Cở sở lý thuyết hàm biến phức

567 132 0
  • Loading ...
1/567 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/04/2017, 15:10

sở thuyết hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ, Biên tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên thác triển giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, thuyết thặng dư, Hàm đơn diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác không chấp thuận nhà xuất tác giả ˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ’ ´ ˆ´T CO SO LY THUYE ´ ` ˆ ´ HAM BIEN PHU C ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆ I NHA H` a Nˆ o.i – 2006 Mu.c lu.c `au oi dˆ L` o.i n´ a h` am biˆ e´n ph´ u.c M˘ a.t ph˘ a’ng ph´ u.c v` 1.1 Tˆa.p ho p sˆo´ ph´ u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1.1 D u.c 1.1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c 1.1.3 Ph´ep tr` u v`a ph´ep chia sˆo´ ph´ u.c u.c 1.1.4 M˘a.t ph˘a’ng ph´ 1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu’a sˆo´ ph´ u.c 1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo´ ph´ u.c 1.2 10 11 12 16 18 19 20 1.1.7 Da.ng m˜ u cu’a sˆo´ ph´ uc `e m˘a.t ph˘a’ng mo’ rˆo.ng 1.1.8 Kh´ai niˆe.m vˆ 1.1.9 Khoa’ng c´ach trˆen C C´ac kh´ai niˆe.m tˆopˆo co ba’n trˆen m˘a.t ph˘a’ng 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 Tˆopˆo `an Phˆ - iˆe’m D 28 29 30 33 ph´ u.c 35 trˆen C 36 `an ngo`ai 38 v`a phˆ tu Biˆen cu’a Tˆa.p ho p Tˆa.p ho p 39 tˆa.p ho p 40 comp˘´ac 41 liˆen thˆong H`am ph´ u c biˆe´n thu c Tuyˆe´n `ong luˆan Ph´ep dˆ `en do.n liˆen v`a da liˆen Miˆ 42 v`a du.`o.ng cong 46 53 56 MU C LU C 1.3 1.4 1.5 1.6 H`am biˆe´n ph´ u.c - i.nh ngh˜ıa h`am biˆe´n ph´ 1.3.1 D u.c `e ´anh xa do.n diˆe.p 1.3.2 C´ac v´ı du vˆ 1.3.3 Gi´o.i ha.n cu’a h`am `eu 1.3.4 T´ınh liˆen tu.c v`a liˆen tu.c dˆ `en ph´ L´ y thuyˆe´t d˜ay v`a chuˆo˜ i miˆ u.c 1.4.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay diˆe’m 1.4.2 Chuˆo˜ i sˆo´ ph´ u.c v`a su hˆo.i tu cu’a n´o 1.4.3 D˜ay v`a chuˆ˜o i h`am 1.4.4 Chuˆo˜ i l˜ uy th` u.a `eu trˆen t` 1.4.5 Su hˆo.i tu dˆ u.ng comp˘´ac H`am arg z 1.5.1 T´ınh liˆen tu.c cu’a h`am arg z 1.5.2 Sˆo´ gia cu’a acgumen do.c theo du.`o.ng cong 1.5.3 Nh´anh do.n tri liˆen tu.c cu’a h`am arg z B`ai tˆa.p H` am chı’nh h`ınh 2.1 H`am kha’ vi 2.1.1 H`am R2 - kha’ vi - a.o h`am theo phu.o.ng 2.1.2 D 2.1.3 H`am C - kha’ vi 2.1.4 Mˆo´i liˆen hˆe gi˜ u.a C - kha’ vi v`a R2 - kha’ 2.1.5 H`am chı’nh h`ınh 2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı’nh h`ınh 2.2 Mˆo.t sˆo´ h`am chı’nh h`ınh so cˆa´p - a th´ u.u ty’ 2.2.1 D u.c v`a h`am h˜ √ 2.2.2 H`am w = z n v`a z = n w, n ∈ N 2.2.3 H`am ez 2.2.4 H`am lˆogarit 2.2.5 H`am l˜ uy th` u.a z α, α ∈ R 2.2.6 C´ac h`am so cˆa´p kh´ac vi 59 59 62 64 67 72 72 75 79 85 92 95 95 96 98 100 105 106 106 108 110 114 115 121 122 122 122 124 126 130 131 MU C LU C 2.3 2.4 2.5 2.2.7 Nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am da tri H`am chı’nh h`ınh v`a ´anh xa ba’o gi´ac ´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a acgumen cu’a da.o 2.3.1 Y ´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a mˆodun da.o h`am 2.3.2 Y ´ 2.3.3 Anh xa ba’o gi´ac ´ 2.3.4 Anh xa liˆen tu.c v`a ´anh xa chı’nh h`ınh C´ac d ˘a’ng cˆa´u so cˆa´p - ˘a’ng cˆa´u phˆan tuyˆe´n t´ınh 2.4.1 D ´ 2.4.2 Anh xa w = ez v`a z = log w 2.4.3 H`am Jukovski 2.4.4 C´ac d˘a’ng cˆa´u so cˆa´p kh´ac 2.4.5 Mˆo.t sˆo´ v´ı du B`ai tˆa.p h`am 134 138 138 140 141 143 146 147 160 164 172 175 183 L´ y thuyˆ e´t t´ıch phˆ an h` am chı’nh h`ınh 188 `en ph´ 3.1 T´ıch phˆan miˆ u c 189 - i.