ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ LAN HƯƠNG VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU HAI TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ LAN HƯƠNG VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU HAI TẬP HỢP Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các hàm Nevanlinna 1.2 Định lý thứ 1.3 Định lý thứ hai 10 1.4 Định lý điểm Nevanlinna 13 Chương VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU HAI TẬP HỢP 17 2.1 Một số khái niệm kí hiệu 18 2.2 Tập xác định hàm phân hình 21 KẾT LUẬN 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Vấn đề nghiên cứu xác định hàm hay ánh xạ phân hình thơng qua ảnh ngược tập hữu hạn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học ngồi nước: G.Pólya, R.Nevanlinna, F Gross, thu nhiều kết quan trọng Năm 1926, R.Nevanlinna chứng minh: Nếu hai hàm phân hình f g chung giá trị phân biệt, tức tồn giá trị phân biệt a1 , a2 , , a5 ∈ C = C ∪ {∞} cho f −1 (aj ) = g −1 (aj ) với j = 1, 2, , f ≡ g Kết Nevanlinna cho thấy hàm phân hình phức xác định cách ảnh ngược, không kể bội, giá trị phân biệt Công trình Ơng xem khởi nguồn cho cơng trình nghiên cứu xác định hàm hay ánh xạ phân hình Một vấn đề tự nhiên đưa F Gross (xem [4]), khơng xét ảnh ngược điểm rời rạc mà xét ảnh ngược tập hợp điểm Từ đến nay, vấn đề nghiên cứu cách liên tục mạnh mẽ với kết H Fujimoto, W Stoll, L Smiley, M Ru, Z Tu, C C Yang, G Frank, M Reinders, Kí hiệu F họ hàm xác định C lấy giá trị C Với f ∈ F S ⊂ C, đặt {(z, n) ∈ C × N : f (z) = a với bội n} E(S, f ) = a∈S Tập S ⊂ C gọi tập xác định (kể bội), kí hiệu URS, cho họ hàm F với hai hàm khác f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện E(S, f ) = E(S, g) f ≡ g Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kí hiệu A(C) vành hàm nguyên M(C) trường hàm phân hình trên C Năm 1982, F Gross C.C Yang đưa ví dụ URS (xem [5]) cho hàm nguyên Năm 1994, H Yi (xem [8]) tìm URS cho hàm nguyên có hữu hạn phần tử Năm 1998, G Frank M Reinders (xem [2]) đưa URS cho M(C) gồm 11 phần tử URS cho M(C) với số phần tử tìm thấy Thời gian gần nhiều tác giả tập chung vào nghiên cứu URS theo hai hướng: Tìm tập xác định với số phần tử tìm đặc trưng tập xác định Luận văn "Về hàm phân hình chung hai tập hợp" nghiên cứu theo hướng Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết nghiên cứu xác định hàm phân hình qua ảnh ngược hai tập hữu hạn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức sở, trình bày kiến thức bản, cần thiết cho việc chứng minh kết chương như: hàm phân hình, lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna Chương 2: Về hàm phân hình chung hai tập hợp, trình bày kết tập xác định cho hàm phân hình, ứng dụng quan trọng lý thuyết phân bố giá trị Trong trình học tập thực luận văn, nhận dạy bảo tận tình thầy giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, ĐHSP Hà Nội, Viện Toán học Đặc biệt bảo, hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Hà Trần Phương Ngoài ra, việc tạo điều kiện thuận lợi động viên, khích lệ kịp thời BGH bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên giúp nhiều việc hồn thành khóa học Qua đây, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Hà Trần Phương, tới thầy cô giáo bạn đồng nghiệp giúp đỡ suốt thời gian qua Luận văn chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong thầy bạn quan tâm, góp ý Ngơ Lan Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các hàm Nevanlinna Cho f hàm xác định mặt phẳng phức C, lấy giá trị C, D ⊂ C miền Ta nói f chỉnh hình z0 ∈ C tồn lân cận U z0 cho ∞ cn (z − z0 )n f (z) = n=0 với z ∈ U , cn ∈ C số Hàm f (z) gọi chỉnh hình D chỉnh hình z ∈ D Định nghĩa 1.1 Hàm f (z) gọi hàm nguyên chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C Với hàm f : C −→ C, điểm z0 ∈ C gọi điểm bất thường cô lập hàm f (z) f (z) chỉnh hình lân cận z0 , trừ z0 Điểm bất thường lập z0 hàm f (z) gọi là: i) Điểm bất thường khử hàm f (z) tồn giới hạn hữu hạn lim f (z) z→z0 ii) Cực điểm hàm f (z) lim f (z) = ∞ z→z0 iii) Điểm bất thường cốt yếu hàm f (z) không tồn lim f (z) z→z0 Định nghĩa 1.2 Hàm f (z) gọi hàm phân hình miền D ⊂ C chỉnh hình miền D, trừ số hữu hạn điểm bất thường Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cực điểm Nếu D = C ta nói f (z) hàm phân hình C, hay đơn giản hàm phân hình Nhận xét Nếu f (z) hàm phân hình D lân cận z ∈ D hàm f (z) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.3 Điểm z0 gọi không điểm cấp m ≥ hàm f (z) lân cận z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m h(z), h(z) chỉnh hình lân cận z0 h(z0 ) = Điểm z0 gọi cực điểm cấp m ≥ hàm f (z) z0 không điểm cấp m hàm f (z) Với hàm phân hình f , ta kí hiệu   z0 không điểm cấp m f (z)  m ordf z0 =   −m f (z0 ) = 0, ∞ z0 cực điểm cấp m f (z) Nhận xét Nếu f (z) hàm phân hình D f (z) hàm phân hình D Hàm f (z) f (z) có cực điểm, đồng thời, z0 cực điểm cấp m > f (z) cực điểm cấp m + f (z) Hơn nữa, hàm f (z) có không đếm cực điểm D Bây ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ hàm đặc trưng Nevanlinna hàm phân hình Với số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu log+ x = log x x ≥ < x < Như log+ x = max {log x, 0} log x = log+ x − log+ x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho f : C −→ C hàm phân hình, với số thực R > 0, ta có 2π 2π 2π log f Reiϕ dϕ = 2π 2π dϕ− 2π log+ f Reiϕ log+ dϕ f (Reiϕ ) Định nghĩa 1.4 Hàm 2π m (R, f ) = 2π log+ f Reiϕ dϕ gọi hàm xấp xỉ hàm phân hình f Kí hiệu n(t, f ) (tương ứng n(t, f )) số cực điểm kể bội (tương ứng không kể bội) hàm f (z) đĩa {|z| < t} n(0, f ) = lim n(t, f ) t−→0 (tương ứng n(0, f ) = lim n(t, f )) Khi đó, f (0) = ∞, ta có t−→0 R R log dn (t, f ) = t N R , bν log ν=1 bν , ν = 1, 2, , N, cực điểm hàm f đĩa {|z| ≤ R} Thật vậy, trước hết, phương pháp tích phân phần ta có R R R log dn (t, f ) = log n (t, f ) t t R R − n (t, f ) d log R t R = n (t, f ) dt t Do hàm f có hữu hạn cực điểm {|z| ≤ R} nên hàm n(t, f ) nhận số hữu hạn giá trị nguyên không âm tăng theo t Gọi r1 , r2 , , rn−1 ∈ {|bν |, ν = 1, , N } r0 , rn số thực không âm cho = r0 < r1 < r2 < · · · < rn−1 < rn = R hình vành khăn {rj < |z| ≤ rj+1 } hàm n(t, f ) khơng đổi Khi R dt n (t, f ) = t r1 dt n (t, f ) + t r0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên r2 r1 dt n (t, f ) + + t rn n (t, f ) dt t rn−1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử      α n(t, f ) =      αn−1 = N t ≤ r1 r1 < t ≤ r2 rn−1 < t ≤ rn = R Khi ta có R dt n(t, f ) = t r1 r0 r2 dt + t dt α1 + · · · + t r1 = α1 log t r2 r1 R log = = rν ν=1 αn−1 dt t rn−1 + α2 log t N rn N log ν=1 r3 r2 R + + αn−1 log t rn−1 R , |bν | cực điểm tính số lần bội N Định nghĩa 1.5 Hàm N (R, f ) = ν=1 log |bRν | gọi hàm đếm (còn gọi hàm đếm cực điểm) hàm f Tương ứng với hàm N (R, f ) ta có hàm N (R, f ) hàm đếm cực điểm hàm f cực điểm tính lần Định nghĩa 1.6 Hàm T (R, f ) = m (R, f ) + N (R, f ) gọi hàm đặc trưng hàm f (còn gọi hàm đặc trưng Nevanlinna) Một số tính chất Sử dụng tính chất K log + K log+ |ai | ≤ i=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn K log + K ≤ log + log+ |ai | + log K, K max {|ai |} ≤ 1≤i≤K i=1 i=1 với a1 , , aK số phức, áp dụng cho hàm phân hình fj , j = 1, , p, ta thu   p fj  ≤ 1) m R, j=1  p p j=1  j=1 p p m (R, fj ) j=1  p fj  ≤ 4) N R, j=1 p N (R, fj ) j=1  p fj  ≤ 5) T R, j=1  N (R, fj ) fj  ≤ 3) m R,  p fj  ≤ j=1  m (R, fj ) + log p j=1  2) N R,  p p T (R, fj ) + log p j=1  p fj  ≤ 6) T R, j=1 T (R, fj ) j=1 1.2 Định lý thứ Định lý 1.1 (Công thức Poisson-Jensen) Giả sử f (z) hàm phân hình đĩa {|z| ≤ R} , < R < +∞ Giả sử a1 , , aM không điểm kể bội b1 , , bN cực điểm kể bội f (z) đĩa {|z| ≤ R} Giả sử z = reiθ điểm thuộc đĩa {|z| ≤ R} cho f (z) = 0, ∞ Khi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... trị Nevanlinna Chương 2: Về hàm phân hình chung hai tập hợp, trình bày kết tập xác định cho hàm phân hình, ứng dụng quan trọng lý thuyết phân bố giá trị Trong trình học tập thực luận văn, tơi nhận... hàm phân hình C, hay đơn giản hàm phân hình Nhận xét Nếu f (z) hàm phân hình D lân cận z ∈ D hàm f (z) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.3 Điểm z0 gọi không điểm cấp m ≥ hàm. .. gian gần nhiều tác giả tập chung vào nghiên cứu URS theo hai hướng: Tìm tập xác định với số phần tử tìm đặc trưng tập xác định Luận văn "Về hàm phân hình chung hai tập hợp" nghiên cứu theo hướng