 + x2 m = m x1 + x2 (3) Rỳt m t (2) ta cú : 3 = x1 x2 m = m 1 x1 x2 (4) ng nht cỏc v ca (3) v (4) ta cú: = ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) + x1 x2 = x1 + x2 x1 x2 Vy A = vi mi m v m Do ú biu thc A khụng ph thuc vo m Vớ d 2: Gi x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m = Chng minh rng biu thc A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 khụng ph thuc giỏ tr ca m phng trỡnh trờn cú nghim x1 v x2 thỡ : m ' m m ( m 1)( m 4) m m 5m m 11 Theo h thc Vi- et ta c ú : 2m x1 + x2 = m x x = m m thay vo A ta cú: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 2m m4 6m + 2m 8( m 1) + = = =0 m m m m Vớ d 3: Cho Phng trỡnh mx (2m + 3) x + m = ( m l tham s) a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 b) Tỡm h thc liờn h gia x1 ; x2 khụng ph thuc vo m Gii: a) phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 thỡ m a m 28m + m 28 b) Theo nh lớ Vi-et ta cú: 2m + 3 x1 + x2 = m = + m (1) x x = m = (2) m m 12 = x1 + x2 = 4( x1 + x2 ) 8(3) m m 12 (2) = x1 x2 = x1 x2 (4) m m (1) T (3) v (4) ta c: 4( x1 + x2 ) = x1 x2 hay 4( x1 + x2 ) + 3x1 x2 = 11 Nhn xột: - Lu ý iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú nghim - Sau ú da vo h thc Vi-et rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau ú ng nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham s Bi ỏp dng: Cho phng trỡnh : x ( m + ) x + ( 2m 1) = cú nghim x1 ; x2 Hóy lp h thc liờn h gia x1 ; x2 cho x1 ; x2 c lp i vi m 12 Hng dn: D thy = ( m + ) ( 2m 1) = m 4m + = ( m ) + > 2 ú phng trỡnh ó cho luụn cú nghim phõn bit x1 v x2 Theo h thc Vi- et ta cú x1 + x2 = m + x1.x2 = 2m m = x1 + x2 2(1) x1 x2 + m = (2) T (1) v (2) ta cú: x1 + x2 = x1 x2 + ( x1 + x2 ) x1x2 = 2 Cho phng trỡnh : x + ( 4m + 1) x + ( m ) = cú nghim x1 ; x2 Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc vo m Hng dn: D thy = (4m + 1) 4.2(m 4) = 16m + 33 > ú phng trỡnh ó cho luụn cú nghim phõn bit x1 v x2 Theo h thc Vi- et ta cú x1 + x2 = (4m + 1) x x = 2( m 4) 4m = ( x1 + x2 ) 1(1) 4m = x1 x2 + 16(2) T (1) v (2) ta cú: ( x1 + x2 ) = x1 x2 + 16 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 3.Cho phng trỡnh : 2x2 + (2m -1 )x +m -1 =0 Tỡm h thc liờn h gia nghim x1 ; x2 khụng ph thuc vo m Hng dn: Khi m thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim x1 v x2 Theo h thc Vi- et ta cú x1 + x2 = 2m 2(1) x1.x2 = m 3m(2) x1 + x2 + 2 x + x + 2 x1 + x2 + ) ( ) Do ú : x1 x2 = ( 2 2 Cho phng trỡnh: (m- 1).x2 -2mx +m+1 = T (1) ta cú: m= Tỡm h thc liờn h gia nghim x1 ; x2 khụng ph thuc vo m Hng dn: 13 + m=1 PT cú dng: -2x +2 = Vi m=1 , pt luụn cú nghim + m Pt luụn cú nghim Phng trỡnh ó cho luụn cú nghim x1 v x2 vi mi m Theo h thc Vi- et ta cú x1 + x2 = 2m 2(1) x1.x2 = m 3m(2) VI.TèM GI TR THAM S CA PHNG TRèNH THO MN BIU THC CHA NGHIM CHO i vi cỏc bi toỏn dng ny, ta lm nh sau: - t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2 (thng l a v 0) - T