Chương 3.Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng Định nghĩa     xi   pi        xi pi Định nghĩa 1.1: Giả sử i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục có hàm mật độ f X  x         x f X  x  dx  Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) giá trị trung bình X Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy E(XY) = E(X).E(Y) §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X là:  D              Định lý 2.1 :    D()           với  2   xi2.pi , X rời rạc ;    2  i  x  f  x dx , X liên tục  C D() Tính chất: (1) D(C) = ; (2) D(CX) = (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Độ lệch:      D    §3.Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc     xi   pi  M o d   xi n e áu p i  M a x p i Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục có hàm f X  x , ta có  Mod   x0 f X  x0   Max f X  x  Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med   m      m  1/ 2,   X  m  1/ Định lý 3.1: Nếu X liên tục M edX  m  F X ( m )   m  f X  x  dx  3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X số a : k    X  a    a = 0: moment gốc a = E(X): moment trung tâm Hệ số nhọn hệ số bất đối xứng(xem SGK) Ví dụ 3.1: cos x, x   0,  / 2  ~ fX  x   0, x   0,  / 2        x f X  x  d x    /2 x co s xd x   1   D  X    x cos xdx           2   /2    X2 Mod X =0 Med X = m   m  f X  x  dx   m cos xdx  /  sin m  / 2, m  [0,  / 2]  m   / Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau X m 1 m2 P p qp q m m1 p q m 1 m k k 1 p q p q p  E(X )   k p q k 1 k 1   p 1  q    D ( X )   k pq    p k 1       k 1    p    1 q  p    (1  q ) p   1 q q    2 p p p2 Mod X =  p 1  q   q m    /  Med X =m   m2 m 1 p  q   q  q  1/   m1  1 q  m1 p  1/ q   1 q m1   1  q  1/       m m 1  q  1/  p  q  1/ qm     q  m ln q   ln ,  m  1 ln q   ln  ln  ln  m 1 ln q ln q .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0, 0,3 0,3     2.0,4  5.0,3  7.0,3  4,4 2 D    2 0.4    0,3  0,3  4,4        2     D( X )  2,107 Mod X = ; Med X = Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode • Nhập: Mode Stat 1-var xi Stat On(Off) ni 0,4 0,3 0,3 AC: báo kết thúc nhập liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x       4,  n  x n   x       2,107 Cách dùng máy tính bỏ túi MS: Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: SHIFT S – VAR x       4,  n  x n   x       2,107 10 Ví dụ 3.4: Tung lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi X tổng số điểm nhận Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi số điểm xúc xắc thứ i   1 2  5     1    5   5 1  Xi độc lập  D   D 1   D 2    D 5   5D 1  X1 PX 1    1   , 1 6 35 D  1   12 11 §4: Kỳ vọng hàm Y      1.Trường hợp rời rạc:   xi   pi  E(Y)    xi  pi i 2.Trường hợp liên tục:  ~ f X  x    Y   Ví dụ 4.1: Cho   fX x       x  f X  x  d x     c o s x , x  ,          0 , x  0,    Tìm kỳ vọng phương sai Y= sinX 12  Y     /2  Y  sin x sin x cos xdx   /2  /2 sin x sin x cos xdx    /2 D Y    Y    E Y   2  1    12 13 §5: Kỳ vọng hàm     ,Y   1.Trường hợp rời rạc:    x i , Y  y j      Ví dụ 5.1:  Y   x i y j p ij  p ij    x , y  p i j ij i, j i, j 2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục có hàm mật độ f(x,y) Ví dụ 5.2:          x, y  f  x, y  dxdy    R Z     8xy,  x  y  1, (hình 5.1) f  x, y   0 , trái lại 14 HÌNH 5.1 y   X 15      R  Y y f  R  X  X Y  x, y dxdy    x, y dxdy    R  Y x f y2 f x, y dxdy x2 f x, y dxdy   1 dy  dy  y y x x y d x y x y d x       R xy f x, y dxdy 16 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập cov(X,Y) = (2) cov(X,X) = D(X) n m n  m  (3) cov    i ,  Y j     cov   i , Y j  j 1  i 1  i 1 j 1 m m  m  (4) cov    i ,   k    D   i    cov   i , X k  k 1 ik  i 1  i 1 17 Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: R XY cov  ,Y         Y  Tính chất: (1) X,Y độc lập  RY  (2) R X Y  1,   , Y (3) R X Y    a , b , c : a   b Y  c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho ràng buộc tuyến tính X Y: R X Y gần1, X,Y gần có quan hệ tuyến tính  cov ,  ,cov ,Y   Ma trận tương quan: D ,Y     covY,  ,covY,Y     18 • Ví dụ 6.1:Cho biến ngẫu nhiên có phương sai 1, 2 , , m;Y1,Y2 , ,Yn cov i , j   p1;covYi ,Yj   p2;cov i ,Yj   p3 Tìm hệ số tương quan biến ngẫu nhiên: U   1 2  m  V  Y1 Y2  Yn  Giải: n m  m n cov U ,V   cov   i , Yi   .cov  i , Yj   m.n p3 j 1  i1  i1 j 1 m m  m D U   cov   i ,  X k    D  i   cov  i , k   m  m(m 1) p1 k 1 i k  i1  i1 D V   n  n(n 1) p2 cov U ,V  m.n p3 RUV    U   V  m  m  m 1 p1 n  n  n 1 p2 19 Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yj pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT REG SHIFT STAT SUM x    X  x n    X  y   Y  y n   Y  r  R XY  xy    XY  20 b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập liệu : Cách đọc kết quả: SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-SUM xi , y j ; p ij x   M  X  x n    X   y    Y   y  n    Y    r   R XY   xy   XY  21 Ví dụ 6.2: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau: Y 0,1 0,2 0,3 0,4 X 22 .Bảng tương đương với bảng sau: xi yj pij 0,1 0,2 0,3 0,4 23 Nhập bảng số liệu vào máy tính,ta có: x    X   1, x n    X   0,9165 y   Y   4, y n   Y   0, 9798 r  R XY   0, 0891  xy    XY   5,8 24 ... ln  m 1 ln q ln q .Ví dụ 3. 3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0, 0 ,3 0 ,3     2.0,4  5.0 ,3  7.0 ,3  4,4 2 D    2 0.4    0 ,3  0 ,3  4,4        2  ... trung vị X) Định nghĩa 3. 3: Med   m      m  1/ 2,   X  m  1/ Định lý 3. 1: Nếu X liên tục M edX  m  F X ( m )   m  f X  x  dx  3. Moment Định nghĩa 3. 4: Moment cấp k cuả đại... SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0 ,3 M+ 7; 0 ,3 M+ Cách đọc kết quả: SHIFT S – VAR x       4,  n  x n   x       2,107 10 Ví dụ 3. 4: Tung lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi