Trần Duy Chức Lớp TĐH 6.1 5,Gọi u= (x,y) , f(u)=(x,y+1) v= (x’,y’) , f(v’) =(x’,y’ +1) xét u+v = (x +x’, y+y’) f (u+v) = ( x+x’ ,y+y’+2) f(u) + f(v’) Vậy ánh xạ cho tuyến tính 6, Gọi u= (x,y) , f(u)=(2x+y,x-y) v= (x’,y’) , f(v’) =(2x’+ y’,x’ –y’) xét u+v = (x +x’, y+y’) f (u+v) = ( 2x+2x’+y+y’ ,x+x’-y-y’) = (2x+y,x-y) + ( 2x’ +y’,x’ –y’)= f(u) + f(v’) ( thỏa mãn dk 1) Chọn u=(x,y) , chọn k=2 Xét f(ku) = f (2(x,y))= f(2x,2y)=(4x +2y,2x-2y)  f (2u) =2f(u) thỏa mã đk2 Vậy ánh xạ cho tuyến tính 6.2 2,Gọi u= (x,y,z) , f(u)=(0,0) v= (x’,y’,z’) , f(v’) =(0,0) xét u+v = (x +x’, y+y’, z+z’) f (u+v) = ( 0,0)=(0,0)+(0,0)= f(u) + f(v’) ( thỏa mãn dk 1) Xét f(ku) = f (k(x,y,z))= f(kx,ky,kz)=(0,0)=kf(u)  f (2u) =2f(u) thỏa mã đk2 Vậy ánh xạ cho tuyến tính 4, Gọi u= (x,y,z) , f(u)=(2x+y,3y-4z) v= (x’,y’,z’) , f(v’) =(2x’+y’,3y’-4z’) xét u+v = (x +x’, y+y’, z+z’) f (u+v) = ( 2(x+x’) + y+y’,3(y+y’)-4(z+z’)= (2x+y,3y-4z) + (2x’ +y’,3y’-4z’) = f(u) + f(v’) ( thỏa mãn dk 1) Chọn k=2 , Xét f(ku) =f(2u)=f(2x,2y,2z) =(4x+2y,6y-8z) f(2(u)) = 2f(u) thỏa mã đk2 Vậy ánh xạ cho tuyến tính 6.7 a , Ma trận ánh xạ T b, = A = c, , = A= 6.10 1  1 −7    A= 1  1 −7    = 1  1 −7    =  T(x,y,z) =(x+3y+4z,x-7z) A, hệ =   2x-y =-1 có nghiêm y tùy ý, x=(1+y)2 Nên (1,-4) Im(T) B, hệ =  => hệ vô nghiệm nên (5,0) ∉ Im(T) C, hệ =  Có nghiệm y tùy ý ,x =(-3+y)/2 nên (-3,12) Im(T) 2, Nếu = (x,y) có ảnh (0,0) nên (x,y) Nếu đẳng thức (x,y) có ảnh (0,0) nên (x,y) A, Ta có = nên (5,10) B, = nên (3,2) ∉ C, = nên (1,1) ∉ 6.11 1, Ker(T) ={ p P2 , T(p)=0 P3} T(p) =xp Nếu xp=0 p Nêu xp p A, p= x2 => xp = x3 => x2 ∉ ∉ B, p=0 => xp =0x =0 => C, p= 1+x => xp= x(1+x) => 1+x ∉ ∉ 2, Im(T)={q P3 : P2 P2 để T(p)= q} Vì T(p) := xp nên , pt xp=q có nghiệm p q Im(T), pt vô nghiệm q ∉ Im(T) Vậy có A, xq= x+x2 có nghiệm q=1+ x nên x+x2 Im(T) B, xq=1 + x , nghiệm q nên (1+x) C, xq = 3- x2 nghiệm q nên 3- x ∉ Im(T) ∉ Im(T) 6.17 Ta có dim(ker(T)) = dim(V) – rank(T) A, dim(ker(T)) = – = B, dim(ker(T))= – =4 C, dim(ker(T)) = – = D, dim(ker(T)) = – = 6.19 Im(T) = KG sinh vecto cột cảu ma trận A T 1 −13  5 −4    7  1 0  5        1, A= Có cột độc lập tuyến tính => dim (Im(T)) =2 Dim(Ker(T)) 3-2=1 1  5    7  Một sở Im(T) vecto 0 1    1  θ Để tìm sở cho Ker(T) , t xét hệ Ax= 1 −1  5   −4  BĐSC 7  u uuuuuuutheo uuuuuuhàng uuuur 0 1 −1 0   11 −19  0 0  Ta có hpt  x3 6.34 Giả sử ma trận B đồng dạng với ma trận A tồn tại ma trận B không suy biến cấp với A B để có B = p-1AP Ta suy B2 = (P-1AP)2 = (P-1AP) (P-1AP)= P-1A(PP-1)AP=P-1AAP=P-1A2P Do B2 đồng dạng với A2