biu thc nghim ó cho, ỏp dng h thc Vi-et gii phng trỡnh (cú n l tham s) - i chiu vi iu kin xỏc nh ca tham s xỏc nh giỏ tr cn tỡm Vớ d 1: Cho phng trỡnh : mx ( m 1) x + ( m 3) = Tỡm giỏ tr ca tham s m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1 x2 Bigii:iu kin phng trỡnh c ú nghim x1 v x2 l m ' = ( m 21) 9(m 3)m m 2 ' = ( m 2m + 1) 9m + 27 m ' = ( m 1) m Th m 6(m 1) x1 + x2 = m eo h th c Vi- et ta c ú: v t gi thit: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 9( m 3) x x = m 6(m 1) 9(m 3) = 6(m 1) = 9(m 3) 6m = 9m 27 3m = 21 m = m m (t/móniu kin xỏc nh ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1.x2 Vớ d 2: Cho phng trỡnh mx 2(m 4) x + m + = Tỡm giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 tha x1 x2 = Nhn xột: Vớ d ny khỏc vớ d 11 ch h thc khụng cha sn x1 + x2 v x1 x2 nờn ta khụng th ỏp dng h thc Vi et tỡm tham s m 14 Vn t l ta phi bin i biu thc ó cho v biu thc cha x1 + x2 v x1 x2 ri tỡm m nh vớ d trờn m Gii: iu kin phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 l: 16 m 15 (m 4) x1 + x2 = m Theo nh lớ Vi-et ta cú: (1) x x = m + m 2 Vớ d 3: Cho phng trỡnh : x ( 2m + 1) x + m + = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : 3x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Bi gii: iu kin phng trỡnh cú nghim x1 & x2 l : ' = (2m + 1) 4(m + 2) 4m + 4m + 4m 4m m x1 + x2 = 2m + Theo h thc Vi-et ta cú: x1 x2 = m + v t gi thit x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Suy 3(m + 2) 5(2m + 1) + = 3m + 10m + = m = 2(TM ) 3m 10m + = m = ( KTM ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim x1 v x2 tho h thc : 3x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Vớ d 4: Cho phng trỡnh x 2(m 1) x + 2m = a)Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim x1; x2 vi mi m b)Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 tha iu kin: ( x12 2mx1 + 2m 1)( x22 mx2 + 2m 1) < Gii: a) ' = m2 4m + = (m 2)2 + > 0, m pt luụn cú nghim phõn bit vi mi m 15 x1 2(m 1)x1 + 2m = b) Phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 nờn: x 2(m 1)x + 2m = x1 2mx1 + 2m = 2x1 x 2mx + 2m = 2x x1 + x = 2m x1.x = 2m Theo nh lớ Vi-et ta cú : Theo bi ta cú : (x12 2mx1 + 2m 1)(x 22 2mx + 2m 1) < ( 2x1 ) ( 2x ) < 16 ( x1 + x ) + 4x1x < 16 ( 2m ) + ( 2m ) < m > Bi ỏp dng Cho phng trỡnh : x + ( m 1) x + 5m = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc: x1 + 3x2 = 2 Cho phng trỡnh : 3x ( 3m ) x ( 3m + 1) = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 = Cho phng trỡnh : mx + ( m ) x + m + = Tỡm m phng trỡnh cú nghim cho nghim ny gp ụi nghim Cho phng trỡnh x x + m + = (*) (x l n s) nh m phng trỡnh (*) cú hai nghim x1 , x2 tha iu kin: x14 x24 = x13 x23 Cho phng trỡnh x (m+1)x + m = x1 x2 = Xỏc nh tham s m phg trỡnh cú hai nghim x , x tha x3 x = 32 2 nh m phng trỡnh x2 (m-1)x + 2m = cú hai nghim phõn bit x1, x2 l hai cnh gúc vuụng ca mt tam giỏc vuụng cú cng huyn bng Cho phng