PHềNG GD&T TAM DNG THI GIAO LU HC SINH GII LP NM HC 2016 - 2017 MễN: TON Thi gian lm bi: 120 phỳt, khụng k thi gian giao thi gm 01 trang Chỳ ý: Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh cm tay! CHNH THC Cõu (2,0 im) xy 2 Bit x 2y = xy ( x + y 0, y ) x+y b) Tỡm x, y nguyờn dng tho món: x2 y2 + 2x 4y 10 = Cõu (2,0 im) a) Tỡm s d phộp chia ca a thc ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 cho a a) Tớnh giỏ tr biu thc P = thc x + 10x + 21 b) Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n 6n5 26 v B = + n3 n Chng minh vi mi n Z thỡ thng ca phộp chia A cho B l bi s ca Cõu (2,0 im) a) Cho a v b tha món: a + b = Tớnh giỏ tr ca biu thc B = a3 + b3 + 3ab b) Cho cỏc s thc dng x, y, z tha x + y + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 1 + + x +x y +y z +z Cõu (3,0 im) Cho tam giỏc ABC, ng trung tuyn AM Qua im D thuc cnh BC, v ng thng song song vi AM ct ng thng AB v AC ln lt ti E v F a) Chng minh DE + DF = 2AM b) ng thng qua A song song vi BC ct EF ti N Chng minh N l trung im ca EF c) Kớ hiu SX l din tớch ca hỡnh X Chng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA Cõu (1,0 im) Trong mt thi cú bi toỏn A, B, C Cú 25 hc sinh mi ngi u ó gii c ớt nht mt bi ú Bit rng: - Trong s thớ sinh khụng gii c bi A thỡ s thớ sinh ó gii c bi B nhiu gp hai ln s thớ sinh ó gii c bi C - S hc sinh ch gii c bi A nhiu hn s thớ sinh gii c bi A v thờm bi khỏc l mt ngi - S thớ sinh ch gii c bi A bng s thớ sinh ch gii c bi B cng vi s thớ sinh ch gii c bi C Hi cú bao nhiờu thớ sinh ch gii c bi B? - Ht Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! H tờn thớ sinh S bỏo danh .Phũng thi http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHềNG GD&T TAM DNG HNG DN CHM THI GIAO LU HSG LP CP HUYN NM HC: 2016 -2017 MễN: TON Cõu Ni dung a)x 2y = xy x xy 2y = (x + y)(x 2y) = Vỡ x + y nờn x 2y = x = 2y 2 im 2y y y Khi ú P = y + y = y = Cõu1 b) Ta cú : im x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = (x2+2x+1) - (y2+4y+4) = (x+1)2 - (y+2)2 = (x y - 1)(x + y + 3) = Vỡ x, y nguyờn dng nờn x + y + > x y > x + y + = v x y = x = 3; y = Phng trỡnh cú nghim dng nht (x , y) = (3 ; 1) a) Ta cú P ( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2017 t t = x + 10 x + 21 (t 3; t 7) , biu thc P(x) c vit li: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 P ( x ) = ( t ) ( t + 3) + 2017 = t 2t + 2002 0,5 Do ú chia t 2t + 2000 cho t ta cú s d l 2002 Vy s d phi tỡm l 2002 0,25 Cõu Thc hin phộp chia, ta c: im Thng ca A chia cho B l n3 6n2 + 11n Ta cú: n3 6n + 11n = n3 n + 12n 6n = (n 1) n.(n + 1) + 6.(2n n 1) 0,25 0,25 Vỡ (n-1).n.(n+1) l tớch ca s nguyờn liờn tip nờn tớch ú va chia ht cho 2, va chia ht cho suy tớch ú chia ht cho Mt khỏc 6(2n-n2-1) chia ht cho => Thơng phép chia A cho B bội số a) Ta cú B = a3 + b3 + 3ab = a3 + b3 + 3ab(a+b) =(a+b)3=1 (Vì a+b =1) Cõu im b) P= 1 1 1 + + = + + x + x y + y z + z x( x + 1) y ( y + 1) z ( z + 1) 1 1 1 1 1 = + + = + + ữ + + ữ x x +1 y y +1 z z +1 x y z x +1 y +1 z +1 0,25 0,25 im http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 1 1 1 + ữ vi a, b, c dng, du + + v a +b a b a b c a +b +c bng xy a = b = c 1 1 1 + 1ữ; + 1ữ; + 1ữ Ta cú x +1 x y +1 y z +1 z p dng BT Bi vy 0,25 1 1 1 1 1 P = + + ữ + + ữ + + ữ + + + + + 1ữ y z x y z x +1 y +1 z +1 x y z x 1 3 9 3 = = = + + ữ x y z 4 x+ y+z 4 Vy Min P= Du bng xy v ch x = y = z = 0,25 DF DC = ( Do AM//DF) (1) AM MC DE BD = ( Do AM // DE) (2) AM BM DE + DF BD + DC BC = = = ( MB = MC) T (1) v (2) AM BM BM DE + DF = AM b) AMDN l hỡnh bnh hnh NE AE = Ta cú ND AB NF FA DM DM AE = = = = ND AC MC BM AB NE NF = => NE = NF ND ND 0,25 0,25 0,25 Cõu im a) Lp lun c : c) AMC v FDC ng dng 2 S AM ND AMC = ữ = ữ ( AM = ND) S FDC FD FD FNA v FDC ng dng S FN FNA = ữ S FDC FD http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 S AMC S FNA ND FN ND FN = Do ú: + = ữ ữ ữ S FDC S FDC FD FD 16 FD FD 16 S FDC 16 SAMC.SFNA 2 ( Do ( x y ) ( x + y ) xy ( x + y ) 16 x y vi x 0; y 0) Cõu im Gi a l s hc sinh ch gii c bi A, b số thí sinh giải đợc B, c số thí sinh giải đợc C, d số thí sinh giải đợc B C nhng không giải đợc A Khi số thí giải đợc A thêm hai B C là: 25- a- b- c- d Theo ta có: b+ d = 2( c +d); a = + 25 - a - b - c - d a = b + c 4b + c = 26 b = d = b 2c > c = từ đẳng thức ta có: Vậy số thí sinh giải đợc B thí sinh Chỳ ý: Hc sinh gii theo cỏch khỏc, nu ỳng cho im ti a tng ng http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 0,25 ...PHềNG GD&T TAM DNG HNG DN CHM THI GIAO LU HSG LP CP HUYN NM HC: 2016 -2017 MễN: TON Cõu Ni dung a)x 2y = xy x xy 2y = (x + y)(x 2y)... ) ( x + ) + 2017 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2017 t t = x + 10 x + 21 (t 3; t 7) , biu thc P(x) c vit li: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 P ( x ) = ( t ) ( t + 3) + 2017 = t 2t