Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN: GIỚI THIỆU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MA TRẬN TRONG MỘT SỐ NGÀNH HỌC Những yếu tố sáng tạo sáng kiến: Sáng kiến hoàn toàn áp dụng lần đầu tiên: + Giới thiệu ứng dụng Phươg trình vi phân Ma trận số ngành học đề tài lần áp dụng nội trường cao đẳn KTKT Kiên Giang + Tác giả kết hợp dạy lý thuyết giới thiệu ứng dụng theo ngành lớp + Sáng kiến tài liệu tham khảo hoàn toán trường Hiệu phạm vi áp dụng sáng kiến - Sáng kiến đạt hiệu sau: + Năm trước, có đề tài nghiên cứu ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận, ứng dụng ngành nghề mà đời sống, hay nói cách khác, ứng dụng vui đời sống để tạo vui nhộn phấn khởi dạy Riêng đề tài này, giới thiệu trực tiếp, chuyên sâu vào ngành nghề, điều giúp tạo thú vị cho em mà góp phần làm cho em tin yêu môn học hơn, từ học tốt + Việc giới thiệu ứng dụng rõ ràng cần thiết cấp bách Thế chương trình giáo dục đại học nước ta không trọng nhiều đến việc Riêng với trường ta, nghĩ, phải khác biệt, nghĩa dạy lý thuyết phải kết hợp với thực hành, ứng dụng Và điều phải thực môn học từ môn chung đến môn chuyên ngành Với ý nghĩ đó, mạnh dạn tiên phong thực đề tài cho môn Toán cao cấp A2, với chương Phương trình vi phân Ma trận + Ở thư viện trường ta, có giáo trình toán cao cấp hàn lâm, giáo trình có ứng dụng Trên internet tài liệu tiếng Việt viết ứng dụng Cho nên, sáng kiến tài liệu mẻ, bổ ích cho anh chị em đồng nghiệp trường, tài liệu hoi để sinh viên tự tham khảo - Sáng kiến áp dụng quan, đơn vị nhân rộng số đơn vị tỉnh: làm tài liệu hổ trợ cho đồng nghiệp trường ; làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành điện, kinh tế, nông nghiệp Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học NỘI DUNG SÁNG KIẾN Dẫn nhập - Để trả lời câu hỏi lại chọn đề tài này, kể câu chuyện nhỏ: Trong buổi lên lớp lớp Điện tử truyền thông CĐ9, có em hỏi ứng dụng phương trình vi phân Hôm dạy Phương trình biến số phân ly Cuối buổi học, trả lời câu hỏi em việc nêu ứng dụng Xác định thời gian tử vong nạn nhân phương trình làm lạnh Newton ( giới thiệu sáng kiến năm trước ) Sau đó, em chưa thỏa mãn, em bày tỏ muốn biết ứng dụng ngành nghề em ứng dụng ngành vậy, em nói rằng: “cái có liên quan ngành nghề em đâu!” Thế ấp úng chưa trả lời em lớp Điều thúc trở bắt đầu nghiên cứu ứng dụng Phương trình vi phân ngành điện - Thiết nghĩ, mong muốn biết ứng dụng điều học vào ngành học mong muốn Và thì, sinh viên lớp khác cần đến ứng dụng phương trình vi phân Từ tiếp tục nghiên cứu ứng dụng phương trình vi phân vào ngành học khác Song song với chương Phương trình vi phân, chương Ma trận khó có nhiều ứng dụng bổ ích Trên đà tìm ứng dụng Phương trình vi phân, nghiên cứu thêm ứng dụng Ma trận để góp phần hoàn thiện cho học phần Toán cao cấp A2, môn học cho khó khăn “sát thủ” sinh viên - Thêm động lực lớn để thực tiếp đề tài, tới đây, khoa Khoa học soạn lại giáo trình Toán cao cấp thành Toán ứng dụng cho tất ngành ( xin lưu ý, ý tưởng đề tài xuất trước có kế hoạch giáo trình Toán ứng dụng, khoảng thời gian tác giả viết đề tài kế hoạch giáo trình Toán ứng dụng đưa ) Do đó, hi vọng việc nghiên cứu đề tài cống hiến nhiều ứng dụng cho giáo trình Toán ứng