ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trần Đức Thụ HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên nghành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Đặng Quang Á Thái Nguyên 2009 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT: IMQ: Inverse Multi Quadric MQ: Multi Quadric RBF: Radian Basic Function DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với ε = 11 Bảng 2.1 : So sánh phương pháp trực tiếp phương pháp nhanh 26 Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF thời gian tính toán máy tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512 33 Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lưu trữ việc nội suy RBF lưới suy 36 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1: Khớp hàm RBF phục hồi lưới RBF 15 Hình 2.2: Mô tả điểm bề mặt 18 Hình 2.3: Khôi phục bàn tay 18 Hình 2.4: Mặt cắt qua ngón tay 20 Hình 2.5: Phương pháp điều chỉnh nhanh 25 Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF 25 Hình 2.7: Rút gọn tâm 28 Hình 2.8: Xấp xỉ liệu LIDAR 31 Hình 2.9: Mức làm trơn 31 Hình 2.10: Gia công đẳng mặt 32 Hình 2.11: Lấp lỗ ngoại suy bề mặt 34 Hình 2.12: Biểu diễn đối tượng phức tạp 35 Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros 35 Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào 40 Hình 3.2: Lưới thu sau đổi trật tự mảng giá trị đối số 43 Hình 3.3: Bề mặt đưa vào 44 Hình 3.4: Bề mặt với đường pháp tuyến 45 Hình 3.5: Bề mặt với đường pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại bỏ 46 Hình 3.6: Bề mặt sau khớp rút gọn tâm 48 Hình 3.7: Bề mặt sau khớp có rút gọn tâm 49 Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt lưới 3D 50 Hình 3.9: Lưới sinh 51 Hình 3.10: Lưới đa giác sinh 52 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm sở bán kính (RBF) 1.1.1 Nội suy liệu rời rạc 1.1.2 Ma trận hàm xác định dương 1.1.3 Hàm sở bán kính 1.1.4 Hàm xác định dương đơn điệu hoàn toàn 1.1.5 Nội suy với độ xác đa thức hàm xác định dương có điều kiện 1.1.6 Ví dụ nội suy RBF 1.2 Bài toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D 11 Chương 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D 14 2.1 Các bề mặt ẩn 15 2.2 Khớp hàm ẩn vào bề mặt 16 2.3 Nội suy hàm sở bán kính 23 2.4 Các phương pháp nhanh 26 2.5 Rút gọn tâm 27 2.6 Xấp xỉ liệu nhiễu RBF 29 2.7 Tính toán bề mặt 2.8 Các kết 32 2.9 Kết luận 37 Chương 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF 3.1 Phần mềm FastRBF làm 3.2 Ai sử dụng phần mềm FastRBF 3.3 Những lợi ích phần mềm FastRBF 3.4.Các ứng dụng 39 3.5 Các kết đạt sử dụng phần mềm FastRBF 39 3.5.1 Khớp tính toán liệu 3D 39 3.5.1.1 Rút gọn tâm RBF 41 3.5.1.2 Tính toán lưới 3D 42 3.5.2 Khớp liệu bề mặt 3D 43 3.5.2.1 Khớp bề mặt vào liệu lưới 43 3.5.2.2 Gia công đẳng mặt 51 3.6 Kết luận 53 KẾT LUẬN 54 MỞ ĐẦU Ngày với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin, người ứng dụng thành tựu nhiều lĩnh vực khác Máy tính trở thành công cụ hỗ trợ đắc lực cho người việc xử lý liệu cách nhanh chóng xác Đồ họa máy tính lĩnh vực khoa học máy tính nghiên cứu phương pháp kỹ thuật biểu diễn thao tác liệu số hóa vật thể thực tế Lĩnh vực phát triển dựa tảng hình học họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân nhiều kiến thức toán học đại số giải tích, thành tựu phần cứng máy tính Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đề xuất chuyên gia người Mỹ tên William Fetter vào năm 1960 Khi ông nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing William Fetter dựa hình ảnh chiều mô hình người phi công buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ưu cho máy bay Boeing Đây phương pháp nghiên cứu vào thời kỳ Trong đồ họa máy tính toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D toán Công cụ quan trọng để giải toán lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến Để nội suy hàm số từ tập điểm biết thông thường người ta sử dụng hàm ghép trơn (spline) biến dạng Từ khoảng hai chục năm người ta phát triển kỹ thuật nội suy có độ xác cao Đó nội suy hàm sở bán kính (radial basis functions) viết tắt RBF Phương pháp nội suy sử dụng nhiều lĩnh vực CNTT xử lý tín hiệu, xử lý ảnh lý thuyết điều khiển Một số phần mềm hàm RBF ứng dụng phát triển Luận văn gồm có ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức hàm RBF Những tính chất hàm RBF áp dụng cho toán nội suy liệu rời rạc Đây kiến thức sở quan trọng Tìm hiểu toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D Chương 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D Chương 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS Đặng Quang Á tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ Thông tin – Đại học Thái Nguyên Trường Cao đẳng Công nghiệp Việt Đức (Thái Nguyên) động viên, giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009 TÁC GIẢ Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày kiến thức sở hàm sở bán kính (RBF), toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D 1.1 Hàm sở bán kính (RBF): 1.1.1 Nội suy liệu rời rạc: Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải toán: Cho tập liệu (gồm kết đo đạc vị trí thu kết đó), yêu cầu tìm quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ kết có Vì ta mong muốn tìm hàm “đủ tốt” phù hợp với tập liệu có Có nhiều cách để định tốt tiêu chuẩn muốn hàm xấp xỉ có giá trị xác với kết đo đạc vị trí cho – Đáp ứng tiêu chuẩn gọi toán nội suy Và vị trí mà cho kết đo đạc không nằm lưới chuẩn tiến trình gọi nội suy liệu rời rạc Chính xác ta có: Bài toán 1.1 Cho tập liệu ( x j , y j ) , j = 1, , n với x j ∈ Rs, y j ∈ R Tìm hàm (liên tục) Pf thỏa mãn: Pf ( x j ) = y j , j=1,…,n (1.1) Ý tưởng chung để giải toán nội suy tìm hàm Pf dạng n tổ hợp tuyến tính hệ hàm sở { Bk } k =1 , nghĩa là: n Pf ( x ) = ∑ ck Bk ( x ) , x ∈ Rs k =1 (1.2) Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số n tuyến tính để xác định hệ số { ck } k =1 : Ac = y T T Trong A jk = Bk ( x j ) ; j, k = 1, , n ; c = ( c1 , , cn ) ; y = ( y1 , , yn ) (1.3) Bài toán 1.1 đặt đúng, nghĩa tồn nghiệm, ma trận A không suy biến Trong trường hợp chiều, ta xây dựng đa thức nội suy bậc n – cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý Tuy nhiên s ≥ 2, ta có kết phủ định sau: Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu Ω ⊂ Rs, s ≥ chứa điểm trong Ω không tồn không gian Haar hàm liên tục, trừ trường hợp không gian chiều Trong đó, không gian Haar định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B ⊂ C(Ω) Gọi { B1 , B2 , , Bn } sở B Khi B gọi không gian Haar Ω det ( A) ≠ với tập điểm phân biệt { x1 , x2 , , xn } ⊂ Ω Ở ma trận A ma trận xây dựng A j ,k = Bk ( x j ) ; j, k = 1, , n Sự tồn không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch ma trận nội suy, nghĩa tồn nghiệm toán nội suy 1.1 Không gian đa thức biến bậc n − không gian Haar n chiều với tập liệu ( x j , y j ) , j = 1, , n , x j ∈ R, y j ∈ R Cơ sở tắc không gian { B1 = 1, B2 = x, B3 = x , , Bn = x n−1 } Định lý cho thấy, để giải toán nội suy liệu rời rạc không gian nhiều chiều xây dựng trước tập hàm sở không phụ thuộc liệu Để giải vấn đề không suy biến ma trận A, ta cần phương pháp khác để xây dựng hàm nội suy Thay sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua hệ hàm sở không phụ thuộc liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua hàm đơn phụ thuộc liệu cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm liệu tương ứng Phương pháp đề xuất R.L Hardy năm 1971 gọi phương pháp hàm cở sở bán kính 1.1.2 Ma trận hàm xác định dương: Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A gọi nửa xác định dương dạng toàn phương tương ứng không âm: n n ∑∑ c c A j =1 k =1 j k jk ≥0 (1.4) T với c = ( c1 , , cn ) ∈ Rn Nếu dấu xảy c = ( 0, ,0) T ma trận A gọi xác định dương Tính chất quan trọng ma trận xác định dương có tất giá trị riêng dương không suy biến n Nếu hệ hàm sở { Bk } k =1 khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy xác định dương toán nội suy đặt Hàm xác định dương định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục Φ: Rs  R xác định đương hàm chẵn thỏa mãn: ∑∑ c c Φ( x n n j =1 k =1 j k j − xk ) ≥ (1.5) T với n điểm đôi khác x1 , , xn ∈ Rs c = ( c1 , , cn ) ∈ Rn Hàm Φ gọi xác định dương chặt dấu (1.5) xảy c = ( 0, ,0) T Từ định nghĩa 1.3 tính chất ma trận xác định dương ta thấy, sử dụng hàm xác định dương chặt Bk = Φ( x − xk ) làm hệ hàm sở, ta có: n Pf ( x ) = ∑ ck Φ( x − xk ) k =1 Ma trận nội suy trở thành: (1.6) 43 Hình 3.2: Lưới thu sau đổi trật tự mảng giá trị đối số 3.5.2 Khớp liệu bề mặt 3D: 3.5.2.1 Khớp bề mặt vào liệu lưới: Dữ liệu lưới tạo từ nhiều loại máy quét thường chứa lỗ không đều, lỗ lớn lỗ nhỏ Bước ta nhập vào tệp holey_face.obj câu lệnh sau: mesh = fastrbf_import('C:\Program Files\FarField Technology\FastRBF v1.4\Matlab\tutorial\SurfaceFit\holey_face.obj') Sau thực lệnh ta thu kết quả: Mesh = Location: [3x3328 double] Tri: [3x6283 double] 44 Dùng lênh: fastrbf_view(Mesh); để hiển thị hình ảnh bề mặt hình 3.3 Hình 3.3 Hình ảnh bề mặt đưa vào Sau xác định đường pháp tuyến câu lệnh sau: MeshWithNormals = fastrbf_normalsfrommesh(Mesh) Sau dùng lệnh ta thu kết quả: MeshWithNormals = Location: [3x3328 double] Tri: [3x6283 double] Gradient: [3x3328 double] Để hiển thị bề mặt với đường pháp tuyến ta dùng lệnh: fastrbf_view(MeshWithNormals, 'fv'); Sau dùng lệnh ta thu bề mặt với đường pháp tuyến mô tả hình 3.4 45 Hình 3.4 Bề mặt với đường pháp tuyến Trong ví dụ này, độ dài đường pháp tuyến tối đa 5mm sử dụng Các đường pháp tuyến ngắn 0,5mm loại bỏ lệnh sau: Density = fastrbf_densityfromnormals(MeshWithNormals, 0.5, 5.0) Sau thực lệnh thu kết quả: Density = Location: [3x6656 double] Value: [1x6656 double] Gradient: [3x6656 double] Để hiển thị kết (Hình 3.5) sau loại bỏ đường pháp tuyến ngắn 0,5mm ta dùng lệnh: fastrbf_view(Density); 46 Hình 3.5: Bề mặt với đường pháp tuyến có độ dài nhỏ 0,5mm bị loại bỏ Trước khớp liệu dùng lệnh sau: Density = fastrbf_unique(Density) Sau dùng lệnh ta thu được: Density = Location: [3x6653 double] Value: [1x6653 double] Gradient: [3x6653 double] Để so sánh lợi ích việc rút gọn tâm khớp rút gọn tâm Bằng câu lệnh sau: rbf = fastrbf_fit(Density, 0.5, ’direct’) Sau khớp ta có kết quả: 47 Finished fitting RBF rbf = AchievedAcc: 0.1093 DefaultEvalAcc: 0.0050 Centres: [3x6653 double] Coeffs: [1x6657 double] PolyBase: [2.3315 -7.9726 52.4559] DataMin: [-74.7032 -121.5387 7.3864] DataMax: [79.3662 105.5934 97.5255] BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Version: 'FastRBF V 1.4.2' Dùng lệnh: fastrbf_view(rbf); để hiển thị kết hình 3.6: 48 Hình 3.6: Bề mặt sau khớp rút gọn tâm Bây khớp bề mặt với rút gọn tâm câu lệnh sau: rbf = fastrbf_fit(Density, 0.5,’reduce’) Sau thực h iện lệnh ta thu được: rbf = AchievedAcc: 0.4614 DefaultEvalAcc: 0.0050 Centres: [3x1628 double] Coeffs: [1x1632 double] PolyBase: [2.3315 -7.9726 52.4559] DataMin: [-74.7032 -121.5387 7.3864] DataMax: [79.3662 105.5934 97.5255] 49 BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Version: 'FastRBF V 1.4.2' Indices: [1x1628 double] Dùng lệnh: fastrbf_view(rbf); để hiển thị kết hình 3.7 Hình 3.7: Khớp sau rút gọn tâm 50 Trong trường hợp này, khớp liệu với việc rút gọn tâm yêu cầu 1157 tâm khớp liệu việc rút gọn tâm yêu cầu 3984 tâm Tiếp theo, tính giá trị lưới 3D lệnh sau: g = fastrbf_grideval(rbf, 0.1, ’spacing’, 3); slice(g.Value, 40, 27, 15); Sau tính giá trị lưới 3D ta có kết hình 3.8 Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt lưới 3D 51 Đẳng mặt lưới 3D hiểu điểm hàm RBF có giá trị không Một lưới sinh câu lệnh sau: NewMesh = fastrbf_isosurf(rbf, 2) Bằng lệnh: fastrbf_view(NewMesh); ta thu hình 3.9 Hình 3.9: Lưới sinh Cuối cùng, xuất lưới thành file newmesh.obj phép tải vào gói 3D khác lệnh sau: fastrbf_export(NewMesh, ’NewMesh.obj’) 3.5.1.2 Gia công đẳng mặt: Chúng ta bắt đầu việc tải liệu quét laser từ bàn tay khớp hàm RBF vào lưới không đầy đủ Các điểm bề mặt sinh nhô khoảng 0,5mm 5mm bên bề mặt bàn tay 52 Trước hết ta đưa liệu bàn tay vào câu lệnh sau: Mesh = fastrbf_import(’Hand.obj’); Density = fastrbf_densityfromnormals(Mesh, 0.5, 5.0); Density = fastrbf_unique(Density); rbf = fastrbf_fit(Density, 0.25,’reduce’); Bây muốn rút lưới đa giác Một lưới 1mm sinh lệnh sau: NewMesh = fastrbf_isosurf(rbf, 1); Dùng lệnh: figure; fastrbf_view(NewMesh); để xem hình ảnh chi tiết lưới sinh hình 3.10 Hình 3.10: Lưới đa giác 1mm dược sinh 53 3.6 Kết luận: Với việc khai thác phần mềm FastRBF giúp ta hiểu vể quy trình bước để khôi phục, biểu diễn đối tượng 3D cách rõ ràng cụ thể Từ hiểu rõ toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D, cụ thể vấn đề bề mặt ẩn, khớp hàm ẩn vào bề mặt… Qua số thí dụ trình bày, thấy lợi ích phần mềm FastRBF việc khôi phục biểu diễn đối tượng 3D Đây phần mềm hữu ích cho đối tượng cần sử dụng kết vào công việc Qua đó, hiểu rõ vấn đề khôi phục biểu diễn đối tượng 3D để từ vận dụng vào trường hợp cụ thể trình làm việc 54 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến hàm sở bán kính, hàm có nhiều ứng dụng khác ứng dụng đồ họa máy tính Đây ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học Kết luận văn gồm có: Trình bày tóm lược kết quan trọng ứng dụng hàm RBF vào đồ họa máy tính mà xuất phát điểm giải toán nội suy liệu rời rạc Từ việc nghiên cứu tính khả nghịch ma trận nội suy dẫn đến nghiên cứu hàm RBF Các phương pháp xây dựng hàm RBF đảm bảo tính đặt toán nội suy mà tảng kiến thức hàm xác định dương, hàm xác định dương chặt, hàm đơn điệu hoàn toàn (GA, IMQ …) Thông qua hàm xác định dương có điều kiện, xây dựng mô hình nội suy với độ xác đa thức hàm RBF sử dụng tương ứng (TPS, MQ…) Trong chương 2, luận văn trình bày ứng dụng hàm RBF vào việc khôi phục biểu diễn đối tượng 3D Các vấn đề: Bề mặt ẩn; Khớp hàm ẩn vào bề mặt; Nội suy hàm sở bán kính; Các phương pháp nhanh; Rút gọn tâm… đưa để giải toán ứng dụng hàm RBF vào việc khôi phục biểu diễn đối tượng 3D Trong chương 3, luận văn giới thiệu sơ lược phần mềm FastRBF đưa kết số thí dụ cụ thể Mặc dù cố gắng xong luận văn nhiều hạn chế tránh khỏi sai sót Em mong nhận phê bình, đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Đặng Quang Á 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [TIẾNG VIỆT] [1] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [TIẾNG ANH] [1]M D Buhmann, Radial Basis Functions: Theory and Implementations, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 [2] FastRBF Toolbox, MATLAB Interface, Version 1.4, 4th August 2004, FarField Technology Ltd [3] R K Beatson, J B Cherrie, and C T Mouat Fast fitting of radial basis functions: Methods based on preconditioned GMRES iteration Advances in Computational Mathematics, 11:253–270, 1999 [4] R K Beatson, J B Cherrie, and D L Ragozin Fast evaluation of radial basis functions: Methods for four-dimensional polyharmonic splines SIAM J Math.Anal., 32(6):1272–1310, 2001 [5] R K Beatson and L Greengard A short course on fast multipole methods In M Ainsworth, J Levesley, W.A Light, and M Marletta, editors, Wavelets Multilevel Methods and Elliptic PDEs, pages 1–37 Oxford University Press 1997 [6] R K Beatson and W A Light Fast evaluation of radial basis functions: Method for two-dimensional polyharmonic splines IMA Journal of Numerical Analysis, 17:343–372, 1997 [7] R K