www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp Phần I: giới thiệu đề tài: A.Lý chọn đề tài: Giải toán nghệ thuật thực hành;giống nh bơi lội,trợt tuyết,hay chơi đàn Vì để có kỹ giải tập phải qua trình luyện tập Tuy rằng,không phải giải tập có kỹ năng.Việc luyện tập có hiệu quả,nếu nh biết khéo léo khai thác từ tập sang loạt tập tơng tự,nhằm vận dụng tính chất đó,nhằm rèn luyện phơng pháp chứng minh Thực tiễn cho thấy học sinh thờng học toán không ý đến phơng pháp giải nên gặp toán có sử dụng phơng pháp tơng tự gặp nhiều lúng túng Vậy không tâm huyết với em học sinh,niềm đam mê dành cho môn toán học mong muốn nâng cao chất lợng đ tiến hành học tập tích luỹ soạn đề tài này. B.nhiệm vụ: +Cơ sở lý luận đề tài: việc khai thác tập toán có ý nghĩa hay không? +Vận dụng lý luận vào thực tiễn: khai thác ứng dụng từ toán lớp C.Phơng pháp nghiên cứu: +phơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết +phơng pháp tổng kết kinh nghiệm +phơng pháp thực nghiệm s phạm D.Giới hạn đề tài mục đích nghiên cứu: -Giới hạn đề tài khai thác ứng dụng từ toán lớp 8:áp dụng để dạy học sinh lớp 6,7,8 -Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi dỡng khối 6,7,8 làm tài liệu tự học cho em giúp em tìm cho phơng pháp học tập tích cực Phần 2: nội dung A.Cơ sở lý luận đề tài: Giải tập toán trình suy luận,nhằm khám phá quan hệ lôgic đ cho (giả thiết) với phải tìm (.kết luận).Nhng quy tắc suy luận,cũng nh phơng pháp chứng minh cha đợc dạy tờng minh.Do đó,học sinh thờng gặp nhiều khó khăn giải tập.Thực tiễn dạy học cho thấy:HS giỏi thờng đúc kết tri thức,phơng pháp cần thiết cho đờng kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ giải tập phải qua trình luyện tập.Tuy rằng,không phải giải nhiều tập có nhiều kĩ năng.Việc luyên tập có nhiều hiệu quả,nếu nh biết khéo léo khai thác từ tập sang loạt tập tơng tự,nhằm vận dụng Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp tính chất đó,nhằm rèn luyện phơng pháp chứng minh nàođó Quan sát đặc điểm toán,khái quát đặc điểm đề mục vô quan trọng,song quan trọng khái quát hớng suy nghĩ phơng pháp giải.Sự thực giải tập không giải vấn đề cụ thể mà giải đề loạt vấn đề đó.Do hớng suy nghĩ phơng pháp giải tập định có ý nghĩa chung đó.Nếu ta ý từ mà khái quát đợc hớng suy nghĩ cách giải vấn đề ta dùng để đạo giải vấn đề loại mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác nói rằng: Mỗi vấn đề mà giải trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải vấn đề khác.Do sau giải toán nên ý khai thác hớng suy nghĩ cách giải B.Vận dụng lý luận vào thực tiễn: xét toán 28 trang 21 sách tập toán tập 1: a.Chứng minh: 1 = x x + x( x + 1) (1) b.Đố: Đố em tính nhẩm đợc tổng sau: 1 1 + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) 1 x +1 x = -Hớng dẫn:a.Biến đổi vế trái thành vế phải : = x x + x( x + 1) x( x + 1) b.Xét đặc điểm đẳng thức câu a:VP có mẫu 1tích 2biểu thức cách 1;1 1 = Tơng tự với đặc điểm nh VP câu a;ta có: x x + x( x + 1) 1 1 1 + + + + + = x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 1 1 1 1 1 1 + + + + + = x x +1 x +1 x + x + x + x + x + x + x + x + x tử có -Cách phát biểu khác toán: a.Viết phân thức thành hiệu hai phân thức có tử bàng x( x + 1) b.Vận dụng kết câu a,h y rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + I.khai thác ứng dụng 28 tính toán;trong toán rút gọn;toán chứng minh đẳng thức: Từ(1),nếu thay x=1 ta có toán sau: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp Bài1:Tính: a + 1 1 + + + + + 3 4 5 99.100 Hớng dẫn: 1 1 1 = + + + + + + 2 3 4 5 99.100 1 1 1 1 1 99 + + + + + = = 2 3 4 99 100 100 100 1 + + + với n 3 n(n + 1) n = Hớng dẫn:tơng tự câu a;ta có kết là:1n +1 n +1 + Từ có toán tổng quát :b.Tính tổng + *)Nhận xét đặc điểm mẫu phân thức để từ ta có dạng toán khác:các hạng tử tổng phân thức có dạng:mẫu tích 2nhân tử cách đơn vị tử.Vậy mẫu tích 2nhân tử cách hay hay 4thì giải toán nh nào?chẳng hạn: Bài2:Tính tổng: a 1 1 + + + + 3 5 2005.2007 b 1 1 + + + + với n 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) Hớng dẫn:a.Viết hạng tử tổng dới dạng hiệu 2phân thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ); = ( ); = ( ); = ( ) Vậy 3 5 7 2005.2007 2005 2007 1 1 + + + + = 3 5 2005.2007 1 1 1 1 1 1003 ( + + + + ) = (1 )= 3 5 2005 2007 2007 2007 b.Phơng pháp làm tơng tự nh câu a 1 1 = ( ) nên ta có: (3n + 2)(3n + 5) 3n + 3n + 1 1 + + + + = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 1 1 1 1 1 1 n +1 ( + + + + )= ( )= 5 8 11 3n + 3n + 3n + 3n + Xét hạng tử tổng quát: +Tơng tự nh đề xuất loạt toán loại giải với phơng pháp *)Chú ý đến đặc điểm tử mẫu phân thức ta có toán tổng quát hơn:tử số(biểu thức) bất kỳ,mẫu tích số(biểu thức) cách giải toán nh nào?chẳng hạn: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp Bài3:Tính tổng: 5 5 + + + + + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n + + + b với a a1 = a a = a a = = a k +1 a k =b a1a a a a a a k a k +1 a Hớng dẫn:a.Phơng pháp làm:viết hạng tử tổng dới dạng hiệu(tơng 5 1 5 1 5 1 5 1 ) đó: = ( ); = ( ); = ( ); ; = ( 2 4 6 8 98.100 98 100 5 5 5 1 1 1 1 = ( + + + + )= + + + + + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 2 4 6 98 100 1 49 = ( )= 2 100 20 tự 2) b.Phơng pháp làm tơng tự câu a.Đây toán tổng quát rút từ toán trên.Vậy ta xét trờng hợp sau: +Trờng hợp 1:Nếu a a1 = a a = a a = = a k +1 a k =n Bài toán giải đợc dễ dàng theo cách phân tích đó: n 1 = a 1a a a n 1 = a k a k +1 a k a k +1 1 n n n n + + + = a1 a a a a a a k a k +1 a k a k +1 +Trờng hợp 2:Nếu a a1 = a a = a a = = a k +1 a k = b n n n n n n b b b b + + + Ta có = ( + + + + ) a1 a a a a a a k a k +1 b a1 a a a a a a k a k +1 Cộng vế ta có: Bài toán thực chất đ đa dạng 2;bài3.Do ta có kết n 1 ( ) b a k a k +1 -Nếu mẫu tích số tự nhiên cách sao?Từ ta có toán khó : 1 1 + + + + với 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1).n.(n + 1) 1 1 B= + + + + với n N ; n 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n 1)(2n + 1)(2n + 3) Bài4:Tính tổng :A= n1 ,n N Hớng dẫn: Phơng pháp giải tơng tự nh trên:viết hạng tử dới dạng hiệu Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp 1 = Do ta có: (n 1)n(n + 1) (n 1).n n.(n + 1) Nhận xét: 1 1 1 1 1 + + + )= ( ) 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1).n n.(n + 1) 2 n.(n + 1) 1 = Nhận xét: Do ta có: (2n 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 1 + + ) B= ( + + 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 ) = ( (2n + 1)(2n + 3) A= ( 1 b a *)Nhận xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: = với a 0; b a b a.b việc áp dụng ngợc công thức thực tế đợc sử dụng nhiều Chẳng hạn với toán sau: Bài 5: Cho biết a,b,c số thực khác nhau.Chứng minh: bc ca ab 2 + + = + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a Hớng dẫn:Đối với đề dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để chứng minh trình tính phức tạp.Có cách ngắn gọn không?Quan sát số hạng vế trái ta thấy tử số vừa hiệu thừa số mẫu số: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều gợi cho ta nhớ đến dùng ba 1 bc 1 = tức = Do đó: a.b a b (a b)(a c) a b a c bc ca ab 1 1 1 + + = + + = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b a c b c b a c a c b 1 1 1 2 + + + + + = + + (ĐPCM) ab ca bc ab ca bc ab bc ca *)Chú ý đến mẫu: ta thay x.(x+1)= x + x ; (x+1)(x+2)= x + 3x + ;.ta có ngợc công thức toán luyện cho học sinh kỹ phân tích đa thức thành nhân tử: Bài6:Rút gọn biêủ thức sau: 1 1 + + + + x + x x + 3x + x + 5x + x + 7x + 12 x + 9x + 20 1 1 b N= + + + x 5x + x 7x + 12 x 9x + 20 x 11x + 30 a M= Hớng dẫn:a.Để rút gọn M cần phân tích mẫu thành nhân tử Ta có: x +x = x(x+1); x + 3x + = x + x + 2x + = (x+1)(x+2); x + 5x + = x + 2x + 3x + = (x+2)(x+3); x + 7x + 12 = x + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4); x + 9x + 20 = x + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do đó: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp 1 1 + + + + (x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 1 1 1 1 1 = + + + + x x +1 x +1 x + x + x + x + x + x + x + 1 = = x x + x(x + 5) M= b.Tơng tự ta có: 1 1 + + + (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) 1 1 1 1 = + + + x x x x x x x x 1 = = x x (x 2)(x 6) N= Bài 7: Rút gọn: a a a a + + + + 2 x + a.x x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 7.a.x + 12a x + 4a a a a a b.H= + + + + + 2 x + ax x + 3ax + 2a x + 5ax + 6a x + 19ax + 90a x + 10a a.K= Hớng dẫn: a a a a + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 1 1 1 = + + + + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a = x a a a a b.H= + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a a + + + x + 5a (x + 9a)(x + 10a) x + 10a 1 1 1 1 H== + + + + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 1 + + + x + 5a x + 9a x + 10a x + 10a H= x 2x + 1 *)Xét biểu thức sau: (x + 1)2 x = 2x + nên ta có: = x (x + 1) x (x + 1) a.K= Do ta có toán sau: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp Bài8:Rút gọn biểu thức sau: A= 2x + + + + 2 (1.2) (2.3) [x(x + 1)]2 Hớng dẫn: 2x + = x (x + 1)2 1 1 A= + + 2 3 x(x + 2) =1= (x + 1) ( x + 1) -Nhận xét: 1 nên ta có: x (x + 1) 1 + + x (x + 1) II.khai thác ứng dụng 28 chứng minh bất đẳng thức: Bài9:Chứng minh với số tự nhiên n : 1 1 1 + + + + + < 2 (2n) 1 1 b.B = + + + + < (2 n + 1) a.A = Hớng dẫn: a.Nhận xét: 1 1 1 1 = < mà = nên ta có: (2 n ) n ( n 1).n (n 1).n n n 1 1 1 1 1 + + + + + = ( + + + + ) nên 2 (2n) n 1 1 + + + + ) hay A< (1 + 1.2 2.3 3.4 (n 1).n 1 1 1 1 ) hay A< (1 + + + + + 2 3 n n A= n A< (1 + ) hay A < 1 hay A< 4n (ĐPCM) b.Nhận xét: 1 1 1 1 < < < ( ) 2 2 (2n + 1) (2n + 1) (2n + 1) 2n.(2n + 2) (2n + 1) 2n 2n + nên ta có: 1 1 + + + + hay (2n + 1)2 1 1 + + + + B< hay 4.2 4.6 6.8 2n(2n + 2) B< Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền www.huongdanvn.com Khai thác ứng dụng từ toán lớp B< 1 1 1 1 ( + + + + ) hay 2 4 6 2n 2n + B< 1 1 1 ( )B < B< 2 2n + 4(n + 1) (ĐPCM) Bài10:Chứng minh với n nguyên,n>1 thì: 1 1 A= + + + + < n n Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội,tơng tự nh -Nhận xét: Với k=2;3;4;;n ta có: 1 1 < hay < (2) k (k 1).k k k k Lần lợt cho k=2;3;4;;n (2) cộng lại vế theo vế ta đợc: 1 1 1 1 1 A= + + + + + < + + + + n 2 n n A