dụng tương lai Như vậy, việc tìm ứng dụng nội dung học phần Toán cao cấp nói chung, Phương trình vi phân Ma trận nói riêng, vấn đề quan trọng cấp bách Việc này, góp phần tạo sinh động cho học lớp với ứng dụng thú vị cho nội dung, làm sinh viên hứng thú với vấn đề mà em học, mà góp phần làm thay đổi sắc diện môn học khô khó trở thành môn học gần gũi đáng yêu hết tương lai tươi sáng không xa Những khó khăn - Như trên, nêu số vấn đề khó khăn thúc đẩy viết đề tài Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học - Thêm nữa, trình tìm kiếm tài liệu phục vụ cho đề tài, nhận thấy có tài liệu tiếngViệt viết ứng dụng phương trình vi phân, có nhiều tài liệu sơ xài Do cần thiết phải có tài liệu tham khảo tiếng Việt đầy đủ chi tiết Để trước hết làm tài liệu hỗ trợ trình lên lớp GV toán trường Sau tài liệu bổ ích cho sinh viên tự nghiên cứu - Bước kế hoạch viết sáng kiến giao đề tài làm việc nhóm nhà cho sinh viên, với yêu cầu tìm ứng dụng phương trình vi phân ma trận ngành nghề em học Sau buổi thảo luận đề tài lớp ( buổi xếp riêng với lớp, lịch trình ) chỉnh sữa bổ sung cho em thêm ứng dụng sáng kiến Đồng thời thu nạp thêm ứng dụng hay sinh viên vào sáng kiến Tuy nhiên hầu hết làm nhóm viết sơ xài chưa chi tiết (chỉ đề cập đến vấn đề chung chung, giới thiệu đôi nét trang wikipedia, xem hình bên ) Một nguyên nhân em cho biết không tìm tài liệu thấu tự nghiên cứu Nói tóm lại, với lý trên, chọn đề tài “Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học” Với mục tiêu: Thứ nhất, thân sử dụng ứng dụng trình bày sáng kiến để giới thiệu cho sinh viên ngành trình lên lớp, góp phần tạo giảng sinh động hơn, giúp em yêu môn Toán A2 hơn, yêu ngành nghề Thứ 2, hi vọng sáng kiến làm tài liệu tham khảo bổ ích cho anh chị em đồng nghiệp Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học trường Thứ 3, đề tài góp phần vào công xây dựng giáo trình Toán ứng dụng cho Khoa Khoa học bản, trường cao đẳng kinh tế kỹ thuật Kiên Giang, mà thành công tôi, xem giáo trình tuyệt vời Toán cao cấp Việt Nam Những giải pháp khắc phục khó khăn 3.1 Các bước thực hiện: Để thực đề tài này, công đoạn tiến hành sau: + Đầu tiên, tìm kiếm tài liệu Internet, sách, báo tham khảo ý kiến từ người thầy, tiến sĩ dạy cao học tôi; đồng thời tham khảo số kiến thức chuyên môn giáo viên khác (tương ứng với ngành nghiên cứu) trường + Đọc dịch tài liệu thu thập Sau phân tích, tổng hợp viết lại cho hoàn chỉnh (gồm có hai file: file word cho sáng kiến file trình chiếu powerpoint dùng để giới thiệu cho sinh viên lên lớp) + Giao đề tài cho nhóm tự nghiên cứu viết thành báo cáo + Tổ chức buổi để chỉnh sửa làm nhóm, đồng thời giới thiệu (bằng việc trình chiếu diễn giải) số ứng dụng tiêu biểu sáng kiến đến sinh viên 3.2 Nội dung hoàn chỉnh ứng dụng: I Một số ứng dụng ngành Điện, Điện tử truyền thông: Ứng dụng phương trình vi phân Phương trình vi phân ứng dụng bên ngành điện việc giải mạch điện, nghĩa tìm đại lượng dòng điện i điện áp u mạch Với dòng điện điện áp hàm số biến thiên theo ẩn số thời gian t Sau số toán minh họa: Bài toán 1: Cho mạch điện gồm điện trở R = 12  , cuộn cảm L = 4H, nguồn điện với hiệu điện E = 60V khóa K Khóa K đóng t = 0, dòng điện mạch 0, nghĩa i(0) = Tìm: L4 R 12 