Header Page of 145 B GIO DC V O TO I HC NNG HONG TH DIU HIN PHNG PHP GII V SNG TO CC BI TON TèM GII HN CA HM S Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60.46.01.13 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng Nm 2016 Footer Page of 145 Header Page of 145 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: TS PHM QUí MI Phn bin 1: TS Nguyn Duy Thỏi Sn Phn bin 2: PGS TS Hunh Th Phựng Lun ó c bo v ti Hi ng chm Lun tt nghip thc s Khoa hc chuyờn ngnh Phng phỏp Toỏn s cp ti i hc Nng vo ngy 13 thỏng nm 2016 Tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin-Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng Footer Page of 145 Header Page of 145 é ỵ t ợ ởt ố tữủ ự trồ t số ỡ t t õ ỡ s ỹ số tử t õ ợ số ỹ t t r ữỡ tr t P t tớ ữủ tữỡ ố tr õ ợ số ý ợ ởt t q ợ t s ú tú t q ợ số ữ ỷ ổ t t tử số t số t ợ ụ ữủ ởt tr ỳ t õ P r ụ ữ ỗ ữù s ọ t ố tổ t t s t õ tr ỷ ổ t ợ số t ụ tr tỹ r ởt số t q t ợ số s P t rt t rt t t t tr t t ự ữỡ s ụ ữ ữỡ s t t ợ số ởt ổ t P t tỹ t trỏ q trồ ợ số tr t ợ ố ữủ t s s ỡ Footer Page of 145 Header Page of 145 ữỡ s t t ợ số tổ qt t Pì PP ế t s ự ự ữỡ t t ợ số t ự ữỡ s t r t ợ số ố tữủ ự ố tữủ ự ữỡ ỷ ổ tữớ P ự ữỡ t ợ số P ỗ ữù s ọ Pữỡ ự ợ t Pì PP ế tổ sỷ ữỡ ự s t tờ ủ t s s ỷ t tr ự ữỡ õ tr ỵ tt ợ số ỵ ỗ ữớ ữợ ị tỹ t t t õ tr t ỵ tt ự õ t sỷ ữ t t s ọ Footer Page of 145 Header Page of 145 t ố tữủ q t ữỡ t s t r t ợ số trú t t t ữủ t ữỡ tr õ ữỡ tự ỡ ữỡ Pữỡ t ợ số ữỡ Pữỡ s t t t ợ số ũ ợ sỹ ữợ P ỵ ữớ tổ t Pì PP ế t s Footer Page of 145 Header Page of 145 ì PP I ởt ởt I R ổ rộ ụ ổ t õ ũ õ út ợ õ ũ út ợ I o I I ợ ỳ ợ ổ ũ ợ ởt ởt số t t ỡ ợ số t ợ tỗ t f l l ợ t a t l = l f : I R õ ợ ỳ t a I t f tr ởt a ỷ t ợ số f : X R õ ợ l t a I ợ (un )nN tr I s un a n t õ f (un ) l n Footer Page of 145 Header Page of 145 a I { ; +}, f R, (c, d) R2 sỷ f õ ợ l t a : I R, l c < l t tr a : c < f (x) l < d t tr a : f (x) < d c < l < d t tr a : c < f (x) < d q ợ tr t tự a I { ; +}, f : I R, l R, (c, d) R2 sỷ f õ ợ l t a c f (x) tr a t c l f (x) d tr a t l d c f (x) d tr a t c l d ỵ f, g, h : I R, a I {; +} , l R f (x) l x a h(x) l x a t g õ ợ l t a f (x) g(x) h(x) R) f, g : I R, a I {, +} f (x) + x a r a : f (x) g(x) ỵ õ sỷ xa lim f (x) = L, lim [f (x) g(x)] = L M xa Footer Page of 145 , t g(x) + x a lim g(x) = M (L, M xa Header Page of 145 lim [f (x).g(x)] = L.M xa t số t xa lim [C.f (x)] = C.L f (x) L M = t xa lim = g(x) M ỵ xa lim sỷ xa lim f (x) = L R õ lim |f (x)| = |L| xa f (x) = L f (x) t L xa lim f (x) = L L = g(x) tr a t lim f (x).g(x) = xa ú ỵ ỵ ú t x a x a I {; +} , f, g : I R xa lim f (x) = + g ữợ tr a t lim (f (x) + g(x)) = + xa rữớ ủ r lim f (x) = + xa lim g(x) = + lim (f (x) + g(x)) = + xa lim f (x) = + lim g(x) = l R+ xa xa xa lim (f (x) + g(x)) = + xa xa lim f (x) = + g ữợ tr a ởt số tỹ sỹ ữỡ t lim (f (x).g(x)) = + xa rữớ ủ r Footer Page of 145 Header Page of 145 lim f (x) = + lim g(x) = + lim (f (x).g(x)) = + xa xa xa lim f (x) = + lim g(x) = l R+ xa lim (f (x).g(x)) = + xa xa (a, b) (R {; +})2 s a < b, f : (a; b) R ởt t ỵ f tr t f õ ợ ỳ t b limf = sup f (x) b x(a;b) f ổ tr t f õ ợ + t b f : I R ởt t t f õ ởt ợ tr ởt ợ ỳ t a o tở I lim f f (a) lim+ f xa xa ìẹ ề ìẹ ề ữủ số :I R (x) a xa õ t I ữủ t + q tỗ t số (x) = f (x) l Footer Page of 145 t ổ rộ R aI ữ lim f (x) = l xa t a Header Page 10 of 145 ỵ t số ỵ s q , q = o() t a t t a t lim xa + = lim xa t a q t t ọ t t tr số t t tr số a õ i (i = 1, m) j (j = 1, n) t m i lim i=1 xa n xa = lim j j=1 ú ỵ õ ú ỵ s ợ tữỡ ữỡ ữủ ệ ế sỷ số tr f X tử t ỗ t ởt số >0 X f ởt t tử t x X ởt t ủ số tỹ õ r x0 X ợ số ữỡ s x X, |x x0 | < |f (x) f (x0 | < f tử tr t ủ Footer Page 10 of 145 X f Header Page 12 of 145 ì Pì PP ế Pì PP 0 Pữỡ ũ ợ ỡ ợ L = lim ợ L = lim ợ x0 cosax x2 eax ebx x0 x + x2 e2x L = lim x0 ln(1 + x2 ) Pữỡ t t tỷ t ợt ữủ ủ ợ x + x2 + x3 + + xn n (m, n N ) x1 x + x2 + x3 + + xm m L = lim t Pữỡ t t t tỷ ợ tỷ ợ x x0 n x1 L = lim m (m, n N ) x1 x1 t Pữỡ t tỷ Footer Page 12 of 145 Header Page 13 of 145 ợ tự ủ tữỡ ự tự ự tự trử tỷ x x0 r ọ tự ợ L = lim x0 + 2x x2 + 3x t Pữỡ t ợ tự ự tự ổ ũ t ợt ởt ữủ õ t t ợ rỗ ủ Pữỡ t t tữỡ ữỡ (1 + mx)n (1 + nx)m x0 x2 ợ L = lim ợ L = lim sỷ xm x1 xn P (x) = a1 x + a2 x2 + + an xn m số ự r m lim x0 + P (x) a1 = x m Pì PP ợ 9x2 + x2 + L = lim x 16x4 + x4 + Pì PP ợ L = lim (1 + sin 2x) x ợ L= Footer Page 13 of 145 x0 lim x+ x+1 x+2 43x Header Page 14 of 145 Pì PP ợ L = lim [ x2 x + + x] x ợ L = lim x+ x3 + 3x2 x2 2x ợ L = lim x1 m n m 1x xn ợ , (m, n N ) L = lim (1 x) tan x1 x Pì PP Pữỡ sỷ q t st t st t st ỷ 00 t st ỷ Pữỡ sỷ q t st ởt số ợ ợ ợ ợ Footer Page 14 of 145 x4 x0 x2 + 2cosx x L = lim x (a > 1) x+ a L = lim x x1 x ln x L = lim x tan x x L = lim Header Page 15 of 145 ợ ợ L = lim x x x1 L = lim x0 s inx x2 x Pữỡ t t ỹ tr r q tr t ợ số ỷ ổ m lim xx0 ố ợ ỳ ợ f (x) n g(x) (m, n, k tỹ , k min{m, n}) (x x0 )k t tữớ ũ ữỡ t ợt ởt ữủ ú t ữỡ số t tữớ ỷ ữủ ổ 0 ữ ổ ữ số số ổ t ỷ s t ợt số ổ 0 ữủ ổ ũ ũ t r số õ t ữ t t ữủ ổ 0 ổ ũ tỷ ổ ũ ũ õ t ỷ ổ tr ổ t ố ỷ ữủ ổ ổ Pữỡ t t s ú ú t qt ữủ ữợ tỹ sỷ số t ỗ t y = f (x) (C) : y = f (x) Footer Page 15 of 145 x0 t t M0 (C) ợ õ t t Header Page 16 of 145 t t ỗ t M0 M (C)) ỗ t tợ lim sỷ ợ (x x0 )k f (x) n g(x) k xx0 k(x) h(x) M0 (M, M0 x x0 t tở f (x) ữủ ổ ũ tữỡ ữỡ m lim M õ t t r f (x0 )(x x0 ) + f (x0 ) xx0 (C) (x x0 ) y = k(x) ữủ t y = h(x) õ t x0 õ t tỹ t ữợ s y = k(x) t ữỡ tr t t số y = h(x) x0 t sỷ ữỡ tr t t m lim f (x) n y = t(x) g(x) (x x0 )k m f (x) t(x) t(x) n g(x) + (x x0 )k (x x0 )k xx0 = lim xx0 ró ữỡ ợ s 8x3 + x2 + 6x + x3 L = lim x0 9x2 + 27x + 27 ợ s L = lim cos2x 2x + 2x2 4x x2 x0 Pữỡ sỷ ổ tự tr r P số ổ tự r sỷ số f õ n tử tr I = [; ] õ n+1 tr (; ) a, b I Footer Page 16 of 145 Header Page 17 of 145 t tỗ t ởt số tỹ a > b) c ỳ a b (c (a; b) a, b, c (b; a) s f (a) f (a) (b a) + (b a)2 + + 1! 2! f (n) (a) f (n+1) (c) (b a)n + (b a)n+1 n! (n + 1)! f (b) = f (a) + ổ tự ổ tự r tự Rn = f (n+1) (c) (b a)n+1 (n + 1)! ữủ ữ r a=0 t ữủ ổ tự r ứ ổ tự r t ữủ tr q trồ x2 xn + + + o(xn ) 2! n! ex = + x + sinx = x x2n1 x3 + + (1)n1 + o(x2n ) 3! (2n 1)! cosx = x2 x2n + + (1)n + o(x2n+1 ) 2! (2n)! m(m 1) x + 2! m(m 1) (m n + 1) n + x + o(xn ) n! (1 + x)m = + mx + ln(1 + x) = x x2 xn + + (1)n1 + o(xn ) n ởt số ợ ợ Footer Page 17 of 145 sin(sinx) x x2 L = lim x0 x5 ex ex 2x L = lim x0 x sinx Header Page 18 of 145 ì Pì PP ế ề ế ì t ợ 2x2 + ln x L = lim x1 ex =2 e 00 ỷ ợ ỡ ợ ủ ị tữ ỹ ợ ỡ tr ữỡ t õ t t r ởt số t t ợ số õ ổ ởt số t s inx = t f (u) u0 x0 x sinf (u) f (u) õ lim = uu0 f (u) t ứ s u u0 t lim ữ t õ t t r t t ợ s sin(x 1) sin(x 1) 1 = lim = x1 x x1 x1 x+1 L1 = lim Footer Page 18 of 145 Header Page 19 of 145 x1 1x = lim x1 sin 2(x 1) x1 sin(x 1).cos(x 1) x1 1 = lim = x1 sin(x 1) cos(x 1) 2 cos2x sin x sin2 x = lim = lim = lim = 2 x0 x0 2x 4x x1 x2 cos x = = lim x x 2 sin 3x sin 3x 5x = lim = lim = x0 sin 5x x0 3x sin 5x L2 = lim L3 L4 L5 t ứ ợ ỡ ex = x0 x lim t õ t t r t t ợ s e2x e2x = lim = x0 x0 x 2x 2 e2 e2(x 1) e2x e2 e2 e2x e2 L2 = lim = lim = lim x1 x x1 x1 x2 x2 2 2(x 1) e e = lim = 2e2 x1 2(x2 1) 2 ex ex L3 = lim = lim = x x 3 x x L1 = lim t ứ ợ ỡ ax = ln a x0 x lim t t r ởt số t t ợ s 2 a2x a2x = lim = ln a L1 = lim 2 x0 3x x0 2x a2 ax x2 ax x a2 L2 = lim = lim x2 x2 x2 x2 a (x + 1) a(x+1)(x2) = lim = 3a2 ln a x2 (x + 1)(x 2) Footer Page 19 of 145 t õ Header Page 20 of 145 ỷ tữỡ ữỡ ị tữ ỷ tữỡ ữỡ ởt số t õ t t r ởt số t t ợ t tữỡ õ ởt số t t õ sinx x, ex x s r ữủ t t ợ s L1 = lim x0 sin x x = lim = ex x0 x x2 2x 2sin cos x = lim = lim 2x = L2 = lim = lim x0 sin x x0 sin x x0 x x0 4 t õ x4 x5 x4 , x4 + x6 x4 ởt ỡ t s r ữủ t t ợ s x x L = lim 4 56 = lim x0 x + x x0 t õ x = x (1 + x) x + ( 1) x s r ữủ t t ợ s (1 + x)5 5x + 10x2 = lim = lim = x0 x0 x + 2x2 x0 x + 2x2 x2015 L2 = lim 2016 x1 x + 2x + 3x2 x3 L3 = lim x0 x L1 = lim ỷ ữỡ t t ị tữ ỷ ữỡ t r t t ợ Footer Page 20 of 145 Header Page 21 of 145 số ổ 0 ự tự ổ ũ ởt số t t ợ L = lim x1 3x2 x + 4x3 + 2x2 x x1 t ợ L = lim sin 2x + 7+ + 3x2 x x0 ỷ ổ tự tr r t ứ tr ln(1 + x) = x sinx = x x2 x3 + + o(x3 ) x3 + o(x3 ) õ t t ợ s ln(1 + x) sin x 2x2 x2 x3 x3 x + x+ + o(x3 ) = lim x0 2x2 x x x + o(x3 ) 2 2 = = lim = lim x0 x0 2x2 L = lim x0 t ứ tr x5 x3 + + o(x5 ) 120 x2 x3 x4 x5 ex = + x + + + + + o(x5 ) 24 120 x2 x3 x4 x5 ex = x + + + o(x5 24 120 sin x = x s r t t ợ s x3 + o(x5 ) sin x ex + ex L = lim = lim = x0 x0 x3 x3 Footer Page 21 of 145 Header Page 22 of 145 t ứ tr tan x = x + x3 + o(x3 ) tr tr t s r t t ợ s x3 + o(x3 ) sin x tan x = lim = L1 = lim x0 x0 5x3 5x3 10 x3 + o(x3 ) sin x tan x L2 = lim = = lim x0 sin x ex + ex x0 x + o(x3 ) t õ e2x = + 2x + 2x2 + x3 + o(x3 ) s r t t ợ s e2x ex x3 + o(x3 ) x + x2 + o(x3 ) = lim L = lim x0 x0 2x + 3x2 2x + 3x2 + x + o(x2 ) = lim = x0 + 3x t õ x3 x5 x7 + + o(x8 ), 3!3 5! 7! x 17 tanx = x + + x5 + x + o(x8 ) 15 315 s inx = x s r t t ợ L = lim x0 tan(sin x) sin(tan x) x7 ỷ q t st ị tữ ỷ ổ tự [f (x)]g(x) = eg(x) ln f (x) (f (x) > 0) q t st t õ t t r t t ợ số õ ổ Footer Page 22 of 145 Header Page 23 of 145 t ợ õ lim (1 + 2x) 2x = e x0 (1 + 2x) 2x e L = lim x0 2x 1 ln(1+2x) (1 + 2x) 2x e e 2x e L = lim = lim x0 x0 2x 2x ln(1+2x) ln(1 + 2x) e 2x + 2x 2x(1 + 2x) = lim x0 2x (1 + 2x) ln(1 + 2x) = e lim x0 4x2 (1 + 2x) [2 ln(1 + 2x) + 2] ln(1 + 2x) = e lim = e lim x0 x0 8x + 24x2 8x + 24x = e lim + 2x = e x0 + 48x (4 x)40 (2x + 5)10 x (3x 1)50 5x2 + + 9x4 ợ L = lim x 3x x6 t ợ t L = lim t ợ L = lim x 4x2 + x + + x2 + 4x + 2x + x2 + ị tữ ứ ợ ỡ ợ ủ t õ t t r ởt số t t ợ số õ Footer Page 23 of 145 Header Page 24 of 145 ổ ợ ỡ tữớ lim (1 + x) x = e, lim x0 x 1+ x x = e ởt số t t ợ s 1 L1 = lim (3 x) x = e x2 2x2 x + +x1 x L2 = lim x 2x x + 2x2 x + 2x x = lim + x 2x x + 2x2 x + 2x 2x 2x x = e2 = lim + x 2x x + x2 + x + L3 = lim (3 + x) x + 2x2 x2 (x2 +x+1) = lim [1 + (2 + x)] + x = e3 x2 t ự r lim x+ 1+ a x bx+c = eab r t ụ õ t sỷ ữỡ st t r ởt số t t ợ ổ sỷ ổ tự [f (x)]g(x) = eg(x) ln f (x) (f (x) > 0) q t st t t ữủ ợ s Footer Page 24 of 145 Header Page 25 of 145 t 2 lim ln(1+x) x0 tan x L1 = lim (1 + x) tan x = e x0 lim x0 + x + tan2 x = e2 =e 1 lim ln(x1) x2 x x =e L2 = lim (x 1) x2 lim x1 = e1 x x tan lim tan ln(4+x) x3 =e L3 = lim (4 + x) x3 x 1 sin lim lim x ln(4+x) x3 x3 4+x cot 2 =e =e = e =e x2 x t ợ L = lim cot x t ợ L = lim 1 x x e x0 x0 t ợ L = lim tan x x x 2 t ợ L = lim [ln(2x + 1).cotx] x0 t ợ L = lim x+ Footer Page 25 of 145 (x + 2) x+5 8x3 3x2 + Header Page 26 of 145 ởt tớ t ọ tứ ỳ t ữủ P ỵ ữớ tổ t Pữỡ s t t t ợ số qt ữủ ỳ s t tố ữủ t t ỡ số ợ số ữ r ữỡ t ợ số r ỡ s õ s t ữủ ởt số t t ợ số õ ổ tữớ ợ ỳ t ữủ tổ s ởt t t ỳ t tr ổ t s ụ ỗ tữ tốt s tổ ụ ữ ỳ q t ợ t ợ số ũ t ố ữ tớ õ ỏ õ ỳ t sõt t tổ rt ữủ ỵ õ õ qỵ t ổ ỗ ữủ t ỡ Footer Page 26 of 145 ... trồ t số ỡ t t õ ỡ s ỹ số tử t õ ợ số ỹ t t r ữỡ tr t P t tớ ữủ tữỡ ố tr õ ợ số ý ợ ởt t q ợ t s ú tú t q ợ số ữ ỷ ổ t t tử số ... ữủ P ỵ ữớ tổ t Pữỡ s t t t ợ số qt ữủ ỳ s t tố ữủ t t ỡ số ợ số ữ r ữỡ t ợ số r ỡ s õ s t ữủ ởt số t t ợ số õ ổ tữớ ợ ỳ t ữủ tổ s ởt t t ỳ... số ỷ ổ m lim xx0 ố ợ ỳ ợ f (x) n g(x) (m, n, k tỹ , k min{m, n}) (x x0 )k t tữớ ũ ữỡ t ợt ởt ữủ ú t ữỡ số t tữớ ỷ ữủ ổ 0 ữ ổ ữ số số ổ t ỷ s t ợt số