ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO THỊ HÀ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO THỊ HÀ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P −ADIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Một số vấn đề Lý thuyết Nevanlinna p−adic 1.1 Hàm đặc trưng 1.2 Hai định lý 10 Xác định hàm phân hình p-adic 2.1 2.2 2.3 16 Hàm phân hình chung giá trị 16 2.1.1 Định lý kiểu Adams-Straus 16 2.1.2 Giá trị bội hàm phân hình 20 Đa thức hàm phân hình 24 2.2.1 Đa thức kiểu Yn,m 24 2.2.2 Đa thức kiểu Fn,b 28 Hàm phân hình chung tập hợp 30 2.3.1 Tập cho hàm phân hình p−adic 30 2.3.2 o Tập kiểu Fn,b 35 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 48 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn luận văn Vấn đề nghiên cứu xác định hàm hay ánh xạ phân hình thông qua ảnh ngược tập hữu hạn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước: G.Pólya, R.Nevanlinna, F Gross, thu nhiều kết quan trọng Năm 1926, R.Nevanlinna chứng minh: Nếu hai hàm phân hình f g chung giá trị phân biệt trùng Kết Nevanlinna cho thấy hàm phân hình phức xác định cách ảnh ngược, không kể bội, giá trị phân biệt Công trình Ông xem khởi nguồn cho công trình nghiên cứu xác định hàm hay ánh xạ phân hình Một vấn đề tự nhiên đưa F Gross (xem [6]), không xét ảnh ngược điểm rời rạc mà xét ảnh ngược tập hợp điểm Từ đến nay, vấn đề nghiên cứu cách liên tục mạnh mẽ với kết H Fujimoto, W Stoll, L Smiley, M Ru, Z Tu, C C Yang, G Frank, M Reinders, Kí hiệu Cp trường số phức p−adic Ta biết Cp trường đóng đại số, có đặc số đầy đủ với chuẩn không acsimet Song song với việc nghiên cứu vấn đề cho hàm phân hình C, nhà toán học nghiên cứu vấn đề cho hàm phân hình Cp Hướng nghiên cứu hút quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết quan trọng Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí toán học nước quốc 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tế liên quan đến việc ứng dụng Lý Thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình p-adic Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Với mục đích trình bày lại số kết nghiên cứu tính hàm phân hình không Acsimet, chọn đề tài "Xác định hàm phân hình p-adic" Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương : Một số vấn đề lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong chương trình bày kiến thức sở cần thiết cho việc chứng minh chương như: Các hàm Nevanlinna, định lí thứ nhất, định lí thứ hai Chương 2:Xác định hàm phân hình p- adic Chương trình bày số kết nghiên cứu tính hàm phân hình Trong trình học tập thực luận văn, nhận dạy bảo tận tình thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, ĐHSP Hà Nội, Viện Toán học Đặc biệt bảo, hướng dẫn trực tiếp thày giáo TS Hà Trần Phương Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày giáo TS Hà Trần Phương, tới thày cô giáo bạn đồng nghiệp giúp đỡ suốt thời gian qua Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012 Tác Giả Cao Thị Hà 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số vấn đề Lý thuyết Nevanlinna p−adic 1.1 Hàm đặc trưng Trong phần ta quy ước số thực ρ0 , r, ρ thỏa mãn < ρ0 < r < ρ ≤ ∞ Giả sử f ∈ A(ρ (Cp ) hàm nguyên, ∞ an z n , f (z) = (an ∈ Cp ) (1.1) n=0 ∞ Hiển nhiên ta gán cho f (z) giá trị chuỗi an z n với n=0 n z ∈ Cp mà |an z | → n → ∞ (vì chuỗi hội tụ) Bán kính hội tụ ρ chuỗi (1.1) tính công thức 1 = lim sup |an | n ρ n−→∞ ∞ Giả sử chuỗi lũy thừa f (z) = an z n có bán kính hội tụ ρ: n=0 0 Với z ∈ Cp , f (z) hội tụ tồn đạo hàm f (z) tính theo công thức: ∞ nan z n−1 f (z) = (1.3) n=1 Bán kính hội tụ chuỗi (1.3) bán kính tụ f Hơn f thoả mãn µ(r, f ) (0 < r < ρ) r µ(r, f ) Bây ta định nghĩa hàm đếm không điểm cực điểm Giả sử f ∈ A(ρ (Cp ) hàm nguyên Với a ∈ Cp , kí hiệu n r, f −a số không điểm f a kể bội, n r, f −a số không điểm f a không kể bội Ta định nghĩa hàm đếm không điểm f − a kể bội, không kể bội N r, f −a N r, f −a r = ρ0 r = ρ0 n(t, f −a ) t n(t, f −a ) t dt với ρ0 < r < ρ; dt với ρ0 < r < ρ Với a = ∞, kí hiệu n(r, f ) số cực điểm f kể bội, n(r, f ) số cực điểm f a không bội Ta định nghĩa hàm đếm cực điểm f kể bội, không kể bội r N (r, f ) = ρ0 n(t, f ) dt t 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên với ρ0 < r < ρ; http://www.lrc-tnu.edu.vn r N (r, f ) = ρ0 n(t, f ) dt t với ρ0 < r < ρ Giả sử f ∈ M(ρ (Cp ) hàm phân hình, tồn hai hàm f0 , f1 ∈ Ar (Cp ) cho f0 , f1 nhân tử chung Ar (Cp ) f1 f = Với a ∈ Cp ∪ {∞}, ta định nghĩa hàm đếm số không điểm f0 n r, f −a f a (hay gọi hàm đếm số a− điểm f ) n r, f −a = n(r, f ) = n(r, f10 ) : a = ∞ n(r, f1 −af ) :a=∞ Định nghĩa hàm đếm N (r, f −a ) f a N r, f −a = N (r, f ) = N (r, f10 ) : a = ∞ N (r, f1 −af ) :a=∞ Kí hiệu N (r, f = a) = N (r, f ) = N (r, f0 = 0) : a = ∞ N (r, f1 − af0 = 0) :a=∞ ), Tương tự ta định nghĩa hàm n(r, f ), N (r, f ), n(r, f −a N (r, f −a ) Giả sử ∞ ∞ n f1 = an z ; bn z n , f0 = n=m1 n=m0 m0 , m1 ∈ N am1 = 0, bm0 = Theo công thức Jensen ta có N (r, f = 0) = N (r, f1 = 0) = log µ(r, f1 ) − log |am1 |, N (r, f = ∞) = N (r, f0 = 0) = log µ(r, f0 ) − log |bm0 | Kéo theo |am1 | |bm0 | = log µ(r, f ) − log |f ∗ (0)| N (r, f = 0) − N (r, f = ∞) = log µ(r, f ) − log 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.4) http://www.lrc-tnu.edu.vn f ∗ (0) = am1 Có thể thấy bm0 f ∗ (0) = lim z m0 −m1 f (z) ∈ Cp − {0} z→0 Hơn nữa, sử dụng công thức Jensen cho hàm f1 f0 ta có: 1 N (r, ) − N (r, f ) = N (r, ) − N (r, ) f f1 f0 = log µ(r, f1 ) − log µ(ρ0 , f1 ) − log µ(r, f0 ) + log µ(ρ0 , f0 ) µ(r, f1 ) µ(ρ0 , f1 ) = log − log µ(r, f0 ) µ(ρ0 , f0 ) = log µ(r, f ) − log µ(ρ0 , f ) (1.5) Công thức (1.4) (1.5) gọi công thức Jensen cho hàm phân hình Tiếp theo ta định nghĩa hàm bù (hay gọi hàm xấp xỉ) hàm f công thức m(r, f ) = log+ µ(r, f ) = max{0; log µ(r, f )} Đặc biệt m r, f = log+ µ r, f = log+ = max{0, − log µ(r, f )} µ(r, f ) Hơn nữa, 1 m pt , log p f = γ + (t, f ) = max{0; γ(r, f )} Tiếp theo ta xem xét số tính chất đơn giản hàm đếm hàm xấp xỉ Mệnh đề 1.3 Giả sử fi ∈ M(p (C), (i = 1, 2, , k) Khi với r > 0, ta có k N r, k fi ≤ i=1 k m r, N (r, fi ); N r, i=1 k fi i=1 k ≤ k fi ≤ i=1 k m(r, fi ); m r, i=1 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i=1 k fi i=1 N (r, fi ) ≤ m(r, fi ) i=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Nevanlinna p- adic Trong chương trình bày kiến thức sở cần thiết cho việc chứng minh chương như: Các hàm Nevanlinna, định lí thứ nhất, định lí thứ hai Chương 2 :Xác định hàm phân hình p- adic Chương... R.Nevanlinna chứng minh: Nếu hai hàm phân hình f g chung giá trị phân biệt trùng Kết Nevanlinna cho thấy hàm phân hình phức xác định cách ảnh ngược, không kể bội, giá trị phân biệt Công trình Ông xem... http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Một số vấn đề Lý thuyết Nevanlinna p adic 1.1 Hàm đặc trưng 1.2 Hai định lý 10 Xác định hàm phân hình p- adic