a) Hàm dòng điện theo thời gian i(t) + b) Dòng điện sau đóng mạch 1s c) Giá trị giới hạn dòng điện E 60 K Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học d) Thay nguồn điện máy phát điện với hiệu điện E  60 sin 30tV Tìm i(t) Giải: a) Chọn chiều vòng chiều chiều kim đồng hồ Theo định luật Kirchhoff ta có: U L  U R  E  Li' Ri  E (*)  4i '12i  60  i '3i  15 ( với i hàm số theo t ) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp ( cách giải phương trình sinh viên khối ngành kỹ thuật học học phần Toán cao cấp A2) Bây tìm nghiệm, nghĩa tìm hàm i(t), cho phương trình vi phân Ta biết, công thức nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính cấp là:      3dt i  e  15e3t dt  C  e 3t 5e3t  C   Ce 3t Vì i(0)  nên ta có:   Ce  C  5 Vậy: i(t )  5(1  e 3t ) b) Sau đóng mạch 1s dòng điện mạch là: i(1)  5(1  e 3 )  4,75 A c) Giới hạn dòng điện là: lim i(t )  lim 5(1  e 3t )  A t  t  d) Khi E  60 sin 30t (V ) , ta có: (*)  4i'12i  60 sin 30t  i'3i  15sin 30t Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp là:    3dt 3dt i  e   15 sin 30t.e  dt  C   e 3t 15 sin 30t.e 3t dt  C (1)   Ta giải tích phân J  15 sin 30t.e3t dt phương pháp tích phân phần: du  3e 3t dt u  e 3t   Đặt  dv  15 sin 30tdt v   cos 30t  2 Suy ra: J   cos 30t.e 3t   cos 30t.e 3t dt   cos 30t.e 3t  J (2) Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học Tiếp tục phần lần cho tích phân J   cos 30t.e 3t dt du1  3e 3t dt u1  e 3t    Đặt  dv1  cos30tdt v1  sin 30t 20   Suy J  J sin 30t.e 3t   sin 30te 3t dt  sin 30t.e 3t  , thay vào (2), ta có: 20 20 20 100 1 J J   cos 30t.e 3t  sin 30t.e 3t  20 100   100  cos 30t.e 3t  sin 30t.e 3t  20     50 cos 30t.e 3t  sin 30t.e 3t J 101 101 101 Thay J vào (1) ta được:  50  i  e  3t   cos 30t.e 3t  sin 30t.e 3t  C  101  101  50  cos 30t  sin 30t  Ce 3t 101 101 sin 30t  10 cos30t   Ce 3t  101 Vì i(0)  nên ta có:  Vậy: i  10 (sin  10 cos 0)  Ce  C  101 101 sin 30t  10 cos30t   50 e 3t 101 101 Nguồn tham khảo: 1) Trang web: khoacoban.tnut.edu.vn/download/ /Giai%20tich%202%202014%20Chuong%205.p 2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications tác giả Bill Good Wine, xuất ngày 19/3/2008 Bài toán 2: Cho mạch điện gồm điện trở R = 40  , cuộn cảm L = 1H, tụ điện C = 16.10-4 F, nguồn điện E = 100cos10t V, khóa K L + R E K C Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học Ta biết điện dung dòng điện mạch hàm số theo thời gian t, nghĩa i(t) q(t) Trong đó, dòng điện i(t) tốc độ thay đổi q(t): i = q’ Cho biết thêm, K đóng ( thời điểm t = ) dòng điện điện dung mạch 0, nghĩa i(0) = q(0) = Hãy tìm hàm số i(t) q(t)? Giải: Chọn chiều vòng chiều chiều kim đồng hồ Theo định luật Kirchhoff ta có: U L  U R  U C  E  Li ' Ri  q E C C Mà i = q’ nên ta có Lq" Rq' q  E  q"40q'625q  100 cos10t (*) Phương trình (*) phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không hệ số không đổi ( cách giải phương trình sinh viên khối ngành kỹ thuật học học phần Toán cao cấp A2 ) Giờ ta giải phương trình tìm nghiệm q(t) r  20  15i r  20  15i Phương trình đặc trưng: r  40r  625    Suy nghiệm tổng quát phương trình nhất: q0  e 20t (C1 cos15t  C sin 15t ) Giờ ta tìm nghiệm riêng Q phương trình (*): Do vế phải f(t) = 100cos10t  15i nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng (*) có dạng: Q  Acos10t  B sin 10t Suy Q'  10 Asin 10t  10B cos10t  Q" 100 Acos10t 100B sin 10t Thay vào (*), ta được:  100 A cos10t  100 B sin 10t  40(10 A sin 10t  10 B cos10t )  625( A cos10t  B sin 10t )  100 cos10t  (525 A  400 B) cos10t  (525B  400 A) sin 10t  100 cos10t 525 A  400 B  100  A  84 / 697   525B  400 A  B  64 / 697 84 64 cos10t  sin 10t Suy ra: Q  697 697 Vậy nghiệm tổng quát (*): Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học q (t )  q0  Q  e  20 t (C1 cos15t  C sin 15t )  84 64 cos10t  sin 10t 697 697 Suy ra: i(t )  q' (t ) e  20 t (2oC1  15C2 ) cos15t  (15C1  20C2 ) sin 15t   840 sin 10t  640 cos10t 697 Vì q(0) = i(0) = nên ta tìm C1   697 84 464 ; C2   697 2091 Tóm lại ta tìm được: q (t )  e  20 t ( 20 t i(t ) e 84 464 84 64 cos15t  sin 15t )  cos10t  sin 10t 697 2091 697 697 13060 640  640  840 cos15t  sin 15t   sin 10t  cos10t  2091 697  697  697 Nguồn tham khảo: 1) Trang web: khoacoban.tnut.edu.vn/download/ /Giai%20tich%202%202014%20Chuong%206.p 2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications tác giả Bill Good Wine, xuất ngày 19/3/2008 Ứng dụng ma trận Ma trận ứng dụng việc giải mạch điện, mạch có nhiều phần tử Khi ta cần tìm dòng điện qua nhiều nhánh Ta xét toán sau: Bài toán 3: Xét mạch điện gồm hai nguồn E1 = 70V; E2= 45V sáu điện trở R1  10, R2  30, R3  15, R4  20, R5  25, R6  35 i1 R1 i2 A Cho chiều dòng điện hình vẽ R2 II I + Hãy tìm i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ? + R3 i3 E2 E1 Giải: R6 Trong mạch điện trên, ta thấy có nhánh (tương ứng cho dòng điện i kí hiệu R5 C B III i6 i4 R4 D i5 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học hình); nút kí hiệu A, B, C, D hình Theo phương pháp dòng điện nhánh, ta lập phương trình ( nút ) theo định luật Kirchhoff 1, phương trình ( cho vòng ) theo Kirchhoff Cụ thể: Tại nút A: i1  i2  i3  (1) Tại nút B: i3  i6  i5  (2) Tại nút C:  i1  i4  i6   i1  i4  i6  (3) Vòng I: u1  u3  u6  E1  R1i1  R3i3  R6i6  E1  10i1  15i3  35i6  70 (4) Vòng II:  u  u3  u5  E2   R2i2  R3i3  R5i5  E2  30i2  15i3  25i5  45 (5) Vòng III:  u  u5  u6    R4i4  R5i5  R6i6   20i4  25i5  35i6  (6) Từ phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta có hệ phương trình tuyến tính: i1  i2  i3  i  i  i  3 i1  i4  i6   10i1  15i3  35i6  70  30i2  15i3  25i5  45  20i4  25i5  35i6  Để giải hệ phương trình cách hiệu quả, sử dụng công cụ ma trận phương pháp khử Gauss ( cách giải sinh viên khối ngành kỹ thuật học học phần Toán cao cấp A2 ) Công việc tiến hành sau: Ma trận bổ sung: 0 0 0 0  1 1  1 1     1 0 1 0 0 0 1 0 d1 0 1  dd34::dd34 10 1 1 0 d1         15 0  35 70  0  35 70  10  10 25   30 15   30 15  25 45   25 45    0 0 0  20  25 35  0  20  25 35    Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học 0 0  1 1 1    1 1 0 0 0 0 0 d2 1  dd54::dd54 10 d2 d3   30 d    0  35 70   10 25 0   30 15  0  25 45    0  0 0  20  25 35    0 0  1 1 1    1 0 0 1 0 0 d : d 15 d 1  dd56::dd56 32dd44  : d  45 d     d    0  10  15  60 70  0 0 0  0 30  70  15 45     0  20  25 35  0    1 1 0 0  1 1 0 1 0  15  10  45 70  45 30  25 30 45  0  20  25 35  1 1 0 0   1 1  1   0  10  15  60 70  0  115  195 255  0 155  140  0   1 1   1  0 1 0 1  d : 23 d  d       70   0  10  15  60 0 0  115  195 255   0 0 0 3370  2965   Từ ma trận cuối ta thu hệ: 1769  i1  1348  1,31A i1  i2  i3  i  i  i  i i   395  0,3 A i1  i2  i3  2 2 1348 i  i  i  i  i3  i5  i6  2  i3  541  1,61A  15 i  60 i  70 i3  i5  i6    337  i4    10  10i4  15i5  60i6  70  i   853  0,63 A  195 i  255  115i5  195i6  255 i  4 1348    115 489 3370i6  2965  i5    0,73 A 593 674 i6    674   593  0,88 A i6   674  Nguồn thàm khảo: Giáo trình Mạch điện Khoa điện, môn cung cấp điện trường cao đẳng nghề Quy Nhơn Bài toán 4: Cho mạch điện gồm: 10 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học R1  R2  8, R3  3,125 L  i1 i2 A  6 C i3 R2 E1  50 sin(t  45 ), E  50 sin(t  135 ) R1 R3 Hãy tìm dòng điện i1 , i2 , i3 ? II I L C + Chiều dòng điện nhánh chọn hình, chiều vòng chiều chiều kim đồng hồ Đầu tiên ta biểu diễn nguồn phần tử tải dạng số phức, ta được: + Giải: E2 E1 B E1  35,4  35,4 j E  35,4  35,4 j Z1  R1  jL   j 86 j C Z  R3  3,125 Z  R2  j Dễ thấy mạch có nút nhánh Theo phương pháp dòng điện nhánh ta lập phương trình (tại nút đó) theo định luật Kirchhoff 1, phương trình ( theo vòng ) theo Kirchhoff Cụ thể sau: Tại nút A: i1  i2  i3  (1) Vòng I: i1Z 1i3 Z  E1  (8  j )i1  3,125i3  35,4  35,4 j (2) Vòng II: i2 Z 2i3 Z  E2  (8  j )i2  3,125i3  35,4  35,4 j  (8  j )i2  3,125i3  35,4  35,4 j (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: i1  i2  i3   (8  j )i1  3,125i3  35,4  35,4 j (8  j )i  3,125i  35,4  35,4 j  Ta giải hệ phương trình công cụ định thức ma trận 11 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học 1 1   86 j 3,125  150   j  3,125 Vì   nên hệ phương trình hệ Cramer ( cách giải hệ sinh viên khối ngành kỹ thuật học học phần Toán cao cấp A2 ) Để giải hệ ta tính tiếp định thức lại: 1 1  34,5  34,5 j 3,125  716,8  292 j 34,5  34,5 j   j  3,125 1    j 34,5  34,5 j 3,125  292  716,8 j 34,5  34,5 j  3,125 1 3   j 34,5  34,5 j  414  414 j   j 34,5  34,5 j Nghiệm hệ là: 1 716,8  292 j   4,78  1,95 j  150   292  716,8 j i2    1,95  4,78 j  150  414  414 j i3    2,67  2,67 j  150 i1  Suy ra: i1  4,78  1,95  5,16 A i2  (1,95)  (4,78)  5,16 A i3  2,67  (2,67)  3,78 A Nguồn tham khảo: Trang web: www.hnue.edu.vn/ /a50457d5-8cad-49d3-9285-713b8b55fa97Bai-giang -Ky-thua II Một số ứng dụng kinh tế Bài toán tìm vốn tích trữ biết cường độ đầu tư: 12 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học Bài toán 5: Vào tháng 01/2016, ông A có đầu tư số vốn 10000 USD vào công ty X, với cường độ đầu tư: i (t )  t Hỏi đến tháng 03/2016, số vốn tích trữ ông A công ty X bao nhiêu? Số vốn tích trữ hàm số theo thời gian t ( đơn vị tháng ), gọi k(t) Phương trình vi phân biểu diễn mối quan hệ vốn tích trữ cường độ tích trữ là: dk dk  i (t )   t  dk  t dt   dk   t dt  k (t )  2t /  C dt dt Xem tháng 01/2016 mốc thời gian t = 0, ta có: k (0)  10000  C  10000 Vậy hàm vốn tích trữ: k (t )  2t /  10000 Vào tháng 03/2016, nghĩa t = 2, vốn tích trữ ông A công ty X là: k (2)  2.2 /  10000  10005.6 USD Mô hình thị trường với kỳ vọng giá báo trước Bài toán 6: Xét mô hình thị trường giá loại hàng hóa sau: Qd  40  P  P' P"  Qs  5  3P Q  Q s  d Với điều kiện ban đầu P(0)  12, P' (0)  Tìm hàm giá theo thời gian P(t) cho biết giá cân P có ổn định động hay không? Giải: Từ hệ phương trình mô hình trên, ta có: 40  2P  2P' P"  5  3P  P"2P'5P  45 Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không hệ số không đổi Giờ ta giải phương trình tìm nghiệm tổng quát P(t): Phương trình đặc trưng: r  2r    r  1  2i 13 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học Suy nghiệm tổng quát phương trình nhất: P0  e t (C1 cos 2t  C sin 2t ) Dễ thấy nghiệm riêng P phương trình không P = P  Suy ra: P(t )  P  P0   e t (C1 cos 2t  C sin 2t ) Suy ra: P'  e t (C1 cos 2t  C2 sin 2t )  e t (2C1 sin 2t  2C2 cos 2t ) C  P(0)  12 9  C1  12   P' (0)   C1  2C2  C2  Cho điều kiện ban đầu:  Vậy cuối ta có hàm: P(t )   e t (3 cos 2t  sin 2t ) P(t )  lim [9  e t (3 cos 2t  sin 2t )]   P Ta có: tlim  t  Cho nên giá cân P có tính ổn định động Nguồn tham khảo: Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế, TS Nguyễn Hải Thanh, trường đại học nông nghiệp hà nội, 2008 Bài toán tính lãi suất ngân hàng Bài toán 7: Một người gửi 1000 USD tài khoản tiết kiệm với lãi xuất 1,1% năm Giả sử tuần người gửi tự động vào tài khoản tiết kiệm 20$ Tính tổng số tiền gửi sau năm Giải: a) Giả sử năm có 52 tuần số tiền gởi liên tục, ta có phương trình vi phân biểu diễn hàm tiền gởi theo thời gian t năm: dP  0,011P  1040  P '0,011P  1040 dt Với 1040 số tiền cộng vào tài khoản năm Ta thấy phương trình vi phân phương trình tuyến tính cấp Công thức nghiệm tổng quát phương trình :   ( 0, 011) dt   ( 0,011) dt dt  C   e 0,011t 1040.e 0,011t dt  C P(t )  e   1040.e     1040000  1040000 0,011t   e 0,011t   e C    Ce 0,011t 11 11   14  Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học Vì ban đầu ( t = ) tài khoản 1000$, nghĩa P(0) = 1000  1040000 1040000 1051000  Ce  1000  C  1000    95545,45455 11 11 11 Vậy : P(t )   1040000  95545,45455.e 0, 011t 11 Để tìm tổng số tiền gửi sau năm, ta tính giá trị P(5) nhận được: P (5)   1040000  95545,45455.e 0, 011.5  6402,2 USD 11 Nguồn tham khảo: Trang 125 sách Differential Equation – Blanchard-DevaneyHall Mô hình input – output mở Leontief: Ma trận ứng dụng rộng rãi kinh tế, xem công cụ để lưu giữ số liệu cách gọn nhẹ, nữa, việc ứng dụng để giải hệ phương trình kinh tế, làm cho toán kinh tế trở nên dễ dàng Sau ta xét toán mô hình input – out put mở Leontief: Bài toán 8: Cho biết ma trận vào ngành kinh tế:  0,3 0,1 0,1    A   0,1 0,2 0,3   0,2 0,3 0,2    a) Nói ý nghĩa kinh tế phần tử a 23 ma trận A? Ý nghĩa kinh tế cột ma trận A? b) Tìm giá trị sản lượng ngành, ngành mở yêu cầu ngành phải cung cấp cho lượng sản phẩm tương ứng 70, 100, 30? Giải: a) a23  0,3 Con số có nghĩa ngành cần cung cấp 0,3 đơn vị nguyên liệu để sản xuất đơn vị sản phẩm cho ngành 15 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học Cột ma trận A a11  0,3; a21  0,1; a31  0,2 Cột có nghĩa để sản xuất đơn vị sản phẩm cho ngành cần 0,3 đơn vị nguyên liệu ngành 1; 0,1 đơn vị nguyên liệu ngành 2; 0,2 đơn vị nguyên liệu ngành  70   x1      b) Ma trận cầu B  100  ; ma trận sản xuất X   x2   30  x    3  Ta có hệ phương trình dạng ma trận: X  ( I  A) 1 B Do ma trận ma trận vuông có cấp 3, nên ta sử dụng máy tính  89,75    casio để tìm mà trận X Kết là: X   92,95  Nghĩa cần sản xuất 89,75 đơn vị sản  77,3    phẩm ngành 1; 92,95 đơn vị sản phẩm ngành 2; 77,3 đơn vị sản phẩm cho ngành Nguồn tham khảo: Trang web: 1) http://cadasa.vn/player/CDSPlayer.aspx?id=RrI0wAyWdg1HawwEmpGGFA 2) https://www.youtube.com/watch?v=D-_fom7y6_Q III Một số ứng dụng ngành nông nghiệp Mô hình toán học cho việc quản lý nguồn cá hiệu quả: Trong năm gần đây, khó tìm nguồn thủy sản phí đánh bắt cá ngày tốn Và tất nhiên điều đánh bắt mức việc nuôi trồng thủy sản không đủ đáp ứng nhu cầu Cá nguồn protein tốt mà có từ thiên nhiên omega cải thiện lượng cholesterol thể người Chúng ta tiến đến ngành công nghiệp đánh bắt thủy sản bền vững với kế hoạch thích hợp hạn ngạch thực nghiêm túc Một cách để đat kế hoạch tốt đưa mô hình quản lý gồm yếu tố đầu vào ( thực phẩm có sẵn, tỷ lệ giống, nhiệt độ nước, chất gây ô nhiễm, thời tiết,…) kết đầu ( hao hụt tự nhiên, đánh bắt cá thương mại, ô nhiễm công nghiệp…) Mô hình thực phương trình vi phân Phương trình vi phân liên quan đến tỷ lệ thời gian tức thời việc thay đổi thời hạn khai thác, x trữ lượng cá biển, t thời gian ( theo tháng năm ) Được xây dựng phương trình nguồn cá thành phần dương ( tăng trưởng ) (phụ thuộc vào nguồn cung cấp thực 16 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học phẩm, tỷ lệ chăn nuôi,…), thành phần âm (ức chế) ( giới hạn thực phẩm sẵn có,…) Dưới ví dụ đơn giản mô hình cho số lượng cá dự kiến khu vực cụ thể giới hạn số ranh giới địa lý cố định ( vịnh, cửa biển,…) dx  x(1  kx) dt Bài toán 9: Một cửa vịnh có nguồn cá trữ lượng ban đầu 0,5 ( đơn vị 100000 ), sau năm người ta có số liệu 1,268 a) Viết giải phương trình vi phân mô b) Dự báo trữ lượng cá vào năm thứ Khi nguồn thủy sản khu vực bảo hòa Giải: a) Từ phương trình: dx dx dx  x(1  kx)   dt    dt dt x(1  kx) x(1  kx)   x   ln    t  C  x(t )  k  Ce t  kx   Với t  0; x(0)  0,5  0,5  k C Với t  1; x(1)  01,268  1,268  k  Ce 1  k  0,8366228569; C  1,916337714 Khi đó: x(t )  12  t 0,8366228569  1,916337714e  23e t b) dự báo trữ lượng cá vào năm thứ 4: Thay t = vào x(t), tìm x(4)  8,443 (100000 tấn) Để tìm thời điểm khu vực bảo hòa nguồn trữ lượng thủy sản dựa vào đồ thị x(t) ta tính giới hạn: 17 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học lim x(t )  lim t t t t 12  12  23e t Vậy thời điểm bảo hòa khoảng t = 10 đến t = 11 (năm) Nguồn tham khảo: Trang 549 – 8.STEWART Calculus Concepts and Contexts Bài toán dự báo phát triển dịch bệnh Phương trình vi phân dùng để dự báo phát triển vật nuôi, vi khuẩn chịu tác động yếu tố khách quan Hàm số logistic mô tả thành phần tác động thành phần ngăn cản, dùng để dự báo tốc độ phát triển dịch bệnh Gọi N = N(t) số vật nuôi bị nhiễm bệnh thời điể t, P tổng vật nuôi ( số ); c số phát triển Ta có phương trình vi phân mô sau: dN  cPN  cN dt Bài toán 10: Giả sử trang trại chăn nuôi gà có 50000 nhiễm H5N1 Virus 100 nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu thống kê cho thấy có 1000 mắc bệnh sau 10 tuần a) Viết phương trình vi phân mô tả giải phương trình b) Dự báo xem nửa số gà trang trại mắc phải H5N1 Giải: a) Phương trình vi phân mô tả: dN dN dN  50000 PN  cN   dt    dt dt 50000cN  cN 50000cN  cN   ln N  ln | 50000  N | tK 50000c Hay N (t )  50000  