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan 189 3.1.1 D 3.1.2 U ´o.c lu.o ng t´ıch phˆan 193 3.1.3 T´ınh t´ıch phˆan b˘`ang phu.o.ng ph´ap qua gi´o.i ha.n 194 ung v`a da.ng vi phˆan d´ong 200 3.1.4 Da.ng vi phˆan d´ 3.1.5 T´ıch phˆan du `o ng phu thuˆo.c tham sˆo´ 213 3.2 L´ y thuyˆe´t Cauchy 217 3.2.1 Nguyˆen h`am di.a phu.o.ng cu’a h`am chı’nh h`ınh 217 3.2.2 Nguyˆen h`am cu’a h`am chı’nh h`ınh theo tuyˆe´n 223 `ong luˆan227 3.2.3 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i c´ac tuyˆe´n dˆ u nhˆa´t cu’a Cauchy 231 3.2.4 Cˆong th´ u.c t´ıch phˆan co ba’n th´ `en do.n liˆen 234 3.2.5 Nguyˆen h`am miˆ u.c co ba’n th´ u 3.2.6 Cˆong th´ u.c t´ıch phˆan Cauchy (cˆong th´ hai cu’a Cauchy) 235 ˜e n t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i da.o h`am cu’a h`am chı’nh h`ınh241 3.2.7 Biˆe’u diˆ - iˆ `eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am f chı’nh h`ınh 250 3.2.8 D `eu h`oa v`a mˆo´i liˆen hˆe v´o.i h`am chı’nh h`ınh 250 3.2.9 H`am diˆ MU C LU C 3.3 3.2.10 T´ıch phˆan da.ng Cauchy Cˆong th´ u.c Sokhotski 257 ˜e n t´ıch phˆan h`am diˆ `eu h`oa 270 3.2.11 Biˆe’u diˆ B`ai tˆa.p 277 am chı’nh h`ınh 278 C´ ac t´ınh chˆ a´t co ba’n cu’a h` 4.1 C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´ ut t` u t´ıch phˆan Cauchy 279 - i.nh l´ 4.1.1 D y gi´a tri trung b`ınh 279 - inh l´ 4.1.2 D y Liouville 280 - i.nh l´ `e chuˆ˜o i h`am hˆo.i tu dˆ `eu 284 4.1.3 D y Weierstrass vˆ 4.1.4 T´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng cu’a h`am chı’nh h`ınh Chuˆo˜ i Taylor288 y 4.1.5 C´ac quan diˆe’m kh´ac viˆe.c xˆay du ng l´ thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh 305 4.2 T´ınh chˆa´t nhˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh 310 4.2.1 Khˆong diˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`am chı’nh h`ınh 310 4.2.2 T´ınh chˆa´t nhˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh 313 4.2.3 Nguyˆen l´ y th´ac triˆe’n gia’i t´ıch 317 4.2.4 Nguyˆen l´ y mˆodun cu c da.i 320 - iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p 326 4.3 D 4.3.1 Chuˆo˜ i Laurent 326 - iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p do.n tri 337 4.3.2 D ung 348 4.3.3 D´ang diˆe.u cu’a h`am ta.i diˆe’m vˆo c` 4.3.4 Phˆan loa.i h`am chı’nh h`ınh 350 4.4 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a tˆa.p ho p mo’ 354 4.4.1 Nguyˆen l´ y acgumen 354 - inh l´ 4.4.2 D y Rouch´e 360 4.4.3 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a tˆa.p ho p mo’ 363 4.5 B`ai tˆa.p 365 H` am d a tri v` a diˆ e.n Riemann 369 5.1 Phu o ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass 370 `an tu’ ch´ınh t˘´ac 371 5.1.1 Phˆ MU C LU C - iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a phˆ `an tu’ ch´ınh t˘´ac D 5.1.3 Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass 5.1.4 H`am khˆong cho ph´ep th´ac triˆe’n gia’i t´ıch C´ac phu.o.ng ph´ap kh´ac 5.1.2 5.2 Th´ac triˆe’n gia’i t´ıch theo tuyˆe´n 5.2.2 Th´ac triˆe’n dˆo´i x´ u.ng H`am gia’i t´ıch d u’ 5.3.1 Kh´ai niˆe.m h`am gia’i t´ıch du’ 5.2.1 5.3 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.4 5.5 372 373 378 380 380 386 391 391 Mˆo.t v`ai v´ı du T´ınh do.n tri v`a da tri - i.nh l´ D y do.n tri (monodromie) Nh´anh v`a phu.o.ng ph´ap t´ach nh´anh chı’nh h`ınh `e diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng Kh´ai niˆe.m vˆ `e diˆe.n Riemann Kh´ai niˆe.m vˆ `au 5.4.1 Mˆo.t sˆo´ v´ı du mo’ dˆ 5.4.2 Phu.o.ng ph´ap du ng diˆe.n Riemann B`ai tˆa.p 393 396 399 405 412 413 419 420 L´ y thuyˆ e´t th˘ a.ng du v` au ´.ng du.ng 6.1 Co so’ l´ y thuyˆe´t th˘a.ng du - i.nh ngh˜ıa th˘a.ng du 6.1.1 D 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh th˘a.ng du - i.nh l´ 6.1.3 D y co ba’n cu’a l´ y thuyˆe´t th˘a.ng du 6.1.4 T´ınh t´ıch phˆan theo chu tuyˆe´n d´ong 6.2 Mˆo.t sˆo´ u ´.ng du.ng cu’a l´ y thuyˆe´t th˘a.ng du 6.2.1 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 422 423 423 425 436 444 448 448 2π 6.2.2 T´ınh t´ıch phˆan da.ng I = R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ 451 +∞ 6.2.3 R(x)dx 454 T´ıch phˆan da.ng I = −∞ MU C LU C 6.2.4 eiax