Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy

26 116 0
  • Loading ...
1/26 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/04/2017, 17:47

Header Page of 145 B GIO DC V O TO I HC NNG TễN N Lấ DIU THO PHN MM TON HC MAPLE V NG DNG NGHIấN CU A THC NI SUY Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60 46 01.13 LUN VN THC S KHOA HC Nng - Nm 2015 Footer Page of 145 Header Page of 145 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: PGS.TSKH Trn Quc Chin Phn bin 1: TS Lờ Hi Trung Phn bin 2: PGS TS Hunh Th Phựng Lun ó c bo v trc Hi ng chm Lun tt nghip thc s Khoa hc hp ti i hc Nng vo ngy 27 thỏng nm 2015 Cú th tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Trung tõm Hc liu, i hc Nng Footer Page of 145 Header Page of 145 M U Lý chn ti Toỏn hc cú vai trũ rt quan trng, l mụn hc nn tng cho cỏc mụn hc khỏc: Vt lý, húa hc hay cỏc bi toỏn kinh t Nhng vic dy v hc Toỏn l khụng phi d dng Vy phi lm dy v hc mụn Toỏn cú hiu qu hn Trong giai on hin nay, cú phn mm Toỏn vic h tr dy v hc Toỏn tr nờn ph bin nh Maple, Sketchpat Maple l mt phn mm Toỏn i hc Tng hp Waterloo (Canada) xõy dng v a vo s dng nm 1985 Maple h tr cho c tớnh toỏn s v tớnh toỏn hỡnh thc, cng nh hin th Vi kh nng tớnh toỏn, minh trc quan, Maple cú kh nng lp trỡnh, cỏc gúi lnh t hc gn lin vi toỏn ph thụng v i hc Do ú, lp trỡnh Maple l mt cụng c rt tt giỳp cho ngi hc v ngi dy thun li hn õy l mt phn mm a dng v s giỳp ớch nhiu quỏ trỡnh dy v hc Vỡ vy, di s hng dn ca thy Trn Quc Chin, tụi chn Phn mm toỏn hc Maple v ng dng nghiờn cu a thc ni suy lm ti nghin cu cho lun thc s khoa hc ca mỡnh Mc ớch v nhim v nghiờn cu ti: Phn mm toỏn hc Maple v ng dng nghiờn cu a thc ni suy nhm mc ớch gúp phn thc hin ch trng ng dng cụng ngh thụng tin nõng cao cht lng dy v hc mụn Toỏn H thng húa li cỏc kin thc v a thc ni suy v ng dng ca Maple a thc ni suy i tng v phm vi nghiờn cu 3.1 i tng nghiờn cu: a thc ni suy Lagrange, a thc ni suy Newton v ng dng ca chỳng phn mn toỏn hc maple 3.2 Phm vi nghiờn cu: Cỏc khỏi nim, nh lý liờn quan n a thc ni suy Lagrange, a thc ni suy Newtn v phn mn toỏn hc maple Phng phỏp nghiờn cu C bn s dng phng phỏp nghiờn cu ti liu ( sỏch, bỏo v cỏc ti liu trờn internet cú liờn quan n ti lun ) thu thp thụng tin Footer Page of 145 Header Page of 145 nhm h thng li cỏc mt cỏch lụgic, tỡm hiu cỏch s dng phn mn toỏn hc maple v tỡm hiu cỏc bi toỏn, cỏc vớ d minh í ngha khoa hc v thc tin ca ti Lm rừ cỏc nghiờn cu ó cú, tỡm hiu sõu hn v phn mm maple v cỏc ng dng ca nú To c mt ti phự hp cho vic ging dy Cu trỳc ca lun vn: Ngoi phn m u v kt lun, lun c chia thnh ba chng : Chng 1: Phn mm maple Chng ny trỡnh by cỏch s dng phn mm Maple, cỏc cõu lnh toỏn t, hm, hng, cỏc phộp toỏn c bn v cỏc hm dựng tỡm a thc ni suy Chng 2: a thc ni suy Chng ny trỡnh by cỏc nh ngha, tớnh cht, nh lý, vớ d v a thc ni suy lagrange, sai s ca a thc ni suy, sai phõn v a thc ni suy newtn Chng 3: ng dng phn mm Maple a thc ni suy Chng ny trỡnh by mt s ng dng ca phn mm Maple tỡm cỏc a thc ni suy lagrange v a thc ni suy newtn CHNG PHN MM MAPLE 1.1 CC THAO TC U TIấN 1.1.1 Nhp cỏc biu thc Maple cho phộp nhp ba loi d liu l