ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== ĐINH THỊ NGỌC MINH PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: Hai định lý Nevanlinna 1.1 Công thức Poison – Jensen 1.1.1 Định lý 1.1.2 Hệ 1.2 Hàm đặc trưng – Định lý thứ 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số tính chất đơn giản hàm đặc trưng 1.2.3 Định lý thứ 1.3 Định lý thứ hai 10 1.3.1 Định lý ( Bất đẳng thức bản) 10 1.3.2 Bổ đề 11 1.3.3 Bổ đề 12 1.3.4 Định lý 16 1.3.5 Định nghĩa 17 1.3.6 Định lý (Quan hệ số khuyết) 18 1.3.7 Định lý 20 Chương 2: Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm 24 2.1 Sự phân phối giá trị hàm phân hình 24 2.1.1 Định nghĩa 24 2.1.2 Định lý (Milloux) 24 2.1.3 Định lý 26 2.1.4 Định lý 28 2.1.5 Bổ đề: 28 2.2 Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm 32 2.2.8 Định lý 34 2.2.9 Định lý 36 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hình (lý thuyết Nevanlinna ) hướng nghiên cứu giải tích phức thu hút quan tâm rộng rãi nhà toán học giới Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày số kết gần lý thuyết phân phối giá trị Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm vấn đề quan tâm giải tích phức mà có nhiều ứng dụng nghiên cứu vấn đề khác, chẳng hạn phương trình vi phân Sau trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn với đề tài: “Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm nó” Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết danh mục tài liệu tham khảo Chương1: Trình bày định nghĩa hàm đặc trưng, hai định lý Nevanlinna, Chương2: Trình bày định nghĩa, định lý, số kết Milloux vấn đề luận văn: Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm Kết có nhờ hướng dẫn tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Thầy không tận tình hướng dẫn mà động viên suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy! Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin việc chuẩn bị bảo vệ luận văn Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa sau đại học Đại học Sư phạm, Khoa toán thầy cô giáo tạo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện tốt cho em học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin cảm ơn anh, chị , bạn học viên lớp cao học Toán_K16 Đại học Sư phạm Thái Nguyên giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm suốt thời gian viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè cổ vũ, động viên trình làm luận văn Mặc dù cố gắng chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp, bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Hai định lý Nevanlinna 1.1 Công thức Poison – Jensen 1.1.1 Định lý  z  R ,  R   , có Giả sử f  z  hàm phân hình hình tròn không điểm a    1,2, , M  ; cực điểm b   1,2, , N  hình tròn đó( không điểm cực điểm tính số lần bội nó) Khi đó, z  rei ;   r  R  , f  z   0,  ; ta có: log f  z   2 2 i  log f  Re  M R  z  a   1 R  a z   log R2  r d R  Rr cos      r N R  z  b   1 R  b z   log Chứng minh + Bước 1: Trước tiên, giả sử hàm f  z  không điểm cực điểm  z  R Ta chứng minh công thức cho trường hợp z  Theo giả thiết f  z  chỉnh hình khác  z  R nên log f  z  hàm chỉnh hình hình tròn Theo định lý Cauchy ta có: log f    2 i dz z R log f  z  z  2 2   log f  Re  d i Lấy phần thực hai vế ta được: log f    2 2   log f  Re  d i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn + Bước 2: Xét trường hợp z  rei , r  Theo công thức Cauchy ta có: log f  z   d log f    2 i   R z R2 R2 R2 Mặt khác, điểm có môđun   R nên điểm nằm hình z z r tròn, đó: d log f     R2 2 i   R  z Từ ta có:    1  log f  z   log f   d     2 i   R   z   R   z    R2  z  log f   d 2 i   R   z  R  z   Thay   Rei , d  iR ei d, R   z   z   Rei  R  Rr cos      r  Ta được: log f  z   2 2 R2  r 0 log f  Re  R2  2Rr cos      r d i Lấy phần thực hai vế ta công thức cần chứng minh trường hợp hàm f  z  chỉnh hình khác không + Bước 3: Giả sử f  z  không điểm cực điểm   R có không điểm cực điểm biên   R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (*) Nhận xét: f  z  có hữu hạn không điểm, cực điểm biên Chứng minh Giả sử f  z  có vô hạn không điểm, cực điểm   R Do   R compact, tồn  điểm giới hạn tập hợp không điểm suy f  (+) Giả sử f  z  có vô hạn cực điểm n    0 : lim nk  0 Do nk cực điểm k  Suy  bất thường cốt yếu  f   không phân hình Giả sử  không điểm cực điểm cấp k lân cận  ; f   có khai triển: f      0  g   ; g   chỉnh hình khác lân cận 0 ; log f    log    lân cận  Với  không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm  bán kính   đủ nhỏ Xét C : Hợp cung tròn bán kính  nằm bên   R thay tích phân C,   R lân cận  cung C Suy chu tuyến f  z  không điểm, cực điểm Áp dụng bước Tích phân chu tuyến khác tích phân C    R  đại lượng là:  2  r  log   2    log   , 2  log     Vậy cho   ta công thức cần chứng minh + Bước 4: Trường hợp tổng quát Với giả thiết định lý ta đặt: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R   b  1 R  b  , M R  a   N     f       1 R  a  dễ thấy     0,  bên hình tròn   R , nên ta áp dụng công thức chứng minh bước Mặt khác, hàm hai dấu tích hàm thực ánh xạ hình tròn   R lên hình tròn đơn vị, nên môđun chúng   R Từ đó,   Rei     f   Ta có: log   z   2 2  log f  Re i  R2  r d R  Rr cos      r Từ công thức hàm    ta công thức Poisson-Jensen cho trường hợp tổng quát 1.1.2 Hệ Trong giả thiết Định lý, đồng thời f  0  0,  , ta có: log f    2 2 log  log f  Re  d    M i 1 a R N   log  1 b R Khi f     công thức thay đổi chút Thật vậy, f    f  0   hàm f  z  có khai triển lân cận z  dạng: f  z   C z       R f  z  Xét hàm   z   z Ta thấy   0  0,  , đồng thời   Rei ,     f   Từ ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn log C  2 2 log  log f  Re  d    M i 1 a R N b   log R R   log  1 (*) Nhận xét: Giả sử f  z  hàm phân hình miền G Ta gọi cấp hàm f  z  điểm z0  G , ký hiệu ord z0 f , số nguyên m cho hàm g  z   f  z  z  z0  m chỉnh hình khác không z0 (*) Ví dụ: (1) z0 điểm cấp k f  z   ord z0 f  k  k   (2) z0 cực điểm cấp k f  z   ord z0 f  k (3) Tại z0 hàm f  z  chỉnh hình, khác  ordz0 f  Công thức Poisson – Jensen viết dạng: log f  z   2 2  log f  Re i  R2  z Rei  z    ord f  log R z    , R2   z tổng lấy theo  hình tròn    R 1.2 Hàm đặc trưng – Định lý thứ 1.2.1 Định nghĩa Giả sử x số thực dương, ta định nghĩa: log  x  max 0;logx Ta có: log x  log  x  log  , x vì: x  1: log x   log  x  log x 1 log   log   x x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x  1:log x   log  x  1 log   log   log   log x x x x Như vậy, ta có: 2 2  log f  Re  i Đặt m  R, f   2 d  2 2 2  log f  Re  i  d  2 2  log  d f  Rei    log f  Re  d  i   Giả sử f có cực điểm bv v  1, n (mỗi cực điểm tính số lần   bậc nó), không điểm a   1, M số cực điểm f N  z  R; n  t , f   z  t R R dt Đặt N  R, f    log   n t, f  bv t v 1 R  1 M   dt R   n  t,  Như vậy, N  R,    log a  f  t  f   1 Khi công thức Poisson – Jensen viết dạng:  1  1 log f    m  R, f   m  R,   N  R, f   N  R,   f   f   1  1  m  R, f   N  R, f   m  R,   N  R,   log f    f   f  Đặt T  R, f   m  R, f   N  R, f  , (1.1)  1 T  R, f   T  R,   log f    f  (1.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... khuyết) 18 1.3.7 Định lý 20 Chương 2: Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm 24 2.1 Sự phân phối giá trị hàm phân hình 24 2.1.1 Định nghĩa 24 2.1.2 Định... kết gần lý thuyết phân phối giá trị Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm vấn đề quan tâm giải tích phức mà có nhiều ứng dụng nghiên cứu vấn đề khác, chẳng hạn phương trình vi phân Sau trình nghiên... văn với đề tài: Phân phối giá trị hàm phân hình đạo hàm nó Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết danh mục tài liệu tham khảo Chương1: Trình bày định nghĩa hàm đặc trưng, hai