Beatson, W A Light, and S Billings Fast solution of the radial basis function interpolation equations: Domain decomposition methods SIAM J Sci Comput., 22(5):1717–1740, 2000 [8] R K Beatson, A M Tan, and M J D Powell Fast evaluation of radial basis functions: Methods for 3-dimensional polyharmonic splines In preparation 56 [9] F Bernardini, C L Bajaj, J Chen, and D R Schikore Automatic reconstruction of 3D CAD models from digital scans Int J on Comp Geom and Appl., 9(4–5):327, Aug & Oct 1999 [10] J Bloomenthal, editor Introduction to Implicit Surfaces Morgan Kaufmann, San Francisco, California, 1997 [11] J C Carr, W R Fright, and R K Beatson Surface interpolation with radial basis functions for medical imaging IEEE Trans Medical Imaging, 16(1):96–107, February 1997 [12] E W Cheney and W A Light A Course in Approximation Theory Brooks Cole, Pacific Grove, 1999 [13] J Duchon Splines minimizing rotation-invariant semi-norms in Sobolev spaces In W Schempp and K Zeller, editors, Constructive Theory of Functions of Several Variables, number 571 in Lecture Notes in Mathematics, pages 85–100, Berlin, 1977 Springer-Verlag [14] N Dyn, D Levin, and S Rippa Numerical procedures for surface fitting ofscattered data by radial functions SIAM J Sci Stat Comput., 7(2):639– 659, 1986 [15] J Flusser An adaptive method for image registration Pattern Recognition, 25(1):45–54, 1992 [16] H Hoppe, T DeRose, T Duchamp, J McDonald, and W Stuetzle Surface reconstuction from unorganized points Computer Graphics (SIGGRAPH’92 proceedings), 26(2):71–78, July 1992 [17] W E Lorensen and H E Cline Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm Computer Graphics, 21(4):163–169, July 1987 [18] C A Micchelli Interpolation of scattered data: Distance matrices and conditionally positive definite functions Constr Approx., 2:11–22, 1986 57 [19] V V Savchenko, A A Pasko, O G Okunev, and T L Kunii Function representation of solids reconstructed from scattered surface points and contours Computer Graphics Forum, 14(4):181–188, 1995 [20] G.M Treece, R.W Prager, and A H Gee Regularised marching etrahedra: improved iso-surface extraction Computers and Graphics, 23(4):583–598, 1999 [21] G Turk and J F O’Brien Shape transformation using variational implicit surfaces In SIGGRAPH’99, pages 335–342, Aug 1999 [22] G Turk and J F O’Brien Variational implicit surfaces Technical Report GITGVU-99-15, Georgia Institute of Technology, May 1999 [23] G Wahba Spline Models for Observational Data Number 59 in CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Math SIAM, 1990 [24] G Yngve and G Turk Creating smooth implicit surfaces from polygonal meshes Technical Report GIT-GVU-99-42, Georgia Institute of Technology, 1999 [25] WOLFGANG NIEM, JOCHEN WINGBERMUHLE 1997 Automatic Reconstruction of 3D Objects Using a Mobile Monoscopic Camera In Proceedings of the International Conference on Recent Advances in 3D Imaging and Modelling",Ottawa, Canada [26] ANDERS HEYDEN 1995 Geometry and Algebra of Multiple Projective Transformations Dept of Mathematics, Lund University, Sweden [27] L Greengard and V Rokhlin A fast algorithm for particle simulations J.Comput Phys, 73:325–348, 1987 ... dụng nhiều lĩnh vực CNTT xử lý tín hiệu, xử lý ảnh lý thuyết điều khiển Một số phần mềm hàm RBF ứng dụng phát triển Luận văn gồm có ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức hàm RBF Những tính. .. sử dụng để sinh phép xấp xỉ tới phần hàm RBF nhờ tâm đám đặc biệt Một cách sử dụng đắn phép tính xấp xỉ cho đám cách xa từ điểm tính toán 26 cho phép hàm RBF tính toán độ xác định trước phép tính. .. tuyến tính, hệ số λi số thực | | quy tắc Ơ lít R3 Hàm ví dụ đặc biệt hàm RBF Thông thường, hàm RBF có dạng: N s ( x ) = p ( x ) + ∑ λi x − x i , (2.6) i =1 với p đa thức bậc thấp hàm sở φ hàm