50000 Ke 50000 ct 18 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học Thay t  0, N (0)  100 , ta có phương trình: 100  Suy N (t )  50000 499 K  50000C 50000 50000 50000  499 50000 ct  499e 50000 ct  50000 e 50000 Thay t  10, N (10)  1000 , ta có phương trình: 1000  50000 1 c  0,46416e 5 50000 10 c 500000 ln( 49 / 499)  499e Vậy N (t )  50000  499e 0, 232080 t b) Dựa vào hàm N(t), giải phương trình N(t) = 25000 tìm t: 25000  50000  e 0, 232080 t   t  26,76924  27 tuần  , 232080 t 499  499e Nguồn tham khảo: Trang 559 - STERWART “calculus Concepts and Contexts” - 17 One model for the spread of an epidemic Kết thực - Đề tài giới thiệu 10 toán ứng dụng phương trình vi phân ma trận ngành nghề điện, điện tử truyền thông (tác giả gọp ngành lại thành ngành chúng giống ứng dụng trình bày), kinh tế, nông nghiệp Những ứng dụng trình kỹ bước làm cụ thể để người đọc thuận tiện trình tham khảo sáng kiến - Các toán đưa có mức độ vừa sức với sinh viên ngành cao đẳng Hơn toán đưa đến việc giải vấn đề (có thể phương trình vi phân cấp cấp 2, giải hệ phương trình, nhân hai ma trận), mà tất học môn Toán cao cấp A2 Do đó, đan xen chúng làm phần ví dụ, phần tập nội dung cụ thể buổi lên lớp - Sau giới thiệu số ứng dụng phương trình vi phân ma trận cho em sinh viên (học kỳ tiến hành lớp ĐTTT cao đẳng 9) Các em có phản 19 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học hồi tốt Các em tập trung theo dõi, đặt nhiều câu hỏi, thể quan tâm em nội dung học Kết luận - Trên đây, trình bày khó khăn, cấp bách thúc đẩy lựa chọn đề tài “ Giới thiệu số ứng dụng phương trình vi phân ma trận số ngành học” cho sáng kiến kinh nghiệm mình; trình viết sáng kiến kết đạt sau sáng kiến hoàn thành Tôi áp dụng với lớp ĐTTT-CĐ9 (giới thiệu ứng dụng cho lớp), thu quan tâm sâu sắc sinh viên Phương trình vi phân ma trận, nội dung mà em dường bàng quang sợ hải nhiều trước Từ đó, rút kết luận rằng, giáo viên giới thiệu ứng dụng chuyên ngành vào dạy, sinh viên cảm thấy hứng thú từ học tốt - Bên cạnh kết đạt được, đề tài số hạn chế: chưa giới thiệu ứng dụng nhiều ngành lại Đồng thời, cách triển khai ứng dụng đến sinh viên, có số mặt hạn chế: chưa đan xen ứng dụng vào học, nội dung cụ thể, điều đề tài thực gấp rút hoàn thành học kỳ này, nên chưa kịp giới thiệu theo cách đến sinh viên, mà nói, tổ chức buổi riêng giới thiệu toàn ứng dụng buổi Điều giải dễ dàng giới thiệu đan xen vào buổi học học kỳ sau đưa vào giáo trình Toán ứng dụng theo cách vậy, nghĩa ứng dụng giới thiệu phần nội dung học lớp Một hạn chế giới thiệu đến lớp, lớp ĐTTT-CĐ9 gấp rút tác giả triển khai rộng lớp lại học kỳ sau 20 ... thiệu số ứng dụng phương trình vi phân ma trận cho em sinh vi n (học kỳ tiến hành lớp ĐTTT cao đẳng 9) Các em có phản 19 Giới thiệu số ứng dụng Phương trình vi phân Ma trận số ngành học hồi tốt... nghiên cứu ứng dụng phương trình vi phân vào ngành học khác Song song với chương Phương trình vi phân, chương Ma trận khó có nhiều ứng dụng bổ ích Trên đà tìm ứng dụng Phương trình vi phân, nghiên... nghiên cứu ứng dụng Phương trình vi phân ngành điện - Thiết nghĩ, mong muốn biết ứng dụng điều học vào ngành học mong muốn Và thì, sinh vi n lớp khác cần đến ứng dụng phương trình vi phân Từ tiếp