lnh, cụng thc v bn Mi lnh Maple phi kt thỳc bng du (:) hoc du (;) thc hin lnh ú ta nhn Enter Nu lnh c kt thỳc bng du (;) thỡ kt qu s c hin th trờn mn hỡnh Nu lnh c kt thỳc bng du (:) thỡ kt qu s khụng hin th trờn mn hỡnh 1.1.2 Tp ký t Bao gm bng ch cỏi ting Anh (k c ch hoa v ch Footer Page of 145 Header Page of 145 thng) Ch s: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chỳ ý: Maple phõn bit ch hoa v ch thng 1.1.3 Toỏn t, hm v hng 1.1.4 Tớnh toỏn cỏc giỏ tr thp phõn ca biu thc 1.2 PHẫP GN V TNH TON 1.2.1 Bin 1.2.2 Phộp gỏn 1.2.3 Bin t v bin rng buc 1.3 CC HM TNH TON 1.3.1 Tớnh toỏn trờn s nguyờn 1.3.2 Tớnh toỏn trờn biu thc 1.4 I TNG TRONG MAPLE 1.4.1 Cỏc biu thc c bn a Kiu +, * v ^ Cỏc biu thc gm cỏc hng hu t, bin v cỏc toỏn t +, -, *, / v ^ c chia thnh ba kiu c bn nh sau Kiu +: l cỏc biu thc dng x + y , x - y, x + y - z vi x, y, z l cỏc biu thc Kiu *: l cỏc biu thc dng x * y, x * y * z , x * y / z vi x, y, z l cỏc biu thc Kiu ^ : l cỏc biu thc dng x y ,1 / x vi x, y l cỏc biu thc b Cỏc hm whattype, op, nops Hm whattype ( expr ) : tr v kiu biu thc expr Hm op ( expr ) : tr v dóy cỏc thnh phn ca biu thc expr Hm nops ( expr ) : tr v cỏc s lng cỏc thnh phn ca biu thc expr Hm op ( n, expr ) : tr v thnh phn th n ca biu thc expr ( ) Hm op 0, expr : tr v kiu ca biu thc expr Footer Page of 145 Header Page of 145 c Kiu hm Hm op ( 0, expr ) : tr tờn hm f 1.4.2 Biu thc dóy Hm op ( a b, expr ) : tr v dóy cỏc thnh phn th a n thnh phn th b ca biu thc expr s [i ] tr v thnh phn th i ca dóy s s [ a b ] tr v dóy thnh phn a n thnh phn th b ca dóy s 1.5 GII TCH 1.5.1 Gii hn a Gii hn ca biu thc Cho biu thc p v tham s x Hm limit ( p, x = a ) : Tr v gii hn ca p x tin n a Hm limit ( p, x = a, right ) : Tr v gii hn ca p x tin n a bờn phi Hm limit ( p, x = a, left ) : Tr v gii hn ca p x tin n a bờn trỏi Hm limit ( p, x = infinity ) : Tr v gii hn ca p x tin +Ơ Hm limit ( p, x = -infinity ) : Tr v gii hn ca p x tin -Ơ Hm limit ( p, x = infinity , real ) : Tr v gii hn ca p x tin +Ơ Hm Limit ( p, x = a ) : Tr v biu thc gii hn Hm value ( ) : Tớnh giỏ tr gii hn b Gii hn ca biu thc ph thuc vo tham s Hm assume (): thit lp iu kin i vi tham s c Gii hn ca hm Hm limit ( f ( x ) , x = a ) : tr v gii hn ca hm f ( x ) x Footer Page of 145 Header Page of 145 tin n a Hm Limit ( f ( x ) , x = a ) : tr v biu thc gii hn Hm value ( ) : tớnh giỏ tr gii hn 1.5.2 o hm a o hm ca biu thc mt bin Cho biu thc p tham s x Hm diff ( p, x ) : tr v o hm ca p theo x Hm Diff ( p, x ) : tr v biu thc o hm ca p theo x Hm value ( ) : tr v giỏ tr o hm ca p theo x Hm diff ( p, x$n ) : tr v o hm bc n ca p theo x Hm Diff ( p, x$n ) : tr v biu thc o hm bc n ca p theo x Hm value ( ) : tr v giỏ tr o hm ca p theo x b o hm riờng ca biu thc nhiu bin Cho biu thc p v tham s x1, x 2, , xn ( ) Hm diff p , x1, x 2, , xn : tr v o hm riờng bc n ca p theo x1 , x ,, xn Hm Diff ( p, x1, x 2, , xn ) : tr v biu thc o hm riờng bc n ca p theo x1 , x ,, xn c o hm ca hm mt bin Cho hm f bin x Hm D ( f ) : tr v o hm f ' ca f theo x Hm unapply ( p, x ) : chuyn biu thc p v dng hm theo bin x Hm ( D @@ n )( f ) : tr v o hm bc n ca f theo x