Đang tải... (xem toàn văn)
A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Lời nói đầu: Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS. Tôi nhận thấy, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là môn Khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán. Nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải Toán và phát hiện những học sinh có năng lực về Toán. Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải Toán. Chuẩn bị cho việc vận dụng các kiến thức Toán vào thực tiễn công tác sau này. Số bài toán thì nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phân tích bài toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài. Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thông nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân. Với thực tế và yêu cầu chung đó việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình Toán THCS” Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm tốn chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán. Xin trân trọng cảm ơn
Sáng kiến kinh nghiệm A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Lời nói đầu: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường THCS Tơi nhận thấy, phát bồi dưỡng nhân tài vấn đề quan trọng dạy học, mơn Khoa học tự nhiên đặc biệt mơn Tốn Nhằm phát huy lực tư học sinh q trình giải Tốn phát học sinh có lực Tốn Ai thấy rằng: học thuộc học hồn tồn khơng đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức rèn luyện kĩ việc giải Tốn Chuẩn bị cho việc vận dụng kiến thức Tốn vào thực tiễn cơng tác sau Số tốn nhiều khơng kể xiết, mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, cần rèn luyện óc phân tích tốn nắm vững tính đặc thù dạng Hơn việc đổi phương pháp dạy học trường Phổ thơng nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng u cầu xã hội thời kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải trọng đến việc thiết kế hướng dẫn học sinh thực dạng tập phát triển tư rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo hội điều kiện cho học sinh tham gia cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào q trình khám phá lĩnh hội nội dung học, ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm kĩ có học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động thái độ tự tin học tập học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm thân Với thực tế u cầu chung việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng giáo viên cần thiết Trong tài liệu tơi xin giới thiệu đề tài “Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) chương trình Tốn THCS” Trong q trình thực đề tài với kiến thức kinh nghiệm khiêm tốn nội dung sáng kiến chưa phong phú khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp chân thành đồng nghiệp để sáng kiến hồn thiện giúp ích cho việc dạy học tốn Xin trân trọng cảm ơn! 2.Lý chọn đề tài: Từ sở nhận thức để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập giáo viên nhiều học sinh q trình bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp giải dạng tốn khó xây dựng Một dạng Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm tốn là: phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tốn Trung học sở Tuy nhiên việc biên soạn tốn sách chưa hồn chỉnh hạn chế phương pháp giải Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có ý nghĩa quan trọng chương trình tốn phổ thơng Chun đề trình bày số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp quan trọng đưa tổng bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc … Do q trình dạy học thân ln cố gắng tìm tòi nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chương trình Tốn THCS” II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7; 8; bậc THCS Phạm vi nghiên cứu: +Các tiết dạy lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 6; 7; 8; qua năm +Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xun, loại sách tham khảo +Các tiết sinh hoạt chun đề tổ chun mơn III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khi viết sáng kiến kinh nghiệm tơi ln cố gắng hệ thống, xây dựng đọng đầy đủ phương pháp giải, phát triển tốn nhằm nâng cao lực tự học học sinh, ứng dụng kết tốn vào giải số tốn thực tế khác Từ rèn luyện cho học sinh khả tư duy, phân tích tốn, tránh sai lầm, ngộ nhận suy luận logic, phát bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn Hơn kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có tốn tìm cực trị đại số nên tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu học sinh làm cho em u thích mơn Tốn Nghiên cứu “Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chương trình Tốn THCS” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần chứng minh đẳng thức rút gọn biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Nghiên cứu vấn đề giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành cơng tìm GTLN, GTNN biểu thức IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tình hình dạy học học vấn đề nhà trường Hệ thống hóa kiến thức phương pháp giải tốn tìm GTLN, GTNN Đưa kó cần thiết biến đổi tìm GTLN, GTNN Tạo đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo việc dạy học tốn Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp tổng kết kinh nghiệm VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng tốn Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận: -Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng phát triển học sinh có lực Tốn, từ xây dựng cho học sinh kĩ nhận dạng giải Tốn -Thúc đẩy việc tìm hiểu mở rộng kiến thức thêm giáo viên học sinh -Xây dựng tài liệu hồn chỉnh số dạng Tốn khó cấp học THCS -Với nội dung đề tài học sinh tự học, tự nghiên cứu nội dung khơng giới hạn cấp THCS mà vận dụng nhiều cấp học cao Cơ sở thực tiễn: -Thực tế chương trình Tốn THCS chưa xây dựng hồn chỉnh nội dung phương pháp số dạng Tốn khó, thường mang tính chất giới thiệu chưa sâu -Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm lúng túng tài liệu nghiên cứu -Việc tìm hiểu giáo viên số đề tài chưa tập trung tài liệu cụ thể, làm nhiều thời gian -Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ số dạng Tốn để xây dựng chun đề Tốn học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy học tốt -Việc viết sáng kiến kinh nghiệm định hướng ngành II MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI Định nghĩa giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x) D Kí hiệu M=max f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn + Với x thuộc D f(x) ≤ M, M số + Tồn xo thuộc D cho f(xo) = M Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ f(x) D, kí hiệu m = f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn: + Với x thuộc D f(x) ≥ m, m số + Tồn xo thuộc D cho f(xo) = m Mở rộng khái niệm biểu thức f(x,y…), xác định miền D sau: Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nói M giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Max f = M hai điều kiện sau thõa mãn : Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm - Với x , y … để f(x ; y …) xác định f(x ; y …) ≤ M (1) - Tồn xo , yo … cho f(xo ; yo … ) = M (M số) (2) Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Min f = m hai điều kiện sau thõa mãn : - Với x , y … để f(x ; y …) xác định f(x ; y …) ≥ m (1)’ - Tồn xo , yo … cho f(xo ; yo … ) = m (m số) (2)’ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1)’ chưa thể nói cực trị biểu thức Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Mặc dù ta có A ≥ chưa thể kết luận Min A = khơng tồn giá trị x để A = Cách giải sau : A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + ≥ A = ⇔ x – = ⇔ x = Vậy Min A = x = Đònh nghóa tính chất giá trò tuyệt đối số a.Định nghĩa: a = a a ≥ a = - a a < b.Tính chất: 1) a ≥ 2) a+b ≤ a + b 3) a − b ≥ a - b ( đẳng thức xảy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ ) 4) 5) | a | + | b | ≥ | a + b |, | a | – | b | ≥ | a – b | 6) đẳng thức xảy ab > a b + ≥ với a > 0, b> b a Định lý dấu nhị thức bậc Nhị thức ax + b (a ≠ 0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức x -b/a ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a Việc xét dấu nhị thức bậc có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích cách xét dấu nhân tử tích Nếu số nhân tử âm mà chẳn tích dương, ngược lại tích âm Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét khoảng giá trị biến Các đẳng thức đáng nhớ, bất đẳng thức học, quy tắc so sánh phân số… Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng mệnh đề tương đương: * A nhỏ ⇔ – A lớn * B lớn ⇔ B2 lớn (B > 0) * C nhỏ ⇔ lớn (C > 0) C Trong đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau cho ta GTLN tích, GTNN tổng a) Nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số nhau: Chứng minh: Nếu a, b có a + b = k ( k số ) (a + b) ≥ 4ab ta có a.b ≤ k2 k2 max(a.b) = a = b 4 b)Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số nhau: Chứng minh: Nếu hai số dương a b có a.b = h (hằng số) (a + b) nhỏ (a + b)2 nhỏ Mà (a + b)2 ≥ 4ab ⇒ Min (a + b)2 = 4h, (khi a = b) ⇒ Min (a + b) = h , (khi a = b) III KHẢO SÁT BAN ĐẦU: Đơn vị Khối 8;9 Tổng số Tỷ số% 240 HS 100% Hứng thú với dạng tốn 50 20,8% Biết cách tiếp cận dạng tốn 20 8,3% IV THỰC TRẠNG VÀ NGUN NHÂN: Thực trạng: - Qua kết khảo sát chất lượng ban đầu phản ánh học sinh khơng hứng thú với dạng tốn đặc biệt học sinh biết tiếp cận dạng tốn cách thực - Chất lượng làm học sinh thấp - Tiềm học sinh mơn tốn chưa khai thác hết - Chất lượng học sinh giỏi cấp trường năm gần có tăng số lượng chất lượng chưa tương xứng với tiềm thực tế Ngun nhân: Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm - Học sinh chưa nắm vững kiến thức kĩ giải tập tìm GTLN,GTNN nên tiến hành bước giải thường mắc phải sai lầm khơng có tính sáng tạo cách giải - Đây dạng tốn khó, chủ yếu dạng tốn nâng cao dành cho học sinh giỏi - Trong sách giáo khoa sách tập có dạng tốn Vì lớp có hội tiếp cận dạng tốn này, thường phổ biến cho số em đội tuyển học sinh giỏi học sinh lớp chọn -Chưa có hệ thống hồn chỉnh đề tài phương pháp giải dạng tốn khó phục vụ cho việc dạy học đăc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Học sinh khơng có tài liệu để tự học, tự nghiên cứu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ IV GIẢI PHÁP CHỦ YẾU: Thực tế q trình giải tốn nói chung dạng tốn nói riêng khơng có đường thực cụ thể mà việc giải tốn đặc biệt tốn khó đòi hỏi người dạy, người học phải tìm tòi sáng tạo cho phương pháp tiếp cận tốn dựa sở học Từ tìm quy luật cách giải cho dạng tốn Vì đề tài tơi xin đưa phương pháp tìm GTLN, GTNN Dạng 1: Tìm GTLN GTNN biểu thức đại số ( bật dạng biểu thức cho dạng f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c số, a ≠ ).) Để giải dạng tốn ta hướng dẫn học sinh đưa biểu thức cho dạng: f(x)=k(X)2 + C