trỡnh x2 2(m + 1)x + 4m = (1) Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim x1, x2 tha (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 Cho phng trỡnh x 3x + m = (1) (x l n) Tỡm cỏc giỏ tr m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit x1 , x2 tha 16 di x12 + + x22 + = 3 Cho phng trỡnh : x2 2mx + m2 m + = Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tha món: x1 + 2mx = Hng dn cỏch gii: i vi cỏc bi dng ny ta thy cú mt iu khỏc bit so vi bi Vớ d v vớ d ch + Trong vớ d thỡ biu thc nghim ó cha sn tng nghim x1 + x2 v tớch nghim x1 x2 nờn ta cú th dng trc tip h thc Vi-et tỡm tham s m + Cũn bi trờn thỡ cỏc biu thc nghim li khụng cho sn nh vy, ú t õy l lm th no t biu thc ó cho bin i v biu thc cú cha tng nghim x1 + x2 v tớch nghim x1 x2 ri t ú dng tng t cỏch lm ó trỡnh by Vớ d v vớ d BT1: - K: = m 22m + 25 11 96 m 11 + 96 x1 + x2 = m (1) x1 x2 = 5m - Theo Vi-et: x1 = 3( x1 + x2 ) x1 x2 = [ 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) 1] - T : x1 + x2 = Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) (2) x1 x2 = 7( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) m = - Th (1) vo (2) ta cú phng trỡnh : 12m(m 1) = (tho KX) m = BT2: - Vỡ = (3m 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) vi mi s thc m nờn phng trỡnh luụn cú nghim phõn bit 3m x + x = (1) - -Theo Vi-et: (3 m + 1) x x = x1 = 5( x1 + x2 ) + 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) 6] - T gi thit: x1 x2 = Suy ra: x2 = 3( x1 + x2 ) (2) 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) 36 m = - Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh: m(45m + 96) = m = 32 15 16 BT3: - K: m & m 15 Do x1 , x2 cú vai trũ nh Gi s x1 = x2 x1 x2 = 17 (tho ) (m 4) x + x = m (1) -Theo Vi-et: m + x x = m x1 + x2 = 3x2 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - T x1 x2 = Suy ra: 2( x1 + x2 ) = 3x1 - Th (1) vo (2) ta a c v phng trỡnh sau: m + 127 m 128 = m1 = 1; m2 = 128 BT 4: = 16 8m = 8(1 m ) Khi m = thỡ ta cú = tc l : x1 = x2 ú x14 x24 = x13 x23 tha iu kin cn phng trỡnh sau cú nghim phõn bit l: m < hay < m < Khi m < hay < m < ta cú 2 2 2 x14 x24 = x13 x23 ( x1 x2 ) ( x1 + x2 ) = ( x1 x2 ) ( x1 + x2 + x1.x2 ) ( x1 + x2 ) ( x12 + x22 ) = ( x12 + x22 + x1.x2 ) (Do x1 khỏc x2) ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) x1 x2 = ( x1 + x2 ) x1.x2 S ( S P) = S P 1(12 P ) = 12 P (Vỡ S = 1) P = m + = (vụ nghim) Do ú yờu cu bi toỏn m = 2 BT5 H D: = (m + 1) 4( m 5) = ( m 1) + 20 > 0m Theo Vi- ột ta cú S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m 3 Theo gi thit: x1- x2 = v x1 x2 = 32 nờn ta bin i: 3 2 2 x1 x2 = (x1- x2)(x1 + x1x2 + x2 ) =4((x1+x2) x1x2) = 4((m+1) (m-5)) = 32 m = m +m+6=8 m = C hai giỏ tr ca m=1 hoc m=-2 u tha BT HD: (x12 + x22 = 5) BT HD: Ta cú ' = ( m + 1) 4m = ( m 1) vy phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m 2 S = ( m + 1) P = 4m p dng nh lớ Vi-et ta cú: 18 (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 v ch x1x2 + (x1 + x2) m - m2 12 = 0, v ch : 4m + m.2(m + 1) 2m2 12 = v ch 6m = 12 v ch m= BT8 HD: Tỡm m x1 , x2 tha x12 + + x22 + = 3 Pt (1) cú hai nghim phõn bit = 4m > m < (1) Theo nh lớ Viet x1 + x2 = 3, x1 x2 = m Bỡnh phng ta c x12 + x22 + + ( x12 + 1)( x22 + 1) = 27 x12 + x22 + x12 x22 + x12 + x22 + = 25 Tớnh c x12 + x22 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = 2m v a h thc trờn v dng m2 2m + 10 = m + (2) m 2m + 10 = m + 16m + 64 18m = 54 m = Th li thy m = tha pt (2) v iu kin (1) BT9 /a: Vy m = thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim x1, x2 : x1 + 2mx = VII XC NH DU CC NGHIM CA PHNG TRèNH BC HAI Cho phng trỡnh: ax + bx + c = (a 0) Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm Ta lp bng xột du sau: S = x1 + x2 P = x1 x2 Du nghim x1 x2 m trỏi du P0 cựng dng, + + S>0 P>0 cựng õm S0 Vớ d 1: Xỏc nh tham s m cho phng trỡnh: 0 0 iu kin chung ; P < 0 ;P>0 ;P>0;S>0 ; P > ; S < x ( 3m + 1) x + m2 m = cú nghim trỏi du Gii phng trỡnh cú nghim trỏi du thỡ = (3m + 1) 4.2.( m m 6) = (m 7) 0m < m < m m6 P = ( m 3)( m + 2) < P = < P < Vy vi < m < thỡ phng trỡnh cú nghi m trỏi du Vớ d 2: Cho phng trỡnh: x2 2(m+2)x +6m +1 =0 Tỡm m phng trỡnh cú nghim ln hn Gii 19 t x = t+2 ( t>0) Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh: t2 2mt +2m- 3=0 (*) Phng trỡnh dó cho cú nghim ln hn phng trỡnh (*) cú nghim cựng dng m (2m 3) ' P > 2m > m> S > 2m > Vy vi m > thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim ln hn 2 Bi ỏp dng: Bi 1: Tỡm m phng trỡnh: mx ( m + ) x + ( m ) = cú nghim cựng du 2 3mx + ( 2m + 1) x + m = cú nghim õm ( m 1) x + x + m = cú ớt nht mt nghim khụng õm x2- (2m-3)x +m2 -3m = cú nghim x1 , x2 tha 1< x1 < x2 < Bi Cho phng trỡnh bc hai : 2x2+(2m1)x+m1=0 a) Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú nghim vi mi m b) Xỏc nh m phng trỡnh cú nghim kộp Tỡm nghim ú c) Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1 ; x2 thừa 1 vi mi m Vy pt cú nghim phõn bit vi mi m x1 64 16 Q = ( x12 1)( x22 4) = ( x12 1)( 4) = 68 4( x12 + ) 68 4.8 = 36 x1 x1 16 (Do x1 + 8) Ta cú Q = 36 v ch x1 = x1 Khi x1 = thỡ m = 4, x1 = -2 thỡ m = Do ú ta cú giỏ tr ln nht ca Q = 36 v ch m = hay m = Do x1 x2 = nờn x2 = 25 ... ta cú: b + c = abc a = a a Theo Viet: b, c l nghim ca phng trỡnh bc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = = (a3 - a)2 - 4a2 a2 [(a2 - 1)2 - 4] (a2 - 3) (a2 + 1) a2 - a2 a (a > 0) a = Vy: amin... 20 > 0m Theo Vi- ột ta cú S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m 3 Theo gi thit: x 1- x2 = v x1 x2 = 32 nờn ta bin i: 3 2 2 x1 x2 = (x 1- x2)(x1 + x1x2 + x2 ) =4((x1+x2) x1x2) = 4((m+1) (m-5)) = 32... Nhn xột: - Lu ý iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú nghim - Sau ú da vo h thc Vi-et rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau ú ng nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo