UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS Năm học 2016 -2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ( Đề gồm có 01 trang) Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức P=  x +1 x2 + x − x2  : + +  ÷ x2 − 2x +  x x −1 x2 − x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P = −1 c) Tìm giá trị nhỏ P x > Bài 2: (4.0 điểm) 2 7(x − 9)  x+3  x −3  a) Giải phương trình:  ÷ +  x + ÷ = x2 −  x−2   b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x3 + y + z − xyz Bài 3: (4.0 điểm) 5 a) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a + b + c − ( a + b + c ) chia hết cho 30 b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x + y + 3xy + 3x + y = 15 Bài 4: (6.0 điểm) Cho tam giác ABC phân giác AD Trên nửa phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx · · cho BCX = BAC Cx cắt AD E ; I trung điểm DE Chứng minh : ΔABD a) đồng dạng với ΔCED b) AE2 > AB.AC c) 4AB.AC = 4AI2 – DE2 d) Trung trực BC qua E Bài 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn : lớn biểu thức Q = abc 1 + + = Tìm giá trị 1+ a 1+ b 1+ c - Họ tên thí sinh: ………………………………… ; Số báo danh …………… Chú ý: Cán coi giao lưu không giải thích thêm http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN LỚP ( Đáp án gồm có 04 trang Câu Nội dung ≠ ≠ Bài Câu a) ĐKXĐ x 0; x x ( x + 1) x +1 P= : (4đ) ( x − 1) x( x − 1) = Điểm 0,25 0,5 x ( x + 1) x( x − 1) × ( x − 1) x + 0,75 x2 = x −1 Câu b) P = −1 x2 −1 ⇔ P= = với x −1 x ∈ ĐKXĐ - HS tìm x = 1/2 Vậy P = −1 ⇔x= (TMĐK) 2 0,25 0,5 0,25 Câu c) x2 x − + ( x − 1) ( x + 1) + 1 = = = x +1+ x −1 x −1 x −1 x −1 1 P = x +1+ = x −1+ +2 x −1 x −1 Vì x > nên x − > > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x −1 1 ≥ ( x − 1) × =2 dương x – ta có: x − + x −1 x −1 x −1 Dấu “ = “ xẩy x – = x −1 P=  ( x – 1)2 =  x – = ( x – > )  x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P x = 2 Bài 7(x − 9)  x +3  x −3  + 6 = 2 Câu a)  x−2 ÷ x+2÷ x −4     (4đ) Điều kiện: x ≠ ±2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5 0,25 0,25 0,25 x +3 x −3 = u, = v , phương trình cho trở thành x−2 x+2 u + 6v = 7uv Đặt ⇔ u − uv + 6v − 6uv = ⇔ u(u − v) − 6v(u − v) = ⇔ (u − v)(u − 6v) = 0,75 ⇔ u = v u = 6v - Xét u = v ta có: x +3 x −3 = x−2 x+2 ⇒ x + 3x + 2x + = x − 3x − 2x + ⇔ 10x = ⇔ x = (TMĐK) x +3 x −3 = - Xét u = 6v ta có: x−2 x+2 0,5 ⇒ x + 3x + 2x + = 6x − 18x − 12x + 36 ⇔ 5x − 35x + 30 = ⇔ x − 7x + = ⇔ x − x − 6x + = ⇔ x(x − 1) − 6(x − 1) = ⇔ (x − 1)(x − 6) = ⇔ x = (TMĐK) x = (TMĐK) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = { 0;1;6} Câu b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Học sinh phân tích A = x + y + z − 3xyz 3 = (x+y) - 3xy(x+y) +z -3xyz = (x+y+z)3 - 3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z) = (x+y+z)[(x+y+z)2-3(x+y)z-3xy] = (x+y+z)(x2+y2+z2 -xy -yz -zx) Bài Câu a) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a + b5 + c5 − ( a + b + c ) chia hết cho 30 (4đ) - Học sinh biến đổi a5 - a = (a -2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) - Học sinh lập luận a5 - a chia hết cho 30 - Tương tự: b5 - b c5 -c chia hết cho 30 Kết luận Câu b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x + y + 3xy + 3x + y = 15 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 - Học sinh biến dạng (x +y +2)(x+2y+1) = 17 - HS lập luận (x +y +2) (x+2y+1) biểu thức nguyên xét bốn trường hợp HS tìm bốn nghiệm (x;y) = (30;-15); (-18;17); (12;-15); (-36;17) 0,75 0,25 1,0 Bài (6đ) a) Xét ∆ ABD ∆ CED có: 1· · · BAD = BCE (= BAC ) ·ADB = CDE · (đối đỉnh)=> ∆ ABD : ∆ CED (g -g) 1,5 b) Xét ∆ ABD ∆ AEC có: 1· · · BAD = EAC (= BAC ) ·ABD = ·AEC ( ∆ ABD = ∆ CED) => ∆ ABD : ∆ AEC (g-g) AB AE = => => AB.AC = AD.AE < AE2 (AD < AE) AD AC Vậy AE2 > AB.AC http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1,0 0,5 0,5 c) Ta có: 4AI2 - DE2 = 4AI2 - 4DI2 = 4(AI - DI)(AI +DI) = 4AD(AI + IE) = 4AD.AE Mà AD.AE = AB.AC (câu b) => 4AB.AC = 4AI2 - DE2 d) Chứng minh trung trực BC qua E +) ∆ ABE : ∆ ADC AB AD · · = ; ( AD.AE = AB.AC) BAD = DAC AE AC => ∆ ABE : ∆ ADC (c.g.c) => ·AEB = ·ACB 0,5 0,5 0,5 + ) ∆ BDE; ∆ ADC · BDE = ·ADC (đối đỉnh) · · BED = ACD => ∆ BDE : ∆ ADC (g-g) · · · => DBE = DAC = BCE => ∆ BEC cân E => Trung trực BC qua E Bài (2đ) 1 = 1− +1− 1+ a 1+ b 1+ c b c bc + ≥ = 1+ b 1+ c (1 + b)(1 + c) 0,5 0,5 Ta có: 0,5 Tương tự: ac ab ≥2 ≥2 ; 1+ b (1 + a)(1 + c ) + c (1 + a )(1 + b) a 2b 2c ≥8 (1 + a )(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + b)(1 + c ) abc ≥8 (1 + a )(1 + b)(1 + c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) => abc ≤ a = b = c  Dấu "=" xảy  1 1 + a = + b = + c = a = b = c = 1 Vậy giá trị lớn Q a = b = c = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,75 0,5 0,25 ...UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7 ,8 NĂM HỌC 2016- 2017 MÔN: TOÁN LỚP ( Đáp án gồm có 04 trang Câu Nội... Tương tự: ac ab ≥2 ≥2 ; 1+ b (1 + a)(1 + c ) + c (1 + a )(1 + b) a 2b 2c 8 (1 + a )(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + b)(1 + c ) abc 8 (1 + a )(1 + b)(1 + c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) => abc ≤ a = b = c ... − 6) = ⇔ x = (TMĐK) x = (TMĐK) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = { 0;1;6} Câu b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Học sinh phân tích A = x + y + z − 3xyz 3 = (x+y) - 3xy(x+y) +z -3xyz