Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiếtĐề thi thử môn toán tự luận có đáp án chi tiết
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN - Khối: A, A1, B Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ TỔ TOÁN - TIN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x + mx (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng x − y − = π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin 3x + ÷ = + 8sin x.cos x 1 + x + y + = ( x + y ) + x + y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x +3 y x +1 + ÷ = 4 2 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân − x5 ∫ x 1+ x ( ) dx · Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BAC = 600 , nội tiếp đường tròn đường kính AI Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) A, lấy điểm S cho SA = 2BC Gọi M N hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Chứng minh mặt phẳng (AMN) vuông góc với đường thẳng SI tính góc hai mặt phẳng (AMN) (ABC) 4( x + y + z) y+z x+ y z+x + + ≥ , ∀x, y, z > Câu (1,0 điểm) Chứng minh x y z ( y + z ) ( z + x) ( x + y) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) đường thẳng d: x − y + = Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông A AB = 2AC x y z Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = mặt phẳng (P): x + y + z − = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ 2 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: x + x + x + 100 = -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh:…………………………………… BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A1, B – NĂM 2013 Nội dung Câu (2.0 điểm) Điểm a (1.0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số * m = y = x − x * TXĐ: D = R y = +∞, lim y = −∞ * lim x →+∞ x →−∞ x = * y ' = 12 x − 12 x, y ' = ⇔ x = 0.25 0.25 * Bảng biến thiên… Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) ; ( 1; +∞ ) Hàm số nghịch biến ( 0;1) 0.25 Hàm số đạt cực đại x = 0, y = Hàm số đạt cực tiểu x = 1, y = −2 Điểm uốn: y '' = 24 x − 12, y '' = ⇔ x = , y = −1 Giao Ox: y = ⇔ x = v x = Giao Oy: x = ⇒ y = 0.25 b (1.0 điểm) Tìm m để đồ thị có … y ' = f ' ( x ) = 12 x − 12 x + m Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆ ' = 36 − 12m > ⇔ m < Gọi hai điểm cực trị đths A ( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) ( x1 , x2 hai nghiệm pt y ' = ) 0.25 2m m 1 − ÷x + Có: y = f ( x ) = f ' ( x ) x − ÷+ 6 3 m m 2m 2m − ÷x1 + y2 = − ÷x2 + Do f ' ( x1 ) = f ' ( x2 ) = nên y1 = 6 0.25 m 2m − ÷x + Vậy pt đt AB y = AB ⊥ d ( 1) A, B đối xứng qua d: 2x – 4y – = ⇔ (I trung điểm AB) ( 2) I ∈ d ( 1) ⇔ 2m − ÷ = −1 ⇔ m = (thoả mãn m < 3) 0.25 x1 + x2 xI = = I có toạ độ: ( ) ⇔ − ( −1) − = (đúng) yI = 2m − ÷xI + m = −1 0.25 Vậy A, B đối xứng qua d m = (1.0 điểm) Giải phương trình lượng giác… π sin x + ÷ ≥ ( 1) Pt ⇔ 4sin 3x + π = + 8sin x.cos 2 x ( ) ÷ 4 0.25 π ÷ = + 4sin x.(1 + cos4 x) ÷ ⇔ + 2sin x = + 4sin x + 2sin x − 2sin x 0.25 π x = + kπ 12 ⇔ sin x = ⇔ x = 5π + kπ 12 0.25 ( ) ⇔ 1 − cos x + - Với x = π π π + kπ : ( 1) ⇔ sin + k 3π ÷ ≥ ⇔ k = 2n ⇒ x = + n2π 12 12 2 17π 5π 3π + k 3π ÷ ≥ ⇔ k = 2n + ⇒ x = + n 2π , n ∈ Z + kπ : ( 1) ⇔ sin - Với x = 12 12 (1.0 điểm) 0.25 Giải hệ phương trình… 1 + x + y + = ( x + y ) + x + y ( 1) x +3 y x +1 + ÷ = ( 2) 4 2 ( 1) ⇔ x + y − x + y + = −9 ( x + y ) + ⇔ 3( x + y ) −1 x + y + x + y +1 = −9 ( x + y ) + 0.5 1 ⇔ ( ( x + y ) − 1) + ( x + y ) + 1÷ = ⇔ x + y = x + y + x + y +1 ÷ x +1 1 Khi đó: ( ) ⇔ x +1 + ÷ 2 t = x +1 = ⇔ t − 2t + = , ( t = > ) ⇔ −1 + t= 0.25 ( ) x = log − − x = −1 −1 + ⇒ Với t = ⇔ , Với t = y = y = − log − Tính tích phân… ( (1.0 điểm) 2 − x5 ∫ x 1+ x ( ) dx = ∫ + x5 − x5 x ( + x5 ) 1 − ÷ t dt = x = ⇒ I1 = ∫ 1 t 1 + ÷ t t5 dx = ∫ ∫ 0.25 ) 2x4 dx − ∫1 + x5 dx = I1 − I x ( + x5 ) ( ) t4 1 dt = ∫ d ( t + 1) = ln t + t +1 t +1 0.25 1 2 = ( ln − ln 33) 0.25 2 31 I2 = ∫ d ( x + 1) = − ÷ = ( + x5 ) x + 165 I= (1.0 điểm) 0.25 31 ( ln − ln 33) − 165 0.25 Tính thể tích khoảng cách IB ⊥ AB (do AI đường kính đtròn (ABC)), IB ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) nên IB ⊥ (SAB) ⇒ IB ⊥ AM mà AM ⊥ SB nên AM ⊥ (SBI) S N ⇒ AM ⊥ SI M C A Chứng minh tt: AN ⊥ SI Vậy SI ⊥ (AMN) Có SA ⊥ (ABC); SI ⊥ (AMN) I B ⇒ (· ( ABC ) , ( AMN ) ) = (·SA, SI ) · I= ∆ SAI có: tan AS AI đường kính đtròn (ABC) nên: Từ (1),(2) (1.0 0.5 · I= ⇒ tan AS AI (1) SA BC = RABC = AI ⇒ AI = BC (2) · sin BAC 2 BC = = ⇒ ·ABC , AMN = 300 ) ( )) (( SA BC BC 0.25 0.25 Chứng minh bất đẳng thức … Bđt ⇔ 0.25 điểm) ( z + x) ( x + y) P = ( y + z) Có: x ( z + x) ( x + y) ⇒ ( y + z) x2 y ( y + z) ( z + x) + ( x + y) z2 ≥ 4( x + y + z) x + x ( y + z ) + yz x + x yz + yz x + yz = ≥ = ÷ ÷ x2 x2 x ( z + x) ( x + y) x ( x + y) ( y + z) + ( z + x) 2 0.25 yz yz yz ≥ ( y + z ) 1 + = y + z + ( y + z) ≥ y+z+2 (1) ÷ x ÷ x x ( z + x ) Chứng minh tt có: ( x + y ) ( x + y) ( y + z) y ( y + z) ( z + x) z ≥ z+x+2 zx ( 2) y ≥ x+ y+2 xy ( 3) z 0.25 yz zx xy Từ (1), (2), (3) có: P ≥ ( x + y + z ) + + + ÷ (4) y z x Áp dụng bđt: a + b + c ≥ ab + bc + ca , có: yz zx xy + + ≥ x y z yz zx zx xy xy yz + + = x + y + z (5) x y y z z x 0.25 Từ (4), (5) ⇒ P ≥ ( x + y + z ) Dấu xảy x = y = z (1.0 điểm) Tìm hai điểm B,C… Gọi H hình chiếu A lên d ta có AH = d(A, d) = − 2.2 + 1+ 2 = 0.25 Tam giác ABC vuông A nên 1 1 + = ⇔ + = ⇒ AC = ⇒ AB = 2 2 2 AB AC AH AC AC Khi C thuộc đường tròn (A,1): x + ( y − ) = 2 y = 1, x = x + ( y − ) = ⇔ Toạ độ C nghiệm hệ y = , x = x − y + = 5 uuur + Với C(0;1): đt AB qua A(0;2) có vtpt AC = (0; −1) có pt: y − = x − y + = x = ⇔ ⇒ B (2; 2) Toạ độ B nghiệm hệ y − = y = 0.25 0.5 uuur 4 + Với C( ; ): đt AB qua A(0;2) có vtpt AC = ( ; − ) có pt: x − y + = 5 5 x=− x − y + = ⇔ ⇒ B (− ; ) Toạ độ B nghiệm hệ 5 4 x − y + = y = (1.0 điểm) Viết phương trình đường thẳng … x y z = = ⇔ M ( 1; 2;3) Toạ độ M nghiệm hệ x + y + z − = Gọi d’ hình chiếu d lên mp(P) ⇒ d ' = ( P) ∩ (Q) , với (Q) mp chứa d vuông góc uur uu r uur (P) Mp(Q) qua M có vtpt nQ = ud , nP = (-1; 2; -1) 0.5 x = t x + y + z − = ⇒ (Q) có pt: x − y + z = ⇒ d’ có pt: ⇔ y = x − y + z = z = − t Vì ∆ nằm (P), ∆ ⊥ d nên ∆ ⊥ d’ Gọi H(t; 2; – t) giao điểm ∆ d’ ta có M ∈ d’ nên MH ⊥ ∆ t = ⇒ MH = d ( M , ∆) = 2 ⇒ ( t − 1) + ( − ) + ( − t − 3) = ⇒ ( t − 1) = ⇒ t = −1 2 2 uu r uur x − y − z −1 = = + Với t = H(3; 2; 1): ∆ qua H, có vtcp u∆ = nQ nên ∆ có pt: −1 −1 uu r uur x +1 y − z − = = + Với t =-1 H(-1; 2; 5): ∆ qua H, có vtcp u∆ = nQ nên ∆ có pt: −1 −1 (1,0 điểm) 0.25 0.25 Giải phương trình… Pt ⇔ x ( x + x + ) = −100 ⇔ ( x ( x + 3) ) = ( 10i ) 2 0,25 x + 3x − 10i = (1) ⇔ x + 3x + 10i = (2) 0,25 x = + 2i (1) có ∆ = + 40i có bậc hai + 4i ⇒ (1) có nghiệm x = −4 − 2i 0,25 x = − 2i (2) có ∆ = − 40i có bậc hai − 4i ⇒ (2) có nghiệm x = −4 + 2i 0,25 Trường THPT Chuyên Trần Phú ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2013 – LẦN III Môn thi: TOÁN – Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + m (C) x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm số thực dương m để đường thẳng ( d ) : x + y − = cắt (C) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích O gốc tọa độ Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình sin x sin x + = tan x ( sin x + sin x ) cos x cos 3x x + y + xy ( x + y − ) = Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( x + y ) ( x + y ) = xy π + cos x dx π + sin x Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân sau I = ∫ Câu V (1,0 điểm) Chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD, H giao điểm CN DM Biết hai mặt phẳng (SHC) (SHD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SB Câu VI (1,0 điểm) Cho số thực x, y phân biệt thỏa mãn ( x − ) + ( y + ) − xy ≤ Tìm giá 3 trị nhỏ biểu thức: P = x − y − ( x − y ) ( + 3xy ) + + xy x− y Câu VII (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C1): ( x + ) + ( y − 1) = có 2 tâm O1, đường tròn ( C2 ) bán kính 4, có tâm O nằm đường thẳng ( d ) : x + y − = cắt (C1) hai điểm A B cho tứ giác O 1AO2B có diện tích Viết phương trình đường tròn (C2) biết O2 có hoành độ dương Câu VIII (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 3; −2; −4 ) , song song với mặt phẳng ( P ) : x − y − 3z − = cắt đường thẳng ( d ) : x − y + z −1 = = −2 Câu IX (1,0 điểm) Tìm mô đun số phức z biết z + 12i = z z có phần thực dương Hết Họ tên thí sinh:………………………… Số báo danh: ……………………………… BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI D – NĂM 2013 Câu I (2.0 điểm) Nội dung Điểm (1.0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số… * m = y = −x +1 x+2 0.25 * TXĐ: D = R\{ −2 } * Tiệm cận đứng x = −2 , tiệm cận ngang y = −1 * y'= − ( x + 2) < 0, ∀x ∈ D , nên hàm số nghịch biến khoảng xác định * Bảng biến thiên 0.25 0.25 Giao Ox: y = ⇔ x = Giao Oy: x = ⇒ y = 0.25 Đồ thị (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng … Phương trình hoành độ giao điểm: x + x + ( m − ) = ( *) −x + m = −x⇔ x+2 x ≠ −2 0.25 (d) cắt (C) điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân 0.25 biệt khác −2 17 1 − 4.2 ( 2m − ) > ∆ g > m < ⇔ ⇔ ⇔ 16 g − ≠ − + m − ≠ ( ) m ≠ −2 Với điều kiện giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm có hoành độ x A ≠ xB Ta có x A + xB = SOAB = −1 ; x A xB = m − d(O; AB) = d(O; d) = 2 1 d ( O; AB ) AB = ⇔ ( xB + x A ) − x A xB = 16 ⇔ II ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = ( xB − x A ) =1 47 − ( m − 1) = 16 ⇔ m = − 16 sin x ( tan x − tan x ) = sin x ( tan x − tan x ) sin x sin x ⇔ sin x × = sin x × cos x.cos x cos 3x.cos x ⇔ sin x ( tan 3x − tan x ) = (1.0 điểm) 0.25 Giải phương trình lượng giác… (1.0 điểm) Điều kiện cos x ≠ , cos 3x ≠ , cos x ≠ III 0.25 0.25 0.25 x = kπ sin x = kπ ⇔ ⇔ ⇔ x= k π x = tan x = tan x 0.25 Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm S = { kπ | k ∈ Z } 0.25 Giải hệ phương trình… Nếu xy = phương trình tương đương với x = y = (thỏa mãn) 0.25 Nếu xy ≠ hệ phương trình cho tương đương với x2 + y x2 + y x2 + y xy + ( x + y ) = =3 =2 ⇔ xy xy x + y ( x + y ) = x + y = x + y = xy + 17 − 17 x= 2 x = x + y = xy 4x − x + = 8 ⇔ ⇔ Nếu x + y = y = − x y = − 17 y = + 17 8 0.25 0.25 + 13 − 13 x= x= x + y = xy 3 x − x + = 6 ⇔ ⇔ Nếu x + y = y = 3− x y = 11 − 13 y = 11 + 13 6 IV (1.0 điểm) 0.25 Tính tích phân… π + cos x dx = π + sin x I=∫ π π π ∫ ( sin x + cos x ) π cos xdx π + sin x dx + ∫ 0.25 π cos x d ( + sin x ) ln dx = ∫ =− π + sin x π + sin x I1 = ∫ 4 π I2 = ∫ π I= V 0.25 π π dx+ ÷ π2 4 dx = ∫ = − ×cot x + ÷ = π 4π π 2sin x + ÷ 4 4 π ( sin x + cos x ) 0.25 − ln 2 0.25 Tính thể tích khoảng cách… (1.0 điểm) (SHC) (SHD) vuông góc với (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) S SCDNM = S ABCD − S BCM − S AMN = a − I B M A N K P a a 5a − = 8 0.25 Suy H D C VS CDNM 1 5a 3a = SH SCDNM = a = ( dvtt ) 3 24 Gọi P trung điểm CD Khi DM // (SBP) nên d ( DM ; SB ) = d ( DM ; ( SBP ) ) = d ( H ; ( SBP ) ) Trong (ABCD), CN cắt BP K Trong (SHK) hạ HI vuông góc với SK Chứng minh CN vuông góc với BP HI vuông góc với (SHK) Khi d ( H ; ( SBP ) ) = HI 0.25 0.25 Tính HC = VI (1.0 điểm) a HI = a , HK = a 5 0.25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức … Từ điều kiện suy ( x − y ) − ( x − y ) ≤ ⇔ < x − y ≤ ( x ≠ y ) Ta có 4xy ≥ − ( x − y ) nên 0.25 4 P = ( x − y ) + xy − ( x − y ) + ≥ ( x − y) − ( x − y) − 7( x − y) + x− y x− y 0.25 Xét f ( t ) = t − t − 7t + (0; 4] t Suy ra: f ' ( t ) = 3t − 2t − − ; f '( t ) = ⇔ t = t2 0.25 f ( t ) = f ( ) = −8 Tìm tmin ∈(0;4] 0.25 Vậy P = −8 x = 1; y = −1 VII (1.0 điểm) Viết phương trình đường tròn… Đường tròn (C1) có bán kính R1 = tâm O1 ( −2;1) , đường tròn O2 ( t ; − t ) · AO = SO1 AO2 B = ⇒ 2SO1 AO2 = SO1 AO2 B = O1 A.O2 A.sin O 0.5 · AO = 600 O · ⇒ Nên suy sin O1 AO2 = · O1 AO2 = 1200 · AO = 600 O O = 13 ⇒ ( t + ) + ( − t ) = 13 Trường hợp O 2 t = ⇔ 2t − 2t = ⇔ Chọn t = suy O2(1; 3) t = 0.25 Vậy (C2): ( x − 1) + ( y − 3) = 16 2 · AO = 1200 O O = 21 ⇒ ( t + ) + ( − t ) = 21 Trường hợp O 2 ⇔ 2t − 2t − = ⇔ t = + 17 − 17 + 17 ; Suy O2 ÷ ÷ 2 + 17 − 17 + y − Vậy (C2): x − ÷ ÷ ÷ ÷ = 16 2 0.25 VIII (1.0 điểm) Viết phương trình đường thẳng ∆ … uur Ta có nP ( 3; −2; −3) Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; + 2t) giao điểm ∆ d uuur uuu r uu r uuu r uur Khi AB ( −1 + 3t ; −2 − 2t ;5 + 2t ) , AB || ( P ) ⇒ AB ⊥ nP ⇔ AB.nP = ⇔ t = uuur Vậy B(8; −8;5) AB ( 5; −6;9 ) Vậy phương trình đường thẳng ( ∆ ) : IX (1.0 điểm) x −3 y + z + = = −6 0.25 0.5 0.25 Tìm mô đun số phức z… Đặt z = a + bi ( a, b ∈ R ) , có z + 12i = z tương đương với 0.25 a + 3a 2bi − 3ab − b 3i + 12i = a − bi a = a − 3ab = a ⇔ ⇔ (vì a dương) b = −1 3a b − b + 12 = −b Do z = − i ⇒ z = 0.5 0.25 ... (1) có ∆ = + 40i có bậc hai + 4i ⇒ (1) có nghiệm x = −4 − 2i 0,25 x = − 2i (2) có ∆ = − 40i có bậc hai − 4i ⇒ (2) có nghiệm x = −4 + 2i 0,25 Trường THPT Chuyên Trần Phú ĐỀ THI THỬ ĐẠI... CAO ĐẲNG NĂM 2013 – LẦN III Môn thi: TOÁN – Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + m (C) x+2 Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị hàm số m =... đun số phức z biết z + 12i = z z có phần thực dương Hết Họ tên thí sinh:………………………… Số báo danh: ……………………………… BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI D – NĂM 2013 Câu