Footer Page of 145 Header Page of 145 1.5.3 th hm s a Hm bin th 2D Cỳ phỏp: plot ( f ( x ) , x = a b ) hoc plot ( f , a b ) Nu khụng khai bỏo giỏ tr ca x thỡ Maple mc nh l [ -10,10] b Hm bin th 3D Cỳ phỏp: plot 3d ( f , x = a b, y = c d ) 1.5.4 Tớnh tng v tớch a Tớnh tng Cho hm f (k ) tham s k Hm sum ( f ( k ) , k ) : tr v tng bt nh f (1) + f (2) + + f ( k ) Hm Sum ( f ( k ) , k ) : tr v biu thc tng bt nh f (k ) Hm value ( ) : tớnh giỏ tr biu thc b Tớnh tớch Cho hm f (k ) tham s k , s nguyờn m , n Hm product ( f ( k ) , k = m n ) : tr v tớch f ( m ) f ( m + 1) f ( n ) Hm Product ( f ( k ) , k = m n ) : tr v biu thc tớch n ế f (k ) k =m Hm value ( ) : tớnh giỏ tr biu thc 1.6 LP TRèNH TRONG MAPLE 1.6.1 Chng trỡnh maple a Nhp d liu t bn phớm Hm readstat ( '' < prompt > '') : hin du nhc < prompt > tr v d liu nhp t bn phớm Footer Page of 145 Header Page of 145 b Xut d liu mn hỡnh Hm print ( data1, data 2, ) hin th d liu mn hỡnh Lu ý: xõu ký t t du Chng trỡnh l hp nhiu lnh thc hin mt cụng vic phc to chng trỡnh maple ta cú th lm theo cỏc cỏch sau c Gp lnh sau (1) Vit v thc hin tng lnh, (2) ỏnh du (bụi en) cỏc lnh ri (3) ghộp cỏc lnh li thnh chng trỡnh bng thc hin cỏc lnh thc n Edit\Split or Join\Join Execution Groups ( phớm tt F4) thc hin chng trỡnh, a tr vo bt c ch no on chng trỡnh v gừ ENTER d Gp lnh trc Vit cỏc lnh k tip nhng khụng thc hin, s dng t hp SHIFT + ENTER xung dũng thc hin chng trỡnh, a tr vo bt c ch no tng on chng trỡnh v gừ ENTER 1.6.2 Cỏc cu trỳc iu khin a Lnh r nhỏnh Cỳ phỏp: if condition expression then statement sequence elif condition expression then statement sequence else statement sequence end if Chc nng: Nu iu kin condition expression ỳng thỡ thc hin cỏc cõu lnh sau then hoc sau else tng ng b Vũng lp for Cỳ phỏp: Footer Page of 145 Header Page 10 of 145 for name from expr1 by expr to expr while condition statement sequence end do; hoc for name in exprL while condition statement sequence end do; Chc nng: Vũng lp for c s dng thc hin dóy cỏc lnh statement sequence Mi ln lp tng ng mt giỏ tr ca bin name sau for Trong dng th nht, bin name xut phỏt t expr1 , mi ln tip theo cng thờm bc nhy expr , cho ti vt quỏ cn trờn expr hoc khụng tha iu kin condition thỡ kt thỳc Trong dng th hai, bin name ln lt ly cỏc phn t danh sỏch exprL v tha iu in condition 1.6.3 Th tc v hm a Khỏi nim th tc maple Chng trỡnh maple cú nhiu bt tin, nh phi m chng trỡnh ngun, a tr vo chng trỡnh gừ ENTER, d lm hng chng trỡnh Maple cho to lp v s dng chng trỡnh linh hot hn bng th tc (procedure) Th tc l chng trỡnh c truy xut thụng qua nh danh Ngoi cỏc th tc ca Maple cỏc gúi (package), th tc cú th c to lp, biờn dch, c np vo b nh s dng b Xõy dng th tc Khai bỏo th tc: procedure _ name := proc ( parameter _ sequence ) [local local _ sequence] [global global _ sequence] Footer Page 10 of 145 10 Header Page 12 of 145 CHNG A THC NI SUY 2.1 BI TON NI SUY 2.1.1 Vn ni suy Trờn on a Ê x Ê b cho mt li cỏc im chia ( im nỳt ) xi , i = 0, 1, 2, , n : a Ê x0 , x1 , x2 , , xn Ê b v ti cỏc nỳt xi cho cỏc giỏ tr ca hm s y = f ( x) l yi = f ( xi ) , i = 0, 1, 2, , n vit thnh bng sau: X x0 x1 x2 xn -1 