C số từ ta tìm GTLN GTNN Đây dạng tốn đơn giản loại tốn này(dạng có đề cập sách tập), để giải học sinh thường sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử thêm bớt hạng tử để đưa dạng (a + b) + c (c số) Nhưng học sinh trung bình thực gặp nhiều khó khăn, đa thức có hệ số khơng ngun hệ số lớn nhiều em học sinh cảm thất khó khăn Nên tơi đưa giải pháp cung cấp cho em tốn tổng qt, từ em giải dạng tốn cách đơn giản kể học sinh trung bình 1.1 Bài tốn tổng qt: Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm Cho tam thức: P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c số, a ≠ ) a) Tìm GTLN, GTNN P a > b) Tìm GTLN, GTNN P a < Giải: b b2 b2 Ta có: P(x) = ax + bx + c = a ( x + x + ) +c= a 4a 4a 2 b − (b − 4ac ) = a (x + ) + 2a 4a − (b − 4ac ) Đặt =k 4a a) Nếu a > b b ) ≥ ⇒ a (x + ) ≥0 2a 2a −b Do đó: P(x) ≥ k ⇒ MinP = k ⇔ x = khơng có GTLN 2a Vì (x + b) Nếu a < b b ) ≥ ⇒ a (x + ) ≤0 2a 2a −b Do đó: P(x) ≤ k ⇒ MaxP = k ⇔ x = khơng có GTNN 2a Vì (x + 1.2 Ví dụ: Bài tốn 1: Tìm GTNN A = x2 – 6x + Giải: Ta có: A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – ≥ - Nên minA = - x – = hay x = Vậy minA = -1 x = Bài tốn 2: Tìm GTLN B = - 3x2 + 2x + Giải: 1 16 16 ≤ x + ) + + = - 3(x - )2 + 3 3 16 1 Nên maxB = x - = hay x = 3 16 Vậy maxB = x = 3 Ta có:B = - 3x2 + 2x + = - (x2 - Với dạng tốn ta hướng dẫn học sinh phân tích để xuất đẳng thức đối tượng học sinh trung bình ta vận Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm dụng tốn tổng qt học sinh thực dễ dàng từ em tự tin thân từ em có hứng thú dạng tốn Khi em làm quen dạng ta tiếp tục giới thiệu em dạng thực chất em tiến hành giống dạng Dạng 2: Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN có dạng phân thức: 2.1 Phân thức có tử số mẩu tam thức bậc hai: Đối với dạng tốn ta cần ý đến biểu thức mẩu mà biểu thức mẩu biểu thức học sinh tiếp cận dạng Bài tốn 1: Tìm GTNN C = −5 2x − 8x + Giải: −5 −5 Ta có: C = 2x − 8x + = x − 2 − ( ) −5 Ta thấy ( x − ) − ≥ −7 ⇒ x − 2 − ≥ ( ) Vậy MinD = x=2 Bài tốn 2: Tìm GTLN D = 9x − 6x + Giải: 3 Ta có: D = 9x − 6x + = 3x − + ( ) 3 Ta thấy ( 3x − 1) + ≥ 3x − + ≤ (theo quy tắc so sánh hai phân ( ) thức tử, tử mẩu dương) Do D ≤ Vậy MaxD = x= Chú ý: Sẽ khơng xác lập luận D có tử số nên D lớn mẩu nhỏ Lập luận dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức x −3 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm Mẩu thức x2 – có GTNN -3 x = với x = 1 =− x −3 khơng phải giá trị lớn phân thức ( chẳng hạn x = lớn − 2.2 = 1, x −3 ) Phân thức có tử mẩu chứa biến: Bài tốn 1: Tìm GTLN biểu thức D = 3x + 6x + 10 x + 2x+3 Lời giải: 3x + 6x + 10 ( x + 2x+3) + 1 = = 3+ = 3+ Ta có: D = 2 x + 2x+3 x + 2x+3 x + 2x+3 ( x+1) + (bài tốn lại quay dạng trên) 1 1 Vì x+1 + ≤ nên + x+1 + ≤ + = ( ) ( ) Vậy MaxD = x= -1 Bài tốn 2: Tìm GTNN biểu thức E = Giải: 3x − 8x + x − 2x+1 3x − 8x + ( x − 2x+1) − ( x − 1) + = =3− + Ta có E = 2 x − 2x+1 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ⇒ E = − y + y = ( y − 1) + ≥ Đặt y = ( x − 1) =1⇔ x = x −1 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài tốn dạng cần cung cấp cho học sinh số kiến thức sau: Vậy MinE = y=1 ⇔ 1) a ≥ với giá trị a 2) a+b ≤ a + b 3) a − b ≥ a - b ( dấu xảy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ ) (dấu xảy ab > 0.) 4) a − b = b + a 3.1: Dạng: f(x) = M - A(x) 10 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm Cách giải: Vì A(x) ≥ nên f(x) ≤ M Do maxf = M Khi A(x) = Bài tốn : Với giá trị x biểu thức A = 100 - x + có giá trị lớn Tìm GTLN Giải: Với x ta có x + ≥ nên 100 - x + ≤ 100 Do maxA = 100 x + = hay x = - Vậy maxA = 100 x= -5 3.2 Dạng f(x) = A(x) + m Cách giải: Vì A(x) nên f(x) ≥ m Do minf = m Khi A(x) = Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự Bài tốn : Tìm GTNN biểu thức B = 3x − - Giải: Với x, ta có 3x − ≥ Suy 3x − ≥ nên 3x − - ≥ - Do B = - 3x – = ⇔ x = Vậy minB = - x=2 3.2 Dạng f(x) = mx − a + mx − b Cách giải: Áp dụng tính chất ta có mx − a + mx − b = mx − a + b − mx ≥ mx − a + b − mx = b − a Suy minf = b − a (mx – a) (b – mx) ≥ Bài tốn : Với giá trị x, y biểu thức C = x − 100 + y + 20 - có giá trị nhỏ Tìm GTNN Giải: Với x, y ta có x − 100 ≥ 0, y + 20 ≥ Nên x − 100 + y + 20 - ≥ - Do C = - x = 100, y = - 20 Vậy minC = - x = 100, y = -2 Bài tốn 2: Tìm x ∈ Z để biểu thức D = x − + x − đạt GTNN Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS 11 Sáng kiến kinh nghiệm Giải: Ta có D = x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy (x-2) (8-x) ≥ Lập bảng xét dấu: x x-2 + 8-x + + (x-2)(8-x) + + - Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy minD = ≤ x ≤ Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn biểu thức N = x − 2016 − x + 2015 Giải: Ta có N = x − 2016 − x + 2015 ≤ x − 2016 − x − 2015 = 4031 Vậy maxN = 4031 x ≤ - 2015 Bài tốn 4: Tìm giá trị lớn biểu thức E = ( x − 2015) + ( x − 2016 ) Giải: Ta có E= ( x − 2015) + ( x − 2016 ) = x − 2015 + x − 2016 = x − 2015 + 2016 − x ≥ x − 2015 − x + 2016 = ⇒ MinE = 2015 ≤ x ≤ 2016 Bài tốn 5: Tìm giá trị lớn biểu thức D = x − + x − + x − + x − Giải: Ta có x − + x − ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy ( x − 1) ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Và x − + x − ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy ( x − ) ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Do D ≥3+1=4 Dấu “=” xảy ≤ x ≤ Vậy minD = ≤ x ≤ 12 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm M ( x) 3.3 Dạng f(x) = A( x) + b , f(x) = A(x) + B(x) Cách giải: Ta nên xét khoảng giá trị biến, sau so sánh giá trị biểu thức khoản để tìm GTLN, GTNN Bài tốn : Tìm GTLN biểu thức C = x+2 x≠0 x Với Giải: x+2 ≤ =-1+ −x −x −1+ Nếu x = -1 C = = 1 x+2 2 Nếu x ≥ C = = + Ta thấy C lớn ⇔ lớn Vì x x x Nếu x ≥ - 2, C = x ≥ nên lớn ⇔ x nhỏ ⇔ x = 1, C = x So sánh trường hợp suy GTLN C = x = Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức đa thức nhiều biến Dạng nhìn thấy đề học sinh thường thấy khó khăn đa thức có nhiều biến khơng biết tiến hành Do giáo viên cần hướng dẫn học 2 sinh cách chọn biến vận dụng đẳng thức ( a + b ) ( a − b ) Bài tốn tổng qt: f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b ≠ ) Ta có f(x) = ax + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f = a x + (cy + d ) x + a = …… = a x + 1 (cy + d ) (cy + d ) + by + ey + f 4a 4a (cy + d ) + m( y + q) + p 2a Suy GTNN, GTLN f(x,y) ( x = − (cy + d ) y = - q.) Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 Giải: C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS 13 Sáng kiến kinh nghiệm = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + – y)2 + (y + 1)2 + 10 ≥ 10 x + − y = x = −3 ⇔ Nên minC = 10 y +1 = y = −1 Vậy minC = 10 x = -3, y = -1 Bài tốn 2: Tìm GTNN biểu thức B = x + y + 3z − 2xy + 2xz − 2x − y − 8z + 2016 Giải: B = x + y + 3z − 2xy + 2xz − 2x − y − 8z + 2016 = x − 2xy + 2xz − 2x + y − y + 3z − 8z + 2016 2 = x − 2x ( y − z + 1) + ( y − z + 1) + y − y + 3z − 8z + 2016 − ( y − z + 1) = x − ( y − z + 1) + y − y + 3z − 8z + 2016 − y − z − + yz − y + z = x − ( y − z + 1) + y − y + 2z − 6z + 2015 2 2 = x − ( y − z + 1) + y − y ( − z ) + ( − z ) + 2z − 6z + 2015 − ( − z ) = x − ( y − z + 1) + y − ( − z ) + 2z − 6z + 2015 − − z + 4z 2 = x − ( y − z + 1) + y − ( − z ) + z − 2z + + 2010 2 = x − ( y − z + 1) + y − ( − z ) + ( z − 1) + 2010 ≥ 2010 Vậy minB = 2010 x = y = z = 2 Bài tốn 3: Tìm GTNN biểu thức C = 5x + y + 8xy − 2x − y + 2016 Ta phát thấy tốn chưa xuất đại lượng bình phương ta phải tạo đại lượng se quay vè tốn tốn 2 Thật vây 5C = ( 5x ) + ( y ) + 40xy − 10x − 10 y + 10080 2 2 = ( 5x ) + 10x ( y − 1) + ( y − 1) + ( y ) − 10 y + 10080 − ( y − 1) = [ 5x + y − 1] + 25 y − 10 y + 10080 − 16 y + y − = [ 5x + y − 1] + y − y + 10079 2 1 = [ 5x + y − 1] + y − y + ÷+ 10079 − 81 81 14 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm 90710 = [ 5x + y − 1] + y − ÷ + 9 90710 18142 ⇒ 5C ≥ ⇒C ≥ 9 18142 x=y= Vậy C = 9 Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN biểu thức thỏa mãn điều kiện Dạng ta nên cho học sinh tiếp cận tốn từ giả thiết cho tốn Bài tốn 1:Tìm GTNN biểu thức A = x3 + y + x + y x, y thỏa mãn điều kiện x+y = Giải: A = x3 + y + x + y 2 Do ( x + y ) = x + y + 3xy ( x + y ) ⇔ x + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) 3 ( x + y ) = x + y + 2xy ⇔ x + y = ( x + y ) − 2xy Thay (*) (*) vào A ta có: A = x3 + y + x + y 2 (*) (**) = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) + ( x + y ) − 2xy = 13 − 3xy.1 + 12 − 2xy = − 5xy = − 5x ( − x ) = − 5x+5x 1 = x − x + ÷+ 4 1 3 = 5 x − ÷ + ≥ 2 4 1 =0⇔ x= 2 Vậy A = x = Dấu “=” xảy x − Bài tốn 2:Tìm GTNN biểu thức B = xy + yz + zx x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z = Giải: Ta có B = xy + yz + zx = xy + z ( y + x ) = xy + 3 − ( y + x ) ( y + x ) = xy + ( x + y ) − ( x + y ) = xy + 3x + y − x − y − 2xy Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS 15 Sáng kiến kinh nghiệm = − x − xy + 3x − y + y 2 y − 3) y − 3) ( ( = − x + x ( y − 3) + − y + 3y + 4 y − −3 ( y − 1) = − x − + +3≤3 Vậy maxB = x = y = z =1 2 Chú ý: Khi giải tìm GTLN, GTNN f(x,y…) ta cần biến đổi f(x,y…) ≤ M f(x,y…) ≥ M với M số với giá trị biến trường hợp xẩy đẳng thức Ví dụ ta xét tốn tìm GTNN biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = Lời giải sai: ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy Do A nhỏ ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y = Khi minA = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: đáp số khơng sai lập luận mắc sai lầm, ta chứng minh f(x,y) ≥ g(x,y) chưa chứng minh f(x,y) ≥ M với M số Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức x ≥ 4x – suy x2 nhỏ ⇔ x2 = 4x – ⇔ (x – 2)2 = 0, min(x2 )= ⇔ x = 2, dễ thấy kết phải min(x2 )= ⇔ x = Cách giải đúng: x + y = suy x2 + 2xy + y2 = 16 (1) 2 Ta lại có (x – y) suy x – 2xy + y ≥ (2) Từ (1) (2) suy 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ Nên minA = x=y=2 16 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm V MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Dạng 1: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau: a) 3x2 – 5x – b) 2x2 + 4y2 – 4xy – 4x – 4y + 2007 c) 12(x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) d) (x + 2)2 + (y + ) – 10 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau: a) - 2x2 + x – b) - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – e) x2 + 2y2 – 2xy – 4y + f) (x – 2) (x – 5) (x2 – 7x + 10) g) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + h) (2x + 4 ) –1 d) - x2 – y2 + xy + 2x + 2y e) - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – 2 4 f) - x − + 15 9 c) 11 – 10x – x Dạng 2: Bài Tìm GTLN biểu thức sau: a) 4x + x2 + b) x2 + x +1 x2 − x +1 c) x + x +1 d) x4 +1 x + 2x + Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) x − x + 2004 x2 f) 5x − x + x2 , x≠0 b) x2 + x +1 x2 − x +1 g) 6x − 2x + x2 , x≠0 c) x + 2x + x2 + h) x − 4x + x2 d) x4 + x2 + x +1 x − x3 + 2x − x + m) e) 2002 x − x + x2 n) , x≠0 , x≠0 x − x + 1995 , x≠0 x2 x + 2x + x − 4x + Dạng 3: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: a) 3x − - b) x + c) 15 19 −x + d) x − + x − e) x2 + y − - f) x − g) 2009 2010 + x+ 2010 2011 h) x − + x − + x − Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS 17 Sáng kiến kinh nghiệm Bài 2: Tìm GTLN cácbiểu thức a) - x − e) x + b) x − + c) - x − d) f) - 10 - x− −x g) - x − 3 2011 - x− 2010 h) x − + -x Dạng 4: d) - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – e) - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – Dạng 5: Bài 1.Cho x + 2y = Tìm GTNN x2 + 2y2 Bài 2.Cho 4x – 3y = Tìm GTNN 2x2 + 5y2 Bài 3.Cho a + b = Tìm GTNN a4 + b4 Bài 4.Cho a + b = Tìm GTNN a3 + b3 Bài 5.Cho x.y = Tìm GTNN x + y Bài 6.Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 Biết x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 = Bài 7.Tìm GTLN A = a2 + b2 + c2 Biết – ≤ a, b, c ≤ 3, a + b +c = Sau đưa tốn hướng dẫn cho học sinh, tơi khảo sát thu lại kết sau: Đơn vị Khối 8;9 Hứng thú với dạng Biết cách tiếp tốn cận dạng tốn Tổng số 240 HS 110 80 Tỷ số% 100% 45,8% 33,3% Qua bảng bảng khảo sát ban đầu ta thấy chất lượng học sinh tăng lên cách rõ rệt: - Hứng thú với dạng tốn: tăng từ 50 HS lên 110 HS ( 20,8% lên 45,8%) - Biết cách tiếp cận dạng tốn: tăng từ 20HS lên 80HS ( 8,3% lên 33,3%) Thơng qua bảng số liệu cho thấy sáng kiến có tính ứng dụng mang lại hiệu cho việc học tập học sinh 18 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS Sáng kiến kinh nghiệm C KẾT LUẬN Qua số năm giảng dạy mơn tốn THCS nói chung tốn nói riêng tơi nhận thấy dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng tốn hay, khó phổ biến thường xuất nhiều đề thi học sinh giỏi Vì tơi tìm tòi nghiên cứu đưa số phương pháp hướng dẫn cho học sinh tiếp cận dạng tốn Trên số tốn tơi vận dụng vào q trình nghiên cứu hướng dẫn cho học sinh Tơi nhận thấy học sinh hứng thú học tập hiệu Theo tơi đề tài phổ biến cho học sinh THCS tồn quốc Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt q trình dạy học Trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi sai sót hạn chế mong chia thơng cảm q bạn đọc đặc biệt góp ý bổ sung chân thành q đồng nghiệp để đề tài ngày hồn thiện Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS 19 Sáng kiến kinh nghiệm D TÀI LIỆU THAM KHẢO Tốn nâng cao chun đề đại số NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển tốn NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển tốn NXB Giáo Dục 225 tốn chọn lọc Đại số NXB Đại học quốc gia Một số tạp chí tốn học tuổi thơ NXB Giáo Dục Tuyển chọn theo chun đề tốn học tuổi trẻ NXB Giáo Dục Thực hành giải tốn NXB Giáo Dục Một số đề thi học sinh giỏi 20 Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chương trình tốn THCS ... – 3)2 – ≥ - Nên minA = - x – = hay x = Vậy minA = -1 x = Bài tốn 2: Tìm GTLN B = - 3x2 + 2x + Giải: 1 16 16 ≤ x + ) + + = - 3(x - )2 + 3 3 16 1 Nên maxB = x - = hay x = 3 16 Vậy maxB = x = 3 Ta... y …) ≥ m (1)’ - Tồn xo , yo … cho f(xo ; yo … ) = m (m số) (2)’ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1)’ chưa thể nói cực trị biểu thức Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Mặc dù ta... 100 - x + có giá trị lớn Tìm GTLN Giải: Với x ta có x + ≥ nên 100 - x + ≤ 100 Do maxA = 100 x + = hay x = - Vậy maxA = 100 x= -5 3.2 Dạng f(x) = A(x) + m Cách giải: Vì A(x) nên f(x) ≥ m Do minf