Sở giáo dục đào tạo HảI dơng Đề thi thức Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: x + y2 + xy = xy + 3x = 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có nghiệm nguyên: 4x + 4mx + 2m 5m + = Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: + x2 ( + x ) A= + x2 ( x) 2) Cho trớc số hữu tỉ m cho với x m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m2 + b m + c = Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số x số nguyên dơng biết f(5) f(3) = 2010 Chứng minh rằng: f(7) f(1) hợp số 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x2 4x + x + 6x + 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E cho DE song ã ã song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK = NMP Chứng minh rằng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -Hết - 1 Hớng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm nội dung Điểm x + y + xy = (1) (2) xy + 3x = 2 3x y= x , thay vào (1) ta có: Từ (2) x Từ 0.25 3x 3x x2 + + x =3 ữ x x 7x 23x + 16 = 16 x = x = Giải ta đợc Từ x = x = y = ; 2) 1,0điểm x2 = 0.25 0.25 0.25 16 7 x= y=m 7 0.25 7 7 ; ; ữ ữ 7 ữ 7 ữ Vậy hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (-1; -1); ; Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ' 0.25 0.25 m 5m + (m 2)(m 3) Vì (m - 2) > (m - 3) nên: x ' m m m 3, mà m Z m = m = Khi m = x ' = x = -1 (thỏa mãn) 0.25 Khi m = x ' = x = - 1,5 (loại) Vậy m = câu II 1) 2,5 điểm 1,5điểm Đặt a = + x; b = x a + b = 4; a b2 = 2x A= A= ( + ab a b 3 )= A 2= (a 0.25 (a, b 0) ( + ab ( a b ) a + b + ab + ab + ab ( a b ) ( + ab ) + ab A = + 2ab ( a b ) 0.25 2 0.25 ) + ab 0.25 = + ab ( a b ) 0.25 0.25 ) + b + 2ab ( a b ) = ( a + b ) ( a b ) 0.25 A = a b2 = 2x A = x 2) 1,0điểm 0.25 a m + b m + c = (1) Giả sử có (1) b m + c m + am = (2) 2 Từ (1), (2) (b ac) m = (a m bc) 0.25 a m bc b ac số hữu tỉ Trái với giả thiết! Nếu a m bc b ac = b3 = abc a m bc = bc = am 0.25 3m= b = a m b = a m Nếu b a = 0;b = Từ ta tìm đợc c = câu III điểm 1) 1,0điểm 2) 1,0điểm 3 m= b a số hữu tỉ Trái với giả thiết! 0.25 Ngợc lại a = b = c = (1) Vậy: a = b = c = 0.25 Theo f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dơng 0.25 Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) M3 Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P= ( x 2) ( x + 3) + 12 0.25 0.25 0.25 + 22 0.25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh đợc: ( x 2) OA = AB = ( x x 3) + 12 OB = , ( x + 3) OA OB AB 2 + ( ) = 25 + = 26 + 22 ( x 2) 0.25 + 12 ( x + 3) Mặt khác ta có: Dấu = xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA + 2 26 0.25 x2 = x=7 x+3 Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn OB Vậy Max P = 26 x = câuIV 1) điểm 0,75điểm 0.25 Ta dễ dàng chứng minh tứ giác ã ã MBAN nội tiếp MAB = MNB , M ã ã MCAP nội tiếp CAM = CPM ã ã Lại có BNM = CPM (cùng phụ góc NMP) K B C ã ã CAM = BAM D 0.25 0.25 (1) Do DE // NP mặt khác E 3 N A P MA NP MA DE (2) Từ (1), (2) ADE cân A MA trung trực DE MD = ME 0.25 2) 1,25điể M m K B C D E N P A ã ã Do DE//NP nên DEK = NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: ã ã ã ã + DEK = 1800 NMB + NAB = 1800 NMB ã ã ã ã Theo giả thiết DMK = NMP DMK + DEK = 180 Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE MEA = MDA ã ã ã ã MEA = MDA MEK = MDC ã ã ã ã 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì MEK = MDK MDK = MDC DM phân giác góc CDK, kết hợp với AM phân giác DAB M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK câu V 0.25 A' điểm B' B O C A D' D ẳ Không tổng quát giả sử:AB AC Gọi B điểm cung ABC 0.25 AB ' = CB ' Trên tia đối BC lấy điểm A cho BA = BA AB + BC = CA ' 4 ã ã ã ã ã Ta có: B'BC = B' AC = B 'CA (1) ; B 'CA + B 'BA = 180 ã 'BC + B'BA ã B ' = 1800 ã ã (2) (3);Từ (1), (2), (3) B'BA = B'BA' Hai tam giác ABB ABB A'B' = B' A Ta có B 'A + B 'C = B 'A '+ B 'C A 'C = AB + BC ( BA + BC không đổi B, A, C cố định) Dấu = xảy B trùng với B 0.25 0.25 ẳ Hoàn toàn tơng tự gọi D điểm cung ADC ta có AD + CD AD + CD Dấu = xảy D trùng với D ằ Chu vi tứ giác ABCD lớn B, D điểm cung AC 0.25 đờng tròn (O) Sở giáo dục đào tạo Hng yên đề thức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1:(1,5 điểm) a = 2: Cho +1 ữ +1 +1ữ Hãy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2:(2,5 điểm) x 16 xy = y xy y = x a) Giải hệ phơng trình: (x b) Tìm m để phơng trình ) 2x 3x + 6x + m = có nghiệm phân biệt Bài 3:(2,0 điểm) 2 a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k + k + 16 số nguyên tố k chia hết cho b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a + p b + p c 3p Bài 4:(3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng: a) MB.BD = MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5:(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ Hết -Hớng dẫn chấm thi Bài 1:(1,5 điểm) a = 2: +1 ữ= : +1 +1 ữ +1 +1 7 +1 +1 0,5 đ 2: a= = 7 0,25 đ Đặt x = a x = x + = x + 2x + = 0,5 đ x + 2x = Vậy phơng trình x + 2x = nhận 0,25 đ làm nghiệm Bài 2:(2,5 điểm) x 16 x 16 xy = (1) xy = y y y xy = y x = (2) x y x a) ĐK: x, y 2 Giải (2) 6y 6x = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = * Nếu 0,25 đ 0,25 đ 3y 3y 16 y + = 2 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 0,25 đ 3y 23 = (phơng trình vô nghiệm) 2y 3x 2y = x = * Nếu 0,25 đ 0,25 đ Thay vào (1) ta đợc y = y = - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) 0,25 đ Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) x 2x + = y ( x 1) = y x = y b) Đặt Phơng trình cho trở thành: ( y 1) ( y 1) + m = (y 0) (*) 0,25 đ y 5y + m + = (1) Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có 0,25 đ nghiệm dơng phân biệt > 4m > S > > P > m + > 0,25 đ m < < m < m > < m < phơng trình có nghiệm phân biệt Vậy với 0,25 đ Bài 3:(2,0 điểm) a) Vì k > suy k + > 5; k + 16 > 2 - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 10n + k + M5 k + không số nguyên tố 2 0,25 đ - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ 2 2 2 - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 40n + 16 k + M5 k + không số nguyên tố 2 0,25 đ Do k M5 ( a + b + c ) ( a + b2 + c2 ) (*) b) Ta chứng minh: Với a, b, c 2 2 2 Thật (*) a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 3a + 3b + 3c 0,5 đ (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: ( p a + p b + p c ) ( 3p a b c ) = 3p 0,5 đ p a + p b + p c 3p (đpcm) Suy Bài 4:(3,0 điểm) N D J I A O C B M 8 a) Xét MBC MDB có: ã ã BDM = MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ã ã BMC = BMD 0,5 đ MB MD = MB.BD = MD.BC BD Suy BC 0,5 đ Do MBC MDB đồng dạng ã ã ã b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC = 2BDC = 2MBC ã BJC ã MBC = hay 0,5 đ ã 180 BJC ã BCJ cân J CBJ = ã ã BJC 180 O BJC ã ã MBC + CBJ = + = 90 O MB BJ 2 Suy 0,5 đ Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tự I thuộc AN ã ã ã 0,5 đ ã Ta có ANB = ADB = 2BDM = BJC CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5:(1,0 điểm) A E F a B b h c M d f D G H g K 0,5 đ e J I C Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là: (8 2).180O = 135O Suy góc hình cạnh là: 180O - 135O = 45O 0,25 đ 0,5 đ Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân h b d f MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = h b f d +a+ = +e+ 2 Ta có AB = CD nên: (e - a) = h + b - f - d Nếu e - a 2= h +bf d Ô ea (điều vô lý do số vô tỉ) 0,25 đ Vậy e - a = e = a hay EF = IJ (đpcm) S GIO DC BèNH NH chớnh thc K THI TUấN SINH VO LP 10 TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN NM HC 2009-2010 Mụn thi:Toỏn (chuyờn) Ngy thi:19/06/2009 Thi gian:150 phỳt Bi 1(1.5im) Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.Chng minh rng: a b c 1< + + 0.25 ( k + k )2 > 0.25 Luụn ỳng vi mi k nguyờn dng b (1.0) Bi (2.5 im) 56 1 < 2( ( k +1) k k ) k +1 0.25 0.25 p dng kt qu cõu a ta cú: VT = + + +L+ 2010 2009 < ữ+ L + ữ ữ+ 2010 2009 0.25 = ữ 2010 0.25 88 < ữ = = VP 45 45 (pcm) 0.25 Cho phng trỡnh n x: tham s) x + (m 1) x = (1) (m l c Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim x = + d Tỡm m (1) cú nghim x1 , x2 cho biu thc: 56 a (1,5) ( 1+ Pt (1) cú nghim x = + ) ( ) + ( m 1) + = 0.5 Tỡm c m = v KL b (1,0) = ( m 1) + 24 > m 1.0 Tớnh suy pt (1) cú nghim phõn bit A = ( x1 x2 + ) ( x1 + x2 ) 2 0.25 A = ( x1 + x2 ) Theo L Vi-et ta cú x1 x2 = 2 x1 + 3x2 = x1 = x1 = x2 = x = x1 x2 = x + x = m m = m = Max A = v ch KL : Vy m = ; m = l cỏc giỏ tr cn tỡm Bi (2 im) 0.5 x1 , x2 0.25 2 x + y xy = 3 =9 a Gii h phng trỡnh sau : x + y b Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha phng trỡnh: x3 + x + 3x + = y a (1.0) b (1.0) H phng trỡnh ó cho =3 x + y xy =3 x + y 2 ( x + y ) xy = ( x + y )( x + y xy ) = 0.5 x + y = xy = 0.5 x = x = y = hoc y = y x = x + 3x + = x + ữ + > Ta cú (1) 3 x< y 0.25 15 ( x + 2)3 y = x + x + = x + ữ + > y < x + 16 (2) T (1) v (2) ta cú x < y < x+2 m x, y nguyờn suy y = x + 57 0.25 0.25 57 Thay y = x + vo pt ban u v gii phng trỡnh tỡm c x = -1; x = t ú tỡm c hai cp s (x, y) tha bi toỏn l (1 ; 2), (-1 ; 0) Bi (3 im) 0.25 Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O, cnh a M l im di ng trờn on OB (M khụng trựng vi O; B) V ng trũn tõm I i qua M v tip xỳc vi BC ti B, v ng trũn tõm J i qua M v tip xỳc vi CD ti D ng trũn (I) v ng trũn (J) ct ti im th hai l N c Chng minh rng im A, N, B, C, D cựng thuc mt ng trũn T ú suy imC, M, N thng hng d Tớnh OM theo a tớch NA.NB.NC.ND ln nht N I A B K H J M O C D a 2.0 MNB = MBC ( Cựng chn cung BM) MND = MDC ( Cựng chn cung DM) BND = MNB + MND = MBC + MDC = 90o Do ú im A, B, C, D, M cựng thuc mt ng trũn Suy NC l phõn giỏc ca gúc BND ( cung BC = cung BD) Mt khỏc, theo CM trờn ta cú NM l phõn giỏc ca gúc BND Nờn M, N, C thng hng b 1.0 1.5 0.5 Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca N trờn AC v BD NHOK l hỡnh ch nht Ta cú : NA.NC = NH AC = NH a 0.5 NB.ND = NK BD = NK a Suy NA.NB.NC.ND = 2a NH NK 2a 58 NH + NK a4 = a NO = 2 58 Du bng xy v ch Bi (0.5 im) NH = NK = a (2 2)a OM = 2 0.5 o Cho gúc xOy bng 120 , trờn tia phõn giỏc Oz ca gúc xOy ly im A cho di on thng OA l mt s nguyờn ln hn Chng minh rng luụn tn ti ớt nht ba ng thng phõn bit i qua A v ct hai tia Ox, Oy ln lt ti B v C cho di cỏc on thng OB v OC u l cỏc s nguyờn dng O B C A y x z Ch ng thng d1 i qua A v vuụng gúc vi OA tha bi toỏn t OA = a > (a nguyờn) Trờn tia Ox ly im B cho OB = a + nguyờn dng ng thng d i qua A, B ct tia Oy ti C 1 + = Chng minh c OB OC OA 1 + = OC = a( a + 1) a + OC a l s nguyờn dng d Suy l mt ng thng cn tỡm 0.5 Tng t ly B trờn Ox cho OB = a(a + 1), Ta tỡm c ng thng d3 Chng minh d1 , d , d phõn bit PCM Hng dn chung Trờn õy ch l cỏc bc gii v khung im cho tng cõu Yờu cu hc sinh phi trỡnh by, lp lun v bin i hp lý, cht ch mi cho im ti a Bi phi cú hỡnh v ỳng v phự hp vi li gii bi toỏn mi cho im.( khụng cho im hỡnh v ) Nhng cỏch gii khỏc ỳng cho im ti a Chm im tng phn, im ton bi l tng cỏc im thnh phn( khụng lm trũn) =========================== 59 59 S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Bi ( im ): 10 + 20 12 a) Thc hin phộp tớnh: b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x x 2008 Bi ( 1,5 im ): mx y = Cho h phng trỡnh: 3x + my = a) Gii h phng trỡnh m = b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) tha h thc m2 x + y = m +3 Bi (1,5 im ): y = x2 , cú th l (P) Vit phng trỡnh ng thng i qua hai a) Cho hm s im M v N nm trờn (P) ln lt cú honh l v 2 b) Gii phng trỡnh: 3x + 3x x + x = Bi ( im ): Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), giao im hai ng chộo l O ng thng qua O song song vi AB ct AD vBC ln lt ti M vN MO MO + =1 a) Chng minh: CD AB 1 + = b) Chng minh: AB CD MN 2 c) Bit S AO B = m ; S CO D = n Tớnh SABCD theo m v n (vi S AO B, SCO D, SABCD ln lt l din tớch tam giỏc AOB, din tớch tam giỏc COD, din tớch t giỏc ABCD) Bi ( im ): Cho ng trũn ( O; R ) v dõy cung AB c nh khụng i qua tõm O; C v D l hai im di ng trờn cung ln AB cho AD v BC luụn song song Gi M l giao im ca AC v BD Chng minh rng: a) T giỏc AOMB l t giỏc ni tip b) OM BC c) ng thng d i qua M v song song vi AD luụn i qua mt im c nh Bi ( im ): 60 60 x2 y2 + x+y x a) Cho cỏc s thc dng x; y Chng minh rng: y n b) Cho n l s t nhiờn ln hn Chng minh rng n + l hp s S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) HNG DN CHM MễN TON I Hng dn chung: 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi 3) im ton bi ly im l n 0,25 II ỏp ỏn: Bi Ni dung im 0,25 ( )(3 + 2) (1) 1 x x 2008 = ( x 2008 x 2008 + ) + 2008 4 8031 8031 0,25 = ( x 2008 ) + 4 8033 x 2008 = x = (tha món) Vy giỏ tr nh Du = xy 0,25 8031 8033 x = nht cn tỡm l a) Khi m = (1,5 ) ta cú h phng trỡnh x y = 3x + y = 2 +5 x y = 2 x = 3x + y = y = 2x 2 +5 x = y = 2m + 5m x= ;y= m +3 m +3 b) Gii tỡm c: Thay vo h thc 61 0,25 a) Bin i c: = + b) iu kin x 2008 x + y = m2 2m + 5m m2 + = m + ; ta c m + m + m2 + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 61 Gii tỡm c (1,5 ) m= 0,25 (1 : ) a) Tỡm c M(- 2; - 2); N Phng trỡnh ng thng cú dng y = ax + b, ng thng i qua M v N nờn 2a + b = a + b = 1 a = ; b = y = x 2 Tỡm c Vy phng trỡnh ng thng cn tỡm l 0,25 0,25 0,25 2 b) Bin i phng trỡnh ó cho thnh 3( x + x ) x + x = 2 t t = x + x ( iu kin t ), ta cú phng trỡnh 3t t = Gii tỡm c t = hoc t = (loi) x + x = x + x = Gii c Vi t = 1, ta cú x= Hỡnh v D (2) x= 1+ hoc B O N 0,25 C MO AM MO MD = ; = a) Chng minh c CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = =1 AD AD Suy CD AB (1) NO NO + =1 b) Tng t cõu a) ta cú CD AB (2) MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 CD AB CD AB (1) v (2) suy 1 + = Suy CD AB MN S AOB OB S AOD OA OB OA S S = ; = ; = AOB = AOD S AOD OD S COD OC OD OC S AOD S COD c) S 2AOD = m n S AOD = m.n 2 Tng t S BOC = m.n Vy S ABCD = m + n + 2mn = (m + n ) Hỡnh v (phc v cõu a) 62 0,25 0,25 A M 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 62 A D I O M (3) B C a) Chng minh c: - hai cung AB v CD bng - s gúc AMB bng s cung AB Suy c hai gúc AOB v AMB bng O v M cựng phớa vi AB Do ú t giỏc AOMB ni tip b) Chng minh c: - O nm trờn ng trung trc ca BC (1) - M nm trờn ng trung trc ca BC (2) T (1) v (2) suy OM l ng trung trc ca BC, suy OM BC c) T gi thit suy d OM Gi I l giao im ca ng thng d vi ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB, suy gúc OMI bng 90 , ú OI l ng kớnh ca ng trũn ny Khi C v D di ng tha bi thỡ A, O, B c nh, nờn ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB c nh, suy I c nh Vy d luụn i qua im I c nh x y2 + x+y y x a) Vi x v y u dng, ta cú x + y xy( x + y) ( x + y)( x y) (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2) (2) luụn ỳng vi mi x > 0, y > Vy (1) luụn ỳng vi mi x > 0, y > b) n l s t nhiờn ln hn nờn n cú dng n = 2k hoc n = 2k + 1, vi k l s t nhiờn ln hn n 2k - Vi n = 2k, ta cú n + = ( 2k ) + ln hn v chia ht cho Do ú n + n l hp s 0,25 0,25 0,25 -Vi n = 2k+1, tacú n + n = n + k = n + (2.4 k ) = (n + 2.4 k ) (2.n.2 k ) = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n 2k)2 + 22k ] Mi 0,25 tha s u ln hn hoc bng Vy n4 + 4n l hp s ======================= Ht ======================= 63 63 S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON ( Dnh cho hc sinh chuyờn Tin) Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Bi (1,5 im ): 10 + 20 12 a) Thc hin phộp tớnh: b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x x 2008 Bi (2 im ): mx y = Cho h phng trỡnh: 3x + my = a) Gii h phng trỡnh m = b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) tha h thc m2 x + y = m +3 Bi (2 im ): y = x2 , cú th l (P) Vit phng trỡnh ng thng i qua hai a) Cho hm s im M v N nm trờn (P) ln lt cú honh l v 2 b) Gii phng trỡnh: 3x + 3x x + x = Bi ( 1,5 im ): Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), giao im hai ng chộo l O ng thng qua O song song vi AB ct AD vBC ln lt ti M vN MO MO + =1 a) Chng minh: CD AB 1 + = b) Chng minh: AB CD MN Bi ( im ): Cho ng trũn ( O; R ) v dõy cung AB c nh khụng i qua tõm O; C v D l hai im di ng trờn cung ln AB cho AD v BC luụn song song Gi M l giao im ca AC v BD Chng minh rng: a) T giỏc AOMB l t giỏc ni tip b) OM BC c) ng thng d i qua M v song song vi AD luụn i qua mt im c nh ======================= Ht ======================= 64 64 S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON (Dnh cho hc sinh chuyờn Tin) Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) HNG DN CHM MễN TON I Hng dn chung: 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi 3) im ton bi ly im l n 0,25 II ỏp ỏn: Bi Ni dung im 0,50 ( )(3 + 2) (1,5 ) a) Bin i c: = + b) iu kin x 2008 1 x x 2008 = ( x 2008 x 2008 + ) + 2008 4 8031 8031 0,50 = ( x 2008 ) + 4 8033 x 2008 = x = (tha món) Vy giỏ tr nh Du = xy 0,25 8031 8033 x = nht cn tỡm l x y = ta cú h phng trỡnh 3x + y = a) Khi m = x y = 2 3x + y = (2) 2 +5 x = y = 2x x = y = 0,25 0,25 0,25 +5 0,25 2m + 5m ;y= 2 m +3 m +3 b) Gii tỡm c: m2 2m + 5m m2 x + y = + = m + ; ta c m + m + m2 + Thay vo h thc x= 65 0,25 0,50 0,25 65 Gii tỡm c (2) m= (1 : ) a) Tỡm c M(- 2; - 2); N Phng trỡnh ng thng cú dng y = ax + b, ng thng i qua M v N nờn 2a + b = a + b = a = ; b = Tỡm c y = x Vy phng trỡnh ng thng cn tỡm l 0,25 0,25 0,25 0,25 2 t t = x + x ( iu kin t ), ta cú phng trỡnh 3t t = Gii tỡm c t = hoc t = (loi) 0,25 x + x = x + x = Gii c A M D 66 0,25 2 b) Bin i phng trỡnh ó cho thnh 3( x + x ) x + x = Vi t = 1, ta cú x= Hỡnh v (1,5 ) 0,25 x= 1+ hoc 0,25 0,25 B O N 0,25 C MO AM MO MD = ; = a) Chng minh c CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = =1 AD AD Suy CD AB (1) NO NO + =1 b) Tng t cõu a) ta cú CD AB (2) MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 CD AB CD AB (1) v (2) suy 1 + = Suy CD AB MN Hỡnh v (phc v cõu a) 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 66 A D I O M (3) B C a) Chng minh c: - hai cung AB v CD bng - s gúc AMB bng s cung AB Suy c hai gúc AOB v AMB bng O v M cựng phớa vi AB Do ú t giỏc AOMB ni tip b) Chng minh c: - O nm trờn ng trung trc ca BC (1) - M nm trờn ng trung trc ca BC (2) T (1) v (2) suy OM l ng trung trc ca BC, suy OM BC c) T gi thit suy d OM Gi I l giao im ca ng thng d vi ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB, suy gúc OMI bng 90 , ú OI l ng kớnh ca ng trũn ny Khi C v D di ng tha bi thỡ A, O, B c nh, nờn ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB c nh, suy I c nh Vy d luụn i qua im I c nh 67 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 67 ... tròn (O) Sở giáo dục đào tạo Hng yên đề thức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2 010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút... giáo dục-đào tạo Hà nam đề thức Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Năm học 2009-2 010 Môn thi : toán (đề chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Bài 1.(2,5 điểm) 1... trc ca BCE hoc BDE Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên phan bội châu năm học 2009 - 2 010 Sở GD&ĐT Nghệ An Đề thi thức Mụn thi: TON Thi gian: 150 phỳt, khụng k thi gian giao Bi 1: (3.5