xn Y y0 y1 y2 yn -1 yn Hóy xõy dng mt a thc bc n: Pn ( x) = a x n + a1 x n -1 + + a n -1 x + a n Sao cho Pn ( x) trựng vi f ( x) ti cỏc nỳt xi , ngha l : (2.1) Pn ( x) = yi , i = 0, 1, 2, , n a thc Pn ( x) gi l a thc ni suy ca hm f ( x) 2.1.2 S nht ca a thc ni suy nh lý: a thc Pn ( x) ( bc Ê n ) sinh t bng sau tha iu kin (2.1) l nht 2.2 A THC NI SUY LAGRANGE 2.2.1 a thc ni suy Lagrange Xột hm s y = f ( x) trờn on [ a, b ] v gi s ti n + mc ( xi ẻ [ a, b ] ta ó bit giỏ tr yi = f ( xi ) i = 0, n ) T bng s trờn ta xõy dng a thc Pn ( x) bc khụng quỏ n cho tha iu kin: Pn ( xi ) = yi ( i = 0, n ) (2.2) Theo cỏch ca Lagrange, trc ht lp cỏc a thc bc n , Li ( x ) tha iu kin: Footer Page 12 of 145 11 Header Page 13 of 145 ỡ1 i = j Li ( x j ) = ợ0 i j (i, j = 0, n ) (2.3) Ta cú: Li ( x ) = Ai ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xi -1 )( x - xi +1 ) ( x - xn ) M Li ( xi ) = = Ai ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) ị Ai = ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) ị Li ( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xi -1 )( x - xi +1 ) ( x - xn ) ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) (2.4) l a thc bc n v tha iu kin (2.3) Ta chn n Pn ( x ) = Li ( x ) yi (2.5) i =0 Ta cú n Pn ( x j ) = Li ( x j ) yi = y j j =0 Do yi = f ( xi ) , i = 0, n ó cú nờn Pn ( x ) l a thc bc n , v t (2.3) , (2.4) ta suy Pn ( x ) tha iu kin (2.2) a thc dng (2.5) gi l a thc ni suy Lagrange, cũn a thc dng (2.4) gi l a thc c s ca Lagrange cho gn cỏch vit, ta a vo ký hiu: n w ( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn ) = ế ( x - xi ) (2.6) i =0 Thỡ w ' ( x ) = ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) l o hm ca w ( x ) ti im xi v chớnh l mu s cụng thc (2.4) Vỡ vy (2.5) c vit li: yi x x i =0 ( i )w ' ( x ) n Pn ( x ) = w ( x ) Footer Page 13 of 145 (2.7) 12 Header Page 14 of 145 2.2.2 a thc ni suy Lagrange vi mc cỏch u Gi s hm s f ( x) nhn giỏ tr yi ti cỏc im tng ng xi ( i = 0, n ) cỏch u mt khong h Cỏc mc ni suy cỏch u xi +1 - xi = h , i = 0, n x - x0 ị x = x0 + th h ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xi -1 )( x - xi +1 ) ( x - xn ) Ta cú: Li ( x) = ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) t t = th(th - h) (th - (i - 1)h)(th - (i + 1)h) (th - nh) ih(ih - h) (ih - (i - 1)h)(ih - (i + 1)h) (ih - nh) = ( -1) = n -i ( -1) n-i t (t - 1) (t - n) i !(n - i)!(t - i ) Cni t (t - 1) (t - n) (t - i) n! = i t (t - 1) (t - n) n ( -1) Cn ị Pn ( x) = y n! (t - i ) i i =0 n-i (2.8) 2.2.3 Sai s ca a thc ni suy Gi s Pn ( x) l a thc ni suy ca hm s f ( x) trờn on [ a, b ] : Pn ( xi ) = f ( xi ) = yi ( i = 0, n ) Vi cỏc mc ni suy l a Ê x0 < x1 < x2 < < xn Ê b C nh x ẻ [ a, b ] , x xi ( i = 0, n ) , ta gp sai s ti im x l: R ( x) = f ( x ) - Pn ( x) (2.9) ỏnh giỏ sai s ú, ta t F ( x ) = R ( x ) - kw ( x) Trong ú k l hng s s c chn cho F ( x) = Ngha l k = R ( x) f ( x) - Pn ( x) = w ( x) w ( x) Footer Page 14 of 145 13 Header Page 15 of 145 R ( xi ) = f ( xi ) - Pn ( xi ) "i = 0, n Theo (2.9) thỡ v w ( x ) = "i = 0, n nờn F ( xi ) = "i = 0, n , ta suy F ( x) = cú n + nghim l x, x0 , x1 , , xn Theo nh lý Ron thỡ F '( x) cú n + nghim , F ( n +1) ( x) cú mt nghim x ẻởộ a, b ỷự , ngha l: = F ( n +1) (x ) = R ( n +1) (x ) - kw ( n +1) (x ) = f ( n +1) (x ) - k (n + 1)! T ú ta suy k = Vy R( x) = f ( n +1) (x ) (n + 1)! +1 f ( n ) (x ) w ( x) (n + 1)! (2.10) Gi M = Sup f ( n +1) ( x ) thỡ t (2.10) ta cú: a Ê x Êb R ( x) = f ( x) - Pn ( x) Ê M w ( x) (n + 1)! (2.11) 2.2.4 Chn mc ni suy ti u a a thc Chebysev (x Tn ( x):= cos [ n arccos x ] Ê 1) t q = arccos x v ý rng cos( n 1)q = cosq cos nq m sin q sin nq , ta t cos( n + 1)q + cos( n - 1)q = 2q cos nq hay: Tn +1 ( x) = xTn ( x) - Tn -1 ( x) nh lý: Trong tt c cỏc a thc bc thc Chebysey Tn ( x) / n -1 n (2.12) vi h s u bng 1, a cú lch ( so vi ) nh nht trờn on [ -1,1] Ngha l, nu: P ( x) = x n + an -1 x n -1 + + a0 Thỡ max P( x) max x Ê1 x Ê1 Tn ( x) n -1 = 2n -1 b Chn mc ni suy Trong trng hp a = - , b =1 ta ly mc ni suy xi l nghim Footer Page 15 of 145 14 Header Page 16 of 145 2i + p 2(n + 1) ca a thc Chebysev Tn +1 ( x) ngha l: xi = cos Khi ú w ( x) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn ) = ( i = 0, n ) Tn +1 ( x) cú lch nh nht 2n v c lng tt nht ca phộp ni suy l: M M P ( x) - f ( x) Ê w ( x) Ê n (n + 1)! (n + 1)! Trong trng hp a < b bt k, ta dựng phộp bin i 2x - b - a trờn [ a, b] v on [ -1,1] Cỏc mc ni suy ti u l b-a nghim ca a thc Chebysev: t= ỡ ỹ 2i + xi = ớ( b - a ) cos p + (b + a ) ý i = 0, n 2(n + 1) ợ ỵ c lng tt nht ca phộp ni suy trng hp ny l: ( P ( x ) - f ( x) Ê ) M (b - a )n +1 (n + 1)! 22 n +1 2.3 A THC NI SUY NEWTN 2.3.1 a thc ni suy Newtn a T sai phõn: Xột hm s y = f ( x) trờn on [ a, b] ( ) nh ngha: T bng s yi = f ( xi ) , i = 0, n Cỏc mc ni suy: a x0 < x1 < x2 < < xn b Ta gi f [ xi , xi -1 ] = f ( xi ) - f ( xi -1 ) , i = 1, n xi - xi -1 ( ) l t sai phõn cp mt ca hm f ( x) T sai phõn cp hai l t sai phõn ca t sai phõn cp mt, ký hiu l: f [ xi +1 , xi , xi -1 ] = Footer Page 16 of 145 f [ xi +1 , xi ] - f [ xi , xi -1 ] xi +1 - xi -1 , i = 1, n - 15 Header Page 17 of 145 T sai phõn cp hiu l: n l t sai phõn ca t sai phõn cp n - , ký f [ xn , xn -1 , , x1 , x0 ] = f [ xn , xn -1 , , x1 ] - f [ xn -1 , , x1 , x0 ] xn - x0 Ta thy t sai phõn cp mt cn hai mc ni suy, cp hai cn ba mc, , cp n cn n + mc Cỏc t sai phõn nh ngha nh trờn c cho bng: [ ] [ ] f , [ f ,., x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 f [ x3 , x2 ] x3 y3 f [ x4 , x3 ] x4 y4 f [ x1 , x0 ] f [ x2 , x1 ] ] f ,.,., [ ] f ,.,., f [ x2 , x1 , x0 ] f [ x3 , x2 , x1 ] f [ x4 , x3 , x2 ] f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] f [ x4 , x3 , x2 , x1 ] f [ x4 , x3 , x2 , x1 , x0 ] b Cỏc tớnh cht ca t sai phõn Tớnh cht 1: T sai phõn cp k ca mt tng bng tng cỏc sai phõn cựng cp ( f + g ) [ xk , xk -1 , , x0 ] = f [ xk , xk -1 , , x0 ] + g [ xk , xk -1 , , x0 ] Hng s nhõn c a ngoi t sai phõn: (c f ) [ xk , xk -1 , , x0 ] = c f [ xk , xk -1 , , x0 ] Tớnh cht 2: f ( xi ) i = w '( xi ) k f [ xk , , x0 ] = k Trong ú w ( x) = ế ( x - x j ) j =0 Footer Page 17 of 145 16 Header Page 18 of 145 H qu 1: T sai phõn l toỏn t tuyn tớnh Ta cú: (a f + b g ) [ xn , , x1 , x0 ] = (a f i =0 =aồ i =0 + b g )( xi ) w '( xi ) f ( xi ) g ( xi ) + bồ w '( xi ) i = w '( xi ) = a f [ xn , , x1 , x0 ] + b g [ xn , , x1 , x0 ] H qu 2: T sai phõn cú tớnh cht i xng: f [ xi -1 , xi ] = f [ xi , xi -1 ] , i = 1, n f [ xi -1 , xi , xi +1 ] = f [ xi +1 , xi , xi -1 ] , i = 1, n - f [ x0 , x1 , , xn -1 , xn ] = f [ xn , xn -1 , , x1 , x0 ] Tớnh cht ny c suy t nh ngha Tớnh cht 3: T sai phõn ca hng s thỡ bng khụng T sai phõn cp m ca a thc bc n cú tớnh cht: Nu m = n thỡ t sai phõn cp n l hng s Cũn m>n thỡ t sai phõn cp > n l bng khụng c a thc ni suy Newtn ( ) Xut phỏt t bng s yi = f ( xi ) i = 0, n vi cỏc mc ni suy l x0 , x1 , , xn , xi ẻ [ a , b ] Da vo nh ngha ca t sai phõn Newtn xõy dng a thc ni suy nh sau: cựng vi cỏc mc ni suy xi , i = 0, n , a thờm vo mc x bt k Ta cú: Do ú Ta li cú f [ x, x0 ] = f ( x) - f ( x0 ) x - x0 f ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x, x0 ] f [ x, x0 , x1 ] = Footer Page 18 of 145 f [ x, x0 ] - f [ x0 , x1 ] x - x1 (2.13) 17 Header Page 19 of 145 T ú ta cú: f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x - x1 ) f [ x, x0 , x1 ] V c th tip tc, cui cựng ta thu c: f ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x - x0 )( x - x1 ) [ x0 , x1 , x2 ] + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 ) f [ x0 , x1 , , xn ] + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 )( x - xn ) f [ x, x0 , x1 , , xn ] (2.14) Trong cụng thc (2.14) nu t: Pn ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 ) f [ x0 , x1 , , xn V R ( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn ) f [ x, x0 , x1 , , xn Thỡ (2.15) ] ] f ( x) = Pn ( x) + R ( x) (2.16) (2.17) Pn - l a thc bc n Ta ch cn ch Pn ( x) tha iu kin Pn ( xi ) = yi , i = 0, n Tht vy, t (2.17) ta cú: f ( xi ) = yi = Pn ( xi ) + R ( xi ) , i = 0, n Nhng rừ rng R ( xi ) = , i = 0, n nờn Pn ( xi ) = yi , i = 0, n Cụng thc (2.15) c vit li nh sau: n -1 i i =0 j =0 Pn ( x ) = f ( x0 ) + f [ xi +1 , xi -1 , , x0 ]ế ( x - x j ) Cụng thc trờn l a thc ni suy Newton tin (do xut phỏt t mc x0 ) Do t sai phõn cú tớnh cht i xng, nờn nu ta sp xp li cỏc mc ni suy theo th t : xn , xn -1 , xn - , , x1 , x0 V xõy dng tng t nh trờn, ta cú cụng thc: Pn ( x ) = f ( xn ) + ( x - xn ) f [ xn , xn -1 ] + + + ( x - xn ) ( x - x1 ) f [ xn , xn -1 , , x0 ] (2.18) õy l a thc ni suy Newton lựi (do xut phỏt t mc xn ) Footer Page 19 of 145 18 Header Page 20 of 145 d Sai s Theo cụng thc (2.17) ta cú: R( x) = f ( x) - Pn ( x) = w f [ x, x0 , x1 , , xn ] Trong cụng thc (2.10) ta li cú: R( x) = Vy f [ x, x0 , x1 , , xn ] = f ( n +1) (x ) w ( x) (n + 1)! f ( n +1) (x ) , (n + 1)! x ẻ [ a, b ] 2.3.2 a thc ni suy Newtn vi cỏc mc cỏch u a Sai phõn hu hn Cho hm s f ( x) xỏc nh trờn [ a, b ] Gi s xi l cỏc mc ni suy cỏch u: xi = x0 + ih , i = 0, n h gi l bc sai phõn ( h > ) Sai phõn cp ca f ( x) ti x : Df ( x) = f ( x + h) - f ( x) Sai phõn cp ca f ( x) ti x : D f ( x) = D ( Df ( x) ) = [ f ( x + 2h) - f ( x + h)] - [ f ( x + h) - f ( x)] ị D f ( x ) = f ( x + h) - f ( x + h) + f ( x ) Tng t ta cú sai phõn cp n ca f ( x) ti x : n D m f ( x) = (-1)k Cnk f [ x + (n - k )h] k =0 b Tớnh cht c bn ca sai phõn hu hn Tớnh cht 1: D l toỏn t tuyn tớnh "a , b ẻ R; "y , z ị D (a y + b z ) = a Dy + b Dz V DC = vi C = const D n ( x n ) = n ! h n ( h = Dx ) Footer Page 20 of 145 19 Header Page 21 of 145 Dn ( xn ) = ( m > n ) D m ( D k y ) = D m + k y vi D y = y Tớnh cht 2: Giỏ tr ca hm s f ( x) c biu din qua sai phõn hu hn cỏc cp ca nú: m F ( x + mDx) = Cmk D k f ( x) (2.19) k =0 Trong ú Cmk = m(m - 1) (m - k + 1) m! = k! k !(m - k )! Tớnh cht 3: Sai phõn hu hn cp m ca hm f ( x) c biu din qua cỏc giỏ tr liờn tip ca nú: D m f ( x) = f ( x + mDx) - C1m f ( x + ( m - 1) Dx) + Cm2 f ( x + ( m - ) Dx) - + (-1) m f ( x) (2.21) Tớnh cht 4: Gi s hm s f ( x) cú o hm liờn tc n cp m trờn on [ x, x + mDx] thỡ ta cú: D m f ( x) = ( Dx ) f ( ) ( x + q mDx) m m (2.22) Trong ú < q < c Bng sai phõn Gi s hm s y = f ( x) c cho dng bng s yi = f ( xi ) , ( i = 0, n , cỏc mc ni suy xi = x0 + ih i = 0, n ) ( h = Dx = xi - xi -1 "i ) Sai phõn hu hn cỏc cp c xỏc nh theo cụng thc: Dyi = yi +1 - yi , i = 0, n - D yi = D ( Dyi ) = Dyi +1 - Dyi , i = 0, n - D yi = D ( D yi ) = D yi +1 - Dyi , i = 0, n - D m yi = D ( D n -1 yi ) = D n -1 yi +1 - D n -1 yi , i = Footer Page 21 of 145 20 Header Page 22 of 145 Cụng thc trờn c mụ t theo bng sau: x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 x4 x5 Dy D2 y Dy0 D y1 Dy2 D y2 D y3 y4 D y3 Dy4 y5 xn yn D4 y D y0 Dy1 y3 D3 y D yn - 2 Dyn -1 D y0 D y1 D y2 D3 yn -3 D y0 D y1 D yn - d a thc ni suy Newtn vi mc cỏch u Trc ht ta vit li a thc ni suy newtn tin xut phỏt t x0 (cỏc mc sp xp theo th t x0 , x1 , , xn ) Theo cụng thc (2.14) ta cú: Pn ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x - x1 )( x - x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ] + + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 ) f ộ x0 , x1 , , xn ự ỷ t x = x0 + ht ị x - x0 = ht Ta cú: f [ x0 , x1 ] = y1 - y0 Dy0 = x1 - x0 h f [ x0 , x1 , x2 ] = Footer Page 22 of 145 f [ x0 , x1 ] - f [ x1 , x2 ] x0 - x2 21 Header Page 23 of 145 y1 - y0 y2 - y1 y - y1 + y2 D y x1 - x0 x2 - x1 = = = x0 - x2 2h 2h f [ x0 , x1 , , xn ] = Dn y n !h n T ú: Pn ( x) = Pn ( x0 + ht ) (2.23) Dy0 Dn y0 t (t - 1) + + t (t - 1)(t - 2) (t - n + 1) 1! n! (2.23) cũn gi l a thc ni suy Newtn tin cú mc cỏch u Bõy gi xột cụng thc ni suy Newtn lựi cú mc xut phỏt l = y0 + xn ( cỏc mc sp xp theo th t xn , xn -1 , , x1 , x0 ) Theo cụng thc (2.18) ta cú: Pn ( x) = f ( xn ) + ( x - xn ) f [ xn , xn -1 ] + ( x - xn )( x - xn -1 ) f [ xn , xn -1 , xn - ] + + + ( x - xn ) ( x - x1 ) f [ xn , xn -1 , , x0 ] t x = xn + ht , tng t nh trờn ta c: Dyn D yn t+ t (t + 1) + + 1! 2! D n yn + t (t + 1)(t + 2) (t + n - 1) n! (2.24) cũn gi l a thc ni suy Newtn lựi cú mc cỏch u e Sai s Pn ( x) = Pn ( xn + ht ) = yn + (2.24) f ( n +1) (x ) T cụng thc (2.10) ta cú: R ( x) = w ( x) , (n + 1)! n n k =0 k =0 m w ( x) = ế ( x - xk ) = h n +1t (t - 1)(t - 2) (t - n) = h n +1 ế (t - k ) Do sai phõn hu hn cp n l hng s nờn: D n +1 y0 h đ h n +1 f ( n + ) ( x) = lim Footer Page 23 of 145 22 Header Page 24 of 145 Nờn nu xem f ( n +1) D n+1 y0 (x ) ằ n+1 h thỡ: R ( x) ằ D n+1 y0 n ế (t - k ) (n + 1)! k =0 l sai s cụng thc ni suy Newtn tin Hon ton tng t ta cng cú cụng thc ỏnh giỏ sai s i vi cụng thc ni suy Newtn lựi: R ( x) ằ D n+1 y0 n ế (t + k ) (n + 1)! k =0 CHNG NG DNG PHN MM MAPLE TRONG A THC NI SUY 3.1 NG DNG PHN MM GII CC BI TON V A THC NI SUY LAGRANGE Cỏch 1: Ta s dựng hm phn mm maple: gii cỏc bi toỏn v a thc ni suy Lagrange, ta s dựng gúi lnh CurveFitting[Polynomiallnterpolation] V th so sỏnh Cỏch 2: Ta t xõy dng bng cỏc cõu lnh sau: - Tr v hm c gỏn giỏ tr biu thc p theo bin x unapply(p, x , ) - Tr v s lng cỏc thnh phn ca biu thc expr nops(expr) - Gỏn giỏ tr biu thc x = a cho biu thc p , ú p l biu thc theo bin t x : subs ( x = a, p ) - Tr v o hm ca p theo x : diff ( p, x ) - Tr v tớch f (m) f (m + 1) f (n) : product ( f ( k ) , k = m n ) Ta xõy dng nh sau: Footer Page 24 of 145 Header Page 25 of 145 23 ( ) > w := unapply product ( x - points [i ][1] , i = nops ( points ) ) , x ; ( ) > L := ( i, x ) đ w ( x ) / ( x - points [i ][1]) / subs x = points [i ][1] , diff ( w ( x ) , x ) ; > f ( x) := sum( points[i ][2]* L(i, x), i = nops( points )); > f ( x ) := simplify ( f ( x ) ) ; 3.2 NG DNG PHN MM GII CC BI TON V A THC NI SUY NEWTN Ta t xõy dng bng cỏc cõu lnh sau: > # tớnh t sai phõn f:=proc(x,y) # x, y l cỏc dóy im option remember; if nops (x)=1 then return y[1]; else return (f (x[2 nops(x)], y[2 nops(y)]) f (x[1 nops(x) 1], y[1 nops(y) 1]) ) / (x[nops(x)] x[1]); end if; end proc: > # Ni suy tin # gtx, gty : cỏc dóy giỏ tr ca x v y # x : tờn bin NST :=proc (gtx, gty, x) local i, j, n, s; s:=gty [1] ; n:=nops(gtx) ; for i from to n s :=s+f (gtx [1 i], gty [1 i])*product (x-gtx[j], j=1 i 1); end; return s; end proc: > # Ni suy lựi # gtx, gty : cỏc dóy giỏ tr ca x v y # x : tờn bin Footer Page 25 of 145 24 Header Page 26 of 145 NSL :=proc (gtx, gty, x) return NST (ListTools [Reverse] (gtx), ListTools [Reverse] (gty), x); end proc: V th so sỏnh KT LUN Lun Phn mm toỏn hc Maple v ng dng nghiờn cu a thc ni suy ó thu c kt qu sau: Trỡnh by mt cỏch cú h thng tng quan v phn mm maple v mt s vớ d minh c th a cỏc nh ngha, nh lý, tớnh cht v mt s vớ d minh ca a thc ni suy a khỏ a dng ng dng phn mm Maple tỡm cỏc bi toỏn v a thc ni suy Kt qu ca lun nhm nõng cao cht lng dy v hc a thc ni suy núi chung, nhm phỏt trin t toỏn cho hc sinh, sinh viờn v c bit l cho hc sinh, sinh viờn chuyờn Toỏn cú mt t liu tham kho b ớch Footer Page 26 of 145 ... v a thc ni suy lagrange, sai s ca a thc ni suy, sai phõn v a thc ni suy newtn Chng 3: ng dng phn mm Maple a thc ni suy Chng ny trỡnh by mt s ng dng ca phn mm Maple tỡm cỏc a thc ni suy lagrange... kin thc v a thc ni suy v ng dng ca Maple a thc ni suy i tng v phm vi nghiờn cu 3.1 i tng nghiờn cu: a thc ni suy Lagrange, a thc ni suy Newton v ng dng ca chỳng phn mn toỏn hc maple 3.2 Phm vi... ba chng : Chng 1: Phn mm maple Chng ny trỡnh by cỏch s dng phn mm Maple, cỏc cõu lnh toỏn t, hm, hng, cỏc phộp toỏn c bn v cỏc hm dựng tỡm a thc ni suy Chng 2: a thc ni suy Chng ny trỡnh by cỏc
- Xem thêm -

Xem thêm: Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy, Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy, Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay