ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ BĂNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT SỐ NGUYÊN TỐ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy gia đình Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo nghiên cứu khoa học quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Tỉnh Bắc Kạn, Trường Trung học phổ thông Ngân Sơn, đặc biệt tổ Toán Tin giúp đỡ tinh thần vật chất suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày 19 tháng năm 2010 Tác giả i Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trong số học số nguyên tố đóng vai trò quan trọng Từ xưa nhà toán học nhiều thời gian để nghiên cứu số nguyên tố nay, nhiều điều bí ẩn số nguyên tố chưa biết Ngày nhờ vào tiến KHKT, nhờ vào máy tính điện tử, người ta tìm nhiều số nguyên tố lớn (có hàng chục triệu chữ số) Bên cạnh định lí số nguyên tố lôi ý nhà toán học, người ta cố gắng tìm chứng minh Chứng minh tính vô hạn số nguyên tố sử dụng lí thuyết khác số học, lí thuyết chuỗi, tô pô, nhiều công cụ khác Luận văn gồm hai chương Chương 1, trình bày chứng minh khác định lí Euclid Cũng chương này, trình bày số toán tồn tiếng lí thuyết số nguyên tố Chương 2, trình bày lịch sử tìm số số nguyên tố lớn ứng dụng, mà trọng tâm chương nghiên cứu lịch sử tìm số nguyên tố Mersenne từ trước số nguyên tố lớn tìm thường số nguyên tố Mersenne Nhận thức lí thuyết số nguyên tố tảng số học, học số nguyên tố từ sớm, từ bậc học phổ thông sở, tài liệu viết số nguyên tố Bản luận văn cung cấp thêm tài liệu lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố trình tìm số nguyên tố lớn Chúng hy vọng luận văn đáp ứng phần lòng yêu thích nghiên cứu số nguyên tố bạn đồng nghiệp, em học sinh Sau thời gian nghiên cứu luận văn hoàn thành Tuy nhiên ii Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong góp ý quý thầy cô, bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 19 tháng năm 2010 Tác giả iii Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu ii Mục lục Chương Định lí Euclid số nguyên tố 1.1 Định lí: Tập hợp số nguyên tố vô hạn 1.2 Những chứng minh khác định lí Euclid 1.2.1 Chứng minh (Euclid, kỉ III trước công nguyên) 1.2.2 Chứng minh (Kummer) 1.2.3 Chứng minh (Silvestre) 1.2.4 Chứng minh (Goldbach) 1.2.5 Chứng minh 1.2.6 Chứng minh 1.2.7 Chứng minh (Kholsinskii 1994) 10 1.2.8 Chứng minh 11 1.2.9 Chứng minh 12 1.2.10 Chứng minh 10 13 1.2.11 Chứng minh 11 14 1.2.12 Chứng minh 12 14 1.2.13 Chứng minh 13 16 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.14 Chứng minh 14 16 1.2.15 Chứng minh 15 17 1.2.16 Chứng minh 16 (Euler) 17 1.2.17 Chứng minh 17 18 1.2.18 Chứng minh 18 18 1.2.19 Chứng minh 19 (chứng minh sử dụng tô pô, Furstenberg,1955) 19 Chương Số nguyên tố lớn ứng dụng 20 2.1 Tại cần phải tìm số nguyên tố lớn? 20 2.1.1 Hệ mã mũ 21 2.1.2 Các hệ mật mã khóa công khai 23 2.2 Số nguyên tố Mersenne 26 2.2.1 Số hoàn hảo số nguyên tố Mersenne 26 2.2.2 Lịch sử tìm số nguyên tố Mersenne 30 2.2.3 Danh sách số nguyên tố Mersenne biết 31 2.3 Một số số nguyên tố lớn biết đến 32 2.3.1 Các số nguyên tố sinh đôi 32 2.3.2 Các số nguyên tố Sophie Germain 32 2.3.3 Các số giai thừa nguyên tố, nguyên tố giai thừa 33 2.4 Lịch sử nghiên cứu số nguyên tố 34 2.4.1 Các chủ đề lịch sử lí thuyết số nguyên tố 34 2.4.2 Một số vấn đề chưa giải 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Định lí Euclid số nguyên tố Những định lí tồn luôn lôi ý nhà toán học, người ta luôn cố gắng tìm chứng minh định lý toán học cổ điển Chẳng hạn người ta biết 350 chứng minh khác định lí Pytago Những chứng minh không thú vị mặt khoa học mà có ý nghĩa mặt lịch sử Hơn nhiều chứng minh cho thấy mối liên quan lĩnh vực kiện khác toán học Ở trình bày 19 chứng minh khác định lí tiếng toán học, định lí Euclid: 1.1 Định lí: Tập hợp số nguyên tố vô hạn 1.2 Những chứng minh khác định lí Euclid 1.2.1 Chứng minh (Euclid, kỉ III trước công nguyên) Giả sử tập hợp số nguyên tố hữu hạn Gọi p số nguyên tố lớn Xét k tích tất số nguyên tố cộng thêm 1: k = · · · · · ·p + Số k ước nguyên tố chia cho số nguyên tố tùy ý ta phần dư Trong dễ thấy ước số bé m > số tự nhiên k số nguyên tố, mâu thuẫn chứng minh định lí Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.2 Chứng minh (Kummer) Thực chất chứng minh Eculid chỗ, với giả thiết tính hữu hạn tập hợp số nguyên tố, người ta xây dựng số nguyên k không chia hết cho số nguyên tố Nhà toán học Đức Kummer thay lập luận Euclid dấu định nghĩa k: k = · · · · · p − Trước đến chứng minh khác ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.2.1 Nếu tồn dãy vô hạn số nguyên, nguyên tố cặp tập hợp số nguyên tố vô hạn Chứng minh Thật vậy, số nguyên tố cặp ước nguyên tố chung Vì lấy ước nguyên tố số dãy ta nhận tập hợp vô hạn mà phần tử chúng số nguyên tố Bây để chứng minh có vô hạn số nguyên tố ta cần tìm dãy số nguyên tố cặp 1.2.3 Chứng minh (Silvestre) Xét dãy an xác định quan hệ sau: a1 = ak+1 = (ak )2 − ak + 1, k ∈ N Chẳng hạn số số hạng dãy sau: 2, 3, 7, 43 Ta chứng minh quy nạp với n ∈ N ta có đẳng thức sau: an+1 = a1 · a2 · · · ·an−1 · an + Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với n = hiển nhiên Bây giả sử quan hệ với n tức an+1 = a1 · a2 · · · an−1 · an + Khi đó: an+2 = (an+1 )2 − an+1 + 1, a1 · a2 · · · ·an+1 + = a1 · a2 · · · an [(a1 · a2 · · · an−1 · an ) + 1] + =[(a1 · a2 · · · ·an )2 + a1 · a2 · an ] + =[(an+1 )2 − 2an+1 + + an+1 − + =(an+1 )2 − an+1 + Vậy (1) chứng minh Từ (1) suy phần tử với dãy Silvestre nguyên tố với tất phần tử đứng trước Như ta dãy vô hạn số nguyên tố cặp 1.2.4 Chứng minh (Goldbach) n Giả sử an = 22 + n Ta chứng minh hai số tùy ý dãy 3, 5, 17, , 22 + 1, nguyên tố cặp Giả sử ngược lại an ak n > k không nguyên tố tức có ước chung d > Ta nhận thấy dãy xét gồm toàn số lẻ, d > Xét đồng thức sau đây: (1 + 2) · (1 + 22 ) · (1 + 22 ) (1 + 22 n−1 n ) = 22 − n Đồng thức chứng tỏ số an − = 22 − chia hết cho ak , chia hết cho d Nhưng = an − (an − 2) chia hết cho d (mâu thuẫn) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... lí thuyết số nguyên tố Chương 2, trình bày lịch sử tìm số số nguyên tố lớn ứng dụng, mà trọng tâm chương nghiên cứu lịch sử tìm số nguyên tố Mersenne từ trước số nguyên tố lớn tìm thường số nguyên. .. số nguyên tố vô hạn Chứng minh Thật vậy, số nguyên tố cặp ước nguyên tố chung Vì lấy ước nguyên tố số dãy ta nhận tập hợp vô hạn mà phần tử chúng số nguyên tố Bây để chứng minh có vô hạn số nguyên. .. 2.3 Một số số nguyên tố lớn biết đến 32 2.3.1 Các số nguyên tố sinh đôi 32 2.3.2 Các số nguyên tố Sophie Germain 32 2.3.3 Các số giai thừa nguyên tố, nguyên