R(x)dx 459 T´ıch phˆan da.ng I = R 6.2.5 R(x)xα dx 463 T´ıch phˆan da.ng I = R+ 6.3 6.4 6.2.6 Mˆo.t sˆo´ v´ı du kh´ac 6.2.7 T`ım tˆo’ng cu’a chuˆ˜o i H`am nguyˆen v`a h`am phˆan h`ınh 6.3.1 H`am phˆan h`ınh B`ai to´an Cousin th´ u nhˆa´t m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c 6.3.2 H`am nguyˆen B`ai to´an Cousin th´ u hai m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c B`ai tˆa.p ´ Anh xa ba’o gi´ ac 7.1 C´ac kh´ai niˆe.m chung 7.1.1 H`am do.n diˆe.p - iˆ `eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am do.n diˆe.p 7.1.2 D 7.1.3 Su hˆo.i tu cu’a d˜ay h`am do.n diˆe.p 7.1.4 T´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng cu’a ´anh xa chı’nh h`ınh h`am b˘a`ng 7.1.5 T´ınh chˆa´t chung cu’a ´anh xa ba’o gi´ac - ˘a’ng cˆa´u v`a tu d˘a’ng cˆa´u 7.1.6 D - iˆ `on ta.i d˘a’ng cˆa´u `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ tˆ 7.1.7 D - iˆ `eu kiˆe.n chuˆa’n 7.1.8 D - i.nh l´ y thuyˆe´t ´anh xa ba’o gi´ac 7.2 D y co ba’n cu’a l´ 7.2.1 Tˆa.p ho p bi ch˘a.n H(D) `ong bˆa.c 7.2.2 Tˆa.p ho p liˆen tu.c dˆ 7.2.3 Nguyˆen l´ y comp˘´ac 7.2.4 Phiˆe´m h`am liˆen tu.c - o.n gia’n h´oa c´ach d˘a.t b`ai to´an Riemann 7.2.5 D - i.nh l´ 7.2.6 D y Riemann - inh l´ 7.2.7 D y nhˆa´t cu’a ´anh xa ba’o gi´ac c´o da.o 478 490 495 495 503 513 515 516 517 522 524 525 527 528 532 534 537 538 539 540 544 546 548 553 MU C LU C ´.ng Su tu.o.ng u Schwarz 7.3 B`ai tˆa.p T` liˆ e.u tham kha’o 7.2.8 gi˜ u.a c´ac biˆen v`a cˆong th´ u.c Christoffel 554 560 563 `au oi dˆ L` o.i n´ `en m´ong t` Co so’ l´ u gi˜ y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´ u.c (LTHBP) du.o c d˘a.t nˆ u.a thˆe´ ky’ XVIII bo’.i c´ac cˆong tr`ınh cu’a L Euler V´o.i tu c´ach mˆo.t nh´anh dˆo.c lˆa.p, u.a thˆe´ ky’ XIX nh`o c´ac cˆong tr`ınh cu’a O LTHBP du.o c h`ınh th`anh v`ao gi˜ Cauchy, C Weierstrass v`a B Riemann `an quan tro.ng nhˆa´t cu’a to´an Ng`ay LTHBP l`a mˆo.t nh˜ u.ng phˆ u.a cˆo’ diˆe’n v` u.a hiˆe.n da.i, v` u.a g˘a´n b´o mˆa.t thiˆe´t v´o.i ho.c D´o l`a khoa ho.c v` `eu b`ai c´ac nh´anh hiˆe.n da.i nhˆa´t cu’a to´an ho.c l´ y thuyˆe´t la.i v` u.a g˘´an b´o v´o.i nhiˆ to´an vˆa.t l´ y v`a co ho.c cu thˆe’ Tu tu.o’.ng v`a kˆe´t qua’ cu’a n´o d˜a thˆam nhˆa.p sˆau `eu phˆ `an kh´ac cu’a to´an ho.c C´ac phu.o.ng ph´ap cu’a LTHBP d˜a v`ao nhiˆ `eu ng`anh u ´.ng du.ng nhu thu’y dˆo.ng ho.c, tro’ th`anh quen thuˆo.c ca’ nhiˆ `oi, V`ı l´ y thuyˆe´t d`an hˆ y d´o m`a LTHBP l`a mˆon ho.c v`a kh´ı dˆo.ng ho.c, l´ `an tˆa´t yˆe´u cu’a gi´ao du.c to´an ho.c dˆo´i v´o.i c´ac hˆe d`ao ta.o: b˘a´t buˆo.c, l`a mˆo.t phˆ ´.ng du.ng cu’a tru.`o.ng Da.i ho.c Khoa ho.c Tu To´an, To´an - Co., To´an - Tin u nhiˆen (Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i) Gi´ao tr`ınh “Co so’ l´y thuyˆe´t h` am biˆe´n ph´ u.c” n`ay du.o c biˆen soa.n theo u.c du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i ban h`anh s´at chu.o.ng tr`ınh H`am biˆe´n ph´ uc chung cu’a cuˆo´n s´ach l`a ho`an to`an tu.o.ng u ´.ng v´o.i nˆo.i Khˆo´i lu.o ng v`a cˆa´u tr´ dung v`a cˆa´u tr´ uc cu’a chu.o.ng tr`ınh hiˆe.n h`anh cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i y thuyˆe´t H`am biˆe´n N´o du.o c biˆen soa.n du a trˆen nˆo.i dung cuˆo´n s´ach “Co so’ l´ ph´ u c” tru ´o c dˆay cu’a t´ac gia’ v`a kinh nghiˆe.m tr`ınh b`ay LTHBP o’ tru.`o.ng Da.i ho.c Tˆo’ng ho p H`a Nˆo.i tru.´o.c dˆay v`a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i ng`ay up sinh viˆen hiˆe’u thˆa´u d´ao co so’ l´ y thuyˆe´t cu’a LTHBP, Nh˘`am mu.c d´ıch gi´ `eu v´ı du minh biˆen soa.n gi´ao tr`ınh n`ay ch´ ung tˆoi d˜a cˆo´ g˘´ang du.a v`ao nhiˆ - inh l´ 7.2 D y co ba’n cu’a l´ y thuyˆe´t ´anh xa ba’o gi´ac 551 l´ y Monodromie ta c´o thˆe’ t´ach nh´anh do.n tri cu’a c˘an th´ u.c Nh´anh n`ay do.n `eu d´o du.o c kiˆe’m tra hˆe.t nhu ch´ diˆe.p D, diˆ y 7.2.4 u.ng minh di.nh l´ o’ tiˆe´t tru ´o c Hiˆe’n nhiˆen |ψ| < ∀ z ∈ D Bˆay gi`o ta x´et h`am h(z) = eiθ ψ(z) − ψ(a) − ψ(a)ψ(z) , −π < π H`am h(z) c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay: h(z) ∈ S(f ; D) Thˆa.t vˆa.y, h(z) chı’nh h`ınh v`a do.n diˆe.p D; h(a) = v`a |h| ∀ z ∈ D h (a) = eiθ ψ (a) iθ + |b| √ f0 (a) = e − |ψ(a)|2 −b √ V´o.i θ = arg −b ta c´o h (a) = + |b| f0 (a) ⇒ h(z) ∈ S(f ; D) |b| h (a) > f0 (a) Thˆa.t vˆa.y, ta c´o + |b| > Do d´o + |b| |b| > T` u d´o suy h (a) > f0 (a) |b| `eu n`ay tr´ai v´o.i t´ınh chˆa´t cu c tri cu’a h`am f0 (z) Di.nh l´ y Riemann du.o c Diˆ ch´ u.ng minh Nhˆ a.n x´et 7.2.2 Nhu.o c diˆe’m co ba’n cu’a ch´ u.ng minh v` u.a tr`ınh b`ay l`a o’ chˆ˜o `an t´ `on ta.i m`a chu.a du.a mˆo.t phu.o.ng ph´ap n´o chı’ thuˆ uy ch´ u.ng minh su tˆ u.ng minh c´o t´ınh c´o t´ınh chˆa´t kiˆe´n thiˆe´t dˆe’ xˆay du ng h`am ´anh xa Ph´ep ch´ y n`ay, xin m`o.i xem c´ac s´ach gi´ao khoa [2], [6], [14] v`a chˆa´t kiˆe´n thiˆe´t di.nh l´ [20] `eu kiˆe.n cu’a di.nh l´y Riemann du.o c tho’a m˜ Hˆ e qua’ 7.2.1 Nˆe´u c´ ac diˆ an th`ı `on ta.i nhˆ a’n h´ oa ta.i diˆe’m z0 ∈ D, tˆ a´t F (z) chı’nh h`ınh D, du o c chuˆ `eu kiˆe.n F (z0) = 0, F (z0) = v` a´ anh xa ba’o gi´ ac D lˆen ac diˆ z0 = ∞ bo’.i c´ am ta.i diˆe’m w = h`ınh tr` on v´ o i tˆ ´ Chu.o.ng Anh xa ba’o gi´ac 552 Ch´ u.ng minh Nˆe´u f0 l`a h`am du.o c chı’ di.nh l´ y Riemann th`ı h`am f0 (z) F (z) = H`am F ´anh xa D lˆen h`ınh tr`on {|w| < R}, R = 1/f (z0 ) f0(z0 ) `eu kh˘a’ng di.nh cu’a hˆe qua’ `on ta.i mˆo.t h`am F1(z) n˜ u.a tho’a m˜an diˆ Nˆe´u c`on tˆ F1(z) v`a ´anh xa D lˆen h`ınh tr`on {|w| < R1 } n`ao d´o th`ı = f0(z) s˜e l`a h`am R1 y Riemann T` u d´o suy du.o c chı’ di.nh l´ = f0(z0 ), R1 Sˆo´ R = F1 (z) = f0 (z) = F (z) f0 (z0) `en D ta.i diˆe’m z0 ∈ D du.o c go.i l`a b´ an k´ınh ba’o gi´ ac cu’a miˆ f0(z0 ) `en do.n liˆen t` a a D2 m˘ a.t ph˘ a’ng C v` uy ´y D1 v` Hˆ e qua’ 7.2.2 Hai miˆ `eu d˘ = C dˆ a’ng cˆ a´u v´ o i `on ta.i d˘a’ng cˆa´u y Riemann tˆ Ch´ u.ng minh Theo di.nh l´ fj : Dj → {|w| < 1}, j = 1, `en d´o lˆen h`ınh tr`on do.n vi Nhu.ng d´o biˆe´n c´ac miˆ f = f2−1 ◦ f1 s˜e l`a d˘a’ng cˆa´u biˆe´n D1 lˆen D2 `en do.n liˆen t` uy ´y D1 v` Hˆ e qua’ 7.2.3 Hai miˆ a D2 m˘ a.t ph˘ a’ng C l` a `ong phˆ oi v´ o.i dˆ ung v´o.i C th`ı hˆe qua’ n`ay du.o c suy Ch´ u.ng minh Nˆe´u D1 v`a D2 khˆong tr` t` u hˆe qua’ 7.2.1 `en tr` ut t` u chˆ˜o l`a Nˆe´u mˆo.t hai miˆ ung v´o.i C th`ı hˆe qua’ du.o c r´ `ong phˆoi v´o.i m˘a.t ph˘a’ng C v`a h`ınh tr`on {|z| < 1} dˆ Hˆ e qua’ 7.2.4 Nˆe´u h` am w = f (z) chı’nh h`ınh C v` a khˆ ong nhˆ a.n nh˜ u.ng `ng sˆ `m trˆen cung l n` o cu’a m˘ a.t ph˘ a’ng th`ı h` am d´ o l` a h˘ a o´ gi´ a tri n˘ a ao d´ - inh l´ 7.2 D y co ba’n cu’a l´ y thuyˆe´t ´anh xa ba’o gi´ac 553 `an ngo`ai l lˆen phˆ `an Ch´ u.ng minh Gia’ su’ ω = ϕ(w) ´anh xa ba’o gi´ac phˆ `on ta.i theo di.nh l´ y Riemann) Ta x´et h`am h`ınh tr`on do.n vi (n´o tˆ ω = ϕ[f (z)] = Φ(z) H`am ω = Φ(z) chı’nh h`ınh C v`a bi ch˘a.n Do d´o, theo di.nh l´ y Liouville Φ(z) ≡ const Nhu ng ϕ(z) = const nˆen f (z) = const 7.2.7 - i.nh l´ D y nhˆ a´t cu’a ´ anh xa ba’o gi´ ac `eu kiˆe.n dˆe’ chuˆa’n h´oa ´anh xa O Trong n◦6 mu.c tru.´o.c ta d˜a b`an dˆe´n c´ac diˆ ’ dˆa´y ta d˜a nˆeu ba c´ach d˘at diˆ `eu kiˆe.n chuˆa’n tu o ng du o ng v´o i y nhˆa´t cu’a ´anh xa ba’o gi´ac u.ng minh di.nh l´ Bˆay gi`o ta ch´ - i.nh l´ `en D d˘ a’ng cˆ a´u v´ o.i h`ınh tr` on do.n vi U = {|w| < 1} D y 7.2.5 Nˆe´u miˆ `on anh xa ba’o gi´ ac D lˆen U phu thuˆ o.c ba tham sˆ o´ thu c v` a tˆ th`ı tˆ a.p ho p mo.i ´ `eu a’n h´ oa bo’.i c´ ac diˆ ta.i ´ anh xa ba’o gi´ ac nhˆ a´t f biˆe´n D lˆen U du.o c chuˆ kiˆe.n f (z0) = 0, arg f (z0) = θ, (7.14) o z0 l` a diˆe’m t` uy ´y thuˆ o.c D, c` on θ l` a sˆ o´ thu c t` uy ´y d´ `eu kh˘a’ng di.nh th´ u nhˆa´t du.o c suy t` y 7.1.10 v`ı nh´om u di.nh l´ Ch´ u.ng minh Diˆ ’ y AutU phu thuˆo.c tham sˆo´ thu c: hai to.a dˆo cu’a diˆem a v`a sˆo´ α di.nh l´ 7.1.13 `eu kh˘a’ng di.nh th´ u.ng minh diˆ u hai ta gia’ thiˆe´t r˘a`ng c´o hai ´anh xa Dˆe’ ch´ `en D lˆen U du.o c chuˆa’n h´oa bo’.i diˆ `eu kiˆe.n (7.14) Khi d´o f1 v`a f2 biˆe´n miˆ ϕ = f1 ◦ f2−1 s˜e l`a mˆo.t tu d˘a’ng cˆa´u cu’a U v`a ϕ(0) = 0, arg ϕ (0) = T` u di.nh l´ y 7.1.13 suy r˘`ang a = v`a α = v`a d´o ϕ ≡ z hay l`a f1(z) ≡ f2(z) ´ Chu.o.ng Anh xa ba’o gi´ac 554 7.2.8 Su tu.o.ng u ´.ng gi˜ u.a c´ ac biˆ en v` a cˆ ong th´ u.c Christoffel-Schwarz `en n`ay lˆen miˆ `en th`ı Nˆe´u h`am chı’nh h`ınh du.o c di.nh ngh˜ıa nhu ´anh xa miˆ ´ ng mˆo.t - mˆo.t gi˜ u a c´ac diˆe’m ´anh xa d´o luˆon luˆon pha’i du o c hiˆe’u l`a su tu o ng u `en nˆen `en V`ı c´ac diˆe’m biˆen khˆong du.o c liˆe.t v`ao diˆe’m cu’a miˆ cu’a c´ac miˆ `an nghiˆen c´ `e ´.ng gi˜ u.a c´ac diˆe’m biˆen ta cˆ u.u su tu.o.ng u u.u vˆa´n dˆ dˆe’ nghiˆen c´ `an dˆe´n biˆen cu’a miˆ `en Thˆe´ kh´o kh˘an ho n - d´ang diˆe.u cu’a h`am ´anh xa dˆ `eu vˆa´n dˆ `e ta cˆ `an pha’i biˆe´t mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu’a h`am ´anh nhu.ng, nhiˆ `an biˆen cu’a miˆ `en xa o’ gˆ Trong pha.m vi gi´ao tr`ınh, ta thu.`o.ng su’ du.ng kˆe´t qua’ sau dˆay cu’a ´.ng biˆen Caratheodory - go.i l`a nguyˆen l´ y tu.o.ng u - i.nh l´ `en D v` a D∗ du.o c gi´ o.i ha.n bo’.i D y 7.2.6 (Caratheodory) Gia’ su’ miˆ a o.ng cong Jordan ∂D v` a ∂D∗ v` c´ ac du.` f : D → D∗ `en D lˆen miˆ `en D∗ l` aa ´nh xa ba’o gi´ ac miˆ o Khi d´ `en d´ ong D, 1) h` am f (z) c´ o thˆe’ th´ ac triˆe’n liˆen tu.c miˆ ’ `ong phˆ `en a du o c th´ o x´ ac lˆ a.p mˆ o.t ph´ep dˆ oi gi˜ u.a c´ ac triˆen d´ ac miˆ 2) h` am d˜ ∗ ong D v` aD d´ u.ng minh kˆe´t qua’ n`ay m`a xin m`o.i ba.n do.c Ta s˜e khˆong d` u.ng la.i dˆe’ ch´ `e d´ang diˆe.u cu’a ´anh xa ba’o gi´ac o’ trˆen biˆen h`ay t`ım n`ao quan tˆam dˆe´n vˆa´n dˆ xem cuˆo´n s´ach cu’a C Caratheodory “Conformal Representation” ho˘a.c cuˆo´n s´ach cu’a A Hurwitz v`a R Courant “Teori funkci ” M., 1968 u.c cho ph´ep t`ım ´anh xa ba’o gi´ac nu’.a m˘a.t Bˆay gi`o ta s˜e tr`ınh b`ay cˆong th´ ph˘a’ng trˆen {Im z > 0} lˆen da gi´ac m˘a.t ph˘a’ng w u.ng kˆe´t qua’ co ba’n Khˆong di sˆau v`ao chi tiˆe´t, o’ dˆay ta s˜e tr`ınh b`ay nh˜ u.c gia’i t´ıch dˆo´i v´o.i h`am w = f (z) ´anh xa nu’.a viˆe.c xˆay du ng biˆe’u th´ m˘a.t ph˘a’ng trˆen P = {Im z > 0} - inh l´ 7.2 D y co ba’n cu’a l´ y thuyˆe´t ´anh xa ba’o gi´ac 555 lˆen da gi´ac ∆n m˘a.t ph˘a’ng w O’ dˆay ta su’ du.ng c´ac k´ y hiˆe.u sau: Ak l`a c´ac dı’nh liˆen tiˆe´p cu’a da gi´ac ´.ng d´o ∆n , k = 1, 2, , n; παk l`a dˆo l´o.n cu’a g´oc ta.i dı’nh Ak tu.o.ng u n `e tˆo’ng c´ac g´oc cu’a da gi´ac); c´ac < αk 2, αk = n − (di.nh l´ y vˆ k=1 diˆe’m ak , k = 1, n n˘a`m trˆen tru.c thu c cu’a m˘a.t ph˘a’ng z ak < ak+1 ∀ k = 1, n − u.c l`a f (ak ) = Ak l`a nghi.ch a’nh cu’a Ak qua ´anh xa w = f (z), t´ `on ta.i T` y Riemann suy h`am w = f (z) tˆ u nguyˆen l´ y tu.o.ng T` u di.nh l´ ung suy du.o c r˘a`ng h`am n`ay liˆen tu.c u ´.ng biˆen ´anh xa ba’o gi´ac c˜ nu’.a m˘a.t ph˘a’ng d´ong P = Im z v`a h`am ngu.o c cu’a n´o liˆen tu.c da gi´ac d´ong ∆n C´o thˆe’ ch´ u.ng minh - i.nh l´ D y 7.2.7 (Christoffel-Schwarz) Gia’ su’.: `eu kiˆe.n a αk , k = 1, n l` a nh˜ u.ng sˆ o´ thu c tho’a m˜ an c´ ac diˆ 1) ak v` −∞ < a1 < a2 < · · · < an < +∞ n < αk 2, αk = n − k=1 2) H` am w = f (z) ´ anh xa nu’.a m˘ a.t ph˘ a’ng trˆen P = {Im z > 0} lˆen da ac dı’nh liˆen tiˆe´p A1 , A2, , An cho f (ak ) = Ak , o.i c´ gi´ ac bi ch˘ a.n ∆n v´ o ta c´ o cˆ ong th´ u.c Christoffel-Schwarz k = 1, n Khi d´ z (z − a1 )α1−1 (z − a2 )α2 −1 · · · (z − an )αn −1 dz + B w = f (z) = A (7.15) z0 `m nu’.a m˘ d´ o t´ıch phˆ an du.o c lˆ a´y theo du.` o.ng cong n˘ a a.t ph˘ a’ng trˆen; `ng sˆ A, B l` a c´ ac h˘ a o´ Ta x´et hai tru.`o.ng ho p d˘a.c biˆe.t sau dˆay ´ Chu.o.ng Anh xa ba’o gi´ac 556 I Gia’ su’ mˆo.t c´ac dı’nh cu’a da gi´ac l`a a’nh cu’a diˆe’m vˆo c` ung, ch˘a’ng ha.n l`a a’nh cu’a an = ∞ Ta thu c hiˆe.n ph´ep biˆe´n dˆo’i tuyˆe´n t´ınh biˆe´n nu’.a m˘a.t ph˘a’ng trˆen {Im z > 0} lˆen nu’.a m˘a.t ph˘a’ng trˆen {Im ζ > 0} bo’.i ζ = − + an z −1 ´ ´ + an nˆeu c´o mˆo.t ak = (trong d´o a = ak nˆeu ak = ho˘a.c bo’ i ζ = z−a ∀ k = 1, n) biˆe´n c´ac diˆe’m a1, a2, , an−1 , an = ∞ th`anh c´ac diˆe’m h˜ u.u ha.n n a1 , a2, , an Khi d´o theo (7.15) v`a hˆe th´ u.c αk = n − ta c´o k=1 am w = f (z) ´ anh xa nu’.a m˘ a.t ph˘ a’ng trˆen {Im z > 0} Hˆ e qua’ 7.2.5 Gia’ su’ h` ac bi ch˘ a.n ∆n cho ak = ∞ v´ o.i k = 1, n − v` a an = ∞ Khi d´ o lˆen da gi´ ta c´ o cˆ ong th´ uc z (z − a1)α1 −1 (z − a2)α2 −1 · · · (z − an−1 )αn−1 −1 dz + B1 w = f (z) = A1 z0 (7.16) u.c Christoffel-Schwarz th` u.a sˆo´ liˆen T` u (7.16) ta thˆa´y r˘`ang cˆong th´ `eu d´o du.a dˆe´n quan dˆe´n dı’nh tu.o.ng u ´.ng v´o.i an = ∞ l`a khˆong hiˆe.n diˆe.n Diˆ `eu ho.n viˆe.c cˆong th´ u.c (7.16) thu.`o.ng du.o c su’ du.ng nhiˆ II X´et tru.`o.ng ho p da gi´ac ∆n c´o mˆo.t hay mˆo.t sˆo´ dı’nh n˘a`m ta.i ∞ u.a hai ca.nh v´o.i dı’nh ta.i ∞ du.o c x´ac Trong tru.`o.ng ho p n`ay ta s˜e xem g´oc gi˜ u.u ha.n gi˜ u.a hai ca.nh d´o v´o.i dˆa´u ngu.o c la.i di.nh nhu l`a g´oc ta.i giao diˆe’m h˜ u.c l`a ta c´o u.c (7.15) v`a (7.16) vˆ˜a n c´o hiˆe.u lu c, t´ V´o.i quy u.´o.c d´o cˆong th´ ´ - i.nh l´ xa ba’o gi´ ac w = f (z) biˆe´n nu’.a D y 7.2.8 (Christoffel-Schwarz) Anh ac ∆n du.o c thu c hiˆe.n bo’.i m˘ a.t ph˘ a’ng trˆen lˆen da gi´ 1) h` am (7.15) nˆe´u ak = ∞ ∀ k = 1, n; (2) h` am (7.16) nˆe´u ak = ∞, k = 1, n − 1, an = ∞ Cˆong th´ u.c Christoffel-Schwarz cho ph´ep ta t`ım h`am w = f (z) ´anh xa u.c l`a cho ba’o gi´ac nu’.a m˘a.t ph˘a’ng {Im z > 0} lˆen da gi´ac ∆n d˜a du.o c cho (t´ c´ac dı’nh Ak v`a c´ac g´oc παk , k = 1, n) th`ı b`ai to´an t`ım h`am w = f (z) du.o c `e t`ım c´ac diˆe’m ak , k = 1, n v`a c´ac h˘a`ng sˆo´ A, B Ba diˆe’m bˆa´t k` y du.a vˆ - inh l´ 7.2 D y co ba’n cu’a l´ y thuyˆe´t ´anh xa ba’o gi´ac 557 sˆo´ c´ac diˆe’m ak k = 1, n du.o c cho t` uy y ´ (7.1.8), c´ac diˆe’m ak c`on la.i v`a c´ac h˘a`ng sˆo´ A, B s˜e du.o c x´ac di.nh do.n tri v`ı c´ac dı’nh Ak = f (ak ) d˜a cho Tuy `ng sˆ ac h˘ a o´ Christoffel-Schwarz) nhiˆen viˆe.c x´ac di.nh c´ac h˘a`ng sˆo´ n`ay (go.i l`a c´ `e n`ay xin y ph´ u c ta.p Ba.n do.c muˆo´n t`ım hiˆe’u sˆau vˆa´n dˆ thu c tˆe´ l`a cu c k` m`o.i xem cuˆo´n s´ach M A Lavrent ev, B V Xabat Metody teorii funkci kompleksnogo peremennogo M., “Nauka”, 1973 Ch II, c`on bˆay gi`o ta s˜e nˆeu mˆo.t v`ai v´ı du do.n gia’n dˆe’ minh ho.a viˆe.c x´ac di.nh c´ac h˘a`ng sˆo´ Christoffel-Schwarz ´ V´ı du Anh xa nu’.a m˘a.t ph˘a’ng trˆen {Im z > 0} lˆen b˘ang n˘`am ngang {0 < Im w < h} H`ınh VII Gia’i B˘ang n˘`am ngang d˜a cho (h`ınh VII 1) l`a mˆo.t “nhi gi´ac” v´o.i c´ac dı’nh l`a A1 = +∞ v`a A2 = −∞ v´o.i c´ac g´oc dı’nh α1 = α2 = V`ı dˆe’ chuˆa’n `an cho tru.´o.c su tu.o.ng u ´.ng cu’a ba diˆe’m, nˆen ta bˆo’ sung cho h´oa ´anh xa ta cˆ u.a l`a A3 = v´o.i g´oc dı’nh b˘a`ng π (hiˆe’n nhiˆen “nhi gi´ac” d˜a cho mˆo.t dı’nh n˜ `eu d´o khˆong a’nh hu.o’.ng g`ı dˆe´n h`ınh da.ng cu’a “nhi gi´ac”) diˆ Dˆe’ tiˆe.n lo i, ta ghi c´ac sˆo´ liˆe.u d˜a biˆe´t th`anh ba’ng sau dˆay ak ∞ Ak +∞ αk 0 −∞ 1 ´ Chu.o.ng Anh xa ba’o gi´ac 558 ˜e d`ang thˆa´y r˘`ang tru.`o.ng ho p n`ay t´ıch Dˆe’ y ´ dˆe´n ba’ng v` u.a lˆa.p dˆ phˆan Christofell-Schwarz c´o da.ng z dz + B z w=A ´.ng v´o.i dı’nh A3 = nˆen V`ı diˆe’m a3 = tu.o.ng u dz + B, z 0=A B = Do d´o z dz = A ln z, z w=A d´o h˘a`ng sˆo´ A du.o c x´ac di.nh bo’.i dˆo rˆo.ng v`a hu.´o.ng cu’a b˘ang d˜a cho V`ı b´an tru.c du.o.ng cu’a m˘a.t ph˘a’ng z du.o c ´anh xa lˆen tru.c thu c cu’a m˘a.t ph˘a’ng w nˆen h˘`ang sˆo´ A l`a mˆo.t sˆo´ thu c Ta x´ac di.nh h˘a`ng sˆo´ A y sau dˆay cu’a (R Dˆe’ l`am viˆe.c d´o, thˆong thu.`o.ng ta su’ du.ng di.nh l´ Courant) o.ng tr` on v´ o.i b´ an k´ınh vˆ o c` ung b´e r v` a v´ o.i tˆ am ta.i Gia’ su’ γr l` a nu’.a du.` diˆe’m z = a v` a gia’ su’ qua ´ anh anh xa ba’o gi´ ac w = f (z) diˆe’m z = a biˆe´n th` o, v´ o.i su sai kh´ ac mˆ o.t vˆ o c` ung b´e bˆ a.c cao ho.n so v´ o.i diˆe’m w = ∞ Khi d´ a mˆ o.t doa.n th˘ a’ng (xem R Kurant, o.ng tr` on γr s˜e l` r, a’nh cu’a nu’.a du.` Geometriqeska teori funkci kompleksnogo peremennogo M-L, 1934) ´ du.ng di.nh l´ Ap y v` u.a ph´at biˆe’u, ta thˆa´y r˘`ang a’nh cu’a nu’.a du.`o.ng tr`on γr = {|z| = r, Im z 0} - inh l´ 7.2 D y co ba’n cu’a l´ y thuyˆe´t ´anh xa ba’o gi´ac 559 l`a doa n th˘a’ng nˆo´i c´ac tia A1A2 v´o.i A2 A3 v`a th˘a’ng g´oc v´o.i c´ac tia ˆa´y Do d´o v´o.i su sai kh´ac vˆo c` ung b´e θ(r), v`ong qua diˆe’m z = theo nu’.a du.`o.ng `eu kim dˆ `ong hˆ `o), gia sˆo´ ∆w0 cu’a w = A ln z s˜e b˘`ang hiˆe.u tr`on γr (theo chiˆ `an lu.o t trˆen A2 A3 v`a A1 A2, ngh˜ıa l`a `an thu c cu’a w lˆ c´ac gi´a tri cu’a phˆ ∆w0 = −hi + 0(r), r → Nhu.ng m˘a.t kh´ac ta la.i c´o dz = Ai z ∆w0 = A γr dθ = −Aπi (r → 0) π T` u d´o suy A= h , π v`a w = h ln z π π ´ V´ı du Anh xa nu’.a m˘a.t ph˘a’ng trˆen {Im z > 0} lˆen nu’.a b˘ang − < π ’ l` a mˆ o t “tam gi´ a c” v´ o i c´ a c dı , Im w > nh (h`ınh VII 2) Re w < π π A1 = − , A2 = , A3 = ∞ 2 ´.ng l`a Gia’i Tam gi´ac A1A2A3 c´o c´ac g´oc tu.o.ng u α1 = , α2 = , α3 = (α1 + α2 + α3 = !) C´ac sˆo´ liˆe.u d˜a cho c´o thˆe’ ghi th`anh ba’ng sau dˆay ak −1 Ak −π/2 αk 1/2 π/2 1/2 ∞ ∞ ´ Chu.o.ng Anh xa ba’o gi´ac 560 H`ınh VII T´ıch phˆan Christofell-Schwarz c´o da.ng z 1 (z + 1)− (z − 1)− dz + B W =A z √ =A dz +B − z2 = A arc sin z + B Su’ du.ng su tu.o.ng u ´.ng gi˜ u.a c´ac diˆe’m d˜a ghi trˆen ba’ng ta c´o π π π π − = −A + B, = A + B, 2 2 v`a t` u d´o B = 0, A = Nhu vˆa.y W = arc sin z 7.3 B` tˆ a.p H`am thu c G(z, z0, D), d´o z0 l`a diˆe’m thuˆo.c D bˆa´t k` y, du.o c go.i l`a `eu kiˆe.n: `en D nˆe´u n´o tho’a m˜an c´ac diˆ h`am Green dˆo´i v´o.i miˆ `eu h`oa theo z D \ {z0}; G(z, z0 , D) l`a h`am diˆ 7.3 B`ai tˆa.p 561 G(z, z0 , D) → +∞ z → z0; G(z, z0 , D) → z → ∂D Ch´ u.ng minh r˘`ang G(z, z0 , D) = G(z0 , z, D) ˜e n `en do.n liˆen D c´o thˆe’ biˆe’u diˆ Ch´ u.ng minh r˘a`ng h`am Green dˆo´i v´o.i miˆ u.c qua h`am ´anh xa ba’o gi´ac D lˆen h`ınh tr`on do.n vi theo cˆong th´ G(z, z0 , D) = w(z) − w(z0) , ln 2π − w(z0)w(z) (*) d´o w(z) l`a ´anh xa ba’o gi´ac D lˆen h`ınh tr`on do.n vi U = {|w| < 1} ´ du.ng cˆong th´ ˜e n h`am Green dˆo´i v´o.i Ap u.c (*) dˆe’ viˆe´t cˆong th´ u.c biˆe’u diˆ c´ac h`ınh tr`on S = {|z| < R} v`a nu’.a m˘a.t ph˘a’ng trˆen `en do.n liˆen v`a f l`a ´anh xa Ch´ u.ng minh r˘a`ng nˆe´u D v`a D∗ l`a nh˜ u.ng miˆ `en D v`a D∗ liˆen hˆe ba’o gi´ac n`ao d´o biˆe´n D∗ lˆen D th`ı h`am Green dˆo´i v´o.i miˆ u.c v´o.i theo cˆong th´ G(z, z0 , D∗ ) = G(f (z), f(z0 ), D) `en D c´o thˆe’ phˆan hoa.ch Gia’ su’ f ∈ H(D), f (z) = ∀ z ∈ D Khi d´o miˆ `en m`a mˆ˜o i miˆ `en d´o h`am u u ha.n ho˘a.c dˆe´m du o c miˆ th`anh tˆa.p ho p h˜ f (z) do.n diˆe.p T`ım h`am ´anh xa nu’.a m˘a.t ph˘a’ng trˆen lˆen ch´ınh n´o cho w(a) = b, arg w (a) = α (Im a > 0, Im b > 0) w−b z−a (Tra’ l`o.i: ) = eiα z−a w−b T`ım h`am ´anh xa nu’.a m˘a.t ph˘a’ng trˆen lˆen nu’.a m˘a.t ph˘a’ng du.´o.i cho π w(a) = a, arg w (a) = − (Ima > 0) z−a w−a (Tra’ l`o i: =i ) w−a z−a ´ Chu.o.ng Anh xa ba’o gi´ac 562 ´ xa h`ınh tr`on S = {z : |z| < 2} lˆen nu’.a m˘a.t ph˘a’ng P = {z : Rew > 0} Anh cho w(0) = 1, arg w (0) = π · z − 2i ) (Tra’ l`o.i : w = − z + 2i ´ Anh xa h`ınh tr`on S = {z : |z − 4i| < 2} lˆen nu’.a m˘a.t ph˘a’ng P = {w : Imw > Rew} cho tˆam cu’a h`ınh tr`on chuyˆe’n th`anh diˆe’m w = −4 v`a diˆe’m z = 2i cu’a du.`o.ng tr`on biˆe´n th`anh gˆo´c to.a dˆo zi + (Tra’ l`o.i: w = −4 ) z − − 4i ´ 10 Anh xa h`ınh tr`on S(R1 ) = {z : |z| < R1} lˆen h`ınh tr`on S(R2 ) = {z : |z| < R2} cho w(a) = b, arg w (a) = α (|a| < R1 , |b| < R2 ) w−b z−a ) (Tra’ l`o.i: R2 = eiα R1 R1 − az R2 − bw 11 T`ım h`am ´anh xa nu’.a h`ınh tr`on S = {z : |z| < 1, Imz > 0} lˆen h`ınh tr`on S ∗ = {w : |w| < 1} cho w(±1) = ±1, w(0) = −i z + 2iz + ) (Tra’ l`o.i: w = iz + 2z + i T` liˆ e.u tham kha’o ` MO ˆ T BIE ˆ´N PHU ´.C A - HAM Ahlors L V., Complex analysis, New York, 1953 Bicadze A V Osnovy teorii analitiqeskih funkci pleksnogo peremennogo, “Nauka”, 1969 kom- Volkovyski L I., Lunc G L., Aramanoviq I G., Sbornik zadaq po teori funkci kompleksnogo perememnogo, “Nauka” 1975 Goluzin G M Geometriqeska teori funkci kompleksnogo peremennogo, “Nauka”, 1966 G nter N M., Kuz R O Sbornik zadaq po vyswe matematike Tom M., 1958 Gurvic A;, Kurant R., Teori funkci , “Nauka”, 1968 D edonne , Osnovy sovremennogo analiza, “Mir”, 1964 (c´o ba’n di.ch tiˆe´ng Viˆe.t cu’a NXB Da.i ho.c v`a Trung ho.c Chuyˆen nghiˆe.p, H`a Nˆo.i 1973) Evgrafov M A Analitiqeskie funkcii “Nauka”, 1968 Evgrafov M A., Sidorov V., Wabunin M I., Be anov K A Sbornik zadaq po teorii analitiqeskih funkci , “Nauka”, 1969 564 T` liˆe.u tham kha’o 10 Kartan A., lementarna teori analitiqeskih funkci odnogo i neskol kih kompleksnyh peremennyh I L., Moskva, 1973 11 Kompenfels V., Wtal man F., Praktika konformnyh otobra eni I L., 1963 12 Lavrent ev M A., Wabat B V Metody teorii funkci kompleksnogo peremennogo, “Nauka”, 1973 13 Lavrik V I., Savenkov V N Spravoqnik po konformnym otobra eni m “Naukova Dumka”, Kiev 1970 14 Lunc G L., l sgol c L Funkci kompleksnogo peremennogo s lementami operacionnogo isqisleni , M., 1958 15 Markuxeviq A I., Teori analitiqeskih funkci , Tom (1967), Tom (1968), “Nauka” 16 Privalov I I Vvedenie v teori funkci kompleksnogo repemennogo, M., 1960 (Ba’n di.ch tiˆe´ng Viˆe.t cu’a NXB Gi´ao du.c, H`a Nˆo.i, 1964) 17 Svexnikov A G., Tihonov A N Teori snogo peremennogo, “Nauka”, 1974 18 Smirnov V I Kurs vysxe “Nauka”, 1974 funkci komplek- matematiki, Tom (qast 2), 19 Springer D , Vvedenie v teori I L., 1960 rimanovyh, poverhnoste 20 Sto lov S I Teori funkci kompleksnogo peremennogo, tom 1, 2, I L., 1962 Lekcii po topologiqeskih principah teorii analitiqeskih funkci , “Nauka”, 1964 21 Titqmarx E., Teori funkci , M., 1980 22 Uitteker T., Vatson D N., Kurs sovremennogo analiza Tom 1, L., 1963 565 T` liˆe.u tham kha’o 23 Fuks B A., Wabat B V Funkcii kompleksnogo peremennogo i nekotorye ih prilo eni M., 1959 (Ba’n di.ch tiˆe´ng Viˆe.t cu’a NXB Khoa ho.c k˜ y thuˆa.t, H`a Nˆo.i, 1969) 24 Wabat B V Vvedenie v kompleksny analiz “Nauka”, Qast I, 1976 (C´o ba’n di.ch cu’a NXB Da.i ho.c v`a Trung ho.c Chuyˆen nghiˆe.p, 1974) 25 Wvarc L., Analiz Tom II, “Mir”, 1972 26 Wilov G E Matematiqeski analiz Funkci odnogo peremennogo, Qast 1-2 “Nauka”, 1969 ˜e n Thu’y Thanh Hu.´o.ng dˆa˜ n gia’i b`ai tˆa.p h`am biˆe´n ph´ 27 Nguyˆ u.c NXB Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i, 2003 ` NHI`E ˆ U BIE ˆ´N PHU ´.C B - HAM 28 Ganning R., Ross , Analitiqeskie funkcii mnogih kompleksnyh peremennyh, “Mir” M 1969 29 H¨ermander L., Vvedenie v teori Funkci pleksnyh peremennyh “Mir”, 1968 30 Wabat B V., Vvedenie v kompleksny “Nauka”, 1975 neskol kih kom- analiz Qast II, 31 Ronkin L I., lementy teorii analitiqeskih funkcii mnogih peremennyh “Nauka Dumka” Kiev, 1977
- Xem thêm -

Xem thêm: Cở sở lý thuyết hàm biến phức , Cở sở lý thuyết hàm biến phức , Cở sở lý thuyết hàm biến phức , Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức, Chương 3 Lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình, Chương 4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình, Chương 5 Hàm đa trị và diện Riemann, Chương 6 Lý thuyết thặng dư và ứng dụng, Chương 7 Ánh xạ bảo giác

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay